PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
1. Biến đổi tương đương
2. ðặt ẩn phụ đưa về phương trình
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. Hệ đối xứng loại 1
GV: Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 1 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1. Biến ñổi tương ñương *2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0n nf x g x f x g x= ⇔ = ≥ * ( ) 02 ( ) ( ) 2( ) ( ) g x n f x g x nf x g x ≥ = ⇔ = * 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )++ = ⇔ = nn f x g x f x g x * 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )++ > ⇔ > nn f x g x f x g x * 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )++ < ⇔ < nn f x g x f x g x *2 ( ) ( )n f x g x< ⇔ ( ) 0 ( ) 0 2( ) ( ) f x g x nf x g x ≥ ≥ < * 2n f(x)>g(x) ⇔ ( ) 0 2( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 g x nf x g x g x f x ≥ > < ≥ Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 1) 2 3 0− + =x x 2) 4 1 1 2+ − − = −x x x 3) 22 6 1 1x x x+ + = + 4) 2 3 2 1 3 2 x x x x − − = − − 5) 24 1 4 1 1x x− + − = Ví dụ 2:Giải các bt sau 1) 22x -6x+1-x+2>0 2) ( 5)(3 4) 4( 1)x x x+ + > − 3) 2 2( 3 ) 2 3 2 0x x x x− − − ≥ 4) 2 1x x x+ − + ≤ 5) 2 2 4(1 1 ) x x x > − + + 6) 22( 16) 73 3 3 x x x x x − − + − > − − Bài tập: Giải các phương trình và bất phương trình sau. 1) 7 13 3 9 5 27x x x− − − ≤ − 2) 2 222 2(1 1 ) x x x − = + + 3) 2( 1) ( 2) 2− + + =x x x x x 4) 3(2 2) 2 6x x x+ − = + + 5) 1 1+ − − ≥x x x 6) 5 1 1 2 4x x x− − − > − 7) 2 2 2 1 1 4x x x+ + + − + = GV: Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 2 8) 12 3 2 1x x x+ ≥ − + + 9) 28 6 1 4 1 0x x x− + − + ≤ 10) 3 3 5 2 4x x x− − − = − 11) 2 7 5 3 2x x x+ − − ≥ − 12) 2 2( 3) 4 9x x x− + ≤ − 13) 1 1x x x+ − − ≥ 14) 2 24 3 2 3 1 1x x x x x− + − − + ≥ − 2. ðặt ẩn phụ ñưa về phương trình Ta thường ñặt ẩn phụ cho các biểu thức ñồng dạng Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 1) 2( 5)(2 ) 3 3x x x x+ − = + 2) 2 2 11 31x x+ + = 3) 3 6 3 (3 )(6 )x x x x+ + − = + + − 4) 2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16x x x x x+ + + = + + + − 5) 34 1 3 2 5 x x x + + − − = 6) 2 23 1 ( 3) 1x x x x+ + = + + Ví dụ 2: Giải các bpt sau 1) + + > − −2 25 10 1 7 2x x x x 2) 27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + − + + − ≤ − 3) 3 24 12 6x x+ + − ≤ Bài tập: Giải các pt và bpt sau 1) 1 4 ( 1)(4 ) 5x x x x+ + − + + − = 2) 23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − + 3) 2 2( 4) 4 ( 2) 2x x x x x− − + + − = 4) 3 2 41 1 1 1x x x x x− + + + + = + − 5) 2 22 5 6 10 15x x x x+ − − > + 6) 2 2 8 4 (4 )( 2) 0x x x x− + − − + ≥ 7) 221 1 3 x x x x+ − = + − 8) 29 9 9x x x x+ − = − + + 9) 1( 3)( 1) 4( 3) 3 0 3 x x x x x + − + + − + = − 10) 4 2 21 1 2x x x x− − + + − = Bài 2: Tìm m ñể các pt và bpt sau có no: 1) 1x x m− − > 2) m x m m x+ = − − 3) 2 2 22 5 2 x x m x x m+ + − − = 4) 2 2 1 2x mx m− + = − 5) 3 6 (3 )(6 )+ + − − + − =x x x x m 6) 2 22 2 2 1 2 4x x m x x− + = + − + Bài 3: Tìm m ñể pt: 22 3 1x mx x+ − = + có hai nghiệm phân biệt. Bài 4: Cmr với 0m∀ ≥ thì pt sau luôn có nghiệm: 2 2 2 35( ) 4 2 0 3 x m x m+ − + + − = Bài 5: Tìm m ñể pt sau có nghiệm: 2 2 4 2 2( 1 1 2) 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − − GV: Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. Hệ ñối xứng loại 1 1. ðịnh nghĩa: Là hệ có dạng ( ; ) ( ; ) f x y a g x y b = = (I) trong ñó f(x;y),g(x;y) là các biểu thức ñối xứng 2. Cách giải: ðặt S=x+y, P=xy. biểu diễn f(x;y),g(x;y) qua S và P ta có hệ ( ; ) 0 ( ; ) 0 F S P G S P = = giải hệ này ta tìm ñược S,P. Khi ñó x,y là no của pt: X2-SX+P=0 (1). 3. Một số biểu diễn biểu thức ñối xứng qua S và P 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( )( ) 3 ( ) ( ) 2 ( 2 ) 2 x y x y xy S P x y x y x y xy S SP x y y x xy x y SP x y x y x y S P P + = + − = − + = + + − = − + = + = + = + − = − − 4. Chú ý: *Nếu (x;y) là nghiệm của hệ (I) thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ * Hệ có nghiệm khi (1) có nghiệm hay 2 4 0S P− ≥ . 5. Các ví dụ Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau 1) 3 3 2 2 8 x y xy x y + + = + = 2) 2 23 3 3 3 3( ) 6 x y x y xy x y + = + + = 3) 3 1 1 4 x y xy x y + − = + + + = 4) 2 ( 2)(2 ) 9 4 6 x x x y x x y + + = + + = Ví dụ 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm 2 21) 2 1 x y m x y m + = + = + 2) 2 1 1 4 6 x y m x y m m + + − = + = − + 3) 1 1 3 x y x x y y m + = + = − 4) 2 2 2 6 x y m x y m + = + = − + gọi (x;y) là nghiệm. Tìm Max và Min của F=xy+2(x+y). Ví dụ 3: Cho x+y=1. Tìm GTNN của 3 3A x y= + . GV: Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 4 Ví dụ 4: Cho , 0x y ≠ thỏa mãn: 2 2( )x y xy x y xy+ = + − . Tìm Max 3 3 1 1A x y = + . Bài tập: Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 3 3 2 1) 26 x y x y + = + = 2 2 2 2) 4 x xy y x xy y + + = + + = 30 3) 35 x y y x x x y y + = + = 13 64) 5 x y y x x y + = + = 2 2 2 2 1 1 5 5) 1 1 9 x y x y x y x y + + + = + + + = 4 4 x 346) 2 y x y + = + = Bài 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm 2 21) 3 8 x y xy m x y y x m + + = + = − 2 2 2 2 1 2) 2 3 x y m x y m m + = − + = + − và xác ñịnh Min của xy. Bài 3: Cho x,y thỏa mãn x 3 y 2 3 x 1 y.− + = + − Tìm gtln và gtnn của x+y. II. Hệ ñối xứng loại 2 1. ðịnh nghĩa:Là hệ có dạng ( ; ) ( ; ) f x y a f y x a = = (II) 2. Cách giải: Trừ hai pt của hệ cho nhau ta ñược ( ; ) ( ; ) 0f x y f y x− = ( ) ( ; ) 0 ( ; ) 0 x y x y g x y g x y = ⇔ − = ⇔ = . 3. Các ví dụ Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau 2 2 3 2 1) 3 2 x x y y y x = + = + 2 2 3 2 2) 3 2 x y x y x y = + = + 9 7 4 3) 9 7 4 x y y x + + − = + + − = 2 2 2 2 23 4) 23 yy x x x y + = + = GV: Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 5 Ví dụ 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm 2 1 1) 2 1 x y m y x m + − = + − = 4 2 2) 4 2 x y m y y m + − = + − = Chú ý: Nếu hệ (II) có nghiệm (x0;y0) thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ nên hệ (II) có nghiệm duy nhất thì ñiều kiện cần là x0=y0. Ví dụ 3: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm duy nhất 2 2 1) x y y m y x x m = − + = − + 2 3 2 2 3 2 3 2 2) 3 2 x y y my y x x mx = − + = − + Bài tập: Bài 1: Giải các hệ phương trình sau 3 3 2 1) 2 x x y y y x = + = + 2 2 2 2 2 2 2) 2 2 x y x y y x y x − = + − = + 3 3 1 2 3) 1 2 x y y x + = + = 2 2 12 4) 12 x y y y x x = + = + 2 2 5) 2 2 x y y x + − = + − = 4 2 2 6) 4 2 2 x y y x + − = + − = 1 1 7) 1 1 x y y x + + = + + = 2 2 2 18) 2 1 y x y xy x = − = − Bài 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm 3 1) 3 x y m y x m + − = + − = 1 2 2) ( 0) 1 2 x y m m y x m + + − = ≥ + + − = GV: Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 6 Bài 3:Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm duy nhất 2 3 2 2 3 2 4 1) 4 y x x mx x y y my = − + = − + 2 2 2 2 2 2) 2 m x y y my x x = + = + 2 2 ( 1) 3) ( 1) x y m y x m + = + + = + 3 3 2 4) 2 x y x m y x y m = + + = + + III. Hệ ñẳng cấp 1.ðịnh nghĩa: *Biểu thức f(x;y) gọi là hệ ñẳng cấp bậc k nếu ( ; ) ( ; )kf mx my m f x y= *Hệ: ( ; ) ( ; ) f x y a g x y b = = trong ñó f(x;y) và g(x;y) ñẳng cấp gọi là hệ ñẳng cấp 2. Cách giải: *Xét x=0 thay vào hệ kiểm tra * với 0≠x ñặt y=tx thay vào hệ ta có: ( ; ) (1; ) ( ; ) (1; ) k k f x tx a x f t a g x tx b x g t b = = ⇔ = = (1; ) (1; ) ,af t g t t x y b ⇒ = ⇒ ⇒ . 3. Các ví dụ Ví dụ 1: Giải các hệ pt sau 2 2 2 2 3 1 1) 3 13 x xy y x xy y − + = − − + = 2 3 3 ( ) 2 2) 19 x y y x y − = − = 2 2 2 4 1 3) 3 4 x xy y y xy − + = − = Ví dụ 2:Tìm a ñể hệ bpt sau có nghiệm 2 2 2 2 5 4 2 3 2 17 4 2 2 5 x xy y a x xy y a − + ≥ − + + ≤ + . Bài tập: Giải các hệ pt sau 2 2 2 2 3 5 4 38 1) 5 9 3 15 x xy y x xy y + − = − − = 2 2 2 2 2 4 2) 2 2 4 x xy y x xy y + + = + + = 2 2 2 2 ( )( ) 3 3) ( )( ) 15 x y x y x y x y − − = + + = GV: Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 7 IV. Một số hệ khác Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau 3 3 1) 12 x y x y x y x y + = + − = − − ( )2 2 2 2 (1 ) 1 2) 3 1 y x x y x y + = + + = 3 3 3 2 2 1 19 3) 6 x y x y xy x + = + = − 3 3 2 2 3 3 4) 1 x y y x x y + = + + = 3 165) 3 8 x y x y = + = 3 1 1 6) 2 1 x y x y y x − = − = + Bài tập: Giải các hệ pt sau 3 1) 2 x y x y x y x y − = − + = + + 3 2) 4 1 1 2 x y x y x y x − = − + − − = − 2 1 13) 3 2 4 x y x y x y + + − + = + = V. Giải phương trình bằng cách ñặt ẩn phụ ñưa về hệ 1. Các dạng thường gặp * n nx b a ax b+ = − ñặt nt ax b= − ta có hệ n n x b at t b ax + = + = * ( ) ( )n ma f x b f x c− ± + = ñặt ( ), ( )n mu a f x v b f x= − = + ta có: n m u v c u v a b ± = + = + 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 3 31) 1 2 2 1x x+ = − 4 42) 17 3x x+ − = 33) 2 1 3x x− + + = 4 4 44) 1 1x x x= + − − 2 2 155) 8 8 5 16 x x x + + − = Ví dụ 2:Tìm m ñể pt sau có nghiệm 3 31) 1 2 1 2x x m− + + = 2) 3 6 (3 )(6 )x x x x m+ + − − + − = . GV: Nguyễn Tất Thu Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 8 Bài tập Bài 1. Giải các phương trình sau 2 23 3 31) (2-x) + (x+7) - (2-x)(x+7)=3 2 32) 2 4 2 x x x + + = 33 23) 2 2x x− = − 3 34) 1 2 1 2 2x x− + + = 3 33 35) 35 ( 35 ) 30x x x x− + − = 3 2 46) 1 1 1 1x x x x x− + + + + = + − 4 1 57) 2x x x x x x + − = + − 34 8 88) 17 2 1 1x x− − − = 2 49) 2 8 6 2 x x x + + + = 210) 2 4 6 11x x x x− + − = − + 2 211) 3 (2 9 3) (4 2)(1 1 ) 0 x x x x x+ + + + + + + = Bài 2: giải các hệ sau 2 2 2 2 2 1) 4 x y x y x y x y + − − = + + − = 3 3 3 2 2 1 19 2) 6 x y x y xy x + = + = − 2 2 2 2 2 6 3) 1 5 y xy x x y x + = + = 2 3 2 ( ) ( ) 12 4) ( ) 6 x x y y xy xy + = + = 2 2 3 5) 3 x y y x x y xy + = − + = 2 2 1 3 6) 1 3 x x yy x x y y + + = + + = 2 7) 1 x y x y y x y x + + − = + − − = 1 3 3 8) 12 8 x x y y x y y + + + − = + + = ( ) 9) 2 ( ) 3 x x y y x y x y − = + = 2 2 2 1 10) 1 x x y x y − + = + = 3 3 11) 12 x y x y x y x y + = + − = − −
Tài liệu đính kèm: