Dạng toán: Chứng minh bất đẳng thức Mũ_ Logarith

Chuyên đề MŨ_LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang1 
Dạng toán: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MŨ_ LOGARITH 
Bài tập 1: Chứng minh rằng: 
 ( )
2
1) 1 0
2
x xe x x³ + + " ³ 
2) Hàm số ( )2( ) 5 1xy f x x x= = + - đồng biến trên R. 
Bài giải: 
1) Xét hàm số 
2
( ) 1
2
x xf x e x= - - - với 0x ³ , ta có: 
/ / / / /( ) 1 ; ( ) 1 ( ) 0 0x xf x e x f x e f x x= - - = - Þ = Û = . 
Lập bảng biến thiên suy ra: ( )/ / / / / /( ) (0) 0 ( ) (0) 0 0f x f f x f x³ = Þ ³ = " ³ 
( )( ) (0) 0 0f x f xÞ ³ = " ³ (đ.p.c.m) 
2) TXĐ: D R= . 
Ta có: 
( ) ( ) ( )/ / 2 22 21( ) 5 ln5 1 5 1 5 1 ln51 1
x x xxy f x x x x x
x x
æ ö æ ö
= = + - + - = + - -ç ÷ ç ÷
+ +è ø è ø
. 
Ta có: ( )
2 2
/
2 2
1 0
( ) 0 1 1
ln 5 1 ln 5 0
1 1
x x x x
f x x R
x x
ì + - > - ³
ï Þ > " Îí
> > Þ - >ï
+ +î
Vậy hàm số ( )y f x= đồng biến trên R (đ.p.c.m) 
Bài tập 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
( ) ( )
( ) ( )
log log log 31) ln ln 2 ln , 1 2) 3 , 1
2
2 1 1
3) ln , 0 4) 2 2 0
2 2 2
b c ac a b
b a
a b
a b
a b
a b a b a b c abc a b
x y y
x y a b
x x y
+
+ £ " > + + ³ " >
+æ ö æ ö æ ö> " > + £ + " ³ >ç ÷ ç ÷ ç ÷+è ø è ø è ø
Bài giải: 
1) Ta có: ( )
2
ln ln 2 ln ln 2 ln 2 ln 2 ln
2 2
a b a b
a b a b ab
+ +æ ö+ £ + = £ =ç ÷è ø
Dấu “=” xãy ra a bÛ = . 
2) Ta có: log log log log log log log log2 . 2b b b a b a b ac a c b a b a ba c a c c c c c c= Þ + = + ³ ³ 
Tương tự: log log 2b ac ca b a+ ³ , log log 2c aa bb c b+ ³ 
Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta có: 
log log log 33b c ac a ba b c a b c abc+ + ³ + + ³ 
Dấu “=” xãy ra a b cÛ = = . 
3) Đặt ( )1 1x yt tx x y y x t
x
+
= > Þ = + Û = - 
www.VNMATH.com
Chuyên đề MŨ_LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang2 
Do đó: 
( )
( )
2 12 1
2
2 2 1 1
x ty t
x y x x t t
- -
= =
+ + - +
Bài toán trở thành chứng minh: ( )1ln 2 1
1
t
t t
t
-
> " >
+
Xét hàm số ( )1( ) ln 2 1
1
t
f t t t
t
-
= - " ³
+
Ta có: 
( )
( )
( )
( ) ( )
2
/
2 2
11 4
( ) 0 1 ( ) (1) 0 1
1 1
t
f t t f t f t
t t t t
-
= - = ³ " ³ Þ ³ = " ³
+ +
hay ( )1ln 2 1
1
t
t t
t
-
> " >
+
 (đ.p.c.m) 
4) Ta có BĐT cần chứng minh tương đương với 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
2 2 4 1 4 1 ln 4 1 ln 4 1
2 2
ln 4 1 ln 4 1
 (1)
b a
b aa b a b a b
a b
a b
b a
a b
æ ö æ ö+ £ + Û + £ + Û + £ +ç ÷ ç ÷è ø è ø
+ +
Û £
Xét hàm số 
( ) ( )ln 4 1( ) 0
t
f t t
t
+
= > . 
Ta có: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
/
2
4 ln 4 1 4 1 ln 4 1
( ) 0 0
4 1
t t t t
t
f t t
t
+ - + +
= 
+
nên hàm số ( )f t nghịch biến trên ( )0;+¥ . 
Vậy: 
( ) ( )ln 4 1 ln 4 1
0 ( ) ( )
a b
a b f a f b
a b
+ +
³ > Û £ Û £ (đ.p.c.m) 
Bài tập 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
b
1
1
1) ln 1 1 ln 0 2) ln 1 0
1
3) , , 0, 4) 2 3 2 3 0
1
5) 1
2
x b
y xx x y y
x
x
x
x x x x x x
x x
x a a
x a b a b x y
x b b
x
x x
+
+
+ + 
+
+æ ö æ ö> " > ¹ + >ç ÷ ç ÷+è ø è ø
+æ ö³ " >ç ÷è ø
Bài giải: 
1) Xét hàm số ( ) ( )2 1( ) ln 1 1 ln 0f x x x xx= + + - - " > 
Ta có: ( )
2
/
2 2
1
( ) 0 0 ( )
1
x x
f x x f x
x x
+ -
= > " > Þ
+
 là hàm tăng trên ( )0;+¥ . 
www.VNMATH.com
Chuyên đề MŨ_LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang3 
Mặt khác:
21 1 1
lim ln 0 ( ) 0 0.
x
x
f x x
x x®+¥
æ ö+ +
- = Þ ç ÷ç ÷è ø
2) Xét hai hàm số ( )( ) ln 1f x x x= + - và ( )( ) ln 1
1
x
g x x
x
= + -
+
 với 0x > . 
3) Xét hàm số ( )( ) ln ( ) ln
x b
x a x a
f x f x x b
x b x b
+
+ +æ ö æ ö= Þ = +ç ÷ ç ÷+ +è ø è ø
/
/( ) ln ( ) ln ( )
( )
f x x a b a x a b a
f x f x
f x x b x a x b x a
é ù+ - + -æ ö æ öÞ = + Þ = +ç ÷ ç ÷ê ú+ + + +è ø è øë û
Đặt 
( )
( ) ( )
2
/
2( ) ln ( ) 0
b ax a b a
g x g x
x b x a x a x b
-+ -æ ö= + Þ = - <ç ÷+ +è ø + +
, suy ra ( )g x nghịch biến, 
mà lim ( ) 0.
x
g x
®+¥
= 
( ) ( )/( ) 0 0 ( ) 0 0g x x f x xÞ > " > Þ > " > suy ra ( )f x đồng biến trên [ )0;+¥ 
( )( ) (0) 0
b
a
f x f x
b
æ öÞ > = " >ç ÷è ø
 (đ.p.c.m) 
4) Ta có: ( ) ( ) 3 32 3 2 3 2 1 2 1
2 2
y xx y
y xx x y y xy xy
é ù é ùæ ö æ ö+ < + Û + < +ê ú ê úç ÷ ç ÷è ø è øê ú ê úë û ë û
( ) ( )
1 1
3 3 3 3 1 1
1 1 1 1 ln 1 ln 1
2 2 2 2
y xx y x yx y
x ya a
x y
é ù é ù é ù é ùæ ö æ ö æ ö æ öÛ + < + Û + < + Û + < +ê ú ê ú ê ú ê úç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø è øê ú ê ú ê ú ê úë û ë û ë û ë û
 (1) 
với 3
2
a = . 
Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ 2
ln 1 1 ln 11
( ) ln 1 ( ) 0 0
t t t t
t
a a a a
f t a f t t
t t
+ - + +
= + Þ = 
Vậy ( )f t nghịch biến trên ( )0;+¥ mà 0 ( ) ( )x y f x f y> > Þ < vậy (1) đúng nên BĐT 
được chứng minh. 
5) Ta có 
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1
ln 1 ln 0 ln 1 ln 1 1 ln2 0
2 2
x
x x xx x x x x x x x x
+
+ +æ ö³ Û - + > Û - + + + + >ç ÷è ø
Khảo sát hàm số ( ) ( ) ( ) ( )( ) ln 1 ln 1 1 ln2 1f x x x x x x x= - + + + + " ³ ta có điều phải chứng 
minh. 
Bài tập 4: Chứng minh với , , 0a b c > ta có: ( ) ( )
1
3. .
a b ca b ca b c abc
+ +³ 
Bài giải: 
Vì hàm số lgy x= đồng biến trên ( )0;+¥ . Ta lấy logarith với cơ số 10 hai vế của BĐT trên 
ta được BĐT tương đương cần được chứng minh: 
( ) ( ) ( )3 lg lg lg lg lg lga a b b c c a b c a b c+ + ³ + + + + . 
www.VNMATH.com
Chuyên đề MŨ_LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang4 
Ta có: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
lg lg 0 lg lg lg lg (1)
lg lg 0 lg lg lg lg (2)
lg lg 0 lg lg lg lg (3)
lg lg lg lg lg lg (4)
a b a b a a b b a b b a
b c b c b b c c b c c b
c a c a c c a a c a a c
a a b b c c a a b b c c
- - ³ Û + ³ +
- - ³ Û + ³ +
- - ³ Û + ³ +
+ + = + +
Cộng (1), (2), (3) và (4) vế theo vế ta được đ.p.c.m. 
Bài tập 5: 
a) Chứng minh với , 1a b > thì với mọi 0c ³ ta có log loga a cb b+³ và dấu đẳng thức xãy ra 
khi 0.c = 
b) Chứng minh rằng với 1b a³ > thì với mọi 0c ³ ta có ( )log loga a cb b c+³ + và dấu đẳng 
thức xãy ra khi 0c = hoặc .a b= 
c) Không dùng bảng số và máy tính, chứng tỏ rằng 3 2
3
log 29 2 log 7.
2
< + 
d) Tìm x thỏa mãn phương trình ( ) ( )2 22 22 4 4 3 6 5log 3 6 5 log 4 8 6x x x xx x x x- + - +- + = - + 
Bài giải: 
a) Vì , 1a b > và 0c ³ nên ( )log logb ba c a+ ³ . Dấu “=” xãy ra 0.cÛ = 
Do đó: 
( )
1 1
log logb ba c a
£
+
 hay log loga a cb b+³ (đ.p.c.m) 
b) Ta có: ( ) ( )log log log 1 log 1 log loga a c a a c a a c
b b c
b b c b b c
a a c+ + +
+³ + Û - ³ + - Û ³
+
Vì 1, 0b a c³ > ³ suy ra 1b c
a c
+ ³
+
 và b b c
a a c
+³
+
, do đó: 
 log log log ( theo c©u a )a a a c
b b c b c
a a c a c+
+ +³ ³
+ +
Rõ ràng dấu đẳng thức xãy ra khi chỉ khi 0c = hoặc .a b= 
c) Ta có 
3 2 3 2 3 2 9 8
3 3 1 1
log 29 2 log 7 log 29 log 28 log 29 log 28 log 29 log 28
2 2 2 3
< + Û < Û < Û < 
Áp dụng BĐT ở câu b) với 8, 28, 1a b c= = = ta suy ra đ.p.c.m. 
d) Ta có: 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 22
2 2
2 4 4 3 6 5
22 2
2 4 4 2 4 4 1
2 2
2
2
 log 3 6 5 log 4 8 6
log 3 6 5 log 3 6 5 1
2 4 4 3 6 5
 Theo kÕt qu¶ c©u b)
1 0
1 0 1
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x
x x
- + - +
- + - + + +
- + = - +
é ùÛ - + = - + + +ë û
é - + = - +
Û ê
+ =êë
Û + = Û =
www.VNMATH.com
Chuyên đề MŨ_LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang5 
Bài tập 6: Chứng minh với , , 1a b c > thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( )
3
2a b b c c a a b c+ + + = + + : 
3
log log log
2a b b c c a
a b c+ + ++ + < 
Bài giải: 
Ta có, theo bài tập 5, ta có: 
 ( ) ( ) ( )log log log log (1)a a c a b a b ca b a b c a a c+ + + ++ > + + Þ < + 
Tương tự, ta có: ( )log log (2)b c a b cb a b+ + +< + 
 ( )log log (3)c a a b cc b c+ + +< + 
Cộng vế theo vế các BĐT (1), (2) và (3), kết hợp với giả thiết, ta suy ra điều phải chứng 
minh. 
Bài tập 7: Chứng minh với mọi ( )0;1x" Î ta có: 
1
. 1
2
nx x
ne
- < 
Bài giải: 
BĐT cần chứng minh ( ) 2 12 1 nn x x
e
Û - < . Ta có: 
Theo BĐT Cauchy: 
( ) ( ) ( )
2 1 2 1
2
2
2 2 2 2
2 1 2 2 . . ...
2 1 2 1
n n
n
n
n nx nx n
n x x n nx x x x
n n
+ +é ù- + æ ö- = - £ =ê ú ç ÷+ +è øë û
 
Ta cần chứng minh: ( ) ( )
2 1
2 1
 hay 2 1 ln2 ln 2 1 1
2 1
n
n
n n n
n e
+
æ ö é ù< + - + < -ç ÷ ë û+è ø
hay ( ) 1ln 2 1 ln2
2 1
n n
n
+ - >
+
. 
Xét hàm số ( )( ) ln , 2 2 1f x x n x n= £ £ + có / 1( )f x
x
= 
Theo định lí La-gơ-răng thì ( )2 ;2 1c n n$ Î + để: ( )( )
ln 2 1 ln2 1
2 1 2
n n
n n c
+ -
=
+ -
mà 2 1c n< + nên 1 1
2 1c n
>
+
 suy ra đ.p.c.m 
Bài tập 8: Chứng minh với 0, 1x a> > ta có: 
( ) ( )2ln ln
1 ln ...
2! !
n
x x a x aa x a
n
> + + + + 
Bài giải: 
Ta có: lnx x aa e= và đặt ln 0t x a= > . 
BĐT cần chứng minh trở thành: Với 0t > , ta có:
2
1 ...
2! !
n
t t te t
n
> + + + + 
www.VNMATH.com
Chuyên đề MŨ_LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang6 
Chứng minh bằng quy nạp ( )
2
( ) 1 ... 0 (*)
2! !
n
t
n
t t
f t e t t
n
= - - - - - " > 
Với ( )/1 11: ( ) 1 ( ) 1 0 0t tn f t e t f t e t= = - - Þ = - > " > 
Suy ra 1( )f t đồng biến trên [ ) 1 10; ( ) (0) 0f t f+¥ Þ > = . BĐT (*) đúng với 1.n = 
Giả sử (*) đúng đến *n k N= Î , tức là ( )( ) 0 0kf t t> " > . 
Ta cần chứng minh (*) đúng đến *1n k N= + Î , tức là ( )1( ) 0 0kf t t+ > " > . 
Thật vậy, ta có:
( )
2 1
1( ) 1 ...2! ! 1 !
k k
t
k
t t t
f t e t
k k
+
+ = - - - - - - +
( )
2
/
1( ) 1 ... ( ) 0 02! !
k
t
k k
t t
f t e t f t t
k+
Þ = - - - - - = > " > ( theo giả thiết quy nạp ) 
Vậy 1( )kf t+ đồng biến trên [ ) 1 10; ( ) (0) 0k kf t f+ ++¥ Þ > = (đ.p.c.m) 
Bài tập 9: Chứng minh rằng với 0 a b< < ta có: 
ln
b a b b a
b a a
- -
< < 
Bài giải: 
BĐT cần chứng minh tương đương với 1 ln ln 1b a
b b a a
-
< <
-
 (*) 
Xét hàm số [ ]( ) ln , ;f x x x a b= Î . Rõ ràng ( )f x là hàm số liên tục trên [ ];a b và ta có 
( )( )/ 1( ) ;f x x a b
x
= " Î , vậy tồn tại ( );c a bÎ để ln ln 1b a
b a c
-
=
-
. 
Mà 0 a c b< < < nên 1 1 1
b c a
< < . Từ đây, BĐT (*) được chứng minh. 
www.VNMATH.com