Chuyên đề Về tính đơn điệu của hàm số

HÀM SỐ
[1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
 Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
2. Qui tắc xét tính đơn điệu
a. Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến
b. Qui tắc
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (i = 1, 2,,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
II. Các ví dụ 
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số:
Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
Phương pháp
+ Dựa vào định lí.
Ví dụ 3.
Chứng minh hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 4
Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng [3; +).
Hàm số nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Hàm số nghịch biến trên R.
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho trước
Phương pháp:
+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số.
+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai
Ví dụ 6.
Tìm giá trị của tham số a để hàm số đồng biến trên R.
Ví dụ 7.
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng 
Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số: đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Ví dụ 9
Xác định m để hàm số đồng biến trên khoảng (0; 3)
Ví dụ 10
Cho hàm số 
Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
Tìm m để hàm số tăng trên 
Tìm m để hàm số giảm trên 
Ví dụ 11
Cho hàm số . Tìm m để hàm số:
Liên tục trên R
Tăng trên khoảng 
Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997)
Cho hàm số đồng biến trên 
Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT
Phương pháp
Sử dụng các kiến thức sau:
+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn.
+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì 
Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Ví dụ 2.
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x
Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 
Chứng minh rằng 
Ví dụ 3
Cho hàm số 
a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 
b. Chứng minh 
Ví dụ 3
Cho hàm số 
Xét chiều biến thiên của hàm số trên 
Chứng minh rằng 
 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
B3. Lập bảng biến thiên.
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II.
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là xi là các nghiệm của nó.
B3: Tính f ”(xi)
B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị
( f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; ( f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi)
* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số 
Qui tắc I.
TXĐ: R
Vậy x = -3 là điểm cực đại và ycđ =71
 x= 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54 
Qui tắc II
TXĐ: R
y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và
 yct = - 54
y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và 
ycđ =71
Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x)
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT)
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
LG
.
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 
Với m = 1 ta được hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 có : tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực tiểu 
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Bài 1. Xác định m để hàm số 
Bài 2. Tìm m để hàm số 
Bài 3. Tìm m để hàm số 
Bài 4. Tìm m để hàm số 
Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2
Hướng dẫn: 
+ Nếu 
+ Nếu q > 0 thì: 
Lập bảng biến thiên để xem hàm đạt cực tại tại giá trị x nào.
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Bài toán: ‘Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.’
Phương pháp
B1: Tìm m để hàm số có cực trị.
B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý: 
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Cực trị của hàm phân thức . Giả sử x0 là điểm cực trị của y, thì giá trị của y(x0) có thể được tính bằng hai cách: hoặc 
Ví dụ . Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
Hướng dẫn.
a. TXĐ: R
 .
Để hàm số có cực trị thì phương trình: 
b. TXĐ: 
Bài 1. Tìm m để hàm số 
Bài 2. Tìm m để hàm sô luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 3. Cho hàm số . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung.
Bài 4. Hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bài 5. Cho hàm . Tìm m để hàm số có cực trị
Bài 6. Cho hàm số . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Dạng 4. Tìm tham số để các cực trị thoả mãn tính chất cho trước.
Phương pháp
+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
+ Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất.
Ví dụ .
Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số:
Bài 5. Xác định m để hàm số 
Bài 6. Tìm m để hàm số 
Bài 7. Tìm m để hàm số 
Bài 8. Tìm m để hàm số 
Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2
Bài 11. Tìm m để hàm số 
Bài 12. Tìm m để hàm sô luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 13. Cho hàm số . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị cách đều trục tung.
Bài 14. Hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
Bài 15. Cho hàm . Tìm m để hàm số có cực trị
Bài 16. Cho hàm số . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Ž GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên :
+B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên
Trong đó tại x0 thì f’(x0) bằng 0 hoặc không xác định
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
B1: Tìm caùc giaù trò xi (i = 1, 2, ..., n) laøm cho ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh .
B2: Tính 
B3: GTLN = max{} 
	GTNN = Min{}
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 
Hướng dẫn:
Dễ thầy h àm số liên tục trên 
. 
Dễ thấy 
Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất.
Ví dụ 2. 
Tính GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [-4; 0]
Hướng dẫn
Hàm số liên tục trên [-4; 0],
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
 TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức cần nắm
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C)
y = y0 là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn: 
x = x0 là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn: 
Đường thẳng y = ax + b ( ) được gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn: 
II. Các dạng toán
Dạng 1: Tiệm cận hàm số hữu tỉ 
Phương pháp 
Tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu không phải là nghiệm của tử cho phép xác định tiệm cận đứng.
Tiệm cận ngang, xiên:
+ Det(P(x)) < Det (Q(x)): Tiệm cận ngang y = 0
	+ Det(P(x)) = Det(Q(x)): Tiệm cận ngang là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu.
	+ Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có tiệm cận ngang; Tiệm cận xiên được xác định bằng cách phân tích hàm số thành dạng: f(x) = ax + b + với thì y = ax + b là tiệm cận xiên.
Ví dụ 1. Tìm các tiệm cận của các hàm số:
Hướng dẫn
a. Ta thấy nên đường thẳng x= 2 là tiệm cận đứng.
Vì nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
b.
+ . Nên x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
+ . Ta thấy Vậy y = x+ 2 là tiệm cân xiên của đồ thị hàm số.
c. Ta thấy Nên x = 1 là đường tiệm cận đứng.
+ . Nên x = -1 là tiệm cận đứng.
+ . Nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Dạng 2. Tiệm cận của hàm vô tỉ 
Phương pháp
Ta phân tích 
Với khi đó có tiệm cận xiên bên phải
Với khi đó có tiệm cận xiên bên tr ái
VÝ dô
T×m tiÖm cËn cña hµm sè: 
H­íng dÉn
C¸c tÝnh giíi h¹n v« cùc cña hµm sè 
DÊu cña g(x)
L
Tuú ý
0
L > 0
0
+
+
-
- 
L < 0
0
-
+
+
- 
Bµi 1. T×m tiÖm cËn c¸c hµm sè sau:
Bµi 2. T×m tiÖm cËn cña c¸c hµm sè sau:
Bµi 3. T×m tiÖm cËn c¸c hµm sè
Bµi 4. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ hµm sè: cã ®óng 2 tiÖm cËn ®øng.
Bµi 5. TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c t¹o bëi tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ t¹o víi hai trôc to¹ ®é cña c¸c hµm sè:
Bµi 6.(§HSP 2000). T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ hµm sè t¹o víi hai trôc to¹ ®é mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 8 (®vdt)
Bµi 7. Cho hµm sè: (1)
T×m m ®Ó tiÖm cËn xiªn cña ®å thÞ ®i qua ®iÓm 
T×m m ®Ó ®­êng tiÖm cËn xiªn cña (1) c¾t Parabol t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. 
[4. kh¶o s¸t vµ vÏ hµm bËc ba
D¹ng 1: Kh¶o s¸t vµ vÏ hµm sè 
Ph­¬ng ph¸p
T×m tËp x¸c ®Þnh.
XÐt sù biÕn thiªn cña hµm sè
T×m c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc vµ c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc (nÕu cã). T×m c¸c ®­êng tiÖm cËn.
LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè, bao gåm:
+ T×m ®¹o hµm, xÐt dÊu ®¹o hµm, xÐt chiÒu biÕn thiªn vµ t×m cùc trÞ.
+ §iÒn c¸c kÕt qu¶ vµo b¶ng.
3. VÏ ®å thÞ cña hµm sè.
+ VÏ ®­êng tiÖm cËn nÕu cã.
+ X¸c ®Þnh mét sè ®iÓm ®Æc biÖt: Giao víi Ox, Oy, ®iÓm uèn.
+ NhËn xÐt ®å thÞ: ChØ ra t©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng (kh«ng cÇn chøng minh)
VÝ dô 1. Cho hµm sè: 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè.
Tuú theo gi¸ trÞ cña m, biÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: 
H­íng dÉn
a. 
1. TX§: 
2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè
a. Giíi h¹n t¹i v« cùc
B¶ng biÕn thiªn
Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng 
Vµ nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; 2).
Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x= 2 ; vµ yC§=y(2)= 3
Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x =0 vµ yCT = y(1) = -1
3. §å thÞ
	+ Giao víi Oy: cho x = 0 . Vëy giao víi Oy t¹i ®iÓm O(0; -1)
	+ . §iÓm A (1; 1)
+ NhËn ®iÓm A lµm t©m ®èi xøng.
b. 
Sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh lµ sè giao ®iÓm cña 2 ®å thÞ vµ y =m
Dùa vµo ®å thÞ ta cã kÕt qu¶ biÖn luËn:
m > 3: Ph­¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm.
C¸c bµi to¸n vÒ hµm bËc ba
Bµi 1(TNTHPT – 2008)
 Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè.
BiÖm luËn theo m sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 
Bµi 2 (TN THPT- lÇn 2 – 2008)
Cho hµm sè y = x3 - 3x2
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ  ... ốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II 
Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau : việc giải hệ này thì đơn giản 
Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt sao cho (2) luôn đúng , , khi đó ta có phương trình : 
Vậy để giải phương trình : ta đặt lại như trên và đưa về hệ 
Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 : , ta sẽ xây dựng được phương trình dạng sau : đặt , khi đó ta có phương trình : 
Tương tự cho bậc cao hơn : 
Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng : v đặt để đưa về hệ , chú ý về dấu của ???
Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được.
 Giải phương trình: 
Điều kiện: 
Ta có phương trình được viết lại là: 
Đặt thì ta đưa về hệ sau: 
Trừ hai vế của phương trình ta được 
Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: 
Bài 6. Giải phương trình: 
Giải
Điều kiện 
Ta biến đổi phương trình như sau: 
Đặt ta được hệ phương trình sau:
Với 
Với 
Kết luận: Nghiệm của phương trình là 
Các em hãy xây dựng một sồ hệ dạng này ?
Dạng hệ gần đối xứng 
Ta xt hệ sau : đây không phải là hệ đối xứng loại 2 nhưng chúng ta vẫn giải hệ được , và từ hệ này chúng ta xây dưng được bài toán phương trình sau :
Bài 1 . Giải phương trình: 
Nhận xét : Nếu chúng ta nhóm như những phương trình trước :
Đặt thì chúng ta không thu được hệ phương trình mà chúng ta có thể giải được.
Để thu được hệ (1) ta đặt : , chọn sao cho hệ chúng ta có thể giải được , (đối xứng hoặc gần đối xứng )
 Ta có hệ : 
Để giải hệ trên thì ta lấy (1) nhân với k cộng với (2): và mong muốn của chúng ta là có nghiệm 
Nên ta phải có : , ta chọn được ngay 
Ta có lời giải như sau :
Điều kiện: , Đặt 
Ta có hệ phương trình sau: 
Với 
Với 
Kết luận: tập nghiệm của phương trình là: 
Chú ý : khi đã làm quen, chúng ta có thể tìm ngay bằng cách viết lại phương trình 
ta viết lại phương trình như sau: 
khi đó đặt , nếu đặt thì chúng ta không thu được hệ như mong muốn , ta thấy dấu của cùng dấu với dấu trước căn.
Một cách tổng quát . 
Xét hệ: để hệ có nghiệm x = y thì : A-A’=B và m=m’, 
Nếu từ (2) tìm được hàm ngược thay vào (1) ta được phương trình 
Như vậy để xây dựng pt theo lối này ta cần xem xét để có hàm ngược và tìm được và hơn nữa hệ phải giải được.
Một số phương trình được xây dựng từ hệ.
Giải các phương trình sau 
Giải (3): 
Phương trình :
Ta đặt : 
Các em hãy xây dựng những phương trình dạng này !
III. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 
1. Dùng hằng đẳng thức :
Từ những đánh giá bình phương : , ta xây dựng phương trình dạng 
Từ phương trình ta khai triển ra có phương trình :
2. Dùng bất đẳng thức 
Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức: nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt được tại thì là nghiệm của phương trình 
Ta có : Dấu bằng khi và chỉ khi và , dấu bằng khi và chỉ khi x=0. Vậy ta có phương trình: 
Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng : khi đó : 
Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được
Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007):
Giải: Đk 
Ta có : 
Dấu bằng 
Bài 2. Giải phương trình : 
Giải: Đk: 
Biến đổi pt ta có : 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 
Dấu bằng 
Bài 3. giải phương trình: 
Ta chứng minh : và 
Bài tập đề nghị .
Giải các phương trình sau 
3. Xây dựng bài toán từ tính chất cực trị hình học 
3.1 Dùng tọa độ của véc tơ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho các véc tơ: khi đó ta có 
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi hai véc tơ cùng hướng , chú ý tỉ số phải dương 
, dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 
3.2 Sử dụng tính chất đặc biệt về tam giác 
Nếu tam giác là tam giác đều , thì với mọi điểm M trên mặt phẳng tam giác, ta luôn có với O là tâm của đường tròn .Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi .
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt mặt phẳng Thì MA+MB+MC nhỏ nhất khi điểm M nhìn các cạnh AB,BC,AC dưới cùng một góc 
Bài tập
IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 
1.Xây dựng phương trình vô tỉ dựa theo hàm đơn điệu 
Dựa vào kết quả : “ Nếu là hàm đơn điệu thì ” ta có thể xây dựng được những phương trình vô tỉ 
Xuất phát từ hàm đơn điệu : mọi ta xây dựng phương trình :
, Rút gọn ta được phương trình 
Từ phương trình thì bài toán sẽ khó hơn 
Để gải hai bài toán trên chúng ta có thể làm như sau :
Đặt khi đó ta có hệ : cộng hai phương trình ta được:
=
Hãy xây dựng những hàm đơn điệu và những bài toán vô tỉ theo dạng trên ?
Bài 1. Giải phương trình : 
Giải:
Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có 
Bài 2. Giải phương trình 
Giải . Đặt , ta có hệ : 
Xét hàm số : , là hàm đơn điệu tăng. Từ phương trình 
Bài 3. Giải phương trình :
V. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
1. Một số kiến thức cơ bản:
Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho 
Nếu thì có một số t với sao cho : và một số y với sao cho 
Với mỗi số thực x có sao cho : 
Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì có một số t với , sao cho 
Từ đó chúng ta có phương pháp giải toán :
Nếu : thì đặt với hoặc với 
Nếu thì đặt , với hoặc , với 
Nếu : , là hai số thực thỏa: , thì đặt với 
Nếu , ta có thể đặt : , với , tương tự cho trường hợp khác 
x là số thực bất kỳ thi đặt : 
Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? 
Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện thì phải đảm bảo với mỗi có duy nhất một , và điều kiện trên để đảm bào điều này . (xem lại vòng tròn lượng giác )
2. Xây dựng phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng giác như thế nào ?
Từ công phương trình lượng giác đơn giản: , ta có thể tạo ra được phương trình vô tỉ 
Chú ý : ta có phương trình vô tỉ: (1)
Nếu thay bằng ta lại có phương trình : (2)
Nếu thay x trong phương trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phương trình vố tỉ khó: (3)
Việc giải phương trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ? 
Tương tự như vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,.hãy xây dựng những phương trình vô tỉ theo kiểu lượng giác .
3. Một số ví dụ 
Bài 1. Giải phương trình sau : 
Giải:
Điều kiện :
Với : thì (ptvn)
 ta đặt : . Khi đó phương trình trở thành: vậy phương trình có nghiệm : 
Bài 2. Giải các phương trình sau : 
 HD: 
 Đs: 
 HD: chứng minh vô nghiệm 
Bài 3 . Giải phương trình sau: 
Giải: Lập phương 2 vế ta được:
Xét : , đặt . Khi đó ta được mà phương trình bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình.
Bài 4. .Giải phương trình 
Giải: đk: , ta có thể đặt 
Khi đó ptt: 
Phương trình có nghiệm : 
Bài 5 .Giải phương trình : 
Giải: đk 
Ta có thể đặt : 
Khi đó pttt.
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm 
Bài tập tổng hợp
Giải các phương trình sau 
 (HSG Toàn Quốc 2002)
 (OLYMPIC 30/4-2007)
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
PHƯƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Dạng 1 : Phương trình 
Lưu ý: Điều kiện (*) được chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của hay 
Dạng 2: Phương trình 
Dạng 3: Phương trình 
+) (chuyển về dạng 2)
 +) 
và ta sử dụng phép thế :ta được phương trình : 
Bài 1: Giải phương trình:
a) 	
b) 	
c) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
Bài 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
Bài 3: Cho phương trình: 
-Giải phương trình khi m=1
-Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 4: Cho phương trình: 
-Giải phương trình khi m=3
-Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.
II.PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường.
-Nếu bài toán có chứa và khi đó đặt (với điều kiện tối thiểu là . đối với các phương trình có chứa tham số thì nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ).
-Nếu bài toán có chứa , và (với k là hằng số) khi đó có thể đặt : , khi đó 
-Nếu bài toán có chứa và khi đó có thể đặt: suy ra 
-Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với 
-Nếu bài toán có chứa thì đặt với hoặc với 
-Nếu bài toán có chứa ta có thể đặt với 
 Bài 1: Giải phương trình:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
Bài 2: Giải phương trình:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Bài 3: Cho phương trình: 
-Giải phương trình với 
-Tìm m để phương trình có nghiệm.
Bài 4: Cho phương trình: 
-Giải phương trình với m = 9
-Tìm m để phương trình có nghiệm.
2. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x. 
-Từ những phương trình tích ,
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát.
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụ sau .
Bài 1. Giải phương trình :
Giải: , ta có : 
Bài 2. Giải phương trình : 
Giải:
Đặt : 
Khi đó phương trình trở thnh : 
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn 
Từ một phương trình đơn giản : , khai triển ra ta sẽ được pt sau 
Bài 3. Giải phương trình sau : 
Giải: 
Nhận xét : đặt , pttt: (1)
Ta rt thay vo thì được pt: 
Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t không có dạng bình phương .
Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo 
Cụ thể như sau : thay vào pt (1) ta được:
Bài 4. Giải phương trình: 
Giải .
Bình phương 2 vế phương trình: 
Ta đặt : . Ta được: 
Ta phải tách làm sao cho có dạng chình phương .
Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đích. 
Bài tập: Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
3. Phương pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ.
a) Dạng thông thường: Đặt và tìm mối quan hệ giữa và từ đó tìm được hệ theo u,v. Chẳng hạn đối với phương trình: ta có thể đặt: từ đó suy ra . Khi đó ta có hệ 
Bài tập: Giải các phương trình sau: 
a) 	b) 	c) 
b) Dạng phương trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai:
 với 
Cách giải: Đặt: khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
 ->giải
Nhận xét: Dể sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu về dạng thỏa mãn điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : là chọn được.
c) Dạng phương trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba.
 với 
Cách giải: Đặt khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:
Hướng 1: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: 
Bước 2: Xét hàm số 
Bước 3: Nhận xét:
Với do đó là nghiệm
Với do đó phương trình vô nghiệm
Với do đó phương trình vô nghiệm
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình
Hướng 2: thực hiện theo các bước
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: 
Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác định sao cho 
Bước 3: Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Hướng 3: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng 
Bước 2: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu
Bước 3: Khi đó 
Ví dụ: Giải phương trình : 
pt
Xét hàm số , là hàm đồng biến trên R, ta có 
Bài tập: Giải phương trình: 
,,,,,