Đại số lớp 12 - Chuyên đề Khảo sát hàm số

GV: NGUYỄN QUANG ÁNH
NĂM HỌC: 2010-2011
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ CHUNG
1. Tập xác đinh: Tìm TXĐ của hàm số.
2. Sự biến thiên:
* Xét chiều biến thiên của hàm số:
- Tính đạo hàm y’.
- Tìm điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định. 
- Xét dấu đạo hàm y’và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
* Tìm cực trị.
* Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận(nếu có).
* Lập bảng biến thiên.(Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).
3. Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các yêu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
I. Hàm số: y=
1. Các bước khảo sát hàm số:
* TXĐ
* Sự biến thiên
 + Tính y'.
 + Cực trị.
 + Tiệm cận.
	 + Bảng biến thiên.
* Đồ thị 
2. Một vài ví dụ: 
* Ví dụ 1: (Đề TN Năm 2007 lần 2) 
Cho hàm số y = , gọi đồ thị của hàm số là (C) .
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
GIẢI:
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
	1) Tập xác định: D=R\{-2}.
	2) Sự biến thiên:
	- Chiều biến thiên: y’=>0 "x Î D.
	Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; -2) và (-2; + ¥).
	- Cực trị: Không có cực trị.
	- Tiệm cận: ; 
Þ Tiệm cận ngang là y=1;
; 
Þ Tiệm cận đứng là x=-2.
- Bảng biến thiên :
x
- ¥ -2 +¥ 
y'
y
 +¥ 1
1 -¥ 
3) Đồ thị : Đồ thị cắt Ox tại (1 ;0) , cắt Oy tại (0 ; -). Đồ thị nhận I(-2 ;1) giao của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Nhắc lại kiến thức về phương trình tiếp tuyến của đồ thị ở lớp 11:
- Đạo hàm của h.số y=f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T của (C) tại điểm M0(x0;f(x0)).
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y=f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là y-y0=f’(x0)(x-x0), trong đó y0=f(x0).
- Giao điểm của đồ thị và trục tung tại điểm 
M(0 ; -).
- Hệ số góc tại M là f’(0)=
y0=
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
tại M(0 ; -) là : y-(-)=(x-0) Þ y= x -
* Ví dụ 2: (Đề thi TN năm 2005)
Cho hàm số y= có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C).
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(-1; 3).
GIẢI:
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
	1. Tập xác định: D=R\{-1}.
	2. Sự biến thiên.
	- Chiều biến thiên: y’=>0 " x Î D.
	Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; -1) và (-1; +¥).
	- Cực trị: Không có.
	- Tiệm cận: ; 
	Þ Tiệm cận ngang là y=2.
	; 
	Þ Tiệm cận đứng của đồ thị là x=-1.
	- Bảng biến thiên:
x
- ¥ -1 +¥ 
y'
y
 +¥ 2
2 -¥ 
	3. Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt Ox tại (- ; 0) và cắt Oy tại (0 ; 1), nhận điểm 
I(-1; 2) là giao của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C).
Diện tích hình phẳng S=
= 1-ln2 (đv dt).
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(-1 ; 3).
	Đường thẳng d đi qua điểm A(-1; 3) với hệ số góc k có phương trình là: 
y = k(x + 1) + 3.
	Để d tiếp xúc với (C) thì hệ phương trình sau phải có nghiệm: Û Û 
Þ y =(x + 1) + 3 Þ y = x + .
Ví dụ 3: (Đề thi TN năm 2009). Cho hàm số y=
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 5.
GIẢI:
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
* TXĐ: D=R\{2}
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y’== < 0 "x Î D.
Hàm số nghịch biến trên (-¥; 2) và (-2; +¥).
- Cực trị: hàm số không có cực trị.
- Tiệm cận: ; 
Tiệm cận ngang là y=2.
 nên x=2 là tiệm cận đứng.
- Bảng biến thiên:
x
-¥ 2 +¥ 
y'
 - -
y
2 +¥ 
 -¥ 2
* Đồ thị:
- Đồ thị cắt trục tung tại (0;-)
- Đồ thị cắt trục hoành tại(-;0).
- Đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận (2;2) làm tâm đối xứng.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0; f(x0)) là: y-y0=f’(x0)(x-x0)
Ta có: f’(x0)=-5 Û Û 1=(x0-2)2 Û x02-4x0+3=0 Û 
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua hai điểm M1(1;-3) và M2(3;7).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M1(1;-3): y-(-3)=-5(x-1) Û y=-5x+2
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M2(3;7): y-7=-5(x-3) Û y=-5x+8
3. Bài tập:
3.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
a. y = 	b. y = 
c. y = 	d. y = 
e. y = 	f. y = 
g. 	h. 
i. y = 	j. y = 
k. 	m. 
3.2 (Đề thi TN GDTX năm 2007)
Cho hàm số y=, gọi đồ thị của hàm số là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M(1;− 7).
3.3 (Đề thi ĐH Khối D năm 2002) Cho hàm số y= (1) 
(m là tham số)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = -1.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đừờng cong (C) và hai trục tọa độ.
c. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x .
3.4 (Đề thi đại học năm 2011) Cho hàm số 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn nhất.
3.5 (Đề thi TN THPT năm 2011) Cho hàm số.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2)Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng .
II. Hàm số: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a0):
1. Lý thuyết :
Tập xác định: D = R.
Sự biến thiên:
F Chiều biến thiên:
- y’ = 3ax2 + 2bx + c
 + Xét dấu y’ Þ chiều biến thiên của đồ thị.
 F Cực trị: Nếu có
 F Các giới hạn tại vô cực:
+ a > 0: ; 
+ a < 0: ; 
F Bảng biến thiên:
 a>0 a<0
x -¥ x1 x2 +¥ x -¥ x1 x2 +¥
y’ + 0 - 0 + y’ - 0 + 0 -
	 ycđ +¥ +¥ ycđ
y -¥ yct y yct -¥ 
F Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thi:
y’’=0 Þ x=? xét y’’> 0 Þ đồ thị lõm, y’’<0 Þ đồ thị lồi.
Các dạng đồ thị:
a > 0
a < 0
y
y
y
y
y
y
O
O
O
O
O
O
x
x
y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
y’ = 0 có nghiệm kép
y’ = 0 có vô nghiệm
x
x
Đồ thị: Có tâm đối xứng I(x0;f(x0)) với x0 là nghiệm của
y’’ = 0 (gọi là điểm uốn của đồ thị).
2. Một số ví dụ:
2.1 (Đề TN Bổ túc năm 2008) Cho hàm số y = x3 − 3x2 +1.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x=3.
Giải:
a. Khảo sát đồ thị:
* TXĐ: D=R.
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
y'=3x2-6x=3x(x-2); y’=0 Þ 
Trên các khoảng (-¥; 0) và (2; +¥) y’>0 nên hàm số đồng biến, trên khoảng (0;2) y’<0 nên hàm số nghịch biến.
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=0; yCĐ=1
	 Hàm số đạt cực tiều tại x=2; yCT=-3
- Các giới hạn vô cực:
=-¥ 
=+¥ 
- Bảng biến thiên:
	x -¥ 0 2 +¥
	y’ + 0 - 0 +
	 1 +¥
	y -¥ -3 
- Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thi:
y’’ = 6x - 6, y’’ = 0 Û x = 1.
y’’> 0 khi x > 1, y’’< 0 khi x < 1.
Vậy đồ thị hàm số lõm trên khoảng (1; + ∞) , lồi trên khoảng (−∞; 1) và có
một điểm uốn I(1; - 1).
* Đồ thị: 
- Nhận I(1:-1) làm tâm đối xứng
b. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x=3.
y'(3)=9; y(3)=1; 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C đi qua điểm M(3;1) là:
y-yM=f’(xM)(x-xM) Û y-1=9(x-3) Û y=9x-26.
2.2 (Đề thi tốt nghiệp bổ túc năm 2006)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 + 3x2.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng x= −2, x = −1.
Giải:
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
* TXĐ: D=R.
* Chiều biến thiên:
- Sự biến thiên: y’=3x2+6x=3x(x+2); y’=0 Û 
+ Trên các khoảng (-¥; -2) và (0;+¥) y’>0 nên hàm số đồng biến, trên khoảng (-2;0) y’<0 nên hàm số nghịch biến.
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=-2, yCĐ=4;
	 Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, yCT=0;
- Các giới hạn vô cực: 
=-¥; =+¥;
- Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị:
y’’=6x+6=6(x+1); y’’=0 Û x=-1
 x -¥ -1 +¥ 
 y’’ - 2 +
Đồ thị lồi Điểm lõm
	uốn
- Bảng biến thiên:
x -¥ -2 0 +¥
	y’ + 0 - 0 +
	 4 +¥
	y -¥ 0 
* Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận điểm U(-1;2) làm tâm đối xứng. Đi qua các điểm (-2;0); (0;0);(-3;0).
b. Tính diện tích hình giới hạn đồ thị, trục hoành và x=-2;x=-1.
	Vì x3+3x2>0 "xÎ[-2;-1] nên diện tích hình phẳng cần tìm là:
= = ()-()=đvdt.
2.3 (Đề thi tốt nghiệp THPT phân ban năm 2006)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = −x3 + 3x2.
b. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình −x3 + 3x2−m = 0.
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
GIẢI:
a. Khảo sát và vẽ đồ thị.
* TXĐ: D=R.
* Chiều biến thiên:
- Sự biến thiên: y’=-3x2+6x=-3x(x-2); y’=0 Û 
2.4 (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2004) Cho hàm số y=x3-x2 có đồ thị là (C). 
a. Khảo sát hàm số. 
b. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3;0).
c. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y=0, x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox.
2.5 (Đề thi tốt nghiệp THPT phân ban năm 2008) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 −1.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2x3 + 3x2 −1= m.
2.6 (Đề thi tốt nghiệp THPT không phân ban lần 2 năm 2007)
Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − 2 , gọi đồ thị của hàm số là (C) .
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn của (C).
(Đề thi tốt nghiệp THPT 2010). Cho hàm số y=
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 
b. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 – 6x2 + m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt. 
(Đề thi tốt nghiệp bổ túc năm 2003-2004)
Cho hàm số y=x3-3mx2+4m3 có đồ thị (C) , m là tham số. 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C1 ) của hàm số khi m = 1. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) tại điểm có hoành độ x = 1. 
3. Xác định m để các điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (Cm) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. 
(Đề thi tốt nghiệp THPT không phân ban 2006)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 − 6x2 + 9x .
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C).
3. Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng y = x + m2 −m đi qua trung điểm của
đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
(Đề thi tốt nghiệp bổ túc lần 2 năm 2007)
Cho hàm số y = x3 −3x+2, gọi đồ thị của hàm số là (C) .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;4) .
(Đề thi tốt nghiệp bổ túc năm 2009)
Cho hàm số y=x3-3x2+4
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2. Tìm toạ độ các giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y=4.
III. Hàm số bậc bốn y=ax4 + bx2 + c:
1. Sơ đồ khảo sát hàm số:
- TXĐ: D = R.
- Sự biến thiên:
	+ Chiều biến thiên: 
	Tính y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(ax2 + b).
	Xét dấu y’ Þ hàm số đồng biến nghịch biến.
	+ Cực trị: 
Hàm số luôn có cực trị.
	Hàm số có 3 cực trị Û y’=0 có 3 nghiệm phân biệt Û ab < 0 
 	Hàm số có 1 cực trị Û y’=o có 1 nghiệm phân biệt Û ab ³ 0
	Điểm uốn: 
	Hàm số có 2 điểm uốn Û y’’=o có 2 nghiệm phân biệt Û ab<0 
Hàm số không có điểm uốn Û y’’=o vô nghiệm hoặc nghiệm kép Ûab³0
	+ Giới hạn vô cực: a > 0 Þ = + ¥, = + ¥
	 a < 0 Þ = - ¥, = - ¥
- Bảng biến thiên:
a > 0 
x
- ¥ x1 x2 x3 + ¥ 
y'
 - 0 + 0 - 0 +
y
 + ¥ yCĐ + ¥
 yCT yCT 
a < 0 
x
- ¥ x1 x2 x3 + ¥ 
y'
 - 0 + 0 - 0 +
y
 yCĐ yCĐ 
- ¥ yCT - ¥
- Đồ thị: Dạng của đồ thị
a>0
a<0
Phương trình 
y' = 0
có ba nghiệm
phân biệt
 y
 O x
 y
 O x
Phương trình 
y' = 0
có một
nghiệm
 y
 O x 
 y
 O x
2. Một số ví dụ:
2.1.Ví dụ 1: (Đề TN THPT 2007)
Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1, gọi đồ thị của hàm số là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
Giải:
a. - TXĐ: D=R.
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1) = 4x(x+1)(x-1)
y' = 0 Û 4x(x+1)(x-1) = 0 Û 
Trên các khoảng (-¥; -1) và (0; 1), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.
Trên các khoảng (-1;0) và (1; + ¥), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.
+ Cực trị: Hàm số có hai cực tiểu x = - 1 và y(-1) = 0, x = 1 và y(1) = 0.
Hàm số có một cực đại x = 0 và y(0) = 1.
 Điểm uốn: y’’ = 12x2 – 4 = 4(3x2-1), y’’ = 0 Û x = 
+ Giới hạn vô cực:
 = = + ¥, = + ¥
- Bảng biến thiên:
x
-¥ -1 0 1 +¥
y'
 - 0 + 0 - 0 +
y
+¥ 1 +¥
 0 -0
- Đồ thị: Nhận trục tung làm trục đối xứng.
Cắt Ox tại (-1;0) và (1;0), cắt Oy tại (0;1)
Các điểm khác: (-2; 9) và (2; 9).
b. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(x0; y0) có dạng: 
y-y0 = f’(x0)(x-x0)
Ta có điểm cực đại (0;1) nên f’(x0) = f’(0) = 0.
Þ y – 1 = 0(x-0) Þ y = 1.
2.2. Ví dụ 2: (Đề TN THPT 2012)
Cho hàm số 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0. biết 
Giải:
a. - TXĐ :D = R; 
- Sự biến thiên :
+ Chiều biến thiên : y’ = x3 – 4x; y’ = 0 Û x = 0 hay x = ±2
	y (0) = 0; y (±2) = -4; y = 0 Û x = 0 hay x = ±
Trên các khoảng (-¥; -2) và (0; 2) y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.
Trên các khoảng (-2; 0) và (2; + ¥) y’ > 0 nên hàm số đồng biến.
+ Điểm uốn : y” = 3x2 – 4; y” = 0 Û x = ; Điểm uốn là 
+ Giới hạn vô cực : 
 = = + ¥, = + ¥
- Bảng biến thiên :
x
-¥ -2 0 2 +¥
y'
 - 0 + 0 - 0 +
y
+¥ 0 +¥
 -4 -4
2
-2
y
x
-4
0
2
-2
- Đồ thị :
b. 
Hệ số góc của các tiếp tuyến là y’(-1) = 3và y’(1) = -3, phương trình tiếp tuyến là: 
3. Bài Tập:
3.1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau.
 1) y = x4 – 2x2 + 1 ; 2) y = - x4 – 2x2 ; 3) y = x4 – 3x2 + 2
 4) y = x4 – 4x2 + 3 ; 5) y = x4 – 5x2 + 4 ; 6) y = x4 – 4x2 
 7) y = -x4 + 2 ; 8) y = -x4 + 3 ; 9) y = x4 – 2x2 
 10) y = x4 – 1.
3.2 Cho hàm số: y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10 (1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.
3.3 Cho hàm số: y = x4 - mx2 + m - 1 (1) (m là tham số)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 8.
b. Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.