Đề 26 thi tuyển sinh đại học 2010 môn thi: Toán – Khối A

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2010
 Môn Thi: TOÁN – Khối A
 ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : (1) ( m là tham số).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
	2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Câu II: (2 điểm)
 	1) Giải phương trình: 	 
	2) Giải bất phương trình: 	
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: 	 
Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF với SA = a, AB = b. Tính thể tích của hình chóp đó và khoảng cách giữa các đường thẳng SA, BE.
Câu V: (1 điểm) Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: 
	Chứng minh rằng : 
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
	A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: (2 điểm) 
	1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A nằm trên đường thẳng x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
	2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x + 2y – z + 4 = 0 và hai điểm A(4;0;0), B(0; 4; 0). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (P) đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (P).
Câu VII.a: (1 điểm) Chứng minh 
	B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: (2 điểm)
	1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và đường tròn (C): . Xác định 	tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường thẳng d (cho biết điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông ở B.
	2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: 
	, 	 
	Xác định điểm A trên D1 và điểm B trên D2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
Câu VII.b: (2 điểm) Cho tập A= {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau chọn trong A sao cho số đó chia hết cho 15.
Hướng dẫn
Câu I: 2) .
	YCBT Û phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả x1 < x2 < 1 
	Û 
Câu II: 1) · Nếu , phương trình vô nghiệm.
	· Nếu , nhân hai vế phương trình cho ta được:
 , đối chiếu điều kiện: k ≠ 3 + 7m, mÎZ . 
	2) Điều kiện: 0< x ≠ 1. Đặt: .
	BPT Û (*) luôn sai với mọi y > 0.
	Kết luận: BPT vô nghiệm.
Câu III: Đặt : 
	Do đó: 
Câu IV: Nhận xét: Tâm O của lục giác đều ABCDEF là trung điểm của các đường chéo AD, BE, CF. SO ^(ABCDEF). Các tam giác OAB, OBC, OCD, ODE,OEF, OFA là các tam giac đều bằng nhau cạnh b.
	Diện tích đáy: Sđáy = 6SDOAB =(đvdt)
	Chiều cao h = SO = 
	Þ Thể tích V = 
	* Xác định được d(SA, BE) = d(O, (SAF)) = OJ. Chứng minh OJ ^(SAF)
	Trong DSOJ vuông tại O ta có OJ = 
Câu V: Đặt A = , B = 
	· Nếu y = 0 thì A = B = x2 Þ 0 £ B £ 3.
	· Nếu y ≠ 0, ta đặt khi đó: .
	Xét phương trình: 	(a). 
	(a) có nghiệm Û 
	Vì 0 £ A £ 3 Þ . Đây là điều phải chứng minh.
Câu VI.a: 1) Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình: 
	Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương trình 
	Đường thẳng AC đi qua điểm A(–2;4) nên phương trình có dạng:
	Gọi 
	Từ giả thiết suy ra . Do đó 
	· a = 0 . Do đó 
	· 3a – 4b = 0: Chọn a = 4 thì b = 3. Suy ra (trùng với ).
	Do vậy, phương trình của đường thẳng AC là y – 4 = 0.
	Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình:
	2) Tọa độ của trung điểm I của AB là: I(2; 2; 0) 
	Þ Phương trình đường thẳng KI: . 
	Gọi H là hình chiếu của I lên (a) Þ H(–1; 0; 1). 
	Giả sử K(xk; yk; zk), khi đó: và 
	Từ yêu cầu bài toán ta có hệ:
 	. Kết luận: .
Câu VII.a: Ta có: 
	Û ( đúng) Þ (đpcm).
Câu VI.b: 1) Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình
	Vì A có hoành độ dương nên ta được A(2;0), B(–3;–1).
	Vì nên AC là đường kính đường tròn, tức điểm C đối xứng với điểm A qua tâm I của đường tròn. Tâm I(–1;2), suy ra C(–4;4).
	2) Vì AÎ D1 Þ A(t+1; –t –1; 2); BÎ D2 Þ B( t'+3; 2t' +1; t')
	Þ 
 	 Vì đoạn AB có độ dài nhỏ nhất Û AB là đoạn vuông góc chung của (D1) và (D2) 
	Þ Þ A( 1; –1; 2), B(3; 1; 0).
Câu VII.b: Nhận xét: Số chia hết cho 15 thì chia hết 3 và chia hết 5.
	· Các bộ số gồm 5 số có tổng chia hết cho 3 là: (0; 1; 2; 3; 6), (0; 1; 2; 4; 5), (0; 1; 3; 5; 6), (0; 2; 3; 4; 6), (0; 3; 4; 5; 6),(1; 2; 3; 4; 5), (1; 2; 4; 5; 6).
	· Mỗi số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số tận cùng là 0 hoặc 5. 
	+ Trong các bộ số trên có 4 bộ số có đúng một trong hai số 0 hoặc 5 Þ 4.P4 = 96 số chia hết cho 5.
	+ Trong các bộ số trên có 3 bộ số có cả 0 và 5. 
	Nếu tận cùng là 0 thì có P4= 24 số chia hết cho 5.
	Nếu tận cùng là 5 vì do số hàng chục nghìn không thể là số 0, nên có 3.P3=18 số chia hết cho 5.
	Trong trường hợp này có: 3(P4+3P3) = 126 số. 
	Vậy số các số theo yêu cầu bài toán là: 96 + 126 = 222 số.