Phương trình mũ−logarit
a. Phương trình mũ:
Đưa về cùng cơ số
b> 0
f ( x)= loga b .
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số.
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 ± 3 ), (7 ±4 3 ), Nếu trong một
phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x)
rồi đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x.
1. Phương trình mũ−logarit a. Phương trình mũ: Đưa về cùng cơ số +0<a≠1: af(x)=ag(x) (1) ⇔ f(x)=g(x). + 0<a≠1: af(x)=b ⇔ ( ) = > bxf b alog 0 . Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0 Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số.. Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 3± ), (7 4 3± ), Nếu trong một phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x. Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x)⇔ f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c≠1. b. Phương trình logarit: Đưa về cùng cơ số: +logaf(x)=g(x)⇔ ( ) ( ) = ≠< xgaxf a 10 +logaf(x)= logag(x)⇔ ( ) ( )[ ] ( ) ( ) = >> ≠< xgxf xgxf a 00 10 . Đặt ẩn phụ. 2. Bất phương trình mũ−logarit a. Bất phương trình mũ: a f(x)>ag(x) ⇔ ( ) ( ) ( )[ ] >−− > 01 0 xgxfa a ; a f(x)≥ag(x) ⇔ ( ) ( ) ( )[ ] ≥−− > 01 0 xgxfa a . Đặt biệt: * Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) ⇔ f(x)>g(x); a f(x)≥ag(x) ⇔ f(x)≥g(x). * Nếu 0ag(x) ⇔ f(x)<g(x); a f(x)≥ag(x) ⇔ f(x)≤g(x). b. Bất phương trình logarit: logaf(x)>logag(x)⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] >−− >> ≠< 01 0,0 10 xgxfa xgxf a ; logaf(x)≥logag(x)⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ≥−− >> ≠< 01 0,0 10 xgxfa xgxf a . Đặt biệt: + Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x) ⇔ ( ) ( )( ) > > 0xg xgxf ; + Nếu 0logag(x) ⇔ ( ) ( )( ) > < 0xf xgxf . =MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. Biến đổi thành tích Ví dụ 1: Giải phương trình: ( ) ( )2 2 22 22 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0x x x x x x x x+ − −− − + = ⇔ − − = . Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích: ( ) ( )2 22 1 . 2 4 0x x x− − − = . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) ( )29 3 32 log log .log 2 1 1x x x= + − . Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: ( )3 3 3log 2 log 2 1 1 .log 0x x x − + − = . Đây là phương trình tích đã biết cách giải. Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành tích. II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 2( 2)3 2 5 0x xx x+ − + − = . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có: ( )2 2 2 2 5 0 1, 5 2t x t x t t x+ − + − = ⇒ = − = − . Thay vào (*) ta tìm được x. Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương. Ví dụ 2: Giải phương trình: ( ) ( ) ( )23 3log 1 5 log 1 2 6 0x x x x+ + − + − + = . Đặt t = log3(x+1), ta có: ( )2 5 2 6 0 2, 3t x t x t t x+ − − + = ⇒ = = − ⇒ x = 8 và x = 2. III. Phương pháp hàm số Các tính chất: Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có ( )( )f u f v u v= ⇔ = . Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b). Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì ( )bac ;∈∃ : ( ) ( ) ( ) ab aFbF cF − − =' . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì ( ) ( ) ( ); : ' 0 ' 0c a b F c F x∃ ∈ = ⇔ = có nghiệm thuộc (a;b). Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. Ví dụ 1: Giải phương trình: 2log2.3 3xx + = . Hướng dẫn: 2 2log log2.3 3 2.3 3x xx x+ = ⇔ = − , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương trình có nghiệm duy nhất x=1. IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên. 1.Dạng 1: Khác cơ số: Ví dụ: Giải phương trình 7 3log log ( 2)x x= + . Đặt t = 7log 7tx x⇒ = Khi đó phương trình trở thành: 3 7 1log ( 7 2) 3 7 2 1 2.3 3 t t t t tt = + ⇔ = + ⇔ = + . 2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp Ví dụ 1: Giải phương trình ( )4 2 256log ( 2 2) 2 log 2 3x x x x− − = − − . Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có ( )6 5log 1 logt t+ = . Ví dụ 2: Giải phương trình ( )6log2 6log 3 logxx x+ = . Đặt 6logt x= , phương trình tương đương 36 3 2 3 1 2 t t t t t + = ⇔ + = . 3. Dạng 3: ( )logb x ca x+ = ( Điều kiện: b = a + c ) Ví dụ 1: Giải phương trình ( )7log 34 x x+ = . Đặt ( )7log 3 7 3tt x x= + ⇒ = + , phương trình tương đương 4 14 7 3 3. 1 7 7 t t t t = − ⇔ + = . Ví dụ 2: Giải phương trình ( ) 42 5log3 +=+ xx . Đặt t = x+4 phương trình tương đương ( ) tt =+1log32 Ví dụ 3: Giải phương trình ( ) ( ) ( )3 3log 1 log 14 1 2 0x xx x+ +− − − = . 4. Dạng 4: ( )logax b ss c dx e xα β+ = + + + , với ,d ac e bcα β= + = + Phương pháp: Đặt log ( )say b dx e+ = + rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương trình một ta được: ax b ay bs acx s acy+ ++ = + . Xét ( ) at bf t s act+= + . Ví dụ: Giải phương trình 1 77 6log (6 5) 1x x− = − + . Đặt ( )71 log 6 5y x− = − . Khi đó chuyển thành hệ ( )( ) 1 1 1 1 1 7 7 6 1 1 7 6 5 7 6 7 6 1 log 6 5 7 6 5 x x x y y y y x y y x x − − − − − = − + = − ⇔ ⇒ + = + − = − = − . Xét hàm số ( ) 17 6tf t t−= + suy ra x=y, Khi đó: 17 6 5 0x x− − + = . Xét hàm số ( ) 567 1 +−= − xxg x Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2 nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2. 5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình. Ví dụ: Giải phương trình 1 1 1 8 2 18 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x− − − + = + + + + HD: Viết phương trình dưới dạng 1 1 1 1 8 1 18 2 1 2 2 2 2 2x x x x− − − − + = + + + + , đặt 1 12 1, 2 1. , 0x xu v u v− −= + = + > . Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: 8 1 18 . u v u v u v u v + = + = + Bµi tËp I Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh mò 1) 13 86 2 = +− xx ⇒x =2 vµ x=4. 2) xx −− = ) 2 25,0(4.125,0 82 ⇒x = 3 38 3) 52x-1+5x+1 - 250 = 0 ⇒x =2 4) 9x + 6x = 2.4x ⇒x =0 5) 4364 255 −− = xx ⇒x =7/5 6) 2243 93 −− = xx ⇒x = ? 7) 22x-3 - 3.2x-2 + 1 = 0 ⇒x =1 vµ x=2 8) 2442 ) 2 5() 5 2( −− = xx ⇒x =1 9) 033.43 24 =+− xx ⇒x =0 vµ x= 4 1 10) 52x - 7x - 52x.35 + 7x.35 = 0 ⇒x = 2 1 − 11) 4 410 2 9 2 2 x x + = − ⇒x =3 12) 33,0.2 100 32 += x x x ⇒x = 13lg 3lg − 13) xx 1001,0.1000 = ⇒x =1 vµ x= 2 1 14) 73 31 3 13 82 − −− − = x xx x ⇒x ∈Φ 15) 2x.5x=0,1(10x-1)5 ⇒x = 2 3 16) 363.2 =xx ⇒x =4 17) 42 1)1( 39 = −−xx ⇒x = 2 3 vµ x= 2 1 − 18) 431 ) 3 4( 2 1 3 4 .) 4 3( −− = xx ⇒x =2 19) 3x+3x+1+3x+2=5x+5x+1+5x+2 ⇒x = 43 31log 5 3 20) 2x+2x-1+2x-2=7x+7x-1+7x-2 ⇒x = 343 228log 7 2 21) 44 xx xx = ⇒x =1 vµ x= 3 256 22) 161 42.2 ++ = xx ⇒x = 2 1 23) 4)32()32( =++− xx ⇒x =? 24) 10)625()625( =++− xx ⇒x =2 vµ x=-2 23) xxx )22()154()154( =++− ⇒x =2 24) xxx )5()23()23( =++− ⇒x =? 25) 32)125(7)215( +=++− xxx ⇒x =0 vµ x= 7log 2 215+ 26) 2)625()625( sinsin =−++ xx ⇒x= Πk víi: Zk ∈ 27) 2653 +=+ xxx ⇒x=0 vµ x=1 28) 21 )1(22 2 −=− −− xxxx ⇒x=1 29) 093.613.73.5 1112 =+−+− +−− xxxx ⇒x= 5 3log3 ;x= 5log3− 30) 112 323 −− += xx ⇒x =? 31) 11 34 2 =− +− xx x ⇒x=0;x=2;x=3 32) xxx 6242.33.8 +=+ ⇒x=1 vµ x=3 33) x x 231 2 =+ ⇒x=2 34) 022.92 2212 22 =+− +++ xxxx ⇒x=-1;x=2 35) 8444)24(2 22 1 −−+=−−+ xxxxx ⇒x=1/2 36) 4x2+ x.3x + 3x+1 =2x2.3x + 2x + 6 ⇒x=-1;x=3/2; 3 31; ; log 2 2 ∈ − 37) 4sinx-21+sinx.cosxy+ y2 =0 ⇒x=kΠ ;y=o vµ k∈Z 38) 11 2 19 −++ − = xx x ⇒x= 2log3± 39) 1 2 12 33 12.623 =+ − −− x xx x ⇒x=1 40) 12122 112 +=−− +++ xxx ⇒x∈ { } [ )∞−∪− ;13 41) 1)1( 342 =+ +− xxx ⇒x∈ { }3;1;0 42) 1313)1(3)4( 111 ++−+=−+ +−− xxx xxx ⇒x∈ { } [ ]1;01 ∪− 43) xx xx = ⇒x=1 vµ x=4 44) 232 14231 =+ +−−+ yxyx ⇒x=0,5 vµ y=0,5 45) 2 2 4 2 13 3 6 7 1 2.3x xx x+ ++ − + = + ⇒x=-1 46) )32(10 101)32()32( 1212 22 − =−++ −−+− xxxx ⇒x= )32lg( )32(10lg1 + +± Bài 2: Giải và biện luận phương trình: a . ( )2 .2 .2 0x xm m m−− + + = . b . .3 .3 8x xm m −+ = . Bài 3: Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm: ( 4).9 2( 2).3 1 0x xm m m− − − + − = . II: Giải các phương trình logarit 1) 3loglog29log 222 3. xxx x −= ⇒x=2 2) xx 32 log)1(log =+ ⇒x=9 3) lg(x2-x-6) + x =lg(x+2) + 4 ⇒x=4 4) )2(log2)2(log5log)1(log 25 15 5 1 2 5 −−+=++ xxx ⇒x= 21 /2 5) 016)1(log)1(4)1(log)2( 323 =−+++++ xxxx ⇒x=2, x= 81 80 − . 6) 5,1lg)1(log =+xx ⇒x Φ∈ 7) 2 1)213(log 23 =+−−+ xxx ⇒x 2 53 +− = vµ x = 2 299 − 8) xx −=− 3)29(log2 ⇒x=0 vµ x =3 9) x x x x 2 3 323 log2 1 3 loglog3log +=− ⇒x=1 vµ x = 8 3 10) log2x + 2log7x = 2 + log2xlog7x ⇒x=7 vµ x = 4 11) 2log)2(log 22 =++ + xx xx ⇒x=2 12) )32(log)44(log 1 2 12 −−=+ +xx x ⇒x=2 13) 4)21236(log)4129(log 232273 =+++++ ++ xxxx xx ⇒x= -1/4 14) )1(log2 2log 1)13(log 2 3 2 ++=+− + xx x ⇒x=1 15) 1)69(loglog 3 =−xx ⇒x Φ∈ 40) 13)23.49(log 13 +=−−+ xxx ⇒x=0 vµ x= 1)153(log3 −+ 41) 2 22 4log6log 2 3.22log4 x xx =− ⇒x= 1/4 16) 293 32 27 )3(log2 1log 2 1)65(log −+−=+− xxxx ⇒x=5/3 17) 382 2 4 )4(log4log2)1(log xxx ++−=++ ⇒x=2 vµ x= 242 − 18) )2(loglog 37 += xx ⇒x=49 19) 23 2 3 2log)1(log xxxxx −=−++ ⇒x=1 20) log2(x 2+x+1)+log2(x 2-x+1)=log2(x 4+x2+1)+log2(x 4-x2+1) ⇒x=0 x=± 1 21) 3)29(log2 =−+ xx ⇒x=0 vµ x=3 22) )93.11(log)33(log3log)1( 5155 −=++− + xxx ⇒x=0 vµ x=2 23 ) 3log 2 1log 2 1)65(log 33229 −+ − =+− x x xx ⇒x=5/3 III .Giải c¸c hÖ phương trinh mò Bài 1: Giải c¸c hÖ phương trình sau: a. 3 2 3 4 128 5 1 x y x y + − − = = b. 2( ) 1 5 125 4 1 x y x y + − − = = b. 23 2 77 3 2 7 x y x y − = − = d. 2 2 12 5 x y x y + = + = e. 22 4 23 6 x y x y x y x y m m m m n n n n − − + + − = − − = − với m, n > 1. Bài 2: Giải c¸c hÖ phương trình sau: a 2 2 lgx lgy 1 x y 29 + = + = b. 3 3 3 log x log y 1 log 2 x y 5 + = + + = c. ( ) ( ) ( ) 2 2lg x y 1 3lg2 lg x y lg x y lg3 + = + + − − = d. 4 2 2 2 log x log y 0 x 5y 4 0 − = − + = e. ( ) ( ) x y y x 3 3 4 32 log x y 1 log x y + = + = − + f. y 2 x y 2 log x log xy log x y 4y 3 = = + IV: Giải các hÖ phương trình logarit 1) =+ +=+ 3 2)(log 2log2loglog 27 333 yx yx ⇒ (3;6) & (6;3) 2) =+ =+ 16 3log2log 44 22 yx yx ⇒ ( 22 ; 4 8 ) 3) −= −= xy yx 22 2 3 22 log8log 2logloglog5 ⇒ (2 3 2 ; 3 2 32 ) 4) = =−++ 3 3)(log)(log 22 xy yxyx ⇒ (3;1) & ( 7 33 ; 3 7 ) 5) =+ = 2222 2 )(lg 2 5lglg ayx axy ⇒ (a3; a 1 ) & ( a 1 ,a3) 6) =− =+ 2lglglg 1)(lg 2 xy yx ⇒ (-10;20) & ( 3 10 ; 3 20 ) 7) =+ =+ 2)23(log 2)23(log xy yx y x ⇒ (5;5) 8) =− =+ 1loglog 272 33 loglog 33 xy yx xy ⇒ (3;9) & ( 9 1 ; 3 1 ) 9) +=+ +=+ 3 2loglog12log 2 3loglog3log 333 222 yyxx xyyx ⇒ (1;2) 10) =− =+ 1loglog 4 44 loglog 88 yx yx xy ⇒ (8;2) & ( 2 1 ; 8 1 ) 11) = =+ 8 5)log(log2 xy yx xy ⇒ (4;2) & (2;4) 12) −=+−+−+ +=+−+ 1log)4224(log)1(log )3(log12log)(log 4 2 44 44 22 4 y x xyyxy yxxyx ⇒ (2;1) vµ (a;a) víi a *+∈ R 13) =+ +−=− 1 )1)(log(log 22 22 yx xyxyee yx ⇒ ( 2 2 ; 2 2 ) 14) =+− =− 045 0loglog 22 24 yx yx ⇒ (1;1) vµ (4;2) 15) =− =− 6 7loglog 2)(log 4 yx yx x x ⇒ (5;2) 16) =+−− =+ 5,0)213(log 7,1lg)1(log 2 3 xx xx ⇒ ( 2 53 +− ; 2 299 − ) 17) =− =+ 1lg3 3lg2 2 xy xy ⇒ ( 10 ;4) 18) = = 19log 0logloglog 2 y xx y ⇒x=? 19) =+ = + 3)23(log 2log 1 y y x x ⇒ (2;4) 20) =−−+ =− 1)(log)(log 2 32 22 yxyx yx ⇒x=? 21) =−−+ =− 1)3(log)3(log 39 33 22 yxyx yx V .Giải bất phương trình mò Bµi 1: Gi¶i c¸c bÊtph−¬ng tr×nh sau 1) xxx 3413154 ) 2 1() 2 1( 2 −+− < ⇒ x =? 2) 22x-1 + 22x-3 - 22x-5 >27-x + 25-x - 23-x ⇒ x>8/3 3) 8433 131 >+ + xx ⇒ 0<x<1 4) 62.3.23.34 212 ++<++ + xxxx xxx ⇒ x =? 5) 1 1 1 )25()25( + − − −≥+ x x x ⇒ x ≥1 6) 0 12 1221 ≤ − +−− x x x 7) 7x+7x+1+7x+2=5x+5x+1+5x+2 8) 1)1( 22 2 ≤+− + xxxx 9) xxxxxx 21212 222 15.34925 +−++−++− ≥+ 10) 12 2 < −−xx x 11) 1 1 1 )25()25( + − − −≥+ x x x 12) 623..233.4 212 ++<++ + xxxx xxx 13) xxxxxxxx x 3.4352.3.22352 222 +−−>+−− 14) 12) 3 1(3) 3 1( 112 >+ + xx 15) xxxx ++ +≤ 142.34 16) xxxx 433.54 5,0125,0 −>− −−+ 17) (x2+x+1)x<1 Bài 2: Giải bất phương trình sau: 12 1 2 0 2 1 x x x − + − ≤ − . Bài 3: Cho bất phương trình ( )14 . 2 1 0x xm− − + > a. Giải bất phương trình khi m=16 9 . b. Định m để bất phương trình thỏa x R∀ ∈ . Bài 4: a. Giải bất phương trình : 2 1 21 19. 12 3 3 x x + + > (*) b. Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất phương trình: ( )22 2 2 3 0x m x m+ + + − < VI .Giải bất phương trình logarit Bài 1: Giải bất phương trình: a. ( )28log 4 3 1x x− + ≤ b. 3 3log log 3 0x x− − < c. ( )21 4 3 log log 5 0x − > d. ( ) ( )21 5 5 log 6 8 2 log 4 0x x x− + + − < e. 1 3 5log log 3 2 x x + ≥ f. ( )9log log 3 9 1xx − < g. 2 2log 2.log 2.log 4 1x x x > h. 1 3 4 6log 0x x + ≥ i. ( ) ( )2 2log 3 1 log 1x x+ ≥ + − j. 8 1 8 22 log ( 2) log ( 3) 3 x x− + − > k. 3 1 2 log log 0x ≥ l. 5log 3 4.log 5 1xx + > m. 2 3 2 4 3 log 0 5 x x x x − + ≥ + − n. 1 3 2 log log 1x x+ > o. ( )22log 5 6 1x x x− + q. 2 2 3 1 5log 1 0 2x x x x + − + ≥ r. 6 2 3 1log log 0 2x x x + − > + Bài 2) )2(log3log6log 3 1 3 1 2 3 +>−+−− xxxx ⇒x =? Bài 3) 2)22(log)12(log 1 2 12 −>−− +xx ⇒x ( )3log;5log2 22+−∈ Bài 4 ) )3(log53loglog 242 2 1 2 2 −>−+ xxx ⇒x ( )16;82 1 ;0 ∪ ∈ Bài 5) 32log2log xx xx ≤ ⇒x [ )∞∪ ∈ ;2 2 1 ;0 3 Bài 6) 3)5(log )35(log 3 ≥ − − x x a a víi: 0<a 1≠ ⇒x [ ]3;2∈ Bài 7) )1(loglog)1(loglog 2 5 13 2 5 2 1 xxxx −+>++ ⇒x ∞−∈ 5 12 ; Bài 8) log2xlog32x + log3xlog23x o≥ ⇒x [ )∞∪ ∈ ;1 6 6 ;0 Bài 9) x xxx x x 3 35 5 log )log2(log 3 loglog −<+ ⇒x ( )3;1 5 5 ;0 ∪ ∈ Bài 10) 2222432 655log)(log65 xxxxxxxxxx −+++−>−++ ⇒x ∈ 3; 2 5 11) 0 352 )114(log)114(log 2 32 11 22 5 ≥ −− −−−+− xx xxxx ⇒x ( )152;2 −−∈ Bài 12) )112(logloglog2 3329 −+> xxx ⇒x ( )4;1∈ Bài 13) 0 132 5 5lg < +− − + x x x x ⇒x ( ) ( )3;10;5 ∪−∈ Bài 14: Cho bất phương trình: ( ) ( )2 2log 2 log 2 3a ax x x x− − > − + + thỏa mãn với: 9 4 x = . Giải bất phương trình. Bài 15: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 2lg lg 3 0 1 x m x m x − + + ≤ > . Bài 16: Cho bất phương trình: ( ) ( )2 1 2 3 3 logx m x m x m x− + + < − a. Giải bất phương trình khi m = 2. b. Giải và biện luân bất phương trình. Bài 17: Giải và biện luân bất phương trình: ( ) ( )log 1 8 2 1xa a x−− ≥ − VII. Gi¶i hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh mò Gi¶i c¸c hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh sau : 1 . 2 22 1 2 2 2 2 9.2 2 0 2 5 4 3 x x x x x x x + + + − + = − < − + − §S x=2 ; 2) ( ) ( )2 23 4 2 42 3 2 3 2 3 35 121 x x x x x − − + + − ≤ − + > − §S 5 2 3 x< ≤ 3 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 x y x y x y xy x y − − + + + + ≥ + ≥ + + §S 1 2 x y= = ; 4) ( ) 2 22 2 3 2 2 2 1 log 2 2 0 x y x y − = − − ≤ §S ( ) 2 2 3log 2 0 1 1 2 y y x y ≠ ≤ ≤ = ± − + 5) 2 2 1 2 x y x y + ≤ + ≥ − 6) 4 4 1 1 x y x y + ≤ + ≥ − VIII .Gi¶i hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh logarit Bµi 1: Gi¶i hÖ bÊt ph−¬ng tr×nh: a. 2 2 x 4 0 x 16x 64 lg x 7 lg(x 5) 2 lg2 + > − + + > − − b. ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x x x 1 lg2 lg 2 1 lg 7.2 12 log x 2 2 + − + + < + + > c. ( ) ( ) 2 x 4 y log 2 y 0 log 2x 2 0 − − − > − > d ( ) ( ) >+ +<++− + 22log )122.7lg()12lg(2lg1 1 x x x xx IX .Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh (cã ®iÒu kiÖn) sau: 1) T×m gÝa trÞ Min cña hµm sè: y= )1(log)3(log 2321 22 ++− −+ xx xx . 2) T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: (2 xx =− 2)1 . *) Thuéc miÒn x¸c ®Þnh cña hµm sè: y= lg(4x-1) ⇒x=1 *) Thuéc miÒn x¸c ®Þnh cña hµm sè: y= ln(x2- x-2) ⇒x=-5/3 3) Gi¶i: logaaxlogxax= aa 1log 2 víi: 0<a≠ 1 ⇒x=1/a2 vµ x= a 1 4) X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh: 0)22(log2)32(log4 2 1 22 2 2 =+−++− +−−− mxxx xxmx cã ba nghiÖm? ⇒m=1/2 , m =3/2 vµ m=1 5) §Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh: 0)122(log)4(log 3 1 2 3 =−−++ mxmxx cã nghiÖm duy nhÊt? ⇒m=0 , ≤− 2 1 m 10 1−≤ 6) §Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh: 2)1(log log 5 5 = +x mx cã nghiÖm duy nhÊt? ⇒m=? 7) T×m x ®Ó: )13(log)65(log 2222322 −−=−+− + xxxmxm m ®−îc nghiÖm ®óng víi mäi m? ⇒x=5. 8) T×m x ®Ó: )15(log)535(log 22222 −−=−++− + xxmxxm m ®óng víi ∀m⇒x=? 9) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh: lg(x2+mx) – lg(x-3) = 0 cã nghiÖm? 10) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th×: 2lg 1lg 2 2 + += x xy ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt? 11) Cho hµm sè: )2(log )1( +− −+ = mmx mxm y a víi: 0<a 1≠ a) T×m miÒn x¸c ®Þnh cña hµm sè khi m= 2 1 − b) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó hµm sè x¸c ®Þnh víi 1≥∀x . 12) T×m m ®Ó c¸c nghiÖm x1,x2 cña : 0)2(log)422(log2 22 2 1 22 4 =−++−+− mmxxmmxx tho¶: 1 2 2 2 1 >+ xx 13) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó: 01)2(log)5()2(log)1( 2 1 2 2 1 =−+−−−−− mxmxm cã 2 nghiÖm tho¶ mSn: 2<x1 ≤x2<4. 14) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh: )3(log3loglog 242 2 1 2 2 −=−+ xmxx cã nghiÖm thuéc [ )+∞;32 15) Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh: 4)2(log 2 2 2 =+ − mx x tuú theo m R∈ . 16) Gi¶i vµ biÖn luËn : ) 2 1(log)2(log) 2 1(log])13(1[)2(log])2(1[ 2 11 2 3 2 11 22 3 2 xxx x mxxm −+−=−−++−++ 17) Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh: 2lgx - lg(x-1) = lga víi a∈R. 18) Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh: 2x2 +(1- log3m)x+ log3m – 1 = 0 víi m *+∈ R 19) Gi¶i vµ biÖn luËn ph−¬ng tr×nh: 0logloglog 2 =++ aaa xaaxx víi a *+∈ R 20) T×m m ®Ó: 0log)1(log 25225 =++++ −+ xmmxx cã nghiÖm duy nhÊt? 21) T×m m ®Ó: 0)(log)4(log 2 7 17 =−++− xmxxm cã ®óng hai nghiÖm ph©n biÖt? 22) Cho ph−¬ng tr×nh: 04)1lg()1(2)1(lg)1( 22222 =+++−−+− mxxmxx a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi: m=-4 b) T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã ®óng hai nghiÖm tho¶: 31 ≤≤ x 23) T×m a ®Ó: xaxx aa log)3(log 2 =−+ cã nghiÖm? 24) T×m a ®Ó: log2(2 x+1).log2(2 x+1+2)=2+a cã nghiÖm? 25) T×m a ®Ó: )2(log)2(log 22 2 2 ++ =+++ xx a axx X Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh (cã ®iÒu kiÖn) sau: 1) Trong c¸c nghiÖm cña: 1)(log 22 ≥++ yxyx HSy t×m nghiÖm cã tæng: x+2y lín nhÊt? 2) Chøng minh r»ng: 2 log2loglog 222 baba +≤+ Víi: a,b ≥ 1 3) T×m nghiÖm cña: 32sin 2 1 sin3 2 ≥+ xx Tho¶ mSn: lg(x2+x+1)<1 4) Gi¶i: loga(x 2-x-2)>loga(-x 2+2x+3) biÕt nã cã mét nghiÖm x=9/4. 5) Cho 03log)6(log)15(log 2521 ≥++++++ a a axxaxx .T×m a ®Ó bpt cã nghiÖm duy nhÊt? t×m nghiÖm ®ã? 6) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× bpt: log2a+1(2x-1)+loga(x+3)>0. §−îc tho¶ mSn ®ång thêi t¹i x=1 vµ x=4 7) Gi¶i vµ biÖn luËn theo a: logxa + logax + 2cosa 0≤ 8) Cho hai bÊt ph−¬ng tr×nh: logx(5x 2-8x+3)>2 (1) vµ x2 - 2x + 1 - a4 0≥ (2). X¸c ®Þnh a sao cho: Mäi nghiÖm cña (1) còng lµ nghiÖm cña (2) ? 9) Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph−¬ng tr×nh: logx100 - 2 1 logm100 > 0. 10) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× bpt: 3)2(log 2 2 1 −>+− mxx cã nghiÖm vµ mäi nghiÖm cña nã ®Òu thuéc miÒn x¸c ®Þnh cña hµm sè: 2log)1(log 13 −+= + xxy xx 11) Gi¶i vµ biÖn luËn: xax xa 21log >+ 12) Cho: xmxmxmx 2 1 2 log)(3)3( −<++− (1). a) KiÓm nghiÖm r»ng víi m=2 th× bÊt ph−¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm? b) Gi¶i vµ biÖn luËn (1) theo m! 13) Cho 3)5(log )35(log 3 > − − x x a a (1). Víi: 0<a≠ 1 vµ 1+log5(x 2+1)- log5(x 2+4x+m)>0 (2).T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho mäi nghiÖm cña (1) ®Òu lµ nghiÖm cñ (2)? 14) T×m c¸c gi¸ trÞ x tho¶: x>1 nghiÖm ®óng bpt: 1)1(log 22 2 <−++ mx m xx Víi: .40 ≤3 15) Gi¶i vµ biÖn luËn: 2log 2 1loglogloglog 22 aaaaa xx ≥+ ⇒x=? 16) Gi¶i vµ biÖn luËn: 1)1(log 2 2 1 <++ axx ⇒x=? 17) T×m m sao cho: logm(x 2-2x+m+1)>0. §óng víi mäi x. ⇒x=? 18) T×m m ®Ó: 02)5(log6)5(log3)5(log 25 155 5 1 ≤+−+−+− xxx vµ: 0)35)(( ≥−− xmx chØ cã 1 nghiÖm chung duy nhÊt? ⇒x=? 19) T×m m ®Ó [ ]2;0∈∀x ®Òu tho¶: 5)2(log2log 2422 ≤+−++− mxxmxx ⇒x=? 20) Cho bÊt ph−¬ng tr×nh: xax 22 loglog >+ a) gi¶i khi a=1? ⇒x ∈ + 2 51 2; 2 1 b) X¸c ®Þnh a ®Ó bpt cã nghiÖm? ⇒a 4 1 −≥ 21) §Þnh m ®Ó: logx-m(x 2-1)>logx-m(x 2+x-2) cã nghiÖm? ⇒x =? 22) T×m m ®Ó: 0) 1 log1(2) 1 log1(2) 1 log2( 2222 ≥++−++++− m m m m x m m x cã nghiÖm duy nhÊt? ⇒m= 31 32 − 23) T×m m ®Ó: xmxmxmx 2 1 2 log)(3)3( −≤++− cã nghiÖm duy nhÊt? t×m nghiÖm ®ã? ⇒m=3
Tài liệu đính kèm: