Chuyên đề về Số phức

Paul Dawkins 
Người dịch LÊ LỄ (CĐSP NINH THUẬN) 
Complex Numbers Primer 
SỐ PHỨC 
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 2 
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 3 
Contents1 
LỜI NGƯỜI DỊCH ........................................................................................................................................ 5 
1.Tập số phức và các phép toán ..................................................................................................................... 6 
1.1Định nghĩa tập số phức ......................................................................................................................... 6 
1.2.Các phép toán ...................................................................................................................................... 6 
2.Bất đẳng thức tam giác ............................................................................................................................... 9 
2.1 Số phức liên hợp .................................................................................................................................. 9 
2.2 Môđun của số phức ............................................................................................................................ 10 
2.3 Bất đẳng thức tam giác ...................................................................................................................... 12 
3.Dạng lượng giác và dạng mũ .................................................................................................................... 13 
3.1 Biểu diễn hình học của số phức ......................................................................................................... 13 
3.2 Dạng lượng giác ................................................................................................................................ 14 
3.3 Dạng mũ của số phức ........................................................................................................................ 15 
4.Lũy thừa và khai căn................................................................................................................................. 16 
4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương ................................................................................................. 16 
4.2 Căn bậc n của số phức ....................................................................................................................... 17 
1
 Có thể click chuột vào tiêu đề để nhảy đến nội dung tương ứng 
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 4 
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 5 
LỜI NGƯỜI DỊCH 
Hiện nay trường sô phức ℂ được xây dựng theo nhiều cách, trong đó có hai cách đại số thường 
sử dụng : 
 ℂ là trường phân rã của đa thức bất khả quy 
2 1x (trên ℝ) . 2 1 0x có nghiệm 
trong ℂ , tức là tồn tại i∈ ℂ , 
2 1i . 
 Xem ℂ =
2R ={(a;b)}, xây dựng phép toán cộng và nhân thích hợp, rồi chứng minh 
(ℂ ,+,x) là một trường. Tác giả xây dựng ℂ trên tinh thần này . Phần lớn quy tắc tính 
được thao tác trên các ví dụ một cách hình thức. Tiếp theo là định nghĩa và cuối cùng 
kiểm chứng kết quả. Việc xây dựng ℂ của tác giả vừa đảm bảo chính xác vừa dễ hiểu, dễ 
áp dụng. 
Tài liệu dành phần đầu nêu định nghĩa số phức và các phép toán . 
Phần hai nói về bất đẳng thức tam giác. 
Dạng lượng giác và mũ của số phức được nêu ở phần ba. 
Phần cuối dùng trình bày về lũy thừa và căn bậc n của một số phức. 
Đọc tài liệu này: 
Học sinh, sinh viên có nhu cầu thực hành các phép toán trên số phức, tìm thấy 
hướng dẫn rõ ràng, chi tiết; 
Nếu muốn tìm lời giải đáp vì sao tập số phức có nhiều tính chất đẹp mà ℝ không 
có, sẽ được thỏa mãn; 
Nếu đã biết một ít về số phức vẫn thấy thú vị. 
Còn ...tôi thì ít thời gian mà ham nhiều việc, nghĩ rằng thiếu sót không tránh khỏi. 
Nước đầm Nại đủ sạch, xin rửa tai nghe chỉ giáo. 
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 6 
1.Tập số phức và các phép toán 
1.1Định nghĩa tập số phức 
 Cho a,b∈ ℝ . Mỗi biểu thức dạng a+bi được gọi là một số phức2 
a: phần thực của z. 
b: phần ảo của z. 
Tập các số phức ký hiệu là ℂ . a∈ ℝ , a= a+0i=z . Vậy ℝ⊂ ℂ 3 
Ta cần định nghĩa phép cộng và nhân hai số phức 
Cho hai số phức 1 2,bi c iz a z d . 
Tổng 1 2 ( ) ( )z a c b dz i 
Tích 
1 2. ( ) ( )z ac bd ad bc iz 
Công thức trên đúng cho trường hợp hai số thực 
1 20 , 0a i cz z i .
4
Thật vậy 
1 2
1 2
( 0 ) ( 0 )
. ( 0 )( 0 )
z a i c i a c
z a i c i ac
z
z
 Điều cuối cùng trong phần này, ta phải chứng minh 
2 1i như một hệ quả 
của phép nhân. Thật vậy: 
2 . (0 1 )(0 1 ) (0.0 1.1) (0.1 1.0) 1i i i ii i 
1.2.Các phép toán 
 Khi thực hành cộng và nhân hai số phức, chỉ cần thực hiện theo quy tắc cộng 
và nhân đa thức với chú ý 
2 1i . 
2
 Dạng đại số của số phức(ND) 
3
 Tồn tại đơn cấu trường :ℝ→ ℂ (ND). 
4
 Hai phép toán cộng, nhân cảm sinh trên ℝ thành hai phép toán cộng và nhân thông thường (ND) . 
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 7 
Ví dụ: Tính 
a. (58-i)+(2-17i) 
b. (6+3i)(10+8i) 
c. (4+2i)(4-2i) 
Bài giải 
a. (58-i)+(2-17i)=58-i+2-17i=60-18i 
b. (6+3i)(10+8i)=60+48i+30i+24i2=60+78i+24(-1)=36+78i 
c. (4+2i)(4-2i)=16-(2i)2=16+4=20 . 
Phép nhân hai số phức , cho ta hệ thức :
2 2( )( )a bi a bi ba . Hê thức này 
được sử dụng khi chia hai số phức ớ phần sau. 
 Bây giờ xét đến phép trừ và chia hai số phức. Thử làm một cách hình thức ví 
dụ sau 
 Ví dụ : 
a. (58 ) (2 17 ) 58 2 17 56 16i i i i i 
b. 
6 3
10 8
i
i
=
(6 3 ) (10 8 )
.
(10 8 ) (10 8 )
i i
i i
=
260 48 30 24 84 18 84 18
100 64 164 164 164
i i i i
i=
21 9
41 82
i 
c. 
5
1 7
i
i
=
5 (1 7 ) 35 5 7 1
(1 7 )(1 7 ) 50 10 10
i i i
i
i i
 Trước khi định nghĩa phép trừ và phép chia hai số phức, ta cần một số chuẩn 
bị: 
Số đối của số phức z ký hiệu –z , thỏa mãn z+(-z)=0 
Trong các trường đại số tổng quát nói chung không có hệ thức ( 1).z z 
Rất may mắn, trong trường ℂ ta có ( 1).z z a bi 
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 8 
 Hiệu hai số phức 
1 2,z z : 1 2 1 2( )z z z z 
Nên 
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z a bi c di a c b d iz 
 Điều cần chuẩn bị cho định nghĩa thương hai số phức là số nghịch đảo của 
một số phức. 
Số nghịch đảo của số phức z (≠ 0) là một số phức ký hiệu z-1 sao cho z.z-1=1. 
Số nghịch đảo của số phức được làm rõ qua đoạn sau: 
Giả sử z-1=u+vi là số nghịch đảo của z=a+bi , 
z.z
-1
=(a+bi)(u+vi)=(au-bv)+(av+bu)i=1 
Nên 
1
0
au bv
av bu
⇒ 
2 2
2 2
a
u
a b
b
v
a b
⇒ 
1
2 2 2 2
z
a b
i
a b a b
. 
Mọi số phức z khác 0 tồn tại số nghịch đảo z-1. 
Định nghĩa thương hai số phức. Cho hai số phức z1, z2 (z2≠ 0) 
11
1 2
2
.
z
z z
z
Theo định nghĩa trên , ta có 
Ví dụ : 
1
1
2 2 2 2
6 3
(6 3 )(10 8 ,
(10 8
)
10
)
8
10 8 10 8
10 8 10 8 164
i
i
i i
i
i
i
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 9 
16 3 10 8(6 3 )(10 8 (6)
10 8 164
3 )
i i
i i
i
i 
260 48 30 24 21 9
164 41 82
i i i
i 
Ta có lại kết quả trước đây khi tiến hành chia hai số phức một cách hình thức. 
 Dựa vào nhận xét này, ta có thể tiến hành chia hai số phức mà không cần bận 
tâm đến công thức tìm số nghịch đảo của số phức. 
Chẳng hạn 
3 (3 )(1 ) 2 4
1 2
1 (1 )(1 ) 2
i i i i
i
i i i
hay 
1
2 2
1 10 8 10 8 5 2
.
10 8 (10 8 ) 10 8 8
(
2 41
10 8 )i
i i
i
i i
2.Bất đẳng thức tam giác 
2.1 Số phức liên hợp 
 Số phức liên hợp của z=a+bi , ký hiệu z , 
z a bi . 
(nói cách khác chỉ cần đối dấu phần ảo của z, ta được z ) 
 Một số tính chất của số phức liên hợp 
z z 
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
2 2
. .
z z z z
z z z z
z z
z z
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 10 
Ví dụ : Tính 
(a) , 3 15z z i 
(b) 1 2 1 2, 5 , 8 3z z z i z i 
(c) 1 2 1 2, 5 , 8 3z z z i z i 
Bài giải 
(a) 3 15 3 15 3 15z i z i i z 
(b) 1 2 1 213 2 13 2 13 2z i z z iz i 
(c) 1 2 5 ( 8 3 ) 5 ( 8 3 ) 13 2z z i i i i i 
 Với số phức z=a+bi, ta có 
( ) 2 ,
( ) 2
z a bi a bi a
z z a bi a bi b
z
i
2.2 Môđun của số phức 
 Cho z=a+bi, Môđun của z ký hiệu |z|, 
2 2| | a bz 
Môđun của một số phức là số thực không âm. 
 z là số thực (z=a+0i), 
2| | | |a az . Vậy Môđun của một số thực chính 
là giá trị tuyệt đối của số ấy. 
2 2 2 2| | | || |a b az z a ≥ a. 
Tương tự || | |z b b 
Các hệ thức diễn tả mối quan hệ giữa Môđun và số liên hợp của z: 
2 2). ( ( )z a bi a bi az b ⇒ 2|. |z z z 
| | | |z z 
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 11 
| | | |z z 
1 1 2
2 2 2
z z z
z z z
1 2
2
2| |
z z
z
Ví dụ:Tính 
6 3
10 8
i
i
Bài giải 
2
1 2 26 3 , 10 8 , 10 8 ,| | 164i z i z i zz 
26 3 (6 3 )(10 8 ) 60 48 30 24 21 9
10 8 164 164 41 82
i i i i i i
i
i
 Tính chất của Môđun số phức 
| | 0 0zz 
1 2 1 2| | || | |z z zz 
1 1
2 2
| |
| |
z z
z z
Thật vậy: 
2 2 0| 0| 0 0a b a bz z 
2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
2 2
1 2
| | ( )( )
( )( )
| | | |
z z z z z z
z z z z
z z z z
z z
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2| | | | | | | | | || |z z z z z z z z 
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 12 
2.3 Bất đẳng thức tam giác 
 Mối quan hệ giữa Môđun số hạng và Môđun tổng hai số phức: 
1 2 1 2| | | || |z zz z 
Chứng minh 
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2| ( )(| ) ( )( )z z z zz z z z z z 
⇒ 
2
1 2 1 1 1 2 2 1 2 2| |z z z z zz z z z z 
Lưu ý rằng 
2 1 2 1 2 1z z z z z z Nên 
1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 ( ) 2 | | 2 | || | 2 | || |z z z z z z z e z z z z z zz z z
2 2
1 1 1 2 2 2| | ; | |z z zz z z 
2
1 2 1 1 1 2 2 1 2 2
2 2
1 1 2 2 1
2 2
1 1 2
2
1 2
2
2
| |
| | | |
| | | | |
| | |
2 | ||
( )|
z z z z z z z z z z
z z z z
z z
z z
z z
z z
Nên 1 2 1 2| | | || |z zz z 
1 1 2 2
1 2 2
1 2 2 1 2 1 2
| | |
| | | |
| | | | | | | | | |
|
0
z z z
z z z
z z z z z z z
z
(giả sử 1 2| || |z z , 1 2| || |z z luôn 
đúng) 
Tương tự 
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 13 
1 2 1 1 22| | | | | | (| | | |) 0z z z z z z (giả sử 1 2| || |z z , 1 2| || |z z luôn 
đúng) 
Do đó 
2 21 1| | || | | ||z z z z 
Bây giờ thay z2 bởi –z2, ta có 
1 2 1 2
1 2 1 2
| | ||
|
| |
| || | | ||
z
z
z z z
z z z
3.Dạng lượng giác và dạng mũ 
3.1 Biểu diễn hình học của số phức 
Xét mặt phẳng Oxy, mỗi số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hoặc 
Vectơ có tọa độ (a;b) 
Trục Ox gọi là trục thực, Oy gọi là trục ảo, mặt phẳng trên gọi là mặt phẳng phức. 
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 14 
3.2 Dạng lượng giác 
 Xét số phức z=a+bi≠ 0, M(a;b) trong mặt phẳng phức. Số đo (rađian) của 
mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM 
gọi là một acgumen của z. 
 Cho z=a+bi≠ 0 
|z|=r>0, θ là acgumen của z. Khi đó 
cos
sin
a r
b r
cos( sin )z a bi r i : dạng lượng giác của số phức. 
 Lưu ý 
, 0z a bi a :
| |
tan
r z
b
a
, θ sai khác k2π, thường chọn –π<θ≤ π 
a=0, chọn 
2
. 
Vi dụ. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác 
(a) 31z i 
(b) z= -9 
(c) z=12i 
Bài giải 
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 15 
(a) r=|z|= 1 3 2 
 , tan
3 2
1 3
⇒ 
2 2
cos sin )
3
2(
3
z i 
Không được viết: cos sin )
3
2(
3
z i : dấu trừ trước côsin! 
Cũng như cos sin )
3
2(
3
z i : r<0! 
(b) 
81 0 9r
⇒ cos( i )9 s nz i 
(c) 
144 0 12
2
r
⇒ cos sin )
2
12
2
( iz 
3.3 Dạng mũ của số phức 
 Công thức Euler 
cos sini ie . 
 Dùng công thức trên số phức có thể được viết dưới dạng mũ: 
cos sin( ) iz r ri e 
 Làm việc với số phức dạng mũ có nhiều tiện lợi : 
2 2 2| | || cos sin| | | 0 cos s| ini r i rz rre 
Với z≠ 0, 
1 1 1 ( )1( )i i ire r e ez
r
⇒ 
1 1[cos( ) sin( )]z i
r
1 1 22 ( )
1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 22 1 2( )( ) cos( ) sin( )][
i i i
z re r e r r e z z r r iz
1
1 2
2
( )1 1 1
2 2 2
i
i
i
z re r
e
z r e r
1 1
1 2 1 2 2
2 2
[cos( ) sin( )], 0
z r
i z
z r
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 16 
 Lưu ý 
1 2 1 2( )z acgumenz aacgu cgummen z enz 
1
1 2
2
z
acgumen acgumenz acgumenz
z
1 2
1 1
2 1
1 2
2 1
2 2
( )
2
,
i i
z re r e
r r
z k
z
z Z
k
. 
4.Lũy thừa và khai căn 
4.1 Lũy thừa với số mũ n nguyên dương 
 Cho z là số phức có |z|=r, θ là một acgumen của z. Tức là 
iz re . 
( )n i n n inre r ez 
[ (cos sin )] (cos sin )n nr i r n i n :công thức Moa-vrơ(Moivre) 
Ví dụ: Tính 
5(3 3 )i 
Bài giải 
9 9 3 2r , 
3
tan
3
, chọn 
4
5 5 5 5 5[3 2(cos sin )(3 3 ] (3 2) (cos sin) )
4 4 4 4
i i i 
2 2
2( ) 972 972
2 2
972 i i 
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 17 
4.2 Căn bậc n của số phức 
 Khi r=1, ta có (cos sin ) cos sinni n i n . 
Trước hết tìm căn bậc n của đơn vị, tức là tìm số phức z sao cho 1
nz . 
Giả sử nghiệm 
0( ) 1 1i i n n in irz re e r e e 
Nên 
1
0 2
nr
n k
⇒ 
1
2
r
k
n
. k∈ ℤ 
Do đó căn bậc n của đơn vị là n sô phân biệt 
2
2 2
cos sin , 0,1,2 , 1
k
i
n
k k
i k n
n n
e . 
Ví dụ: Giải phương trình 
(a) 
2 1z 
(b) 
3 1z 
(c) 
4 1z 
Bài giải 
(a) Căn bậc hai của đơn vị gồm hai số 
2
2 , 0;1
k
i
i k
k e e k 
0
0 1e . 
1 cos sin 1
ie i 
(b) Căn bậc ba của đơn vị gồm ba số 3
2
, 0;1;2
k
i
k ke 
0
0 1e 
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 18 
2
1
3
2 2 1 3
cos sin
3 3 2 2
i
ie i 
4
2
3
4 4 1 3
cos sin
3 3 2 2
i
ie i 
(c) Căn bậc bốn của đơn vị gồm bốn số 4
2
2 , 0;1;2;3k
k k
i i
e e k 
0
0 1e 
2
1
2 2
cos sin
i
ie i 
2
2
2( ) cos sin 1i
i
e e i 
32
3
3
2
3 3
cos sin
2 2
( )
i i
e ie i 
Lưu ý : tổng các căn bậc n của đơn vị bằng 1. Thật vậy 
Các căn bậc n của đơn vị là 
2
, 10;1;2; ;n
k
k
i
ke n 
1 1
0 1
k n n
k k , (
2
n
i
e ) 
1
0
1
n
, (
2 cos2 sin2 1n ie i ) 
 Xét căn bậc n (n∈ N, n>1)của một số phức w tùy ý . Tức là tìm nghiệm 
phương trình 
nz w. Giả sử 
R=|w|, α là một acgumen của w. Tức là Reiw 
r =|z|, θ là một acgumen của z. Tức là eiz r 
)( i n i n ni iRe Rere r e 
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 19 
suy ra 
2
,n
k
r R
n
, k∈ ℤ . 
Vậy căn bậc n của Reiw là n số phân biệt: 
2
( ) 2 2
[cos( ) sin( )]
k
i
n nn n
ka R
k k
e R i
n n n n
, k=0,1,2 n-1. 
 Ví dụ: Tìm 
(a) Căn bậc hai của 2i 
(b) Căn bậc ba của 3 i 
Bài giải 
(a) 22 2
i
i e . Căn bậc hai của 2i có hai giá trị: 
( )
42
i k
k ea , k=0,1 
4
0 2 2(cos sin ) 1
4 4
i
a e i i 
5
( )
4 4
1
5 5
2 2 2(cos sin ) 1
4 4
i i
a e e i i . 
(b) 
( )
63 2
i
i e . Có 3 giá trị căn bậc ba là: 
2
( )
3 18 32
k
i
ka e , k=0,1,2 
18
( )
3
0
32 2[cos( ) sin( )] 1,24078
18 1
0,21878
8
i
e ia i 
2 11
( )
3 3 3318 18
1
11 11
2 2 2(cos s
18 18
in ) 0,43092 1,18394
i i
e e i ia
Complex Numbers Primer- Paul Dawkins - SỐ PHỨC- 
Lê Lễ-suphamle2341@gmail.com Page 20 
18 1
2 2 23
( )
3 3 33 8
2
23 23
2 2 2(cos si
18
n ) 0,80986 0,965
8
6
1
1
i i
e e i ia
 Lưu ý . 
 Với w≠ 0, các căn bậc n (n≥ 3) của w biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các 
đỉnh n giác đều nội tiếp đường tròn bán kính , | |n R R w . 
-----------------------------HẾT----------------------------------- 
Mời đọc: Bài tập số phức