Đề 12 Kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2010 môn thi: Toán – Khối A

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010
 Môn Thi: TOÁN – Khối A
 ĐỀ THI THAM KHẢO Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị (Cm); (m là tham số).
	1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
	2) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
Câu II: (2 điểm)
	1) Giải phương trình: 	2cos3x + sinx + cosx = 0
	2) Giải hệ phương trình: 	
Câu III: (1 điểm) Tính tích phân: I = 
Câu IV: (1 điểm) Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc a.
Câu V: (1 điểm) Cho là những số dương thoả mãn: . Chứng minh bất đẳng thức: 	
II.PHẦN RIÊNG (3 điểm)
 	A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
	1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): và điểm M(1; 1). Viết phương trình đường thẳng qua M và cắt (E) tại hai điểm C, D sao cho MC = MD.
 	2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng
	(d) : và mặt phẳng (P) : 2x – y – 2z = 0.
Câu VII.a (1 điểm) Cho tập hợp X = . Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X, sao cho một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
 	B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
	1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho elip (E): và hai điểm A(–5; –1), B(–1; 1). Một điểm M di động trên (E). Tìm giá trị lớn nhất của diện tích DMAB.
	2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương trình (P): và (Q): 
	(d1): , 	(d2): .
	Viết phương trình đường thẳng (D) song song với hai mặt phẳng (P), (Q) và cắt (d1), (d2)
Câu VII.b (1 điểm) Tìm số n nguyên dương thỏa mãn bất phương trình: .
Hướng dẫn
Câu I: 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = 1 là: 
	x3 + 3x2 + mx + 1 = 1	Û x(x2 + 3x + m) = 0 Û 
	(Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0, 1), D, E phân biệt Û (2) có 2 nghiệm xD, xE ¹ 0.
	Û 
	Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là:
	kD = y’(xD) = 	kE = y’(xE) = 
	Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc Û kDkE = –1.
	Û (3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE + 6m(xD + xE) + 4m2 = –1
	Û 9m – 18m + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-et).
	Û m = . 
Câu II: 1) PT Û cos Û cos Û 
	2) Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được:
 	Û x = y (trong ngoặc luôn dương và x và y đều lớn hơn 2)
	Vậy từ hệ trên ta có: 
	 Û x = 3 
 	Vậy nghiệm của hệ x = y = 3
Câu III: = = 2ln2 – ln3 
Câu IV: Dựng . Ta có: 
	 và SH là đường cao của hình chóp.
	Dựng 
	DSHN = DSHP Þ HN = HP.
	DAHP vuông có: DSHP vuông có: 
	Thể tích hình chóp 
Câu V: Áp dụng bất đẳng thức 
	Ta có: 
	Mặt khác:
	Tương tự: 
	Từ đó suy ra 
	Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu VI.a: 1) Gọi (d) là đường thẳng qua M(1; 1) cắt (E) tại C, D.
	Vì (E) có tính đối xứng nên (d) không thể vuông góc với Ox, do đó phương trình của (d) có dạng: 
	Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (E): 
	() 
	Þ (d) luôn cắt (E) tại 2 điểm C, D với các hoành độ là nghiệm của (1).
	Theo định lý Viet: 
	M(1; 1) là trung điểm của CD Û 
	Vậy, phương trình đường thẳng (d): 4x + 9y – 13 = 0.
	2) Gọi A(a; 0; 0) . 
	(d) qua và có VTCP . Đặt 
	Do đó: d(A; d) là chiều cao vẽ từ A trong tam giác 
	Theo giả thiết: d(A; (P)) = d(A; d) 
	Vậy, có một điểm A(3; 0; 0).
Câu VII.a: Giả sử n = .
	· Xem các số hình thức , kể cả a = 0. Có 3 cách chọn vị trí cho 1 (1 là a hoặc b hoặc c). Sau đó chọn trị khác nhau cho 4 vị trí còn lại từ X \ Þ số cách chọn .
	Như vậy có 3. (7. 6. 5. 4) = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài.
	· Xem các số hình thức Þ có (số)
	· Loại những số dạng hình thức ra, ta còn 2520 – 240 = 2280 số n thỏa YCBT.
Câu VI.b: 1) Phương trình đường thẳng (AB): và 
	Gọi Ta có: 
	Diện tích DMAB: 
	Áp dụng bất đẳng thức Bu nhia cốp Ski cho 2 cặp số có: 
	Vậy, .
	2) (P) có VTPT , 	(Q) có pháp vectơ 
	(d1) có VTCP , (d2) có VTCP 
	Gọi: Þ (D) = (P1) Ç (Q1) và (D) // (D1)
	(D) có vectơ chỉ phương 
	(P1) có cặp VTCP và nên có VTPT: 
	Phương trình mp (P1): 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 
	(Q1) có cặp VTCP và nên có VTPT: 
	Phương trình mp (Q1): 
	Ta có: Þ phương trình đường thẳng (D) : 
Câu VII.b: .