Chuyên đề: Viết phương trình mặt phẳng

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 1
(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) 
Gửi tặng: www.Mathvn.com 
Bỉm sơn. 22.03.2011 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 2
CHUYÊN ĐỀ: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
A. Kiến thức chung 
1. Phương trình mặt phẳng và các trường hợp đặc biệt 
- PTTQ (phương trình tổng quát) mặt phẳng  P qua 0 0 0 0( , , )M x y z và có vtpt (vectơ pháp tuyến) 
( , , )n A B C

là: 0 0 0( ) : ( ) ( ) ( ) 0P A x x B y y C z z      
 Hay ( ) : 0P Ax By Cz D    với 0 0 0( )D Ax By Cz    
- PTMP (phương trình mặt phẳng)  P qua ( ,0,0) ; (0, ,0) ; (0,0, )A a Ox B b Oy C c Oz   có phương trình 
là: ( ) : 1x y zP
a b c
   (Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn) 
- Đặc biệt: 
+ 
2 2
0
( ) / / 0
0
A
P Ox D
B C


 
  
+ 
2 2
0
( ) / / 0
0
B
P Oy D
A C


 
  
+ 
2 2
0
( ) / / 0
0
C
P Oz D
A B


 
  
- Phương trình mặt phẳng (Oxy) là 0z  , (Oyz) là 0x  và (Oxz) là 0y  
2. Vị trí tương đối của mặt thẳng và mặt phẳng: 
Cho hai mặt phẳng 1 1 1 1 1( ) : 0A x B y C z D     và 2 2 2 2 2( ) : 0A x B y C z D     
TH 1: 1 1 1 11 2
2 2 2 2
( ) / /( ) A B C D
A B C D
      
TH 2: 1 1 1 11 2
2 2 2 2
( ) ( ) A B C D
A B C D
      
TH 3: 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0A A B B C C      
3: Phương trình chùm mặt phẳng: 
Tập hợp các mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng ( ) ( )    được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi 
mặt phẳng ( ) và mặt phẳng ( ) 
Nếu 1 1 1 1( ) : 0A x B y C z D     và 2 2 2 2( ) : 0A x B y C z D     thì phương trình mặt phẳng ( ) là: 
1 1 1 1 2 2 2 2( ) : ( ) ( ) 0m A x B y C z D n A x B y C z D         (*) với 
2 2 0m n  
phương trình (*) có thể viết lại: ( ) ( ) 0m n   
4. Góc và khoảng cách 
- Góc của 2 mặt phẳng: 1 1 1 1 1( ) : 0A x B y C z D     và 2 2 2 2 2( ) : 0A x B y C z D     là: 
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2.
A A B B C C
cos
A B C A B C

 

   
- Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 3
.
sin( ,( ))
.
u n
d P
u n

 
  
- Khoảng cách từ một điểm  0 0 0 0; ;M x y z đến mặt phẳng   : 0P Ax By Cz D    
  0 0 00 2 2 2,
Ax By Cz D
d M P
A B C
  
  
 
B. Một số dạng bài tập 
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm Mo(xo;yo;zo) và thoả mãn điều kiện 
Loại 1 : Có một vectơ pháp tuyến 
Phương pháp: 
- Xác định 0 0 0 0( , , )M x y z của mặt phẳng  P 
- Xác định vtpt ( ; ; )n A B C

+ Nếu    / / P QP Q n n 
 
+ Nếu   P dP d n u  
 
- Áp dụng công thức: 0 0 0( ) : ( ) ( ) ( ) 0P A x x B y y C z z      
Bài tập giải mẫu: 
Bài 1: (SGK 12 – Ban Cơ Bản T89) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng 
(P): 
a. Đi qua điểm  1; 2;4M  và nhận vectơ  2;3;5n  làm vectơ pháp tuyến 
b. Đi qua điểm  2; 1;2M  và song song với mặt phẳng   : 2 – 3 4 0Q x y z   
Giải: 
a. Cách 1: 
Mặt phẳng  P đi qua điểm  1; 2;4M  và có vectơ pháp tuyến  2;3;5n  có phương trình là : 
2(x – 1) + 3(y + 2) + 5(z – 4 ) = 0 hay   : 2 3 5 – 16 0P x y z   
Cách 2: 
Mặt phẳng (P) có vtpt  2;3;5n  luôn có dạng 2 3 5 ’ 0x y z D    vì mặt phẳng (P) đi qua 
điểm    1; 2;4 2.1 3. 2 5.4 ’ 0 ’ 16M D D          .Vậy mặt phẳng   : 2 3 5 – 16 0P x y z   
b. Cách 1: 
Mặt phẳng  P đi qua điểm  2; 1;2M  song song với mặt phẳng  Q nên mặt phẳng  P đi qua điểm 
 2; 1;2M  và có vtpt  2; 1;3P Qn n  
 nên mặt phẳng  P có phương trình: 
 2(x – 2) – 1(y + 1) + 3(z – 2) = 0 hay   : 2 – 3 –11 0P x y z  
Cách 2 : 
Mặt phẳng (P) có vtpt  2; 1;3Pn  
 luôn có dạng 2 – 3 ’ 0x y z D   vì mặt phẳng  P đi qua điểm 
 2; 1;2M   ' 1D   hay   : 2 – 3 – 11 0P x y z  
Hoặc có thể lí luận vì  P song song với  Q nên  P luôn có dạng 2 – 3 ’ 0x y z D   
vì  P qua M    : 2 – 3 – 11 0P x y z  
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 4
Bài 2: (SGK – Ban Cơ Bản T92) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng   có phương 
trình: 3x + 5y – z – 2 = 0 và đường thẳng d có phương trình 
12 4
: 9 3
1
x t
d y t
z t
 

 
  
a. Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng   
b. Viết phương trình mặt phẳng   chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d 
Giải: 
a. Toạ độ điểm  M d   là nghiệm của phương trình 
 3(12 + 4t) + 5(9 + 3t) – (1 + t) – 2 = 0  t = 3 .Vậy  0;0; 2M  
b. Cách 1 : 
Mặt phẳng   đi qua điểm  0;0; 2M  vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng   đi qua điểm 
 0;0; 2M  và có vtpt n
 = du
 = (4;3;1) nên mặt phẳng   có phương trình là: 
4(x – 0) + 3(y – 0) + 1(z +2) = 0 hay   : 4 3 2 0x y z     
Cách 2: 
Mặt phẳng   có vtpt n
 = (4;3;1) luôn có dạng 4x + 3y + z + D’ = 0 vì mặt phẳng   đi qua điểm 
 0;0; 2M   D’ = 2 hay   : 4 3 2 0x y z     
Chú ý: 
Có thể phát biểu bài toán dưới dạng như, cho biết tọa độ 3 điểm A, B, C. Viết phương trình mặt phẳng (P) 
đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC thì khi đó Pn BC
 
Nhận xét : 
- Mặt phẳng   có vtpt  ; ;n a b c thì   luôn có dạng ax + by + cz + D’ = 0 
- Nếu cho   có dạng Ax + By + Cz + D = 0 thì   mà song song với      luôn có dạng 
Ax + By + Cz + D’ = 0 với ' 0D  
- Hai mặt phẳng song song với nhau thì hai vtpt cũng song song (cùng phương) với nhau, mặt phẳng 
vuông góc với đường thẳng thì vtpt và vtcp cũng song song (cùng phương) với nhau . Điều này lý giải 
tại sao trong bài 1 câu b lại chọn Pn
 = Qn
 ,thật vậy vì mặt phẳng  P song song với mặt phẳng (Q) 
nên hai vtpt cũng song song (cùng phương) với nhau hay Pn

 = k. Qn
 , vì k 0 nên chọn k = 1 để Pn
 = 
Qn
 . Tương tự như thế trong bài 2b ta chọn k = 1 để n
 = du
 , từ đó ta có nhận xét 
+ Hai mặt phẳng song song với nhau thì chúng có cùng vtpt 
+ Nếu mặt phẳng  P chứa hai điểm A và B thì AB

 là một vtcp của mặt phẳng  P 
+ Nếu mặt phẳng  P vuông góc với mặt phẳng (Q) thì vtpt của mặt phẳng  P là vtcp của mặt 
phẳng (Q) và ngược lại 
+ Nếu mặt phẳng  P vuông góc với vecto AB

 thì vecto AB

 là một vtpt của mặt phẳng  P 
- Vectơ pháp tuyến cũng có thể cho ở hình thức là vuông góc với giá của vectơ a nào đó, khi đó ta 
phải hiểu đây a là vectơ chỉ phương 
Bài 3: (SGK – Ban Cơ Bản T92) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxyz cho điểm vectơ  6; 2; 3a   

và  1;2; 3A   . Viết phương trình mặt phẳng   chứa điểm A và vuông góc với giá của vectơ a 
Hướng dẫn: 
Làm tương tự như bài 2b ta được   : 6 – 2 – 3 2 0x y z   
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 5
Bài 4: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz .Viết phương trình mặt phẳng đi 
qua điểm  2;6; 3M  và lần lượt song song với các mặt phẳng toạ độ 
Giải: 
Nhận xét : 
- Các mặt phẳng toạ độ ở đây là Oxy; Oyz; Oxz . Thoạt đầu ta thấy các mặt phẳng này không thấy vtpt , 
nhưng thực ra chúng có vtpt, các vtpt này được xây dựng nên từ các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz 
lần lượt là i

= (1;0;0) ; j

 = (0;1;0) ; k

 = (0;0;1), các vectơ này được coi là các vtcp 
- Bây giờ ta sẽ viết phương trình mặt phẳng  P đi qua M và song song với mặt phẳng 0xy còn các mặt 
phẳng khác làm tương tự 
Cách 1: 
Mặt phẳng  P đi qua  2;6; 3M  và song song với mặt phẳng Oxy  mặt phẳng  P đi qua M và 
vuông góc Oz nên mặt phẳng (P) đi qua M nhận vectơ Pn
 = k

 làm vtpt có phương trình là : 
 0(x – 1) + 0(y – 6) + 1(z + 3) = 0 hay   : 3 0P z   
Cách 2: 
Mặt phẳng  P song song với mặt phẳng 0xy  mặt phẳng  P song song với hai trục Ox và Oy 
 Pn

 i

 và Pn

 j

 Pn
 = [ i

, j

] = (0;0;1) là vtpt nên   : 3 0P z   
Tương tự (P) // Oyz và đi qua điểm M nên   : 2 0P x   
 (P) // Oxz và đi qua điểm M nên   : 6 0P y   
Cách 3: 
Mặt phẳng  P song song với mặt phẳng Oxy nên mặt phẳng  P luôn có dạng Cx + D = 0 vì mặt 
phẳng  P đi qua M   C. 3 D 0   vì C  0 nên chọn C = 1  D = 3 . 
Vậy mặt phẳng  P có phương trình là   : 3 0P z   
Chú ý: 
Bài toán có thể phát biểu là viết phương trình (P) đi qua M // với Ox và Oy   P đi qua M // với mặt 
phẳng 0xy 
Loại 2: Có một cặp vectơ chỉ phương ,a b
 
(với , 0a b 
  
có giá song song hoặc nằm trên mp ( )P ) 
- Tìm vtpt ,n a b   
 
-  P là mp qua 0 0 0 0( , , )M x y z và có VTPT n

- Quay lại loại 1 
Bài tập giải mẫu: 
Bài 5: (SGK – Ban Cơ Bản T80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng 
 P đi qua điểm  0; 1;2A  và song song với giá của mỗi vectơ u = (3;2;1) và v =  3;0;1 
Giải: 
Cách 1: 
Mặt phẳng  P đi qua  0; 1;2A  và song song với giá của hai vectơ u = (3;2;1) ;  3;0;1v   
 mặt phẳng  P đi qua A và có Pn

 u ; Pn

 v (với u và v không cùng phương) 
 mặt phẳng  P đi qua A và có vtpt      , 2; 6;6 2 1; 3;3Pn u v    
   
 mặt phẳng  P có phương trình là : 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 6
 1(x – 0) – 3(y + 1) +3(z – 2) = 0 hay   : – 3 3 – 9 0P x y z  
Cách 2 : Làm tương tự như bài 1b khi biết  2; 6;6Pn  
 và  0; 1;2A  
Bài 6: (SBT – Ban Cơ Bản T99) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Viết phương trình mặt phẳng 
  đi qua điểm  2; 1;2M  , song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng 
  : 2 – 3 4 0x y z    
Giải: 
Cách 1: 
Mặt phẳng   đi qua điểm  2; 1;2M  song song với trục 0y và vuông góc với mặt phẳng   
 mặt phẳng   đi qua M và có n

 j

 ; n

 n
 (với j

 và n
 không cùng phương) 
 mặt phẳng   đi qua M và có vtpt n
 = [ j

, n
 ] = (3;0;-2) 
 mặt phẳng   có phương trình là : 
 3(x – 2) + 0(y + 1) – 2(z – 2) = 0 hay   : 3 – 2 – 2 0x z  
Cách 2: Làm tương tự như bài 1b khi biết  3;0; 2n  
 và  2; 1;2M  
Cách 3: Giả sử mặt phẳng   có dạng :  2 2 20 0Ax By Cz D A B C       
 mặt phẳng   có vtpt  ; ;n A B C 
 
- Mặt phẳng   đi qua điểm  2; 1;2M   .2 .( 1) .2 0 1A B C D      
- Mặt phẳng   song song với trục Oy  . 0 .0 .1 .0 0 2n j A B C     
 
- Mặt phẳng   vuông góc với mặt phẳng      . 0 .2 . 1 .3 0 3n n A B C       
  
Giải hệ (1), (2) và (3)  3, 0, 2, 2.A B C D      
Vậy mặt phẳng   có phương trình là : 3 – 2 – 2 0x z  
Bài 7: (SBT – Ban Cơ Bản T98) Trong không gian Oxyz.Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm 
 3; 1; 5M   đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng   : 3 – 2 2 7 0x y z    và 
  : 5 – 4 3 1 0x y z    
Giải: 
Cách 1: 
Mặt phẳng   đi qua điểm  3; 1; 5M   đồng thời vuông góc với hai mặt ph ... Ta tìm A, B : 
'
AB u
AB u
 


 
  1 2, A d B d  nên:    3 4 ;1 ; 5 2 , 2 ’; 3 3 ’; ’A t t t B t t t       
 AB

(.) A(1; 2; -3) và B(3; 0; 1) I(2; 1; -1) 
Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; -1) và bán kính R= 6 
Nên có phương trình là:  2 2 22 ( 1) ( 1) 6x y z      
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 83
Bài tập tự giải: 
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 1d và 2d , biết 
 1
1
: 2
3
x t
d y t
z t
 

 
  
 và 2
2
:
2
x u
d y u
z



 
a. Chứng minh rằng 1d và 2d chéo nhau 
b. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đường thẳng 1d , 2d và có tâm I thuộc đường thẳng 
: 2
6
x v
d y v
z v


 
  
Đáp số: b.    
2 2
21 13 43: 1
2 2 2
S x y z           
   
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 và d2, biết : 
 1
1 2
: 2 t R
3 3
x t
d y t
z t
 

  
   
 và 2
2
: 3 2 
1 3
x u
d y u
z u
 

  
  
a. CMR hai đường thẳng đó chéo nhau. 
b. Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2. 
c. Tính khoảng cách giữa d1 và d2 
d. Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với d1, d2 và có tâm thuộc mặt phẳng   : 2 0P x y z    
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
 1
2 1:
1 1 2
x y zd    và 2
2 2
: 3
x t
d y
z t
 


 
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng d1 và d2 
b. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với d1 và d2 tại hai tiếp điểm lần lượt là    2;1;0 ; 2;3;0A B 
Dạng 9: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và cắt đường thẳng  cho trước tại hai điểm A, 
B thoả mãn điều kiện 
a. Độ dài AB = một hằng số 
b. Tam giác IAB là tam giác vuông 
c. Tam giác IAB là tam giác đều 
Phương pháp: Chỉ cần xác định bán kinh R của mặt cầu 
a. - Xác định  ,d I IH  , vì IAB cân tại I nên 
2
ABHB  
 - Bán kính 2 2R IH HB  
Kết luận về phương trình mặt cầu (S) 
b. - Xác định  ,d I IH  , vì IAB vuông cân nên  045HBI  
 - Bán kính 0sin 45
IHR  
Kết luận về phương trình mặt cầu (S) 
c. - Xác định  ,d I IH  , vì IAB đều nên  060HBI  
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 84
 - Bán kính 0sin 60
IHR  
Kết luận về phương trình mặt cầu (S) 
Bài tập giải mẫu: 
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 3; 4) và đường thẳng d:








tz
ty
tx
2
62
23
. 
Lập phương trình mặt cầu tâm A cắt đường thẳng d tại hai điểm M, N sao cho MN = 8 
Giải: 
Gọi H là hình chiếu của A lên d => H(3 + 2t; 2 + 6t; 2 – t), u (2; 6; -1) là véc tơ chỉ phương của d. Khi đó 
)2;2;3(0. HuAH  
Xét tam giác vuông HAM, có HM = 4, AH = 3 nên AM = 5 = R, với R là bán kính của mặt cầu thỏa mãn 
bài toán 
Vậy phương trình mặt cầu cần lập là (x – 1)2 + (y – 3)2 + (z – 4)2 = 25 
Bài tập tự giải: 
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm  2;3; 1I  sao cho (S) cắt đường thẳng d 
5 4 3 20 0
:
3 4 8 0
x y z
d
x y z
   

   
 tại hai điểm A, B thỏa mãn 40AB  
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm  1;0;3I và cắt đường thẳng 1 1 1:
2 1 2
x y z  
   tại hai 
điểm A và B sao cho tam giác IAB vuông tại I 
Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (S) có tâm I thuộc đường thẳng 1 và cắt đường thẳng 2 tại 
hai điểm A,B sao cho  ; ;H x y z là trung điểm của A,B và AB = hằng số 
 Đang cập nhật 
Dạng 11: Viết phương trình mặt cầu (S) đối xứng với mặt cầu (S’) cho trước qua 
a. Một điểm M(x;y;z) cho trước 
b. Một mặt phẳng (P) cho trước 
c. Một đường thẳng  cho trước 
Chú ý: Mặt cầu  'S đối xứng với  S và thỏa mãn điều kiện có cùng bán kính tức là 'R R , chỉ khác 
tọa độ tâm tức là 'I I 
Bài toán quy này về bài toán điểm đối xứng với điểm qua một điểm, qua một mặt phẳng hoặc qua một 
đường thẳng 
Bài tập tự giải: 
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm  1;2;3A và mặt cầu 
  2 2 2: 4 2 2 3 0S x y z x y z       .Viết phương trình mặt cầu  'S đối xứng với mặt cầu (S) qua điểm 
A 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 85
Đáp số:      2 2' 2: 3 5 3S x y z     
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng   : 5 0P x y z    và mặt cầu 
  2 2 2: 2 4 2 3 0S x y z x y z       . Viết phương trình mặt cầu  'S đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt 
phẳng (P) 
Đáp số:        2 2 2' : 3 4 1 3S x y z      
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 
3 0
:
1 0
x y z
d
y z
   

  
 và mặt cầu 
  2 2 2: 2 4 2 3 0S x y z x y z       . Viết phương trình mặt cầu  'S đối xứng với mặt cầu (S) qua 
đường thẳng d 
Đáp số:        2 2 2' : 3 2 1 9S x y z      
Dạng 12: Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A; B; C; D có toạ độ cho trước 
Phương pháp: 
Cách 1: Giả sử phương trình mặt cầu có dạng tổng quát, khi đó tọa độ A, B, C và D thuộc mặt cầu (S) ta 
được 4 phương trình 4 ẩn là a, b, c, và d, giải hệ này ta được phương trình của mặt cầu (S) 
Chú ý: Nếu ta sử dụng phương trình chính tắc sẽ dẫn đến hệ 4 phương trình 4 ẩn là a, b, c, và R, giải hệ 
này ta được phương trình mặt cầu (S) 
Cách 2: 
- Giả sử tâm  ; ;I a b c 
- Vì A, B, C và D thuộc mặt cầu (S) nên IA IB IC ID R    
2 2
2 2
2 2
IA IBIA IB
IC IB IC IB
ID IB ID IB
 

    
   
 giải hệ này ta được a, b, và c từ đó được tọa độ tâm I và bán kính I IA 
Bài tập giải mẫu: 
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm 
B trong mp(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, 
B, C, S. 
Giải: 
OABC là hình chữ nhật  B(2; 4; 0) 
 Tọa độ trung điểm H của OB là H(1; 2; 0), H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OCB. 
+ Đường thẳng vuông góc với mp(OCB) tại H cắt mặt phẳng trung trực của đoạn OS (mp có phương trình 
z = 2 ) tại I 
 I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, S. 
+ Tâm I(1; 2; 2) và bán kính  2 2 2 2 21 2 2 3 : ( 1) ( 2) ( 2) 9R OI S x y z            
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Viết phương trình 
mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O và vuông góc với BC. Chứng minh rằng ABC vuông và viết phương 
trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC 
Giải: 
Ta có (0; 2;2)BC  

 . mp(P) qua O(0;0;0) có vtpt (0; 2;2)BC  

     : 2 0 2 0 0 0P y z hay y z       
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 86
( 1;1;0)
( 1; 1; 2)
AB
AC
 
  

 . 0AB AC 
 
. Suy ra tam giác ABC vuông tại A (1) 
CM tương tự tam giác OBC vuông tại O (2) 
Từ (1) & (2) Suy ra 4 Điểm A, B, C, O cùng thuộc 1 mặt cầu đường kính BC 
nên tâm I là trung điểm của BC 0;1;1), 2I R  
PT mặt cầu:    2 22 1 1 2x y z     
Bài tập tổng hợp giải mẫu: 
Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình: 
1 2
5 2
: à : 2
0
x t x s
d y t v d y
z z s
   
 
    
   
. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d1 và I cách d2 một 
khoảng bằng 3. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 5. 
Giải: 
Vì I thuộc d1 nên   ; ;0I t t 
2
2 2
2
2
.( 2;0;1) ó (5 ; 2;0) ( )
(5; 2;0)
6 30 45. ( 2;5 ; 2 4) ( ) 3
5
0 (0;0;0)
5 (5; 5;0)
d
u IMud c IM t t d I d
Qua M u
t tu IM t t t d I d
t I
t I
           

             
 
    
  

 
Vậy có hai phương trình mặt cầu thõa mãn điều kiện bài toán là: 
2 2 2 2 2 2
1 2( ) : 25; ( ) : ( 5) ( 5) 25S x y z S x y z        
Bài 2: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với 2 mặt phẳng có phương 
trình lần lượt là:     : 2 4 0 : 2 6 0P x y và Q x y      
Giải: 
Ta nhận thấy (P) song song với (Q) nên     2 , .R d P Q 
Lấy M(0;2;0) thuộc (P) ta có:        , , 2 5 5d P Q d M Q R    . 
Lúc này phương trình mặt cầu có dạng:      2 2 2 5x a y b z c      
Vì C đi qua O(0;0;0) nên: 2 2 2 2 2 25 ( ) : 5a b c I S x y z        
Mặt khác: Mặt phẳng song song và cách đều (P) và (Q) có phương trình: 
  ( 2 4) ( 2 6): 2 1 0
2
x y x y x y          
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 87
Do 
2 2 2
2 1 0( )
( ) ( ) :
( ) 5
x yI
I S
I S x y z


   
   
    
 (Cố định ) 
Bài 3: Trong KG cho mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0). Và mặt cầu (S’) 
đi qua 4 điểm:
1 1 1'( ;0;0), '(0; ; ), '(1;1;0), '(0;1;1)
2 2 2
A B C D . Tìm độ dài bán kính đường tròn giao tuyến của 
2 mặt cầu đó. 
Giải: 
Lần lượt ta lập các phương trình mặt cầu với dạng tổng quát chung là: 
2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d       
Với (S) ta có: 2 2 2
1 2 0
1 2 0 1 ; 0 0(1)
1 2 0 2
3 2 2 2 0
c d
a d
a b c d x y z x y z
b d
a b c d
  
                
  
     
Với (S’) 2 2 2
1 0
4
1 7 1 7 1 70 ; ; 2 2 0(2)
2 4 4 2 2 2
2 2 2 0
2 2 2 0
a d
b c d a c b d x y z x y z
a b d
b c d
   

                  

   
    
Từ (1) và (2) ta thấy mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến có phương trình: 
( ) : 9 9 4 0x y z     
Vậy phương trình đường tròn giao tuyến cần tìm là: 
2 2 2
9 9 4 0
( ) : 1 1 1 3( ) ( ) ( )
2 2 2 4
x y z
C
x y z
   


     
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 1:
3 1
x yd z   và mặt 
phẳng ( ) : 2 2 2 0P x y z    . Lập phương trình mặt cầu S( ) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán 
kính nhỏ nhất tiếp xúc với P( ) và đi qua điểm A(1;-1;1) 
Giải: 
Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) nên: 
    2
0 15 3
, 37 24 0 24 773
37 37
t Rt
d I P R t t
t R
        
   

Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn  0 1 1; 1;0t R I     
Vậy phương trình mặt cầu      2 2 2: 1 1 1S x y z     
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Gmail: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 88
LỜI KẾT 
 Viết phương trình Mặt phẳng – Đường thẳng – Mặt cầu trong không gian là một phần 
không thể thiếu trong các kì thi TN – CĐ – ĐH, chính vì thế tôi biên soạn (có tham khảo thêm các 
tài liệu) chuyên đề này giúp các em học sinh có thêm kiến thức chuẩn bị cho các kì thi sắp tới và các 
bạn đồng nghiệp có thêm tài liệu giảng dạy 
Tuy nhiên năng lực và kinh nghiệm còn thiếu, tài liệu dài nên có đôi chỗ đánh máy nhầm. 
Rất mong các bạn học sinh và các bạn đồng nghiệp góp ý kiến, bổ sung thêm giúp tôi và các bạn 
hoàn thiện hơn  Xin chân thành cảm ơn 
Góp ý theo địa chỉ Email: Loinguyen1310@gmail.com hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long 
Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa