Chuyên đề Xác định số hạng tổng quát của dãy số

CHUYÊN ĐỀ 
XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 
I.- Giới thiệu:
 Một trong các nội dung thường gặp trong các bài toán về DÃY SỐ là xác định số hạng tổng quát () của các dãy số được cho bởi công thức truy hồi. .Các bài toán này thường gặp trong các đề thi HSG cấp tỉnh & Quốc gia
 Có nhiều phương pháp để giải các bài toán đó, nhưng với trình độ HS phổ thông thì “Chuyên đề” được Thày giáo CHÂU CHÍ TRUNG giới thiệu trong trang Web www.thptluongvanchanhpy.edu.vn là dễ hiểu và thiết thực cho HS ứng dụng. Chuyên đề này giới thiệu kỹ thuật biến đổi để qui về dãy số quen thuộc trong chương trình Toán cấp trung học : CẤP SỐ CỘNG , CẤP SỐ NHÂN 
 Nội dung của chuyên đề được trình bày dưới dạng các BÀI TOÁN TỔNG QUÁT , theo trình tự từ đơn giản đến phức tạp , có ví dụ để minh họa và một số bài tập áp dụng .
 NST hy vọngGV & HS đang rèn luyện nâng cao kỹ năng giải các bài toán khó có được công cụ hữ ích.
 II.- Các Bài toán
BÀI TOÁN 1:
Xác định số hạng tổng quát của dãy số () với và a, b, c Î R .
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Trường hợp 1 : Nếu a = 1 thì dãy () là một cấp số cộng , công sai b .
Trường hợp 2 :Nếu a ≠ 1 , ta qui dãy (un) thành dãy (vn) là một cấp số nhân , công bội a như sau:
Đặt vn = un + khi đó vn là một cấp số nhân .
Thật vậy : vn+1 = un+1 + = aun + b + = = a.vn .
Nên : vn+1 = a.vn là một cấp số nhân công bội a và v1 = u1 + .
Từ đó số hạng vn = v1.an – 1 . Suy ra : un = vn – = v1.an – 1 – . 
Vậy số hạng tổng quát dãy số là : un = v1.an – 1 – với v1 = c + .
VÍ DỤ 1:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số un xác định bởi : .
GIẢI :
Ta có u1 > 0 , qui nạp ta được un > 0 .
Từ giả thiết suy ra : .
Đặt vn = , khi đó ta được : vn+1 = 3vn + 2 với v1 = 2 (*) 
Đặt zn = vn + 1 , (*) trở thành : zn+1 = 3zn với z1 = 3.
Như vậy (zn) là một cấp số nhân có công bội bằng 3 và z1 = 3 nên zn = z1.3n – 1 = 3n .
Suy ra : vn = zn – 1 = 3n – 1 .
Vậy dãy số (un) có un = , n Î¥* .
 BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1.Xác định số hạng tổng quát của các dãy số được cho bởi 
 a. b. 
2.Cho dãy số (un) xác định bởi : .
 Tình tổng .
3.Cho n vòng tròn trong đó cứ hai vòng tròn thì giao nhau tại 2 điểm và không có ba vòng tròn nào giao nhau tại 1 điểm .
Hỏi n vòng tròn đã cho chia mặt phẳng làm bao nhiêu phần?
BÀI TOÁN 2:
Xác định số hạng tổng quát của dãy số () với và a, b, c Î R và f(n) là một đa thức theo n .
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Trường hợp 1: a = 1 ta có un+1 = un + f(n).
Cho n lần lượt nhận các giá trị 1 ; 2; 3; n thì ta được: 
Trong đó được tính thông qua các tổng ; ; .
Trường hợp 2: a ≠ 1.
Đặt vn = un + g(n) với deg(g) = deg(f) và g(n) được xác định thông qua phương pháp hệ số bất định dồng thời thỏa : vn+1 = avn .
Ta qui dãy (un) thành dãy (vn) là một cấp số nhân có công bội q = a.
VÍ DỤ 2:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số un xác định bởi : .
GIẢI:
Theo đề bài ta có un +1 = un + n3 + 2 un + 1 – un = n3 + 2 .
Thay n lần lượt bằng 1, 2,,n – 1 và cộng (n – 1) đẳng thức ta được: 
un – u1 = = +2(n – 1) .
Vậy un = +2n .
VÍ DỤ3:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số un xác định bởi : .
GIẢI:
Đặt g(n) = an2 + bn + c và vn = un + g(n) ( a, b, c Î R) với vn+1 = 3vn .
Khi đó : vn+1 = 3vn un+1 + g(n+1) = 3(un + g(n)) 
 3un + n2 + 1 + g(n+1) = 3un + 3g(n) 
 n2 + 1 + a(n+1) 2 + b(n+1) + c = 3an2 + 3bn + 3c
 (a + 1)n2 + (2a + b)n + 1+ a + b + c = 3an2 + 3bn + 3c
Nên : a = ; b = ; c = 1.
Do đó ta được : g(n) = n2 + n + 1 .
Như vậy khi vn = un + n2 + n + 1 un = vn – ( n2 + n + 1) 
thì .
Suy ra : vn = 3n – 1.v1 = 4.3n – 1 .
Vậy : un = 4.3n – 1 – n2 – n – 1 
 = 4.3n – 1 – (n2 + n + 2) .
BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Xác định số hạng tổng quát của các dãy số được xác định bởi các công thức sau:
4. 
5. 
6. (Đề thi HSGQG-2001)
7. 
BÀI TOÁN 3:
Xác định số hạng tổng quát của dãy số () với và a, b,Î R, >0 .
PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Trường hợp 1: a = 1 ta có un+1 = un +.n . 
Cho n lần lượt nhận các giá trị 1 ; 2; 3; n – 1 thì ta được: 
Trong đó được tính thông qua các tổng cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . 
Trường hợp 2: a ≠ 1.
Ta qui bài toán về bài toán 1 bằng cách đặt vn = un + g(n) với vn+1 = avn , đồng thời g(n) là hàm số thỏa :
 + Nếu a ≠ thì g(n) = A.n .
 + Nếu a = thì g(n) = A.n.n 
Trong đó A được xác định thông qua phương pháp hệ số bất định.
Dãy số (vn) được xác định theo cấp số nhân và từ đó suy được (un).
VÍ DỤ 4:
Tìm số hạng tổng quát un của dãy (un) được xác định : .
GIẢI:
Theo đề ta có : un+1 = un + 4n un+1 – un = 4n .
Thay n lần lượt bằng 1, 2,,n – 1 và cộng (n – 1) đẳng thức ta được: 
un – u1 = = = 4n – 4 .
 Vậy ta được : un = 4n – 1 .
VÍ DỤ 5: 
Tìm số hạng tổng quát un của dãy (un) được xác định: .
GIẢI:
Ta thấy a = = 3 nên ta đặt vn = un + An.3n với vn+1 = 3vn . 
Với vn+1 = 3vn un+1 + A(n+1)3n+1 = 3(un + An.3n )
 3un +5.3n + A(n+1)3n+1 = 3(un + An.3n )
 5.3n + A(n+1)3n+1 = 3An.3n 
 5+ 3A(n+1) = 3An
Suy ra : A = .
Ta được : vn = un n.3n un = vn + n.3n .
Khi đó .
Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân ta được vn = 3n – 1 .
Vậy ta được un = 3n – 1+ n.3n = (1+5n)3n – 1 .
VÍ DỤ 6:
Tìm số hạng tổng quát un của dãy (un) được xác định: .
GIẢI:
Ta có giả thiết un + 1 = 2un + n2 + 3.2n 
Đặt 
với ; và u1 = x1 + y1 = 5 .
Suy ra : xn +1 + yn+1 = 2(xn + yn ) + n2 + 3.2n 
Ta giải tương tự như ví dụ 3 và ví dụ 5 ta xác định được :
 xn = (x1+6) 2n – 1 – (n2 + 2n + 3) và yn = (y1–3) 2n – 1 + 3n.2n– 1 .
 ta được un = xn + yn = (x1+6).2n – 1 – (n2 + 2n + 3) + (y1–3) 2n – 1 + 3n.2n– 1 
 = (x1+ y1+3).2n – 1 + 3n.2n– 1 – (n2 + 2n + 3) 
Vậy : un = 2n + 2 + 3.2n – 1– (n2 + 2n + 3) .
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
8.Xác định số hạng tổng quát un của dãy số xác định bởi : 
9.Xác định số hạng tổng quát un của dãy số xác định bởi : 
10.Tìm tất cả các giá trị a ÎR sao cho dãy (un) xác định bởi là dãy số đồng biến .
BÀI TOÁN 4:
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) với , n ³1 theo u1 , a, b, c, d.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Xét phương trình (*) .
Trường hợp 1: phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt : x1 ; x2 , khi đó ta tìm được 1 hằng số k để cho .
Thật vậy : = .
 .
Nên : = ( với k = )
Ta đặt vn = vn = kvn – 1 .
Từ đó áp dụng cấp số nhân , tìm được vn , suy ra được un 
Trường hợp 2: phương trình (*) có 2 nghiệm kép : x0 .
Tương tự trên , ta tìm được k để có : 
Ta đặt vn = vn = vn – 1 + k.
Áp dụng cấp số cộng tìm được vn và suy được un .
VÍ DỤ 7: 
Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un) xác định bởi : .
GIẢI:
Ta có un + 1 = + 1 = 
 un – 2 = – 2 = 
Nên .
Đặt vn = thì có vn = vn – 1 và v1 = .
Áp dụng cấp số nhân ta có vn = 4..
Từ vn = = 1 – suy được .
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là : 
VÍ DỤ 8: 
Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un) xác định bởi : .
GIẢI:
Ta có un – 1 = = 
Nên .
Đặt vn = thì có vn = vn – 1 + và v1 = = 1 .
Áp dụng cấp số cộng được vn = v1 +(n – 1) = 1 + = 
Suy ra un – 1 = hay un = .
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un = , với n Î¥* .
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
11.Xác định số hạng tổng quát un của dãy số xác định bởi : 
12.Xác định số hạng tổng quát un của dãy số xác định bởi : 
BÀI TOÁN 5
Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) với 
trong đó các số u1, u2 , a , b cho trước và a ,b ≠ 0 .
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta có : un+1 = (a + b)un – abun – 1 , n ³ 2 un+1 –aun = b(un –aun – 1)
Đặt vn = un + 1 –aun với n ³ 1 (*)
Ta được : ; (vn ) là cấp số nhân công bội b với v1 = au2 – u1 (**)
Từ (*) ta lần lượt thay n bằng n–1, n–2 , n–3 , 3, ,2 , 1 :
 ( n – 1 đẳng thức)
Cộng các đẳng thức trên cho ta :
Suy ra : 
Nếu a ≠ b thì :
 , với n ³ 3 .
Nếu a = b thì :
 , với n ³ 3 .
VÍ DỤ 9: 
Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un) xác định bởi 
GIẢI:
(Áp dụng cách giải như bài toán 5 với a = 1 , b = 2)
Ta có 
Đặt vn = un + 1 –un với n ³ 1 
Ta được : ; (vn ) là cấp số nhân công bội 2 với v1 = 1
Suy ra :
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là : un = 2n – 1 + 1 với n Î¥* .
VÍ DỤ 10: 
Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un) xác định bởi 
GIẢI
Ta có : un+2 = 9un+1 – 18un , n ³ 1 un+2 –3un = 6(un+1 –3un )
Đặt vn = un + 1 –3un với n ³ 1 (*)
Ta được : ; (vn ) là cấp số nhân công bội 6 với v1 = – 1 .
Thay n lần lượt bởi n–1, n – 2 , n – 3 , .3, 2, 1 vào (*)
Ta được :
 ( n – 1) đẳng thức.
Cộng n – 1 đẳng thức trên suy ra:
 = (3n– 2 +3n– 3.6 +3n – 4.62 + .+ 32.6n – 4 + 3.6n – 3 + 6n – 2 )v1 
Nên ta được : un = 3n – 1.u1 + (3n– 2 +3n– 3.6 +3n – 4.62 + .+ 32.6n – 4 + 3.6n – 3 + 6n – 2 )v1 
 = 3n – 1 – (3n– 2 +3n– 3.6 +3n – 4.62 + .+ 32.6n – 4 + 3.6n – 3 + 6n – 2 )
Ta có S = 3n– 2 +3n– 3.6 +3n – 4.62 + .+ 32.6n – 4 + 3.6n – 3 + 6n – 2 là tổng của (n–1) số hạng của cấp số nhân có công bội q = 2 nên S = = 2.6n – 2 – 3n – 2 .
Vậy ta có : un = 3n – 1 + 3n – 2 – 2.6n – 2 = 4.3n – 2 – 2.6n – 2 .
VÍ DỤ 11: 
Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un) xác định bởi 
GIẢI:
(Áp dụng cách giải như bài toán 5 với a = 2 , b = 3)
Ta có : un+1 = 5un – 6un – 1 , n ³ 2 un+1 –2un = 3(un –2un – 1)
Đặt vn = un + 1 –2un với n ³ 1 (*)
Ta được : ; (vn ) là cấp số nhân công bội 3 với v1 = – 1 .
Đáp số : un = 3.2n – 1 – 3n – 1 , với n Î¥* . 
BÀI TẬP ÁP DỤNG :
13.Cho dãy số (un) : 
Hãy xác định số hạng tổng quát un của dãy .
14.Cho dãy số (un) : 
Hãy xác định số hạng tổng quát un của dãy .
15.Cho dãy số (un) thỏa điều kiện : un+1 – 2un + un – 1 = 1 khi n ³ 2.
Hãy tính un theo u1 , u2 và n .
16.Cho dãy số (un) : 
Hãy xác định số hạng tổng quát un của dãy .
17.Cho dãy số (un) thỏa điều kiện : khi n ³ 1.
Hãy tính un theo u1 , u2 và n .
18.Cho a,b là hai số cho trước , các số hạng của dãy (un) được xác định bởi hệ thức :
un+1 = (a + b)un –abun – 1 với mọi n ³ 2 .
Hãy biểu diễn un qua u1 , u2 và n.
19.Cho a,b là hai số cho trước với a + b ¹ 0 và a + 2b ¹ 0 , các số hạng của dãy (un) được xác định bởi hệ thức : với mọi n ³ 2 .
Hãy biểu diễn un qua u1 , u2 và n.
III .- Lời kết:
 Nhằm mục đích giúp học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích bài toán để tìm mối liên hệ với các kiến thức đã được học , từ đó áp dụng để giải các bài toán tương tự, có liên quan , gây sự thích thú đối với môn học; Chuyên đề không lặp lại các kiến thức đã học hoặc kiến thức quá cao. Một số ví dụ trên cũng có lời giải ngắn gọn bằng cách sử dụng phương pháp sai phân .
 Giới thiệu một số tài liệu để GV & HS nếu cần thì đọc ( Phần Tài liệu tham khảo )
 IV.- Tài liệu tham khảo:
 + Những bài toán sơ cấp – Tác giả Lê đình Thịnh 
 + Dãy Số - Tác giả Phan huy Khải
 + Đề thi HSG QG các năm .
 + Báo Toán học & Tuổi trẻ.
 Người soạn gốc : GV : CHÂU CHÍ TRUNG
 Người ST / biên tập & chỉnh lý Phạm Huy Hoạt