Chuyên đề Véc-Tơ và tọa độ trong mặt phẳng

1 
Véc-tơ và tọa độ trong mặt phẳng 
A. Tóm tắt lý thuyết 
1. Hệ trục tọa độ Oxy : Hệ trục toạ độ Oxy gồm hai trục tọa độ Ox , Oy vuông góc với nhau. 
Véc-tơ đơn vị trên Ox là i

, véc-tơ đơn vị trên Oy là j

2. Tọa độ của véc-tơ:  a x;y

  a xi yj 
  
. 
Tính chất: Cho a

 và  b x';y '

, ta có 
 a b
 
  
x x'
y y '



, 
  a b x x';y y '   
 
, 
  ka kx;ky

, 
 a b. xx' yy' 
 
, 
 2 2a x y 

, 
   xx' yy '2 2 2 2x y . x' y '
cos a,b 
 

 
( a

, b 0
 
), 
 a b
 
  ab 0
 
  xx' yy ' 0  , 
 a / /b
 
  
x kx'
k
y ky '

 

  xy ' x'y . 
3. Tọa độ của điểm:  M x;y   OM x;y

  OM xi y j 
  
. 
  B A B AAB x x ;y y  

,    2 2B A B AAB x x y y    . 
 M chia AB theo tỉ số k ( MA kMB
 
)  
x kxA B
M 1 k
y kyA B
M 1 k
x
y




 

 
. 
Đặc biệt: M là trung điểm của AB  
x xA B
M 2
y yA B
M 2
x
y


 

 
. 
 G là trọng tâm tam giác ABC  
x x xA B C
G 3
y y yA B C
G 3
x
y
 
 
 

 
. 
2 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Cho  a 3; 6

 và véc-tơ b

 có tọa độ dạng  b k;k 1

. Xác định tọa của b

 biết rằng: 
1) a b
 
. 
2) a b
 
 . 
3)   2 55cos a,b  
 
. 
Giải 
1) Ta có  ab 3k 6 k 1 3k 6     
 
. a b
 
  ab 0
 
  3k 6 0    k 2   
 b 2; 1 

. 
2) a b
 
   3 k 1 6k    13k     1 23 3b ;

. 
3) Ta có 2 2a 3 6 3 5  

,  22 2b k k 1 2k 2k 1     

   k 225 2k 2k 1
cos a,b  
 

 
. 
Do đó 
  2 55cos a,b  
 
  2 5k 2 525 2k 2k 1

 
 
 
 
2k 4k 4 4
525 2k 2k 1
k 2 0
 
 
 

 


  2
k 2
7k 6k 0
 

 
 6
7
k 0
k


 
  
 
 6 17 7
B 0;1
B ;


 

. 
Ví dụ 2. Cho  A 1;2 ,  B 4;5 ,  C 2; 7  . 
1) Chứng minh A , B , C là ba đỉnh một tam giác. 
2) Tính độ dài các cạnh tam giác ABC . 
3) Xác định trọng tâm G của tam giác ABC . 
4) Xác định trực tâm H của tam giác ABC . 
5) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC . 
Giải 
3 
1) Ta có  AB 3;3

,  BC 6; 12 

. AB kBC
 
  
3 6k
3 12k
 

 
  
1
2
1
4
k
k
  

 
  k . 
Vậy k : AB kBC 
 
  AB

 và BC

 không cùng phương  A , B , C không thẳng hàng  
A , B , C là ba đỉnh một tam giác. 
2) 2 2AB 3 3 3 2   , 2 2BC 6 2 2 10   ,  CA 3;9

  2 2CA 3 9 10   . 
3) G là trọng tâm của tam giác ABC  
x x xA B C
G 3
y y yA B C
G 3
x 1
y 0
 
 
  

  
   G 1;0 . 
4) Ta có  H HAH x 1;y 2 

,  H HBH x 4;y 5 

. 
Suy ra 
     
     
H H H H
H H H H
BCAH 6 x 1 12 y 2 6 x 2y 5
CABH 3 x 4 9 y 5 3 x 3y 19
         

      

 . 
H là trực tâm của tam giác ABC  
BCAH 0
CABH 0
 



 
 
 
 
H H
H H
6 x 2y 5 0
3 x 3y 19 0
   

  
   H 23;14 . 
5) Ta có 
 I IIA 1 x ;2 y 

     2 22 2 2I I I I I IIA 1 x 2 y x y 2x 4y 5         , 
 I IIB 4 x ;5 y 

     2 22 2 2I I I I I IIB 4 x 5 y x y 8x 10y 41         , 
 I IIC 2 x ; 7 y   

     2 22 2 2I I I I I IIC 2 x 7 y x y 4x 14y 53           . 
 I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  
IA IB
IB IC



 
2 2
2 2
IA IB
IB IC
 


 
2 2 2 2
I I I I I I I I
2 2 2 2
I I I I I I I I
x y 2x 4y 5 x y 8x 10y 41
x y 8x 10y 41 x y 4x 14y 53
         

        
  I I
I I
x y 6
x 2y 1
 

  
   I 13; 7 . 
Ví dụ 3. Cho  A 1; 2 ,  B 3;4 . Tìm tọa độ điểm C Ox sao cho 
1) Tam giác ABC vuông tại A . 
2) Tam giác ABC cân tại A . 
Giải 
4 
C Ox  tọa độ C có dạng  C c;0 . 
1)  AB 2;6

,  AC c 1;2 

   ABAC 2 c 1 6.2 2c 10    

. 
Do đó: tam giác ABC vuông tại A  ABAC 0

  2c 10 0   c 5    C 5;0 . 
2) Ta có 2 2 2AB 2 6 40   ,  22 2 2AC c 1 2 c 2c 5      . 
Do đó: tam giác ABC cân tại A  AB AC  2 2AB AC  240 c 2c 5   
2c 2c 35 0    
c 7
c 5

  
  
 
 
C 7;0
C 5;0



. 
5 
C. Bài tập 
Bài 1. Cho  A 1;2 ,  B 3;4 ,  C 5;6 . Chứng minh A , B , C thẳng hàng. 
Bài 2. Cho  A 1; 1 ,  B 2;4 . Tìm giao điểm của đường thẳng AB với các trục toạ độ. 
Bài 3. Cho  a 1;2 ,  b 2;3

,  c 3;7 . Hãy biểu diễn c qua a , b

. 
Bài 4. Cho  A 1;1 ,  B 1;2 ,  C 4;0 . Tìm toạ độ điểm M sao cho: 
1) AM 2BC 3AC 
  
. 
2) AM 2BM 3CM 0  
   
. 
3) ABCM là hình bình hành. Tìm toạ độ giao điểm các đường chéo. 
Bài 5. Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ). Biết  A 2;2 ,  B 4;1 ,  C 3;1 . Tìm tọa độ đỉnh 
D của hình thang biết rằng CD 3AB . 
ĐS:  D 9;4 . 
Bài 6. Cho  A 2;5 ,  B 2;4 . Hãy tìm toạ độ giao điểm của đường trung trực d của AB với 
các trục toạ độ. 
ĐS: M d Ox    98M ;0 , N d Ox    92N 0; . 
Bài 7. Cho  A 3;6 ,  B 1; 2 ,  C 6;3 . Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . 
ĐS:  5 14 2; . 
Bài 8. Cho  A 1;1 ,  B 3;2 ,  12C ; 1  . 
1) Tính chu vi ABC . 
2) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC . 
Bài 9. Cho ABC với  A 2;4 ,  B 2;1 ,  C 6;1 . 
1) Tính độ dài đường phân giác trong góc A . 
2) Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp ABC . 
Bài 10. Cho  A 3;4 ,  B 4;0 . Tìm tọa độ điểm C sao cho gốc toạ độ  O 0;0 là trọng tâm 
ABC . 
ĐS:  C 7; 4 . 
6 
Bài 11. [ĐHD04] Cho tam giác ABC có các đỉnh  A 1;0 ,  B 4;0 ,  C 0;m với m 0 . 
tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m . Xác định m để tam giác GAB vuông tại 
G . 
ĐS:  m3G 1; , m 3 6  . 
Bài 12. Cho  A 3;4 ,  B 4;0 . Tìm toạ độ điểm C sao cho trọng tâm ABC nằm trên trục 
tung và cách trục hoành một đoạn có độ dài bằng 1 . 
Bài 13. Cho ABC . Biết  A 1;2 ,  M 0;1 là trung điểm của AB ,  N 3; 1 là trung điểm 
của AC . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. 
Bài 14. Cho ABC . Biết  A 1;2 ,  M 0;1 là trung điểm của AB ,  P 3;1 là trung điểm của 
BC . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. 
Bài 15. Cho ABC . Biết  M 1;2 ,  N 3; 2  ,  P 5;0 lần lượt là toạ độ trung điểm các 
cạnh AB , BC , CA của tam giác. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của tam giác. 
Bài 16. Cho  1 1 1M x ;y ,  2 2 2M x ;y ,  3 3 3M x ;y lần lượt là trung điểm các cạnh BC , 
CA , AB của ABC . Hãy xác định tọa độ của A , B , C theo tọa độ của 1M , 2M , 3M . 
Bài 17. Cho ABC . Biết  A 3; 4  và các trung tuyến đi qua B , C lần lượt là Ox , Oy . Hãy 
xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. 
ĐS:  B 3;0 ,  C 0;4 . 
Bài 18. Cho ABC . Biết  A 1;3 và các trung trực ứng với các cạnh AB , AC lần lượt là 
Ox , Oy . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. 
Bài 19. Cho ABC . Biết  A 2;5 và các trung trực ứng với các cạnh AB , BC lần lượt là 
Ox , Oy . Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác. 
Bài 20. Cho  A 1;2 ,  B 3;4 . Tìm trên trục hoành điểm M sao cho 
1) MA MB nhỏ nhất. 
2) MA MB lớn nhất. 
Bài 21. Cho  A 2;4 . Tìm B Ox , C Oy sao cho chu vi ABC đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị 
nhỏ nhất nói trên bằng bao nhiêu? 
Bài 22. Chứng minh với mọi x , y , z , t ta có:    2 22 2 2 2x y z t x z y t       . 
Hãy chỉ rõ đẳng thức xảy ra khi nào.