Củng cố và học tốt môn Toán 12 - Chuyên đề “Phương trình mũ – Lôgarit”

 Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit” 
Biên soạn: ðỗ Cao Long Trang 1/8 
CHUYÊN ðỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN 
Lý thuyết: 
ða số các phương trình mũ cơ bản ñều biến ñổi về dạng 
• ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x= ⇔ = 
• ( ) ( ) logf x aa c f x c= ⇔ = , với 0, 1, 0a a c> ≠ > 
Một số Phương pháp giải các phương trình mũ cơ bản: 
1. Phương pháp ðưa (biến ñổi) về cùng một cơ số 
Dạng 1.1: Biến ñổi về dạng ( ) ( )f x g xa a= 
Lưu ý các công thức .x y x ya a a += ; ( ) ( )y xx y xya a a= = ; 
x
x y
y
a
a
a
−= ; 
1x
x
a
a
− = . 
• Bài tập 1: Giải các phương trình sau: 
a) 
2 7 122 1x x− + = b) 
3
1 1
5 .
5 125
x x
x
−
   =   
   
c) 1 22 .5 0,2.10x x x− −= d) ( )2 2 46 6 1512 .3 66
x x x− − −= 
e) 
1
9 8 lg9
.
4 27 lg 27
x x−
    =   
   
 f) 1 15 10 .2 .5x x x x− − += 
g) 
2 1
25 5 5
x
x
− +
= h) 
5 17
7 332 0,25.128
x x
x x
+ +
− −= 
i) ( )
( )
( )
4 24
2 425 . 0,2 125. 0,04
x
xx
x xx
−−
+ −+ = j) 1 24 .5 5.20x x x+ −= 
k) ( )
1
32 4 . 0,125 4 2x x x = l) 3 2cos 2 1 cos 2 1/24 7.4 4 0x x+ +− − = 
Dạng 1.2: Biến ñổi về dạng ( )f xa c= 
• Bài tập 2: Giải các phương trình sau: 
a) 
4
1 2x 3 25.4 2 16 3
x
x
+
+ −+ − = b) 
( )2 1 12 3.2 7
x x+ −− = 
c) 3 3 1 12 .3 2 .3 192x x x x+ −− = d) 
2
2 3 1 33 9 27 675
x
x x− −− + = 
Dạng 1.3: Biến ñổi về dạng ( ) ( ). .f x f xm a n b= . (m, n là các số thực) 
Sau ñó ñưa về dạng 
( )
( )
( )f xf x
f x
a n a n
m b mb
 = ⇔ = 
 
 (Có Dạng 1.2). 
Nhận dạng: Loại này có 2 cơ số khác nhau. Hãy chuyển các số hạng chứa lũy thừa với cơ số 
bằng nhau về cùng một vế, sau ñó biến ñổi cho số mũ của các lũy thừa ñó bằng nhau và làm 
tiếp như trên. 
• Bài tập 3: Giải các phương trình sau: 
a) 4 3 23 5 3 5x x x x+ + +− = − b) 1 2 4 37.3 5 3 5x x x x+ + + +− = − 
 Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit” 
Biên soạn: ðỗ Cao Long Trang 2/8 
c) 2lg 4 1 lg 4 lg 4 1 lg 42 7 7 3.4x x x x− −− = − d) 2 1 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9
3 4
x x x x+ + ++ = − 
e) 
2 2 2 21 1 22 3 3 2x x x x− − +− = − f) 0,5 3,5 2 19 2 2 3x x x x+ + −− = − 
Dạng 1.4: Biến ñổi về phương trình tích 
• Bài tập : Giải các phương trình sau: 
a) 2 25 3 2.5 2.3x x x x= + + b) 2 2 2.2 8 2 2x xx x ++ = + 
c) 2 2 2 2.6 6 .6 6x x x xx x− + −+ = + d) 38 .2 2 0x xx x−− + − = 
Hướng dẫn: a) ( )( )2 25 3 5 3 5 3x x x x x x− = − + 
2. Phương pháp ñặt ẩn số phụ (ñưa phương trình mũ về phương trình ñại số bậc 
hai, bậc 3 theo ẩn số phụ) 
Dạng 2.1: Biến ñổi về dạng ( ) ( )2. . 0f x f xm a n a p+ + = . (1) 
Phương pháp: 
Trước khi giải cần lưu ý “ñiều kiện xác ñịnh” của (1). 
Bước 1: ðặt ( ) , 0f xt a t= > . Ta có ( )( ) ( )2 22 f x f xt a a= = . 
PT ñã cho trở thành 
2. . 0 (*)
0
m t n t p
t
 + + =

>
. 
Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm 0t > . 
Bước 3: Với t tìm ñược, giải phương trình ( )f xa t= ñể tìm x. 
Bước 4: Kết luận (nghiệm của (1)). 
• Bài tập 4: Giải các phương trình sau: 
a) 2 5 23 3 2x x+ += + b) 
2 21 39 36.3 3 0x x− −− + = 
c) 2 43.2 7.2 20
x x
− = d) 127 13.9 13.3 27 0x x x+− + − = 
e) 
1 3
3
64 2 12 0x x
+
− + = f) 
2 3 3
8 2 12 0
x
x x
+
− + = 
g) ( ) ( ) 105 103 3 84x x−+ = h) 4 8 2 5 23 4.3 28 2log 2x x+ +− + = 
i) ( )2 12 1 23 3 1 6.3 3 xx x x ++ += + − + k) 
Dạng 2.2: Biến ñổi về dạng ( ) ( ). . 0f x f xm a n a p−+ + = hay ( ) ( )
1
. . 0f x
f x
m a n p
a
+ + = (2) 
Phương pháp: 
Trước khi giải cần lưu ý “ñiều kiện xác ñịnh” của (2). 
Bước 1: ðặt ( ) , 0f xt a t= > . Ta có ( ) ( )
1 1f x
f x
a
ta
− = = . 
PT ñã cho trở thành ( )
2. . 0 (*)
0, 0
0
m t p t nn
mt p t
t t
 + + =
+ + = > ⇔ 
>
. 
Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm 0t > . 
Bước 3: Với t tìm ñược, giải phương trình ( )f xa t= ñể tìm x. 
Bước 4: Kết luận (nghiệm của (2)). 
• Bài tập 5: Giải các phương trình sau: 
 Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit” 
Biên soạn: ðỗ Cao Long Trang 3/8 
a) 13 18.3 29x x+ −+ = b) 2 22 2 15x x+ −− = 
c) 1 25 5.0,2 26x x− −+ = d) 
2 2sin cos2 4.2 6x x+ = 
e) ( ) ( )5 24 5 24 10x x+ + − = f) ( ) ( )7 48 7 48 14x x+ + − = 
g) 
2
2 10 9
4 2
x
x−
+
= h) 
2 21 110 10 99x x+ −− = 
i) ( ) ( ) 33 5 16 3 5 2x x x++ + − = j) ( ) ( ) 25 1 6 5 1 2
x x
x+− + + = 
k) ( ) ( ) 35 21 7 5 21 2x x x+− + + = l) ( ) ( )7 4 3 3 2 3 2 0x x− − − + = 
Dạng 2.3: Biến ñổi về dạng ( ) ( ) ( ) ( )2 2. . . . 0f xf x f xm a n a b p b+ + = . (m, n, p là các số thực) (3) 
Phương pháp: 
Trước khi giải cần lưu ý “ñiều kiện xác ñịnh” của (3). 
Bước 1: Chia cả hai vế của (3) cho ( )2 f xb , (hoặc ( )2 f xa ), ta ñược: 
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2 2
.
. . . 0
f x f x f x f x
f x f x f x
a a b b
m n p
b b b
+ + = 
( ) ( )
( )
2
. . 0
f x f x
f x
a a
m n p
b b
 ⇔ + + = 
 
( ) ( )2
0
f x f x
a a
m n p
b b
   ⇔ + + =   
   
. 
Phương trình này có Dạng 2.1, ñã biết cách giải. 
Bước 2: ðặt 
( )
, 0
f x
a
t t
b
 = > 
 
. Ta có 
( ) ( )2 2
2
f x f x
a a
t
b b
    = =         
. 
PT ñã cho trở thành 
2. . 0 (*)
0
m t n t p
t
 + + =

>
. 
Bước 3: Giải (*), tìm nghiệm 0t > . 
Bước 4: Với t tìm ñược, giải phương trình 
( )f x
a
t
b
  = 
 
 ñể tìm x. 
Bước 5: Kết luận (nghiệm của (3)). 
• Bài tập 6: Giải các phương trình sau: 
a) 2 4 2 23 45.6 9.2 0x x x+ ++ − = b) 
1 1 1
4 6 9x x x
− − −
+ = 
c) 
2 2 2
7.4 9.14 2.49 0x x x− + = d) 2 19 6 2x x x++ = 
e) 
2 1 1
10 25 4,25.50x x x+ = f) 
2 2 22 6 9 3 5 2 6 93 4.15 3.5x x x x x x− + + − − ++ = 
3. Phương pháp lôgarit hóa 
Nhận dạng: Phương trình loại này thường có dạng ( ) ( ) ( ). .f x g x h xa b c d= . 
Nói chung, là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau. 
Cách giải: Lấy lôgarit cơ số a (hoặc b, hoặc c) cả hai vế. 
Ta ñược ( ) ( ) ( )( )log . . logf x g x h xa aa b c d= 
 Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit” 
Biên soạn: ðỗ Cao Long Trang 4/8 
( ) ( ) ( )log log log logf x g x h xa a a aa b c d⇔ + + = 
( ) ( ) ( )log log loga a af x g x b h x c d⇔ + + = . 
Biết log ;log ;loga a ab c d là các số thực. Giải phương trình thu ñược theo ẩn x. 
• Bài tập: Giải các phương trình sau: 
a) 
2 12 3x x−= b) 7 55 7
x x
= 
c) 23 .8 6
x
x x+ = d) 
4. Phương pháp sử dụng tính ñồng biến, nghịch biến của hàm số. 
(Phương pháp ñánh giá hai vế). 
• Dạng “sử dụng tính ñơn ñiệu” 
- Thường biến ñổi phương trình ñã cho về dạng ( ) ( )f x g x= , hay ( )f x c= 
Với phương trình ( ) ( )f x g x= , chúng ta thường gặp trường hợp x a= là nghiệm của phương 
trình, còn với mọi x a≠ thì ( )f x b> và ( )g x b< . Nghĩa là mọi x a≠ không phải là nghiệm 
của phương trình ( ) ( )f x g x= . 
Việc chứng minh ( )f x b> và ( )g x b< ta sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm ( )y f x= và hàm 
( )y g x= . 
Ví dụ: Giải phương trình 
a) 
2 2 2 23 2 2x x x x− + = + − b) 
1
4
3
x
x  = + 
 
a) Nhận xét: 
Thông thường ñể ñánh giá các tam thức bậc hai chúng ta thường biến ñổi nó về dạng tổng 
của các bình phương. Ở ñây ta biến ñổi ( ) ( )22 22 2 2 1 1 1 1x xx x x− + = − + + = − + . 
Lời giải: 
Vì ( )21 0x − ≥ nên ( )22 2 2 1 1 1x x x− + = − + ≥ . Suy ra 
2 2 2 13 3 3xx − + ≥ = . (1) 
Còn vế phải ( ) ( )22 22 2 3 2 1 3 1 3xx x x x+ − = − − + = − − ≤ . (2) 
Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình ñã cho ( )
2 2 2
2
2
3 3
1 0 1
2 2 3
x x
x x
x x
− + =
⇔ ⇔ − = ⇔ =
+ − =
Vậy phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất 1x = . 
b) Nhận xét: Hàm số 
1
3
x
y  =  
 
 nghịch biến trên ℝ , còn hàm số 4y x= + ñồng biển trên ℝ . 
Nếu dùng ñồ thị chúng ta co thể nhận thấy hai ñồ thị này chỉ cắt nhau tại nhiều nhất 1 ñiểm nên 
phương trình ñã cho có nhiều nhất 1 nghiệm. 
Lời giải: 
Dễ nhận thấy 1x = − là một nghiệm của phương trình, ta sẽ chứng minh nghiệm này duy 
nhất. 
Với mọi 1x > − ta có : 
1
1 1
3
3 3
x −
   < =   
   
 (1) (do hàm số 
1
3
x
y  =  
 
 nghịch biến trên ℝ ) 
4 1 4 3x + > − + = (2) 
 Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit” 
Biên soạn: ðỗ Cao Long Trang 5/8 
So sánh (1) và (2) ta nhận thấy mọi 1x > − không thỏa mãn phương trình ñã cho. Nghĩa là 
mọi 1x > − không phải là nghiệm của phương trình ñã cho. 
Tương tự ta chứng minh ñược, mọi 1x < − không phải là nghiệm của phương trình ñã cho. 
Vậy, 1x = − là nghiệm duy nhất của phương trình ñã cho. 
• Bài tập: Giải các phương trình sau: 
a) 2
3
2 6 9
4
x
x x  = − + − 
 
 b) 
2cos 23 3x x= + 
c) 
22 12 x x x
x
− = + d) 4 216 2 2x xx −− = + 
•♥ Một số bài toán có cách giải khác 
Bài toán ñưa ñược về dạng ( ) ( )f u f v u v= ⇔ = , trong ñó f là hàm luôn ñồng biến hoặc 
nghịch biến trên tập xác ñịnh của nó. 
• Bài tập: Giải các phương trình sau 
a) ( )
2 212 2 1x x x x− −− = − b) ( )
2 2 214 2 1x x x x+ −− = + 
c) ( )
22 2 114 2 2 1xx x x ++ −+ = + d) ( ) ( )5 3 5 3 4x x x− + − = 
 Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit” 
Biên soạn: ðỗ Cao Long Trang 6/8 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN 
Lý thuyết: 
ða số các phương trình mũ cơ bản ñều biến ñổi về dạng 
• ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
0, 0
log loga a
f x g x
f x g x
f x g x
 > >
= ⇔ 
=
hoÆc 
• ( ) ( )log ca f x c f x a= ⇔ = , với 0, 1a a> ≠ . 
Ngoài ra cần hcọ thuộc và sử dụng ñúng các công thức biến ñổi lôgarit. 
Một số Phương pháp giải các phương trình lôgarit cơ bản: 
1. Phương pháp ðưa (biến ñổi) về cùng một cơ số 
Dạng 1.1: Biến ñổi về dạng ( ) ( )log loga af x g x= 
Lưu ý: Nếu các em học sinh tìm ñiều kiện xác ñịnh của phương trình ( ) ( )log loga af x g x= 
thì cần giải hệ (hoặc nêu ra) 
( )
( )
0
0
f x
g x
 >

>
. 
Còn nếu giải theo phép biến ñổi ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
0, 0
log loga a
f x g x
f x g x
f x g x
 > >
= ⇔ 
=
hoÆc 
 thì 
không cần nêu hệ ñiều kiện xác ñịnh ở trên. 
Khuyến khích: Thường các em dễ mắc lỗi và hiểu không kỹ về phép biên ñổi, do vậy khuyên 
các em nên nêu ra hệ ñiều kiện xác ñịnh của phương trình trước khi giải. Vì có nhiều 
phương trình chứa nhiều lôgarit. 
• Bài tập 1: Giải các phương trình sau 
a) ( )22log 4 7 2x x− + = b) 2 12 22log log log 9x x x+ + = 
c) 3 13 3
log log log 6x x x+ + = d) ( )3 1/3log 2 log 2 1 0x x− + − = 
e) ( ) ( )32 12log 36 log 1 log 6 2log3 log 2
3
x x x− + + = + + + 
f) ( ) ( )1 log lg 2 log 2 1 log 6
2
x x+ + + = g) 3 3
3 3
2log 1 log
7 1
x x
x x
− −
+ =
− −
h) 2log 1 3log 1 log 1 2x x x+ + − = − − 
i) ( ) ( ) ( )23 1 9
3
log 2 54 log 3 2log 4x x x− + + = − 
j) ( ) ( )2log 3 12 19 log 3 4 1x x x+ + − + = k) ( )3 3 3log 5 log 2 log 3 20 0x x− − − − = 
m) 
( ) ( )log 2 19 log 3 20
1
log
x x
x
− − −
= − 
n) ( ) ( ) ( )2 21 log 10 25 log 6 3 2log 5 log 3
2
x x x x x− + + − + = − + 
 Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit” 
Biên soạn: ðỗ Cao Long Trang 7/8 
2. Phương pháp ñặt ẩn số phụ (ñưa phương trình mũ về phương trình ñại số bậc 
hai, bậc 3 theo ẩn số phụ) 
Lưu ý: Ngoài việc ñặt ñiều kiện ñể biểu thức ( )loga f x có nghĩa là ( ) 0f x > , chúng ta cần 
chú ý ñến ñặc ñiểm của phương trình ñang xét (chứa căn bậc hai, chứa ẩn ở mẫu) và phải ñặt 
ñiều kiện cho phương trình có nghĩa. 
Các phép biến ñổi cần chú ý: 2log 2 logna ax n x= với ñiều kiện 0x ≠ . 
• Bài tập 2: Giải các phương trình sau 
a) 4 log 3 logx x− = b) 2 2 12 2
log 3log log 2x x x+ + = 
c) 
2
2 2
2
log log 2
1
log 1
x x
x
− −
=
+
 d) 
( )
( )
log 6 1
2 3log 6 1
x
x
−
=
− −
e) ( ) ( )13 3log 3 1 .log 3 3 6x x+− − = f) 2 41 log 4log 2 4x x+ + − = 
g) 
( )
( ) ( )2
1 log 1 2
2
1 log 11 log 1
x
xx
+ −
+ =
+ −+ −
 h) ( )3 2 3
4
4
log log 9 2 log 1
log
x
x
 
− = + − 
 
i) 2 6 2log log log 3 9x x− = − j) ( ) ( ) 3log 10 .log 0,1 log 3x x x= − 
k) ( )2 24 44log 2log 1 0x x− + + = l) ( ) ( )2 2
1
log 100 log 10 14 logx x
x
+ = + 
m) ( )22 2
2
6
log 7 5 log
7
log
x x
x
x
+ = + −
 + 
 
n) ( )2 22 0,5 8 2 2
2
log 2log 3log 1 2log .log
4 2
x
x x x
 
+ − = 
 
p) ( )29 3 32log log .log 2 1 1x x x= + − 
3. Phương pháp mũ hóa 
• Bài tập 3 : Giải các phương trình sau: 
a) 2 3log log 1x x+ = b) 3 5log log lg15x x+ = 
c) ( ) ( )3 5log 1 log 2 1 2x x+ + + = d) ( )2 5log log 3x x= + 
Gợi ý: a) ðặt 2tx = , ta có 3 3 3log log 2 log 2
tx t= = 
Phương trình ñã cho trở thành 2 3log 2 log 2 1
t t+ = 
( )3 3log 2 1 1 log 2 1t t t⇔ + = ⇔ + = 6
3 3
1 1
log 3
1 log 2 log 6
t⇔ = = =
+
. 
Vậy phương trình a) có nghiệm 6log 32x = . 
 Củng cố và học tốt môn Toán 12. Chuyên ñề “Phương trình mũ – Lôgarit” 
Biên soạn: ðỗ Cao Long Trang 8/8 
4. Phương trình lôgarit nhiều cấp (tầng) 
Phương pháp: Hạ từng cấp một từ ngoài vào trong theo tính chất ( ) ( )log ca f x c f x a= ⇔ = 
• Bài tập 4: Giải các phương trình sau: 
a) ( )( )log log log 0x = b) ( )( )( )23 4 3log log log 3 0x − = 
c) ( )( )( )4 3 2 3 1log 2log 1 log 1 3log 2x+ + = d) 
2
3 1 1
2 2
log log 3log 5 2x x − + = 
 
e) ( )( )23 2log log 4 0x − = f) ( ) ( )4 2 2 4log log log log 2x x+ = 
5. Phương pháp biến ñổi về phương trình tích 
• Bài tập 5: Giải các phương trình sau: 
a) 3 273 .log 6 6 logx x x x+ = + b) 
2
2 42 .log 2 4 4logx x x x+ = + 
c) ( ) ( )2 21 1log 4 log 4 .log 2log
2 2
x x x x   − + − + = +   
   
d) ( )2 2 2 26 1/6log 5 2 3 log 5 2 3 2x x x x x x x x− − − − − = + 
6. Phương pháp sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số 
Chú ý dạng: log loga au u v v− = − , có dạng ( ) ( )f u f v u v= ⇔ = trong trường hợp f là 
hàm số ñồng biến (hoặc nghịc biến) trên tập xác ñịnh của nó. Và phương pháp ñánh giá hai vế 
của phương trình. 
• Bài tập 6: Giải các phương trình sau: 
a) 2log 3x x= − b) ( ) ( )2log 6 4 log 2x x x x+ − − = + + 
c) 1
3
log 4x x= − d) 
2
2
3 2
3
log 3 2
2 4 5
x x
x x
x x
+ +
= + +
+ +
e) ( ) ( )2log 12 log 3 5x x x x− − + = + + f) ( )2 23 3log 1 log 2xx x x x+ + − = − 
Gợi ý: 
a) ðiều kiện xác ñịnh: 0x > . 
Nhận thấy 2x = là nghiệm của phương trình a). Ta chứng minh nghiệm này duy nhất. 
Thật vậy, với mọi 2x > , ta có : 
• 2 2log log 2 1x > = (do hàm số 2logy x= ñồng biến trên khoảng ( )0;+∞ ) (1) 
• 3 3 2 1x− < − = (2) 
So sánh (1) và (2) suy ra mọi 2x > ñều không thỏa mãn phương trình a), nên không phải là 
nghiệm của phương trình. 
Làm tương tự ta chứng minh ñược mọi 0 2x< < cũng không phải là nghiệm của phương 
trình. 
Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất 2x = . 
♥ Chuyên ñề và các dạng toán Ôn thi ñại học, cao ñẳng sẽ biên soạn sau. Hẹn các em 
vào dịp tới. Chúc các em học và ôn tập tốt !