Đề 2 thi thử đại học, cao đẳng năm 2010 môn thi : Toán

 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2010 
ĐỀ 30
	 Môn thi : TOÁN
	 Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian giao đề 
 PhÇn A : Dµnh cho tÊt c¶ c¸c thi sinh .
C©u I (2,0 ®iÓm) Cho hàm số (C)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
C©u II (2,0 ®iÓm ) 
1) Giải phương trình: (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx
2) Tìm m để hệ phương trình : có nghiệm duy nhất
C©u III(1,0 ®iÓm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và .
C©u IV ( 1,0 ®iÓm ) : Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh DAHK vuông và tính VSABC?
C©u V (1,0 ®iÓm ) Cho a, b là các số dương thỏa mãn ab + a + b = 3.
 Chứng minh: .
 PhÇn B ( ThÝ sinh chØ ®­îc lµm mét trong hai phÇn ( phÇn 1 hoÆc phÇn 2) 
 PhÇn 1 ( Dµnh cho häc sinh häc theo ch­¬ng tr×nh chuÈn ) 
 C©u VI.a 
1.( 1,0 ®iÓm ) Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm A(0, 1) B(2, –1) và các đường thẳng: 
 d1: (m – 1)x + (m – 2)y + 2 – m = 0
 d2: (2 – m)x + (m – 1)y + 3m – 5 = 0
Chứng minh d1 và d2 luôn cắt nhau. Gọi P = d1 Ç d2. Tìm m sao cho lớn nhất
2.( 1,0 ®iÓm ) Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và các đường thẳng và .Tìm các điểm M Î d1, N Î d2 sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình trên tập số phức: 
 PhÇn 2 ( Dµnh cho häc sinh häc ch­¬ng tr×nh n©ng cao ) 
 Câu VI.b 
1. (1.0 điểm) . Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d: . Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A Î d
2. (1,0 ®iÓm) Trong không gian Oxyz cho các điểm A(–3,5,–5); B(5,–3,7); và mặt phẳng (P): x + y + z = 0
1. Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P).
2. Tìm điểm M Î (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
C©uVII.b ( 1,0 ®iÓm) Giải phương trình trên tập số phức: 
ĐÁP ÁN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm)
CÂU I 1.	Khảo sát hàm số (Bạn đọc tự giải)
2.	Ta có 
	Từ đồ thị ta thấy để tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giác vuông cân ta phải có hệ số góc của tiếp tuyến là –1 tức là:
	. Tại x1 = 0 Þ y1 = 0 Þ phương trình tiếp tuyến là y = –x
	. Tại x2 = 2 Þ y2 = 2 Þ phương trình tiếp tuyến là y = –x + 4
CÂU II 
 1.Giải phương trình: (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx (1)
	Đặt: t = tgx . Pt (1) thành	
	Do đó (1) Û tgx = 0 hay tgx = –1 
 Û x = kp hay x = + kp, k
Cách khác
(1) Û (cosx – sinx)(cosx + sinx)2 = cosx + sinx
(hiển nhiên cosx = 0 không là nghiệm)
Û cosx + sinx = 0 hay (cosx – sinx)(cosx + sinx) = 1
Û tgx = -1 hay cos2x = 1Û x = + kp hay x = kp, k
 2.	Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất
	(I) 
	Với điều kiện: ta có
	(I) 
	 (*)
 ( hiển nhiên x = 0 không là nghiệm của (*) )
 Đặt , ( a = 1 )
	ycbt Û tìm m để phương trình (*) có đúng 1 nghiệm thỏa x £ 1
	 Û af(1) < 0 hay 
	 Û 2
CÂU III 
Ta có: 
	Là nửa đường tròn tâm O, bán kính , có y ³ 0
	Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường y = x2 và : ; x2 và thì x2
Do đó ta có 	
	Đặt: x = sint 
	Þ dx = costdt 
 (Nhận xét :
 Vì f(t) = là hàm chẵn)
	Vậy (đvdt )
(Nhận xét :
Vì g(x) = là hàm chẵn)
C©u IV	* Chứng minh DAHK vuông
	Ta có: AS ^ CB
	 AC ^ CB (DACB nội tiếp nửa đường tròn)
	Þ CB ^ (SAC) Þ CB ^ AK
	 mà AK ^ SC Þ AK ^ (SCB)
	Þ AK ^ HK Þ DAHK vuông tại K
	* Tính VSABC theo R
	Kẻ CI ^ AB
	Do giả thiết ta có AC = R = OA = OC Þ DAOC đều
	Þ 
	Ta có SA ^ (ABC) nên (SAB) ^ (ABC) Þ CI ^ (SAB)
	Suy ra hình chiếu vuông góc của DSCB trên mặt phẳng (SAB) là DSIB
	Vì . Suy ra (*)
	Ta có: 
	Theo định lý về diện tích hình chiếu ta có:
	 (**)
	Từ (*), (**) ta có: 
	Từ đó 
C©u VTừ giả thiết a, b > 0 và ab + a + b = 3. Suy ra:
	. , (a+1)(b+1) = ab +a +b + 1 = 4
	bđt đã cho tương đương với	
	 (A)
Đặt x = a+b > 0 
 ( vì x > 0)
	Thế x như trên , (A) thành 
	 , với x³ 2
 , với x³ 2
 , với x³ 2 (hiển nhiên đúng)
	Vậy bđt cho đã được chứng minh.
 C©u VI.a 
1.Tọa độ giao điểm P của d1, d2 là nghiệm của hệ phương trình 
	Ta có 
	Vì nên d1, d2 luôn luôn cắt nhau.
	Ta dễ thấy A(0,1) Î d1 ; B(2,-1) Î d2 và d1 ^ d2
	Þ D APB vuông tại P Þ P nằm trên đường tròn đường kính AB.
	Ta có (PA + PB)2 £ 2(PA2 + PB2) = 2AB2 = 2
	Þ PA + PB £ 4. Dấu "=" xảy ra Û PA = PB Û P là trung điểm của cung 
	Vậy Max (PA + PB) = 4 khi P là trung điểm của cung 
 Þ P nằm trên đường thẳng y = x – 1 qua trung điểm I (1 ;0) của AB
 và IP = Þ P (2 ; 1 ) hay P (0 ;- 1)
 Vậy ycbt Û m = 1 v m = 2
2.P/trình tham số d1: 
	P/trình tham số d2: 
	Vậy 
	Mặt phẳng (P) có PVT 
	Vì MN // (P) 
	. Ta lại có khoảng cách từ MN đến (P) bằng d(M, P) vì MN // (P)
	. t = 1 Þ t' = –1 Þ M1(3, 0, 2) N1(–1, –4, 0)
	. t = 0 Þ t' = 0 Þ M2(1, 3, 0) N2(5, 0, –5)
 C©u VII.a Đặt . Khi dó phương trình (5) trở thành:
 Vậy nghiệm của phương trình là: 
 C©u VI.b
 1)	 y
	0	2	4	6	x
	 A	 D
	 –3	 I
	 –5 B	 C
	Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2
	Tọa độ của I(4, –3) thỏa phương trình (d): x + y – 1 = 0. Vậy I Î d
	Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính R = 2 , x = 2 và x= 6 là 2 tiếp tuyến của (C ) nên
	. Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 2	Þ A(2, –1)
	. Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 6	Þ A(6, –5)
	. Khi A(2, –1) Þ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)
	. Khi A(6, –5) Þ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) 
2.a)	Đường thẳng AB có VTCP 
	Phương trình đường thẳng AB: 
	Điểm I (–3+2t; 5- 2t; –5+3t) khi
 (–3 + 2t) + (5 – 2t) + (–5 + 3t) = 0 Û t = 1
	Vậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại I(–1, 3, –2)
b)	Tìm M Î (P) để MA2 + MB2 nhỏ nhất
	Gọi H là trung điểm của đoạn AB. Tam giác MAB có trung tuyến MH nên: 
	Do đó MA2 + MB2 nhỏ nhất Û MH2 nhỏ nhất
	Ta để thấy H(1, 1, 1), M Î (P)
	MH nhỏ nhất Û MH ^ (P) và để ý rằng mặt phẳng (P): x + y + z = 0 có PVT và O Î (P) Þ M º (0, 0, 0)
	Vậy, với M(0, 0, 0) thì MA2 + MB2 nhỏ nhất.
	(khi đó, ta có 
 min(MA2 + MB2) = OA2 + OB2 = (9 + 25 + 25) + (25 + 9 + 49) = 142)
 C©u VIIb Phương trình (6) tương đương với:
 Vậy nghiệm của phương trình là: