Chuyên đề Về đại số tổ hợp

1. 	Giai thừa : 	n! = 1.2...n; 	
 	0! = 1;	n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n
2. 	Quy tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n.
3. 	Quy tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n.
4.	Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. 
 	Số cách xếp : Pn = n !.
5. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách : . (n Î N; k ≤ n)	
6. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. 
 	Số cách chọn : 
 	Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị
7. Công thức nhị thức Niutơn
(a+b)n ==
Chú ý: ŸVế phải có n+1 số hạng .
 Ÿ Mũ của a và b trong mỡi số hạng có tổng bằng n .
 Ÿ Số hạng tổng quát thứ k+1 có dạng : Tk+1= 
 Ÿ Tổng các hệ số là : 2 n
Một số công thức đặc biệt:
Đặt P(x) = 
P(x) là đa thức bậc n nên ta có thể tính giá trị tại một điểm bất kì; lấy đạo hàm; tích phân trên một đoạn bất kì. Khi đó ta có các bài toán mới.
Ví dụ: P(2001) = 
¯
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ 
¯ 
Ÿ
¯....
1. Các bài toán về phép đếm: 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Thường lập luận để có thể coi mỗi sự việc mà ta phải đếm hoặc chọn là việc lấy ra k phần tử từ một tập hợp A có n phần tử (k≤ n).
¯ Nếu k phần tử được lấy ra từ tập A không có vấn đề thứ tự thì dùng số tổ hợp chập k của n phần tư của tập A .
¯ Nếu giữa k phần tử lấy ra từ A có vấn đề thứ tự phải chú ý
Ÿ Nếu vai trò các phần tử được lấy ra từ A như nhau(nghĩa là các phần tử của A có cơ hội đồng đều trong sự lựa chọn)thì dùng số chỉnh hợp khi k< n và dùng hoán vị khi k = n.
Ÿ Nếu vai trò các phần tử lấy ra từ A khác nhau thì lý luận bằng qui tắc đếm 
Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau.
HD: Xét 2 trường hợp. ĐS: .
Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên 
a) Chẵn gồm 4 chữ số 	ĐS : 3.63 	
b) Lẻ gồm 4 chữ số 	ĐS : 3.63 
c) Chẵn không ít hơn 4 chữ số và không vượt quá 6 chữ số 
d) 5 chữ số khác nhau có mặt số 2 ? .
e) 5 chữ số khác nhau có mặt 2 số 1 và 6 ? 
f) 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ số cuối một đơn vị.
HD: c) Xét 3 trường hợp TH1 : Gồm 4 chữ số .	TH2 : Gồm 5 chữ số. TH3 : Gồm 6 chữ số.	 	ĐS : 3(63 + 64 + 65)
d) Chữ số 2 có có 5 vị trí vậy có 5..5= 600 số .
e) Số 1và 6 có , xếp 4 số vào 3 vị trí còn lại là . ĐS.= 480 
f) Vì tổng tất cả các số là 21 nên tổng ba số đầu là 10, ba số cuối là 11.
Có 3 cặp số thoả mãn là:
+ Cặp 3 số đầu gồm 1, 4, 5 ba số cuối gồm 2, 3, 6. Có 3!.3! = 36 số.
+ Cặp 3 số đầu gồm 2, 3, 5 ba số cuối gồm 1, 4, 6. Có 3!.3! = 36 số.
+ Cặp 3 số đầu gồm 1, 3, 6 ba số cuối gồm 2, 4, 5. Có 3!.3! = 36 số.
Vậy có: 3.36 = 108 số.
Bài 3: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh 3.
HD: Coi hai số 2 và 3 là một cặp. Xét 2 trường hợp: 
+ TH1: cặp 2,3 đứng đầu, có: 2.4! = 48 số.
+ TH2: cặp 2, 3 đứng ở các vị trí khác, có:4.2.3.3! = 144.	ĐS: 192
Bài 4:Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên 6 chữ số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8. 
Bài 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số 1 và 5. 
 Bài 6: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ. ĐS 4:. ĐS B5:. ĐS6: 
Bài 7: Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác gồm 3 nguời có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?	ĐS: 90 cách
Bài 8: Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số?	ĐS: 64 cách
Bài 9: Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 người, sao cho mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật.	ĐS: 150 cách
Bài 10: Cho hình thập giác đều. 
1) Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác, nhưng cạnh của tam giác không là cạnh nào của thập giác đó?	ĐS: 50 tam giác; 10 hcn
2) Hỏi có thể lập được bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh của thập giác? 
Bài 11: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên, Hỏi có bao nhiêu cánh xếp trong mỗi trường hợp sau:
1) Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc ngồi đối diện nhau thì khác trường.	ĐS: 1) 2.6!.6! 	2) 12.10.8.6.4.2.6!
2) Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường.
Bài 12: Đội tuyển học sinh giỏi của trường gồm 18 em. Trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh được chọn 
HD: . 
2. Các bài toán nhị thức, phương trình bất phương trình tổ hợp, chỉnh hợp
Giải các PT, BPT:
a) 	(n = 6)	b)(n=5)
c) 	(n ≥ 2)	d)(nÎ{3;4})
Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k 0:	ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3).
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 4). Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A. 	ĐS: A có 18 phần tử.
CMR : .
 	HD:
Lấy đạo hàm hai vế ta có : chọn x = 1 Þ đpcm.
CMR : 2
 	HD: Xét : == (1 )
Mà
 (2). Từ (1) và (2) Þ đpcm 
 Tính : và S = 
HD : = 
 => S = 
CMR:
HD : Khai triển : ( 1+x ) n thay x= 4 Þ đpcm.
CMR:
HD: Khai triển : ( 3x-1)16 chọn x = 1 Þ đpcm.
Tìm x ; y thuộc N* : . ĐS : x=8 ; y = 3
 CmR : 
HD: Xét : (1+x) n khai triển. Lấy đạo hàm 2 vế. Chọn x = 1 Þ đpcm .
Trong khai triển : hãy tìm số hạng không chứa x . Biết :. HD: k = 5 Þ
Tính . Đổi biến: u= 1+x3 có
Mặt khác ta có :
Nhân hai vế cho x2 , lấy tích phân hai vế . 
Tìm nguyên hàm thế cận từ 0 −> 1 ta được vế trái .
A-2002 Cho khai triển : . Biết : và số hạng thứ tư bằng 20. Hãy tìm n và x ? 	ĐS : n = 7 và x= 4 .
D-2002 Tìm n Î N*: 
ĐS : Xét (1+x ) n và chọn x= 2 => n= 5.
A- 2003 Tìm hệ số của x8 trong khai triển.
Biết :.	HD : K= 4 => .
B-03 Cho nÎN* tính:
Xét : (1+x) n Khai triển tính tp hai vế ta có :
D2003 Với n Î N*, gọi a3n - 3 là hệ số của x3n -3 trong khai triển thành đa thức của biểu thức (x2 +1)n(x+2)n. 
Tìm n để a3n-3 = 26n. 	ĐS: n = 5.
A-2004 Tìm hệ số của x8 trong khai triển :[1+x2( 1-x)]8 
Hd:Số hạng thứ 4 và thứ 5:
D04 Tìm số hạng không chứa x:(x > 0)ĐS : k = 4 Þ 35 
 B- 2004 Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau : 5 câu khó ;10 câu tb ; 15 câu dễ. Hỏi từ 30 câu trên lập được bao nhiêu đề kiểm tra sao cho mỗi đề có 5 câu khác nhau trong đó mỗi đề nhất thiết phải có 3 loại câu hỏi : khó ; tb ; dễ và câu dễ không ít hơn hai .
Giải : Có ba THợp Ÿ2dễ + 1TB + 2 khó: 10500. Ÿ 2d + 2TB +1khó: 23625 Ÿ 3d + 1TB + 1 khó: 22750 . Tổng : 56.875 .
A- 2005Tìm số nguyên dương n sao cho :
Xét:( 1-x) 2n+1. Khai triển, lấy đạo hàm hai vế, chọn x=2: (2n+1)=2005Ûn=1002
B2005 Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.	ĐS: 
D.2005 Tính giá trị biểu thức : . Biết rằng :
.HD: n = 5; n = − 9(l). M= ¾
CĐ05 Cho ( 1-x)n +x(1+x) n-1=Px. Biết : a0+a1+a2++an = 512 . Tìm a 3=? HD: Khai triển Px= a0+a1x+a2x2+.+ anxn .
Cho x=1 thì: 2n-1 = a0 + a1 + a2 ++ an = 512 = 29 Þ n = 10
 ( 1-x)10 +x(1+x) 9 Þ a3 = 
A2006 Tìm hệ số số hạng chứa x26 trong khai triển , biết 
 	ĐS: n =10, hệ số = 210
D2006 Có 12 HS : trong dó 5 HS lớp A; 4 HS lớp B và 3 HS lớp C . Cần 4 HS đi trực sao cho 4 HS nầy không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có mấy cách chọn .	
HD : Số cách chọn 4 HS:.
* 1A,1B;2C:=60; 	*1A,2B;1C:;
* 2A,1B;2C: .
ĐS : - ( 60+90+120) = 495-270=225
A2007 Cm 
B2007 Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x)n , biết rằng 	ĐS: n = 11, hệ số = 22
D2007 Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức sau:
P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 	ĐS: 3320
Bdb07 Tìm x, y Î N thỏa mãn hệ . 
ĐK: x ³ 2, y ³ 3 
Ddb07 Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: .	
Điều kiện n ³ 4. Ta có: .	
Hệ số của số hạng chứa x8 là 
Ta có: Û (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49
Û n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 Û (n – 7)(n2 + 7) = 0 Û n = 7. 
Hs của x8 là
B2008 Chứng minh rằng (n, k là các số nguyên dương, k ≤ n, là số tổ hợp chập k của n phần tử).
 = = 
D2008 Tìm n Î N* thoả hệ thức 
x = 1 : 	
x = - 1 :	
(1) - (2) : Û n = 6.
Bài tập tham khảo
Câu 1: Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ. Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy?
Giải: Có 3 trường hợp: 
Trường hợp 1: Tổ 1 có 3 nữ, 7 nam . Tổ 2 có 2 nữ, 9 nam . Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam 
Vậy ta có: cách.
Trường hợp 2: Tổ 1 có 2 nữ, 8 nam 
Tổ 2 có 3 nữ, 8 nam , Tổ 3 có 2 nữ, 10 nam Vậy ta có: cách
Trường hợp 3: Tổ 1 có 2 nữ, 8 nam , Tổ 2 có 2 nữ, 9 nam , Tổ 3 có 3 nữ, 9 nam , 
Vậy ta có: cách
Theo quy tắc cộng ta có: 
+ + cách.
Câu 2: Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt . Biết rằng 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n thoả mãn điều kiện trên. 
Giải: Số tam giác có một đỉnh thuộc d1, hai đỉnh thuộc d2 là: 
Số tam giác có một đỉnh thuộc d2, hai đỉnh thuộc d1 là: 
Theo đề bài ta có: 
Câu 3: Từ các chữ số 0, 1,. 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khác nhau và mỗi số lập được đều nhỏ hơn 25000.
Giải: Gọi chẵn, .
Vì ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: a1 = 1. Ta có 1 cách chọn a1. Ta có 4 cách chọn a5 ( n chẵn). cách chọn . Vậy ta có: số n.
Trường hợp 2: a1 = 2, a2 chẵn nhỏ hơn 5.
Ta có 1 cách chọn a1. Ta có 2 cách chọn a2.
Ta có 2 cách chọn a5. cách chọn a3a4.
Vậy ta có: số n.
Trường hợp 3: a1 = 2, a2 lẻ nhỏ hơn 5.
Ta có 1 cách chọn a1. Ta có 2 cách chọn a2
Ta có 3 cách chọn a5 . cách chọn a3a4
Vậy ta có; số n.
Theo quy tắc cộng ta có: số n.
Câu 4: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khác nhau trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau.
Giải: Số cách chọn hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau từ 3 chữ số 1, 3, 5 là: cách. Ta xem mỗi cặp số lẻ như một phần tử x.Vậy mỗi số cần lập gồm phần tử x và 3 trong 4 chữ số chẵn 0, 2, 4, 6.
Gọi . ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: a0 = 0. Đưa x vào 4 vị trí đầu: Có 3 cách.
Đưa 2 chữ số chẵn 2,4, 6 vào 2 vị trí còn lại có cách.
Vậy có: cách.
Trường hợp 2: a0 chẵn khác 0 và x ở hai vị trí a3a4. Có cách..
Trường hợp 3: a0 chẵn khác 0 và x ở hai vị trí a3a2 hoặc a2a1. Có 24 cách. Vậy ta có: số n.
Câu 5: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. 
Giải: 
Cách 1: 
Gọi là số cần lập. Ta có 4 cách chọn a4, 4 cách chọn a3, 3 cách chọn a2, 2 cách chọn a1, 1 cá ... k bài toán 
Với thì 
Do đó hệ số của x3n-3 trong khai triển thành đa thức của (x2 + 1)n(x + 2)n là 
Vậy 
Vậy n = 5 là giá trị cần tìm (vì n nguyên dương)
Cách 2: Ta có : 
Trong khai triển trên , luỹ thừa của x là 3n – 3 khi -2i – k = -3 hay 2i + k = 3. Ta chỉ có 2 trường hợp thoả mãn đk này là i = 0 , k = 3 hoặc i = 1 , k = 1.
Vậy hệ số của x3n-3 là 
Do đó 
Vậy n = 5 là giá trị cần tìm (vì n nguyên dương)
Câu 29: Giải bất phương trình: (trong đó là số tổ hợp chập k của n phân tử và là chỉnh hợp tập k của n phân tử )
Giải : Điều kiện và 
Bất phương trình đã cho có dạng : 
(do n2 + 2n + 5) > 0 , mọi n)
Kết hợp điều kiện . được nghiệm của bất phương trình đã cho là n = 4 , n = 5
Câu 30: Tính hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của 
Giải:
Bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. 
Vậy x8 chỉ có trong các số hạng thứ 4, thứ 5 với hệ số tương ứng là: . 
Suy ra: .
Câu 31: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
Giải:Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là 2 hoặc 3 nên có các trường hợp sau:
* Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là: 
* Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó, thì số cách chọn là: 
* Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó, thì số cách chọn là: 
Vì thế cách chọn trên đôI một khác nhau nên số đề kiểm tra có thể lập được là: 23625 + 10500 + 22750 = 56875.
Câu 32: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của với x > 0.
Giải:Ta có: 
Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k thoả mãn: 
Số hạng không chứa x cần tìm là: 
Câu 33: Tìm số nguyên dương n sao cho: 
( là số tổ hợp chập k của n phân tử).
Giải:Ta có: Lấy đạo hàm hai vế ta có: Thay x = - 2, ta có: 
Theo giả thiết ta có: 
Câu 34: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?
Giải:
Có cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất. Với mỗi cách phân công thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất thì có cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai. Với mỗi cách phân công thanh niên tình nguyện về tình thứ nhất và tỉnh thứ hai thì có cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ 3.
Số cách phân công thanh niên tình nguyện về 3 tỉnh theo yêu cầu bài toán là: 
Câu 35: Tính giá trị của biểu thức: . Biết rằng ( n là số nguyên dương, là chỉnh hợp tập k của n phân tử và là số tổ hợp chập k của n phân tử).
Giải: Điều kiện: . Ta có: 
. 
Vì n nguyên dương nên n = 5.
Câu 36: Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết rằng ( n là số nguyên dương, là số tổ hợp chập k của n phân tử).
Giải: Từ giả thiết suy ra: 
Vì nên: 
Từ khai triển nhị thức Niutơn của suy ra:
Từ (1), (2), (3) suy ra: hay n = 10.
Ta có: 
Hệ số của x26 là với k thoả : 
Vậy hệ số của x26 là: 
Câu 37: Cho tập hợp A gồm n phần tử . Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử gấp 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.
Giải: Số tập con k phần tử của tập hợp A bằng . Từ giả thiết suy ra:
 ( vì ).
Do nên 
Vậy số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất Û k = 9.
Câu 38: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
Giải:Số cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh đã cho là: .
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhấtmột em được tính như sau:
- Lớp A có 2 học sinh, lớp B, C mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là: 
- Lớp B có 2 học sinh, lớp A, C mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là: 
- Lớp C có 2 học sinh, lớp A, B mỗi lớp có 1 học sinh. Số cách chọn là: 
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270.
Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225.
Câu 39: Chứng minh bất đẳng thức sau: 
Giải:Xét tích phân: 
Mặt khác, đặt x = 1 – t, ta có: 
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Câu 40: Rút gọn tổng: 
Giải:Theo nhị thức Niutơn thì: 
Do đó .
Câu 41: Tính tích phân: . Từ đó cmr: 
Giải:
Ta có; 
Mặt khác: 
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Câu 42: Cho 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có bao nhiêu cách viết số:
1) Có 6 chữ số.
2) Có 6 chữ số đôi một khác nhau.
3) Có 4 chữ số.
4) Có 4 chữ số đôi một khác nhau.
5) Chia hết cho 5 và có 3 chữ số khác nhau.
6) Có 6 chữ số khác nhau và là số lẻ.
7) Có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 3000.
8) Có 3 chữ số khác không lớn hơn 243.
9) Có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 243.
Giải:
1) Để viết một số có 6 chữ số từ các số đã cho, ta có 6 cách chọn số hàng trăm nghìn, tương tự với các số ở mỗi hàng còn lại đều có 6 cách chọn. Theo quy tắc nhân ta lập được: 66 = 46656 số thoả mãn điều kiện đề bài.
2) Do yêu cầu 6 chữ số đôi một khác nhau nên có 6 cách chọn số hàng trăm nghìn, 5 cách chọn số hàng vạn, 4 cách chọn số hàng nghìn, ., 1 cách chọn số hàng đơn vị.
Vậy có tất cả 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 ( số) thoả mãn đề bài.
3) Lập luận tương tự câu 1 ta lập được: 66 = 1296 số thoả mãn đề bài.
4) Lập luận tương tự câu 2, có 6 cách chọn số hàng nghìn, 5 cách chọn số hàng trăm, 4 cách chọn số hàng chục, 3 cách chọn số hàng đơn vị. 
Vậy có tất cả: 6 x 5 x 4 x 3 = 360 ( số) thoả mãn đề bài.
5) Gọi là số thoả mãn đề bài, số đó chia hết cho 5 nên chỉ có mọt cách chọn c = 5, số a, b có thể được coi là một chỉnh hợp chập 2 của 5 số còn lại sau khi đã chọn số c. Vậy có tất cả số.
6) Do số được thành lập là một số lẻ nên số hàng đơn vị phải là: 1, 3, 5. vậy có 3 cách chọn. Các số còn lại được coi như một hoán vị năm phần tử. Vậy có tất cả: ( số).
7) Gọi số có 4 chữ số khác nhau là: 
Do số đó lớn hơn 3000 nên hay . Vậy có 4 cách chọn a, 3 số còn lại được coi như một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Suy ra các số thoả mãn đề bài là: ( số).
8) Gọi số có 3 chữ số khác nhau là. do số đó không nhỏ hơn 243 ( hay ) nên . Vậy .
+ Với a = 2 để 
Nếu b = 4, lập luận tương tự, cần do đó có 3 cách chọn c. Vậy số có dạng là: 1 x 3 = 3 ( số).
Nếu b = 5, 6 thì c có thể chọn bất kì trong 4 số còn lại. vậy số các số có dạng hoặc là:
 1 x 2 x 4 = 8 (số).
+ Với a = 3; 4; 5; 6 ta có thể chọn b, c là 2 số bất kì trong 5 số còn lại sau khi chọn a. Tất cả các dạng này là: ( số)
Vậy từ 6 số đã cho, ta có thể lập được 3 + 8 + 80 = 91 ( số)có 3 chữ số khác nhau không nhỏ hơn 243..
9) Ta có: 
Từ 6 số đã cho, thành lập được ( số) có 3 chữ số khác nhau. Trong đó số các số không nhỏ hơn 243 là 91 số. Vậy số các số thoả mãn (*) là: 120 – 91 = 29 ( số).
Câu 43: Một lớp 12 có 15 học sinh nữ và 25 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra những tổ có 5 người:
1) Nam, nữ tuỳ ý, không phân biệt nhiệm vụ.
2) Có 3 nam, không phân biệt nhiệm vụ.
3) Có ít nhất 2 nữ, không phân biệt nhiệm vụ.
4) Tổ trưởng là nữ, số còn lại không phân biệt nhiệm vụ.
5) Tổ trưởng là nam và có ít nhất 2 nam nữ.
6) 1 tổ trưởng, 1 tổ phó và 3 tổ viên.
7) Mỗi người sẽ phụ trách một trong 5 đội thiếu niên cụ thể của phường.
Giải:
1) Số học sinh trong lớp là: 15 + 25 = 40 ( học sinh)
Do đó số cách chọn 1 tổ 5 người theo yêu cầu đề bài là: ( Cách)
2) Để chọn một tổ có 5 người: Gồm 3 nam: có ( Cách chọn). 2 nữ: có ( cách chọn).
Theo quy tắc nhân, số cách chọn tổ là: ( cách).
3) Cách 1: Số học sinh nữ trong tổ có thể là: 2, 3, 4 hoặc 5.
Số cách chọn một tổ gồm 2 nữ, 3 nam là: 
Số cách chọn một tổ gồm 3 nữ, 2 nam là: 
Số cách chọn một tổ gồm 4 nữ, 1 nam là: 
Số cách chọn một tổ gồm 5 nữ là: 
Cách 2: Tính số tổ có 1 nữ và số tổ không có nữ là: . Số tổ phải tìm là: 
4) Để tổ trưởng là nữ, có cách chọn.
Bốn tổ viên được chọn trong 39 học sinh còn lại, có: cách chọn. Vậy số cách chọn tổ là: ( cách chọn).
5) Để tổ trưởng là nam, có cách chọn.
Bốn người còn lại trong tổ gồm: 
+ 2 nam, 2 nữ: ( cách chọn)
+ 3 nam, 1 nữ: ( cách chọn)
+ 4 nam: ( cách chọn).
Tổng số cách chọn là: 
6) Một tổ trưởng và một tổ phó có thể coi là một chỉnh hợp chập 2 của 40 học sinh trong lớp: 
( cách chọn)
Ba tổ viên là một tổ hợp chập 3 của 38 học sinh còn lại ( sau khi đã chọn tổ trưởng và tổ phó ) :
 ( cách chọn)
Vậy số cách chọn tổ là: 
7) Do mỗi người sẽ phụ trách một đội thiếu niên khác nhau nên có thể mỗi tổ là một chỉnh hợp chập 5 của 40 học sinh.
Vậy số cách chọn tổ là: 
Câu 44: Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể viết được bao nhiêu số?
1) Có 5 chữ số khác nhau.
2) Có 5 chữ số.
3) Có 3 chữ số khác nhau.
4) Có 3 chữ số khác nhau và là số lẻ.
5) Có 3 chữ số khác nhau và nhất thiết có mặt chữ số 2.
Giải:
1) Gọi số có 5 chữ số khác nhau là: . vì nên có 4 cách chọn. Bộ số có thể coi là một hoán vị của 4 số còn lại sau khi đã chọn số a, vậy có ( Số)
Số cách thành lập số có 5 chữ số khác nhau là: 4 x 24 = 96 ( cách)
2) Để thành lập một số có 5 chữ số, ta chọn lần lượt từng hàng, nên có 4 cách chọn a; 5 cách chọn b; 5 cách chọn c; 5 cách chọn d; 5 cách chọn e. Vậy số các số có 5 chữ số thành lập từ 5 chữ số đã cho là: 
 ( số).
3) Gọi số có 3 chữ số khác nhau là: . Vì nên có 4 cách chọn. Bộ số có thể coi là một chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử, số các chỉnh hợp là: 
Vậy các số thoả mãn đề bài: 4 x 12 = 48 ( số)
4) Gọi số có 3 chữ số khác nhau là , đề số đó là số lẻ thì , vậy có 2 cách chọn c. Còn lại 4 số 
( gồm cả số 0) để chọn a và b; do nên có 3 cách chọn số a, từ đó còn 3 cách chọn b.
Vậy số các số lẻ có 3 chữ số khác nhau là: 2 x 3 x 3 = 18 (số).
5) Gọi số phải tìm là , trong đó nhất thiết có một vị trí là số 2:
+ Số 2 ở vị trí của a; các số b, c chọn trong 4 số còn lại nên là một chỉnh hợp chập 2 của 4 số nên có số loại này.
+ Số 2 ở vị trí của số b; khi đó có 3 cách chọn a; 3 cách chọn c nên có 3 x 3 = 9 số loại này.
+ Số 2 ở vị trí của c; tương tự, ta được 9 số.
Vậy có tất cả: 12 + 9 + 9 = 30 số thoả mãn đề bài.
Câu 45: 1) Tính hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển của: 
2) Khai triển của có tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là 28. tìm số hạng thứ 5 của khai triển đó.
3) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 
4) Xét khai triển của 
a) Tìm hai hạng tử chính giữa.
b) Tính hệ số của hạng tử chứa 
Giải:
1) Số hạng chứa x3 trong khai triển của là 8x3
Số hạng chứa x3 trong khai triển của là: 
Số hạng chứa x3 trong khai triển của là: 
Vậy hệ số của x3 trong đa thức P(x) là: 8 – 108 + 35 = - 65
2) Ta có: .
Theo giả thiết ta có: .
Điều kiện: 
Phương trình có nghiệm n = 9 thoả mãn điều kiện.
Khi đó số hạng thứ 5 của khai triển là: 
3) Ta có: .
Do đó số hạng không chứa x tương ứng với 
Vậy số hạng cần tìm là: 
4) Khai triển của gồm 16 hạng tử:
Số hạng tổng quát của khai triển là: 
a) Hai hạng tử chính giữa trong khai triển là số hạng thứ 8 và thứ 9 trong dãy: 
b) Hạng tử chứa tương ứng với k = 12. Vậy hệ số của hạng tử đó là: