Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 - 3x2 +3(1-m)x+1+3m (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m =1.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực
đại, cực tiểu của đồ thị hàm số cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích
bằng 4.
0TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I ĐỀ DỰ BỊ ĐỀ THI MÔN TOÁN, KHỐI 12 (2009-2010) Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 3 23 3 1 1 3y x x m x m (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi 1m . 2) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4. Câu II (2 điểm) 1) Giải bất phương trình 22 6 7 4x x x x x x . 2) Giải phương trình 55cos 2 4sin 9 3 6 x x . Câu III (1 điểm) Tính tích phân 1 0 1 1 x I dx x . Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ đứng ' ' '.ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông với AB BC a , cạnh bên ' 2AA a , M là điểm sao cho '1 3 AM AA . Tính thể tích của khối tứ diện ' 'MA BC Câu V (1 điểm) Cho các số thực không âm ,a b . Chứng minh rằng: 2 23 3 1 12 2 4 4 2 2 a b b a a b PHẦN RIÊNG (3 điểm):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , biết phương trình đường thẳng ,AB BC lần lượt là 2 5 0x y và 3 7 0x y . Viết phương trình đường thẳng AC , biết rằng đường thẳng AC đi qua điểm 1; 3F . 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm 0;1;1M và các đường thẳng 1 2 : 3 1 1 x y z ; 1 : 1 x d y t z t . Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng d . Câu VII.a (1 điểm) Tìm số phức z thoả mãn 2 2z z và 2z . B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại B và nội tiếp đường tròn (C). Biết rằng (C) 2 2: 1 2 5x y , 2;0A và diện tích tam giác ABC bằng 4. Tìm toạ độ các đỉnh ,B C 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng : 2 2 1 0P x y z và hai đường thẳng 1 2 1 3 3 4 3 : , : 1 1 6 2 1 2 x y z x y z . Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng P bằng nhau. Câu VII.b (1 điểm) Tìm các giá trị của tham số thực m để đường thẳng 2y x m cắt đồ thị hàm số 2 4 3 2 x x y x tại hai điểm ,A B sao cho 3AB . ---------------------------------Hết--------------------------------- 1TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I Năm học 2009-2010 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN KHỐI 12 (Đáp án- thang điểm gồm có 04 trang) Câu Nội dung Điểm I 1) Khi 1m , hàm số (1) trở thành: 3 23 4y x x Tập xác định Sự biến thiên: ' 2 '3 6 , 0 0 2y x x y x x 0.25 yCĐ=y(0)=4, yCT=y(2)=0 0.25 Bảng biến thiên x 0 2 'y 0 0 y 4 0 0.25 Đồ thị 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 f x = x3-3x2 +4 0.25 2) ' 2 23 6 3 1 3 2 1y x x m x x m Hàm số (1) có cực đại, cực tiểu phương trình ' 0y có hai nghiệm phân biệt 1 2,x x và 'y đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó 0m 0.25 Gọi hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là 1 1 2 2; , ;A x y B x y . Ta có 21 2 1 2 2 2y x x x m mx m ; 1 12 2 2y mx m 2 22 2 2y mx m . Vậy phương trình đường thẳng AB là 2 2 2 2 2 2 0y mx m mx y m . 0.25 2 2 2 2 22 2 2 22 1 2 1 2 1 1 2 1 24 4 1 4 4 1AB x x m x x x x m x x x x m Theo định lí Viet ta có 1 2 1 22, . 1x x x x m . Suy ra 22 4 1AB m m ; 2 2 1 , 4 1 m d O AB m ; 0.25 2 2 2 11 1 . , .2 4 1 . 4 2 2 4 1 ABC m S AB d O AB m m m 3 2 21 2 2 4 0 1 3 4 0 1m m m m m m m m m 0.25 II 1) Điều kiện 2 0 0 17 6 7 0 1 x x xx x x x 0.25 Bpt đã cho tương đương với bpt: 2 22 6 7 4 2 6 7 4 2x x x x x x x 0.25 Nếu 2x thì bpt được thoả mãn vì vế trái dương, vế phải âm, 0.25 Nếu 1 2x thì hai vế của bpt không âm. Bình phương hai vế ta được: 22 22 6 7 4 2 4 15 0 7 34 7 34x x x x x x . Kết hợp với điều kiện 1 2x , ta có 7 34 2x . Vậy bpt đã cho có tập nghiệm là 7 34; 0.25 2) Pt 2 55 1 2sin 4sin 9 6 6 x x 0.25 210sin 4sin 14 0 6 6 x x 0.25 sin 1 2 2 6 6 2 3 x x k x k k 0.50 III Đặt 2 2 ; 0 0; 1 1t x x t dx tdt x t x t 1 12 3 0 0 1 .2 2 1 1 t t t I tdt t t 0.25 11 1 3 2 2 1 0 0 0 0 2 2 4 2 2 4(ln 1 ) 1 3 2 dt t t I t t dt t t t 0.50 11 4ln 2 3 I 0.25 IV Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B . Gọi H là trung điểm của đoạn AC thì BH AC và ' 'BH mp ACC A . Do BH là đường cao của hình chóp ' '.B MAC nên 2 2 a BH . Từ giả thiết suy ra ' ' '2 2 ; 2 3 MA a AC a 0.50 Ta có ' ' ' ' ' ' '. 1 1 1 . . . . 3 3 2B MAC MAC V BH S BH MA AC 0.25 Vậy ' ' ' ' 3 . 1 2 2 2 2 . . . 2 3 2 3 9MA BC B MAC a a a V V a 0.25 3V Ta có 2 2 23 1 1 1 1 1 4 4 2 2 2 2 a b a a b a a a b a b . Tương tự ta cũng có 2 3 1 4 2 b a a b . 0.50 Ta sẽ chứng minh 2 1 1 1 2 2 2 2 2 a b a b 0.25 22 2 1 12 4 0 4 4 a b ab a b ab a b a b (luôn đúng) 0.25 VII.a 1) Gọi vectơ pháp tuyến của AB là 1 1;2n , của BC là 2 3; 1n và của AC là 2 23 ; , 0n a b a b . Do tam giác ABC cân tại A nên các góc ˆˆ,B C nhọn và bằng nhau. 0.25 Suy ra 1 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 2 . . 31ˆˆcos cos 22 15 2 0 5. . n n n n a b B C a ab b n n n n a b 2 11 2 0 2a b a b a b hoặc 11 2a b 0.50 Với 2a b , ta có thể chọn 1, 2a b thì 3 1;2n . Do AC đi qua 1; 3F nên có pt: 1 1 2 3 0 2 5 0x y x y . Trường hợp này bị loại vì / /AC AB Với 11 2a b , chọn 2, 11a b thì 3 2;11n . Suy ra : 2 11 31 0AC x y Vậy có một đường thẳng thoả mãn bài toán là: 2 11 31 0x y . 0.25 2) Gọi a là đường thẳng cần tìm. Gọi N d a ; 1; ;1N d N t t . có vectơ chỉ phương 3;1;1u ; 1; 1;MN t t . 0.50 . 0 3 1 0 2a MN u MN u t t t ; 1;1;2MN . Vậy : 1 1 2 x t a y t z t t 0.50 VII.a Gọi số phức ( , )z x yi x y . Ta có 2 2 2 2 ,z x y xyi z x yi 0.25 Từ giả thiết ta có hệ pt: 2 22 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 4 4 2 1 4 42 x y x xy y x x x x y xx y 0.25 23 2 2 2 2 11 2 03 2 0 2 034 4 xx x xx x x yyy x y x 0.25 Vậy có ba số phức cần tìm là 1 3 ; 1 3 ; 2z i z i z 0.25 VI.b 1) (C) có tâm 1; 2 ,I bán kính 5R . Do 90ABC nên C đối xứng với A qua I . Suy ra 0; 4C . 0.25 : 2 4 0AC x y ; 2 2.4 4, 2 5 5 ABCSd B AC AC . B thuộc đt song song với AC , B cách AC một khoảng bằng 4 5 . : 2 0x y m . Vì / / AC nên 4, 5 d A . Suy ra 04 4 85 5 mm m 0.25 4Với 0 : 2 0m x y . Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ 2 2 6 2 0 0 5 0 121 2 5 5 xx y x yx y y 0.25 Với 8 : 2 8 0m x y . Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ 2 2 16 2 8 0 2 5 4 81 2 5 5 xx y x yx y y Vậy 0; 4C ; toạ độ điểm B là 6 12 16 80;0 , ; , 2; 4 , ; 5 5 5 5 0.25 2) 2 qua 3;4; 3A và có vectơ chỉ phương 2;1; 2u . 1 ;1 ; 3 6 ; 3 ;3 ; 6M M t t t MA t t t ; 2, 8 6;6 14 ; 3 , 3 29 30 9MA u t t t MA u t t 0.25 22 , , 29 30 9 MA u d M t t u ; 22 2 2 2 6 12 1 11 9 , 31 2 2 t t t t d M P 0.25 2 211 929 30 9 140 72 0 0 3 t t t t t t hoặc 18 35 t 0.25 18 18 53 30 0;1; 3 ; ; ; 35 35 35 35 t M t M 0.25 VII.b Toạ độ các điểm ,A B thoả mãn: 2 24 3 2 8 2 7 0; 2 12 2 22 x x x m x m xx m x y x my x m 0.25 Nhận thấy (1) có hai nghiệm thực phân biệt 1 2,x x khác 2 với mọi m . Gọi 1 1 2 2; , ;A x y B x y . Ta có 2 2 22 1 2 1 2 1 22AB x x y y x x 0.25 Áp dụng định lí Viet đối với (1) ta được: 2 22 1 2 1 2 8 2 4 2 m AB x x x x 0.25 2 2 283 9 9 10 10 2 m AB AB m m 0.25 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định. ------------------Hết------------------ Thạch Thành, ngày 8 tháng 4 năm 2010 Người ra đề và làm đáp án: BÙI TRÍ TUẤN
Tài liệu đính kèm: