Đề 20 thi tuyển sinh đại học 2010 môn thi: Toán – Khối A

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2010
 Môn Thi: TOÁN – Khối A
 ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số 
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. 
Câu II (2 điểm) 
	1) Giải phương trình: 
	2) Giải bất phương trình: 
Câu III (1 điểm) Tính tích phân: 	
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC = . , 
	Tính thể tích khối chóp S.ABC. 
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) 
	A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa (2 điểm) 
	1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho cho hai đường thẳng . d2: 3x + 6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; –1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.
	2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình:. Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A¢, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S). 
Câu VIIa (1 điểm) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
	 và .
	B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb (2 điểm) 
	1) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho Hypebol (H) có phương trình: . Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).
	2) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho và đường thẳng , điểm A( –2; 3; 4). Gọi D là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của (d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên D điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.
Câu VIIb (1 điểm): Giải hệ phương trình 
Hướng dẫn:
Câu I: 2) Ta có: , 
	Phương trình tiếp tuyến D với ( C) tại M : 
	Toạ độ giao điểm A, B của (D) và hai tiệm cận là: 
	Ta có: , Þ M là trung điểm AB.
	Mặt khác I(2; 2) và DIAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp DIAB có diện tích: 
	S = 
	Dấu “=” xảy ra khi Þ M(1; 1) và M(3; 3)
Câu II: 1) PT Û 
	2) BPT Û hoặc x < 0
Câu III: = + = 
Câu IV: Dùng định lí côsin tính được: , SC = a.
	Gọi M là trung điểm của SA. Hai tam giác SAB và SAC cân nên MB ^ SA, MC ^ SA. Suy ra SA ^ (MBC).
	Ta có 
	Hai tam giác SAB và SAC bằng nhau. Do đó MB = MC Þ DMBC cân tại M. Gọi N là trung điểm của BC Þ MN ^ BC. Tương tự MN ^ SA. 
	.
	Do đó: .
Câu V: Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có 
	 (*)
	Áp dụng (*) ta có 
	Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có :
	Suy ra: 	
	Do đó . Dấu = xảy ra 
	Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi .
Câu VI.a: 1) d1 VTCP ; d2 VTCP 
	Ta có: nên và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình: 
	d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I Û khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450
	* Nếu A = 3B ta có đường thẳng 
	* Nếu B = –3A ta có đường thẳng 
	Vậy có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. ; 
	2) Dễ thấy A¢( 1; –1; 0)
	Phương trình mặt cầu ( S): 
	Þ (S) có tâm , bán kính 
	+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường tròn ( C)
	+) Phương trình đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P). 
	d:
	 , (C) có bán kính 
Câu VII.a: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
	Suy ra: = 
Câu VI.b: 1) (H) có các tiêu điểm . Hình chữ nhật cơ sở của (H) có một đỉnh là M( 4; 3),
	Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng: ( với a > b)
 	(E) cũng có hai tiêu điểm 
	Từ (1) và (2) ta có hệ:.	Vậy (E): 
	2) Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được: 
	Gọi I là giao điểm của (d) và (P) Þ 
	* (d) có vectơ chỉ phương là , mp( P) có vectơ pháp tuyến là 
	. Gọi là vectơ chỉ phương của 
	 . Vì , 
	AM ngắn nhất 
 	. Vậy 
Câu VII.b: PT (2) 
	* Với x = 0 thay vào (1): 
	* Với thay y = 1 – 3x vào (1) ta được: 	(3)
	Đặt . Vì nên 
	Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm và