Đề 2 thi môn toán, khối 12 (2008 - 2009)

ÔN THI ĐẠI HỌC 2009 ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 12 (2008-2009) 
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) 
Câu I (2 điểm) 
Cho hàm số 4 22 1y x mx m= − + − (1) , với m là tham số thực. 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . 
2) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị 
 tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1. 
Câu II (2 điểm) 
1) Giải phương trình ( )22sin 2 3 sin cos 1 3 cos 3 sinx x x x x+ + = + . 
2) Giải phương trình 2 2log 2 2log 4 log 8x x x+ = . 
Câu III (1 điểm) 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 21 1y x x= + − . 
Câu IV (1 điểm) 
Trong không gian cho lăng trụ đứng 1 1 1.ABC A B C có 1, 2 , 2 5AB a AC a AA a= = = và n 120BAC = D . 
Gọi M là trung điểm của cạnh 1CC . Hãy chứng minh 1MB MA⊥ và tính khoảng cách từ A tới 
mặt phẳng ( 1A BM ). 
Câu V (1 điểm) 
Xác định m để phương trình sau có đúng một nghiệm thực: ( )44 13 1 0x x m x m− + + − = ∈\ . 
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 
1. Theo chương trình Chuẩn 
Câu VI.a (1 điểm) 
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung 
sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng :2 3 0d x y− + = . 
Câu VII.a (1 điểm) 
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của ( )
18
5
12 0x x
x
⎛ ⎞+ >⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
Câu VIII.a (1 điểm) 
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 1
1
xy
x
+= − tại giao điểm của đồ thị với trục hoành. 
2. Theo chương trình Nâng cao. 
Câu VI.b (1 điểm) 
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông ở A . Biết ( ) ( )1;4 , 1; 4A B− − và 
đường thẳng BC đi qua điểm 12;
2
M ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . Hãy tìm toạ độ đỉnh C . 
Câu VII.b (1 điểm) 
Tìm hệ số của 8x trong khai triển nhị thức Niutơn của ( )2 2 nx + , biết 3 2 18 49n n nA C C− + = . 
( knA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 
Câu VIII.b (1 điểm) 
Cho hàm số 
2 4 3
2
x xy
x
− + += − . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên 
 đồ thị hàm số đến hai đường tiệm cận của nó luôn là một hằng số. 
----------------------------------Hết---------------------------------- 
ÔN THI ĐH 2009 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHỐI 12 (2008-
2009) 
 (Đáp án- Thang điểm gồm 04 trang) 
Câu Nội dung Điểm
I 
(2điểm) 
1.(1 điểm). Khi 1m = hàm số trở thành: 4 22y x x= − 
• TXĐ: D=\ 
• Sự biến thiên: ( )' 3 2 04 4 0 4 1 0 1xy x x x x x =⎡= − = ⇔ − = ⇔ ⎢ = ±⎣ 0.25
 ( ) ( )0 0, 1 1CD CTy y y y= = = ± = − 0.25
 • Bảng biến thiên 
 x -∞ -1 0 1 +∞ 
 y’ − 0 + 0 − 0 + 
 y +∞ 0 +∞ 
 -1 -1 
0.25
 • Đồ thị 
0.25
 2. (1 điểm) ( )' 3 2 2 04 4 4 0 xy x mx x x m x m
=⎡= − = − = ⇔ ⎢ =⎣
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ⇔ pt ' 0y = có ba nghiệm phân biệt và 'y 
đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó 0m⇔ > 0.25
 • Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: 
( ) ( ) ( )2 20; 1 , ; 1 , ; 1A m B m m m C m m m− − − + − − + − 0.25
 • 21 .
2ABC B A C B
S y y x x m m= − − =+ ; 4 , 2AB AC m m BC m= = + = 0.25
• ( )4 3
2
12. . 1 1 2 1 0 5 14 4
2
ABC
mm m mAB AC BCR m m
S m m m
=⎡+ ⎢= = ⇔ = ⇔ − + = ⇔ −⎢ =⎢⎣+
0.25
II 
(2điểm) 
1)
( ) 3 1 1 32 3 sin 2 cos 2 3 cos 3 sin 1 sin 2 cos 2 3 cos sin2 2 2 2x x x x x x x x⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − = + ⇔ + − = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0.50
 221 cos 2 3cos 2cos 3cos
3 3 3 3
x x x xπ π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + − = − ⇔ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0.25
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
0 -5 5 10
 5cos 0
3 3 2 6
x x k x kπ π π ππ π⎛ ⎞⇔ − = ⇔ − = + ⇔ = +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )k∈] . 0.25
 2. (1 điểm) Điều kiện 10, 1,
2
x x x> ≠ ≠ 0.25
 • Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 4 6 1 4 6 1 2
log log 2 log 2 log 1 log 1 log log 1 logx x x x x x x x
+ = ⇔ + = ⇔ =+ + + 0.50
 2log 1 2x x⇔ = ⇔ = 0.25
III 
(1 điểm) • Tập xác định: D =[ ]1;1− ; 
2
'
2
1
2 1 0 1
1 2
x D
x xy
x Dx
= − ∈⎡− − + ⎢= = ⇔ ⎢ = ∈− ⎣
0.50
 ( ) ( )1 3 31 0, , 1 0
2 4
y y y⎛ ⎞− = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ . Vậy [ ] [ ]1;1 1;1
3 3max ; min 0
4
y y
− −
= = 
0.50
IV 
(1 điểm) 
( ) ( )222 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 5 9 ; 2 . .cos120 7MA AC C M a a a BC AB AC AB AC a= + = + = = + − =D ; 
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 21 17 5 12 ; 2 5 21BM BC CM a a a A B AA AB a a a= + = + = = + = + = . 
Suy ra 2 2 21 1 1A B MA MB MB MA= + ⇒ ⊥ . 
0.50
 • Hình chóp 1MBAA và 1CABA có chung đáy là tam giác 1BAA và đường cao 
bằng nhau nên thể tích bằng nhau. 
Suy ra 
1 1
3
1
1 1 1 15. 2 5. .2 .sin120
3 3 2 3MBAA CBAA ABC
aV V V AA S a a a= = = = =D+ 
1
3
1
1
156.3 6 53( , ( ))
. 312.3MBA
a
V V ad A A BM
S MB MA a a
⇒ = = = =
+
0.50
V 
(1 điểm) ( )
4 44 4
44
3 2
1 0
13 1 0 13 1
13 1
1
4 6 9 1
x
x x m x x x m x
x x m x
x
x x x m
− ≥⎧⎪− + + − = ⇔ − + = − ⇔⎨ − + = −⎪⎩
≤⎧⇔⎨ − − − = −⎩
0.25
M
A C
B
A1
B1
C1
 Yêu cầu bài toán ⇔ đường thẳng y m= − cắt phần đồ thị hàm số 
( ) 3 24 6 9 1f x x x x= − − − với 1x ≤ tại đúng một điểm. 0.25
 Xét hàm số ( ) 3 24 6 9 1f x x x x= − − − với 1x ≤ . 
 Với 1x ≤ thì ( )' 2 112 12 9 0
2
f x x x x= − − = ⇔ = − 0.25
Bảng biến thiên: x −∞ 1
2
− 1 
 y’ + 0 − 
 y 3
2
 −∞ 12− 
Từ bảng biến thiên ta có: 
Yêu cầu bài toán 
3 3
2 2
12 12
m m
m m
⎡ ⎡− = = −⎢ ⎢⇔ ⇔⎢ ⎢− ⎣ ⎣
0.25
VI.a 
(1 điểm) 
( ) ( ) ( ), ;0 , 0; , ;A Ox B Oy A a B b AB a b∈ ∈ ⇒ = −JJJG 
0.25
 Vectơ chỉ phương của d là ( )1;2u =G 
Toạ độ trung điểm I của AB là ;
2 2
a b⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 0.25
 A và B đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi 
2 0 4. 0
23 0
2
a b aAB u
b baI d
− + =⎧⎧ = −⎧=⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ = −− + =∈⎪ ⎩⎩ ⎪⎩
JJJG G
. Vậy ( ) ( )4;0 , 0; 2A B− − 
0.50
VII.a 
(1 điểm) 
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức Niutơn của 
18
5
12x
x
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠ là 
 ( ) 61818 18 51 18 1851. 2 . .2 .
k k
kk k k
kT C x C xx
−− −
+
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠ 0.50
 Số hạng không chứa x ứng với k thoả mãn 618 0 15
5
k k− = ⇔ = . 
Vậy số hạng cần tìm là 15 316 18 .2 6528T C= = 0.50
VIII.a 
(1 điểm) 
• Giao điểm của đồ thị với trục hoành là 1 ;0
2
A⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
( )
' '
2
3 1 4;
2 31
y y
x
− ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠− 0.50
 • Pt tiếp tuyến của đồ thị tại 1 ;0
2
A⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ là 
4 1 4 2
3 2 3 3
y x y x⎛ ⎞= − + ⇔ = − −⎜ ⎟⎝ ⎠ 0.50
VI.b 
(1 điểm) 
Đt BC đi qua ( )1; 4B − và 12;
2
M ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ nên có pt: 
1 4
91
2
x y− += 9 2 17 0x y⇔ − − = 
9 17; ,
2
tC BC C t t−⎛ ⎞∈ ⇒ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠ \ 0.50
 ( ) 9 252; 8 ; 1;
2
tAB AC t −⎛ ⎞= − = +⎜ ⎟⎝ ⎠
JJJG JJJG
. Vì tam giác ABC vuông tại A nên 
. 0AB AC =JJJG JJJG 
Suy ra 9 251 4. 0 3.
2
tt t−+ − = ⇔ = Vậy ( )3;5C 0.50
VII.b 
(1 điểm) 
Điều kiện 4,n n≥ ∈` . 
Ta có: ( )2 2
0
2 2
nn k k n k
n
k
x C x −
=
+ =∑ . Hệ số của 8x là 4 4.2nnC − 0.50
 ( )( ) ( )3 2 1 3 28 49 2 1 4 1 49 7 7 49 0n n nA C C n n n n n n n n n− + = ⇔ − − − − + = ⇔ − + − = 
 ( ) ( )27 7 0 7n n n⇔ − + = ⇔ = 
Vậy hệ số của 8x là 4 37 .2 280C = 0.50
VIII.b 
(1 điểm) 
2 4 3 72
2 2
x xy x
x x
− + += = − + +− − . Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. 
( );M x y ∈(C) 72
2
y x
x
⇔ = − + + − . 
Tiệm cận xiên: 2 2 0y x x y= − + ⇔ + − = ; Tiệm cận đứng: 2x = 0.50
 Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là: 1
2 7
2 2. 2
x y
d
x
+ −= = − . 
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: 2 2d x= − . 
Ta có: 1 2
7 7. . 2
2. 2 2
d d x
x
= − =− . Suy ra điều phải chứng minh 0.50
Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án 
 quy định. 
------------------Hết------------------