Chuyên đề về các phương trình tiếp tuyến

CHUYÊN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYÊN
I.Lý do chọn đề tài:
 Khảo sát hàm số là một phần thường gặp trong kỳ thi tốt nghiệp THPT và bài toán liên quan đến khảo sát hàm số là một phần không thể thiếu .Trong đó bài toán viết phương trình tiếp tuyến là một trong những bài toán thường gặp.
 Nhằm giúp cho các em khối 12 thực hiện tốt bài toán viết phương trình tiếp tuyến tôi đưa ra một số dạng toán và những sai sót mà học sinh thường mắc sai lầm khi giải.
II.Mục đích.
Học sinh nắm được các dạng toán về tiếp tuyến và một số bài toán liên quan đến tiếp tuyến.
Học sinh giải thành thạo các bài toán về tiếp tuyến.
III.Kiến thức cần nắm.
 Học sinh cần phân biệt được các dạng toán sau.
 1.Tiếp tuyến tại một điểm cho trước thuộc đường cong.
 2.Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước(có thể thuộc hoặc không thuộc đường cong).
 3.Tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc của hai đường cong cho trước.
 4.Tiếp tuyến chung của hai đường cong cho trước.
IV.Các dạng toán cụ thể và phương pháp giải.
 1.	 Dạng toán dùng cho lớp cơ bản và nâng cao.
 Cho đường cong (C):y=f(x),tiếp tuyến tại điểm M() (C).
 (d) :.
 Trong đó: x0: là hoành độ tiếp điểm.
 y0 : là tung độ tiếp điểm.
()
y
  :là hệ số góc của tiếp tuyến.
x
O
Các bài toán thường gặp.
+Cho biết tọa độ tiếp điểm M() (C): Tính f’(x) PTTT.
+Cho x0 :tính y0= f(x0),Tính f’(x) PTTT.
+Cho y0 giải phương trình f(x0) =y0 x0 Tính f’(x) PTTT.
+Cho hệ số góc k của tiếp tuyến :
 *Tiếp tuyến cho hệ số góc k trực tiếp.
 *Tiếp tuyến cho song song với đường thẳng d: y=ax +b k=a.
 *Tiếp tuyến cho vuông gốc với đường thẳng d: y=ax +b k=-.
Phương pháp :
 Tính f’(x),giải phương trình =k x0 y0 =f(x0) PTTT.
Ví dụ1 :Cho hàm số .(C).
a.Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-3;5) .
b.Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0=1.
c.Viết phương trình tiếp tại điểm có tung độ y0= -4.
d.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) ,biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 
 (d): y = 5x +6.
e.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) ,biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
Giải:
a. 
b. Với x0=1 y0 =-=-3PTTT: y +=-3(x-1)
 y=-3x +.
c. Y0= -4
+ Với x0=0 =0PTTT: y=-4.
 +Với x0=-6=60PTTT: y +4 =60(x+6)
 y=60x +356.
d. Gọi M() là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến,vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
 (d) nên.
 +Với x0 =1 y0 =-PTTT: y +=5(x-1) y=5x -.
 +Với x0=-5 y0 =PTTT: y-=5(x +5) y=5x +.
 (d): y= .
e. Gọi M() là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến,vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
(d) nên.
+Với x0=2 y0=
 +Với x0=-6 y0=32PTTT:y -32 =12(x+6) y=12x+104.
Ngoài ra một số bài toán cho biết hoành độ tiếp điểm hoặc tung độ tiếp điểm của tiếp tuyến một cách gián tiếp.
Ví dụ 2: y= (C).
a.Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
b. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.
c.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của p/t:=0.
Giải:
a.Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung có .
b. Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành có
c.Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ,ta có 
Ví dụ 3: Cho đường cong y=Và M là một điểm bất kỳ trên (C).
Gọi I là gao điểm của hai đường tiệm cận của (C) .Tiếp tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B.
a.Chứng minh M là trung điểm của AB.
b.Chứng minh 
c. Chứng minh tích các khoảng cách từ M tới hai tiệm cận là một hằng số.
d. Xác định M thuộc (C) để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất.
Giải:
a.Dễ thấy (C) có tiệm cận đứng x=3 và tiệm cận ngang y=3.
Ta có I(3;3) là giao điểm của hai đường tiệm cận.
Gọi M ()(C) là một điểm tùy ý.Ta có 
Tiếp tuyến tại M có dạng (1)
Gọi A,B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.
Ta có: 
Vậy Hơn nửa A,B,M thẳng hàng nên M là trung điểm của AB.
b.Ta có :
B
M
A
3
3
x
y
O
I
c. Gọi tương ứng là các khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng và ngang của (C).
Ta có 
Do đó =20 =const.
d.Ta có IA.IB=20 (theo câu2).
Gọi C là chu vi của tam giác IAB.Ta có
 C=IA+IB+AB=IA+IB+
Theo bất đẳng thức Côsi,ta có IA+IB
 	Vậy C
	Do đó MinC=4+ 
Vậy trên (C) có hai điểm cần tìm là M1() và M2().
 Bài tập
 1.Cho hàm số y=(C).
a.Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-2,2) thuộc đường cong (C) .
b.Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0=1.
c.Viết phương trình tiếp tại điểm có tung độ y0= 2.
d.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) ,biết rằng tiếp đó song song với đường thẳng d: y= -2x +5.
e.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) ,biết rằng tiếp đó vuông góc với đường thẳng d: y=. 
f.Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
h.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của p/t:=0.
2. Cho đường cong y=
a.Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(1;-2) thuộc đường cong (C) .
b.Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0=2.
c.Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ y0= 4.
d.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) ,biết rằng tiếp đó song song với đường thẳng 
 d: y= -10x +5.
e.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) ,biết rằng tiếp đó vuông góc với đường thẳng 
d: y=. 
f.Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
h. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành.
3. Cho đường cong y=Và M là một điểm bất kỳ trên (C).
Gọi I là gao điểm của hai đường tiệm cận của (C) .Tiếp tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B.
a.Chứng minh M là trung điểm của AB.
b.Chứng minh 
c. Chứng minh tích các khoảng cách từ M tới hai tiệm cận là một hằng số.
d. Xác định M thuộc (C) để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất. 
 3.Cho đường cong y=.
 a.Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng dm :m(x+1) luôn cắt (c) tại điểm 
 A cố định .
 b.Tìm m để dm cắt (C) tại ba điểm phân biệt A,B,C sao cho hai tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. 
	 2.	Dạng toán dùng cho lớp nâng cao.
Ví dụ3. Cho đường cong y=Và M là một điểm bất kỳ trên (C).
Gọi I là gao điểm của hai đường tiệm cận của (C) .Tiếp tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B.
a.Chứng minh M là trung điểm của AB.
b.Chứng minh 
c. Chứng minh tích các khoảng cách từ M tới hai tiệm cận là một hằng số.
d. Xác định M thuộc (C) để chu vi tam giác AIB nhỏ nhất.
 Giải:
a.Ta có: I(1;-1/2) .
+Đổi hệ trục tọa độ 0xy thành hệ trục tọa độ IXY ,theo công thức đổi trục 
Ta có:
 .
+Trong IXY phương trình của (C) là
 +Giải bài toán trong IXY:
 (C) có hai tiệm cận :X=0, Y=X/2.
 M
 +(d) là tiếp tuyến với (C) tại M ,ta có:
 (d): . 
 (d) cắt tiệm cận đứng tại A(0;) và cắt tiệm cận xiên tại B.
 Do đó .Vậy M là trung điểm của AB.
 b. Hạ BH vuông góc với IA ta có. 
 Vậy 
 c. Gọi tương ứng là các khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (C).Gọi là p/t của tiệm cận xiên. 
Ta có .
Do đó = =const.
* Nhận xét:+ Các câu a,b,c nó đúng cho mọi hàm số không suy biến dạng
 .
	 +Đối với hàm số bậc hai trên bậc nhất để làm được các câu a,b,c dễ dàng hơn bằng cách tịnh tiến hệ tọa độ oxy sang hệ tọa độ IXY theo 
Véctơ .khi đó .
 3.Tiếp tuyến đi qua điểm M(x0,y0) .
Các bài toán loại này thường có nội dung như sau:Cho đường cong (C) :y =f(x) và điểm M(x0,y0) cho trước .Viết phương trình tiếp tuyến với ( C) biết rằng tiếp tuyến qua M và thỏa mãn các tính chất nào đó.Giả sử tiếp tuyến (d) có dạng:y=ax +b ,tùy theo đề bài mà ta biết được a hoặc b hoặc biết được mối quan hệ giữa a và b.
Cách 1: (C) và (d) tiếp xúc f(x) =ax+b có nghiệm kép,khai thác điều kiện có nghiệm kép ta tìm được p/t của (d).
Cách 2:Sử dụng mệnh đề về điều kiện để hai đường tiếp xúc với nhau.
 Mệnh đề.Hai đường (C1): y=f(x) và (C2): y =g(x) tiếp xúc nhau tại điểm M()
	M là điểm chung của (C1) , (C2)và tại M (C1) , (C2) nhận chung một tiếp tuyến(d),nghĩa là.
Ví dụ1: Cho đường cong y=Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đó song song với phân giác thứ nhất của góc tạo bởi các trục tọa độ.
Giải:
Cách 1:Vì tiếp tuyến song song với đường phân giác có phương trình y=x.nên phương trình tiếp tuyến có dạng y=x+b.
p/t hoành độ điểm chung. 
Điều kiện tiếp xúc là (1)có nghiệm kép.
.
Vậy có 2 tiếp tuyến của (C) song song với phân giác thứ nhất đó là :
 y=x-1, y=x+7.
Cách 2. Dùng đạo hàm,cách giải này đã trình bày ở trên.
Ví dụ2:Cho đường cong y=(C).
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm M(-1;-9).
Giải: 
	Hãy xem và bình luận lời giải sau.
 Do điểm M(-1;-9) thuộc (C),nên áp dụng công thức về phương trình tiếp tuyến đã học,
 (với x0=-1,y0=-9,) PTTT: y+9=24(x+1)
 y=24x +15.
 Lời giải trên sẽ đúng nếu như đề bài yêu cầu ,viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1;-9)
 nằm trên đường cong.
Tuy nhiên lời giải trên không đúng với yêu cầu đề bài là tiếp tuyến đi qua điểm M(-1;-9).
Lời giải đúng là:
Do đường thẳng x=-1 không thể là tiếp tuyến của (C) ,nên tiếp tuyến cần tìm qua M(-1;-9) có dạng y=k(x+1) -9.
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm,ta có hệ phương trình sau.
+Với x0=-1k=24PTTT:y=24x +15.
+Với x0=5/4k=.
Nhận xét :Vì điểm M nằm trên đường cong (C)nên có hai loại.
a.Tiếp tuyến tại M đó là: y=24x +15.
b. Tiếp tuyến qua M đó là :.
Nếu máy móc sử dụng công thức sẽ làm mất nghiệm.
Ví dụ 3 :Cho đường cong .Tìm các điểm M thuộc (C)sao cho qua nó kẻ duy nhất một tiếp tuyến đến (C).
Giải :giả sử M(a ;)là điểm cần tìm.Mọi tiêp tuyến của (C) qua M đều có dạng
 y=k(x-a)+ . Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm,ta có hệ phương trình sau.
Số nghiệm của (3) (ẩn là x0)chính là số tiếp tuyến có thể vẽ được từ M.Vì thế để thỏa mãn yêu cầu đầu bài (3)cần phải có nghiệm duy nhất,do đó a=-a/2a=0.
Do đó M(0 ;2) là điểm duy nhất trên (C)mà qua nó chỉ có một tiếp tuyến duy nhất đến (C).
Nhận xét :+ M(0 ;2) là điểm uốn hay tâm đối xứng của (C).
	+Từ đây ta có kết quả tổng quát sau.
 Với đường cong bậc ba ,điểm uốn là điểm duy nhất trên (C) mà qua nó ta chỉ có thể vẽ duy nhất một tiếp tuyến đến (C). 
Bài tập :
1.Cho đường cong y=(C).
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm M(1;-7).
2. Cho đường cong y= 
Chứng minh rằng qua A(1 ;-1) luôn vẽ được hai tiếp tuyến đến (C) và chúng vuông góc với nhau.
3. Cho đường cong y=
a.Tìm trên trục tung các điểm mà từ đó có thể vẽ được ít nhất một tiếp tuyến đến (C).
b.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với tiệm cận xiên.
4. Cho đường cong y=
Tìm trên trục hoành các điểm mà từ đó có thể vẽ được duy nhất một tiếp tuyến đến (C).
 4.Tiếp tuyến chung của hai đường cong.
Phương pháp giải đối với dạng toán này là sử dụng điều kiện tổng quát để hai đường tiếp xúc với nhau.
Ví dụ :Cho hai đường cong và
Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
Giải: 
	Hãy xem và bình luận lời giải sau.
Gọi M(x0;y0) là điểm tiếp xúc chung của hai đường cong và tiếp tuyến chung của hai đường cong là tiếp tuyến tại M của hai đường cong .Khi đó tọa độ x0 phải thỏa mãn
 .
Hệ vô nghiệm do đó không có tiếp tuyến chung nào của hai đường cong.
Học sinh mắc sai lầm qua bài toán viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại tiếp điểm.Ở đây đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến chung,do đó hai đường không tiếp xúc nhau vẫn có tiếp tuyến chung .
Lời giải đúng là:
Gọi y=ax +b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) .x0 ,x1 tương ứng là hoành độ các tiếp điểm của tiếp tuyến với (C1) ,(C2). Khi đó ta có hệ sau đây :
Từ (2) và (4) suy ra .
Từ (1),(2) có b=.
Thay (2)(5)(6) vào (3) ta có 
Từ đó suy ra a=3 ,b=-10.Vậy y=3x -10 là tiếp tuyến chung duy nhất của (C1) và (C2).
Bài tập :
1.Cho hai đường cong 
a.Cmr (C1) và (C2) tiếp xúc nhau.
b.Viết phương trình tiếp tuyến chung tại tiếp điểm của chúng.
2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của đồ thị hai hàm số.