Chuyên đề Về các số phức môn Toán

Chuyên đề số phức
Ôn thi tốt nghiệp:
Kiến thức và kĩ năng cần đạt:
1.Nắm được định nghĩa dạng đại số của số phức và các khái niệm liên quan: phần thực và phần ảo của số phức, số ảo (số thuần ảo).
2.Tính toán thành thạo các phép toán cộng, trừ , nhân , chia hai hay nhiều số phhức ở dạng đại số
VD. Tính:
 a)(5+2i)-3(-7+6i) b)(2-i)(1-i)
 c)(1+i)2 d) 
 e)
3.Biết cách biểu diễn hình học của số phức , môđun của số phức, số phức liên hợp
Vd.Biểu diễn hình học các số phức z trên mặt phẳng phức biết:
 a) z = 2 b) z = -3i
 c) d) 
	 e) f) 
 g) z2 là số ảo h) 
4 .Tính căn bậc hai của số phức 
VD.Tính căn bậc hai của số phức 3 + 4i, 5 – 12i
5.Biết cách nhân chia hai số phức ở dạng lượng giác
VD.Tính :
 a)
 b)
6.Sử dụng công thức Moavrơ và ứng dụng công thức để xác định theo 
VD.Xác định 1+i, 1- i dưới dạng lượng giác, từ đó đưa về dạng đại số các biểu thức sau :
 a)(1+i)15 b)(1+i)15.(1-i)10
 c)
Ôn thi đại học
Dạng 1.Bài toán liên quan đến các phép biến đổi số phức
VD1: Cho hai số phức thoả mãn điều kiện . 
Tính 
VD2: Tìm số phức z biết và là số thuần ảo (đề thi khối D năm 2010)
VD3: Tìm phần ảo của số phức z biết (đề thi khối A năm 2010) 
VD4: Cho số phức z thoả mãn . Tìm môđun của số phức 
(đề thi khối A năm 2010)
Dạng 2: Bài toán liên quan đến phương trình nghiệm phức
VD1.Tìm hai số thực x, y thoả mãn phương trình x(3+5i)+y(1-2i)3 = 9+14i
VD2:
a)z3 -1 = 0 
b)z3 + (1-i)z2+(1-i)z-i=0
c)z(z-1)(z+2)(z+3)=10
d)(z+4)4 + (z+6)4 =82
e)z4 + z3 + z2 + z +1 = 0
Lưu ý: Các phương trình bậc 3, bậc 4 nên dừng lại ở việc giải các phương trình bậc 3 nhẩm được 1 nghiệm dễ dàng hoặc phương trình bậc 4 có thuật toán giải. Không nên ra cho học sinh những bài toán đánh đố.
VD: Xuất phát từ: (z+1+2i)(z2 + 2z +3) = 0 z3 +(3+2i)z2 +(5+4i)z+3+6i = 0
 (z2-2z+2)(z2 + 3z -1) = 0 z4 + z3 -2z2 +12z -2 =0
mà đưa ra các bài toán giải phương trình :
z3 +(3+2i)z2 +(5+4i)z+3+6i = 0; z4 + z3 -2z2 +12z -2 =0 thì chỉ có người ra đề là giải được. Nếu có thì nên có gợi ý cho học sinh
VD: Giải phương trình biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo
VD3.Tìm các số nguyên x, y sao cho số phức z = x + yi là nghiệm của phương trình
z3 =18 + 26i
VD4.Cho z1,z2 là hai nghiệm phương trình: 
 (1+i)z2 –(3+2i)z +1 –i = 0 
 Tính: a) b) 
Dạng 3: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện cho trước
B1: Gọi số phức có dạng z = x + yi (không nên gọi z = a + bi)
B2: Biến đổi điều kiện cho trước để tìm mối liên hệ giữa x và y (hoành độ và tung độ các điểm cần tìm tập hợp)
B3: Dựa vào đặc trưng của phương trình đó để nêu tập hợp điểm
VD: ax + by + c = 0=> đường thẳng
 (x-a)2 + (y-b)2 = 0 => đường tròn.....
VD1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức các số phức z thoả mãn:
 a) (biến đổi về 6x+8y=25 => đường thẳng )
 b) (biến đổi về y = 0 => trục thực Ox)
c) (hợp của hai đường tròn x2 + y2 -2y -1 = 0, x2 + y2 + 2y -1 = 0)
VD2:Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn: (đề thi khối B năm 2010)
Tuy nhiên có những bài toán giải theo cách trên rất khó
VD3.(bài 20 SGK ban KHTN trang 214)
Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức (1+i)z + 2 trong đó 
Ta dùng cách giải đặc biệt: đặt z’= (1+i)z + 2 => z = . 
Khi đó : 
Tập hợp là hình tròn tâm I(3;), bán kính R = 4
Vì phần số phức mới đưa vào chương trình nên mức độ các câu hỏi trong các đề thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học (năm 2009;2010) còn đang ở mức độ trung bình và không khó để học sinh định hướng tìm lời giải. Sau khi thống nhất, chúng tôi đưa ra một số vấn đề phức tạp hơn trong nội dung này, mang tính dự đoán các câu hỏi của các đề thi những năm tới.
Vấn đề 1: Xuất phát từ định nghĩa: i2 =-1 =>i3 =-i, i4 =1
Nâng cao: 
VD1: (bài 7 SGK ban KHTN )
Chứng minh với mọi số nguyên m >0, ta có:i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 =-1, i4m+3 = -i
Nhận xét: in {1,i,-1,-i} và hai số hạng in và in+2 trái dấu . Điều này có thể vận dụng vào bài toán tính tổng khi áp dụng nhị thức Niutơn.
VD: Tính tổng S = .
Học sinh giải bài toán bằng cách khử các chập lẻ bởi khai triển: (1+x)2010 +(1-x)2010 và thay x = 1 để đưa ra đáp số . Tuy nhiên nếu ta giải bài toán:
VD2: Tính tổng S = thì không thể giải theo cách trên vì xuất hiện dấu trừ.
Ta có thể đưa về tổng bởi các dấu (+): S = .
Do đó có thể giải như sau:
C1: S = 
C2: S là phần thực của số phức (1+i)2010 (do (1+i)2010 và (1-i)2010 là hai số phức liên hợp)
VD3: Tính S = (đề thi thử lần II trường THPT Thái Hoà năm 2010)
VD4: Cho số nguyên dương n. 
1)Biểu diễn số phức sau theo dạng đại số: (1 + i)4n 
2)Chứng minh rằng
(đề thi thử lần III trường THPT Thái Hoà năm 2010)
Vấn đề 2: Bất đẳng thức trong số phức:
VD1.Chứng minh với mỗi số phức z, có ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xẩy ra: 
VD2.Cho số phức z 0 thoả mãn: . Chứng minh rằng: 
VD3.Cho số phức z thoả mãn : . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của