Dạy học trò qua một bài toán bất đẳng thức

DẠY HỌC TRÒ QUA MỘT BÀI TOÁN THI GIÁO VIÊN GIỎI
 Nguyễn Tiến Minh
 ( Giáo viên THPT Hồng lam – Hà Tĩnh)
Có nhiều cách để từ một bất đẳng thức đơn giản ta đi đến một bất đẳng thức tổng quát hơn từ đó thu được nhiều kết quả đồng thời đi đến những bài toán mở khá thú vị. Đó là nội dung tôi muốn trình bày trong bài viết này thông qua một chuổi các bài toán sau đây.
Trong kỳ thi giáo viên giỏi Hà Tĩnh năm 2011-2012 có bài toán sau đây:
Bài toán 1. Cho 3 số dương có a + b +c =1 .Chứng minh Bất đẳng thức sau đây :
 P = (1)
Ta dễ thấy ( theo bất đẳng thức co-si) 
 Nên không thể suy ra bất đẳng thức (1) Do tính ngược chiều của 2 bất đánh giá ở trên. Đây củng là một sai lầm thường gặp của học sinh khi giải toán về chứng minh bất đẳng thức.
Bài toán trở thành không dễ dàng. Khi chưa tìm được cách giải ngay ta nên đưa bài toán về trường hợp đặc biệt bằng cách giảm số biến của bài toán.
Ta đi đến xét:
Bài toán 2. Cho a và b là 2 số dương thay đổi thoã mãn: . Chứng minh bất đẳng thức: .(2)
Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức 
 Ta có P = 
Dấu “ = ” xẩy ra . 
Ta sẽ tìm cách giải bài toán 1 bằng cách đưa về bài toán 2 đơn giản hơn cho 2 biến dương a và b tuỳ ý bằng cách đặt . Từ đó từ bài toán 1 thay a và b lần lượt bởi ta sẽ thu đươc bất đẳng thức : (*).
Bây giờ ta giải bài toán 1. Ta có 
 ( sử dụng bất đẳng thức Co si cho 3 số dương ) dấu “ = ” a = b = c = 1/3 . Như vậy bất đẳng thức (2) là đúng.
Bài toán 1 có thể giải bằng trực tiếp bằng phương pháp dồn biến trực tiếp.Song con đường đi từ bài toán 1 sẽ tự nhiên hơn. Từ kết quả của 2 bài toán trên ta hy vọng rằng bài toán tổng quát sẽ đúng. Ta đi đến giải bài toán tổng quát sau với n biến dương. Tức là ta phải giải bài toán sau:
Bài toán 3.
“ Cho n số dương Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau ”
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n : (3)
Thật vậy với n = 2 do kết quả bài toán 1 nên bất đẳng thức (3) đúng.
Giả sử ( 3 ) đúng với n = k.: T sẽ chứng minh bất đẳng thức ( 3 ) đúng cho n+1 số dương mà . Thật vậy ta có . Nên theo giả thiết quy nạp ta có:
 (** ) Khi đó ta có:
( ta gọi x = ( theo giả thiết quy nạp ( ** ) và theo bất đẳng thức Co si )
= 
= Tức là bất đẳng thức (3 ) đúng với n +1. Từ đó theo nguyên lý quy nạp ( 3 ) đúng với .
Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi Như vậy giá trị lớn nhất của P là Bài toán 3 đã được giải quyết.
Bây giờ với n số dương tuỳ ý ta đặt .
Từ bài toán 3 ta thay lần lượt bởi ta thu được bất đẳng thức tổng quát ở bài toán 4 sau. Đây là một bất đẳng thức rất đẹp mà con đường đi đến lại là bất đẳng thức đơn giản đó là bất đẳng thức ( 1 )
Bài toán 4.
 Cho n số thực dương ( thoã mãn: . ta có bất đẳng thức sau đây:
Con đường tổng quát bài toán (1) chưa phải là kết thúc . Bây giờ ta mở rộng trên tập hợp các số mũ nguyên dương của các biến trong bài toán . Để dùng phép quy nạp có thể áp dụng được hay không theo kiểu ở trên ta phải lần lượt xét:
Bài toán 5. Hãy tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) Với a, b là 2 số dương thoã mãn . a +b = 1
b) Với a, b,c là 3 số dương thoã mãn a +b +c = 1
Để bài viết không quá dài trường hợp a) của bài toán xin dành cho bạn đọc tự giải. bằng cách tương tự như giải bài toán 1. 
 Ở đó ta sẽ thu được kết quả là : max = 
Điều nhận thấy ở bài toán 5a) là mặc dù vai trò a,b trong bài toán là bình đẳng nhưng dấu “ = “ ở kết luận của bất đẳng thức thu được lại là các cặp ( a; b ) đối xứng mà không xẩy ra khi 2 biến bằng nhau do đó để giải bài toán 5b) khó lòng đưa về trường hợp 2 biến . Sau đây Tôi sẽ đưa ra một lời giải cho bài toán 5b).
Do a +b + c =1 nên trong 3 số a; b; c luôn có :hoặc là có 2 số không nhỏ hơn 1/3 và một số không lớn hơn 1/3 hoặc là có 2 số không lớn hơn 1/3 và một số không nhỏ hơn 1/3 .tức là ta luôn có:
 (**) Dấu “ = “ (a; b ; c ) = ( 1/3; 1/6; 1/2 ) và các hoán vị của nó.
Từ hằng đẳng thức quen thuộc: 
 3abc + = 3abc +1 - 3 (ab+bc+ac) ( do (**) ) 
 Theo bất đẳng thức (**) ta có Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi (a; b ; c ) = ( 1/3; 1/6; 1/2 ) và các hoán vị của nó. Tóm lại ta đã giải quyết xong 2 trường hợp của bài toán 5.
Bài toán mở 6. Gọi với n và là số tự nhiên ; Trong đó: Thì giá trị lớn nhất của bằng bao nhiêu ? 
Rõ ràng bài toán chỉ mới giải quyết được khi ( k; n ) = ( 2; n ) ; ( 2;3 ) và ( 3;3 )
 Theo dõi kết quả của các bài toán 5a) và 5b) ta thấy rằng bài toán tổng quát 6 không thể giải quyết được bằng con đường quy nạp như ở chuổi các bài toán đi từ bài toán 2 đến bài toán 5. Chính vì vậy bài toán 6 (và bài toán 7) sau đây vẫn là câu hỏi chưa có câu trả lời.
Bài toán mở 7. n .là số tự nhiên ( n lớn hơn hoặc bằng 2 ) và r là một số thực tuỳ ý . Với n số dương thay đổi thoã mãn:
 Gọi Thì giá trị nhỏ nhất của biểu thức là bao nhiêu ?. 
Bài toán 6 và bài toán 7 là 2 bài toán mở mà chính tác giả bài viết này rất mong bạn đọc quan tâm và trao đổi.
Cuối cùng mời các bạn giải các bài tập sau như là những kết quả vận dụng thú vị thu nhận và rút ra được ở bài viết này. Nếu không biết nguồn gốc các chuỗi bất đẳng thức trên thì việc tìm ra lời giải của nó hoàn toàn không phải dễ dàng
Bài tập 1. Với 2 số dương x và y chứng minh : 
Bài tập 2. Với 3 số dương x, y, z Chứng minh : 
Bài tập 3. Cho 3 số dương x; y; z thoã mãn : . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau 
Bài tập 4. tìm tất cả các nghiệm dương của phương trình sau: 
 ( Nguyễn Tiến Minh Hồng Lĩnh mùa giáp hạt 2011 )