Chuyên đề: Về các phương trình đường thẳng trong không gian

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A, TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1, CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho dường thẳng (d) :, khi đó (d) có phương trình tham số là: .
Khi , (d) có pt chính tắc là: 
2, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƯƠNG THẲNG
Cho 2 đường thẳng (d1) có và (d2) có 
Toạ độ giao điểm (nếu có) của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ pt: (I)
*, Nếu hệ (I) có một nghiệm duy nhất thì (d1) cắt (d2) tại một diểm duy nhất
*, Nếu hệ (I) có vô số nghiệm thì (d1) và (d2) trùng nhau
*, Nếu hệ (I) vô nghiệm và cùng phương thì (d1) và (d2) song song
*, Nếu hệ (I) vô nghiệm và không cùng phương thì (d1) và (d2) chéo nhau
Đặc biệt: 
3, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Cho mp(P) và đường thẳng (d), toạ độ giao điểm (nếu có) của (P) và (d) là nghiêm của hệ pt: (II)
*, Nếu hệ (II) có 1 nghiệm thì (d) cắt (P) tại 1 điểm.
*, Nếu hệ (II) vô nghiệm thì (d) song song với (P).
*, Nếu hệ (II) có vô số nghiệm thì (d) nằm trong (P).
Đặc biệt: và cùng phương
4, GÓC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG, GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP
a, Góc giữa 2 đường thẳng: Cho 2 đường thẳng (d1), (d2) lần lượt có vtcp là . Gọi là góc giữa (d1) và (d2), ta có: 
b, Góc giữa đường thẳng và mp: Cho đường thẳng (d) có vtcp và mp(P) có vtpt .
G ọi l à g óc gi ữa (d) v à (P), ta c ó: 
5, KHOẢNG CÁCH 
a, khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng: cho đường thẳng (d) và điểm M không nằm trên (d). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (d), khi đó độ dài đoạn MH gọi là khoảng cách từ M đến (d), ký hiệu: d(M,d) = MH
 Nếu d qua A và có vtcp thì: 
b, Khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song;
Cho đường thẳng (d) và mp(P) song song với (d). M là một điểm bất kỳ trên (d), Khi đó: (d d,(P)) = d(M, (P)).
C, Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: cho 2 đường thẳng chéo nhau (d1) và (d2). Độ dài đoạn vuông góc chung là khoảng cách giữa (d1) và (d2).
Nếu (d1) qua M có vtcp ; (d2) qua N có vtcp thì: 
chú ý: N ếu (P) l à mp qua (d1) và song song (d2) thì: d(d1,d2) = d(d2,(P))
 Nếu (P), (Q) lần lượt là các mp qua (d1) và (d2) sao cho (P) song song (Q) thì: d(d1,d2) = d((P),(Q))
B, CÁC DẠNG BÀI TẬP
I, VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG
P2 chung: Tìm 1 điểm trên đường thẳng và 1 vtcp của đường thẳng đó hoặc tìm 2mp (P) và (Q) cùng chứa (d), khi đó (d) là giao tuyến của (P) và (Q).
1, Viết pt đường thẳng khi biết 1 điểm và 1 vtcp
VD1: Viết pt đường thẳng (d) qua A(1; 0; -1) và:
a, qua B(0; 2; -1)
b, vuông góc với mp (P): x – 3y + z – 3 = 0
c, song song với đường thẳng 
LỜI GIẢI
a, (d) : nên có pt tham số là : 
chú ý: ở vd trên trong 3 toạ độ của vtcp của (d) có 1 thành phần bằng 0 nên không được viết pt của (d) dưới dạng chính tắc.
b, vì nên (d) nhận vtpt của (P) làm vtcp
c, vì //( nên (d) nhận làm vtcp 
2, viết pt đường thẳng qua 1điểm A và cắt 2 đường thẳng (d1), (d2) cho trước
P2: Cách 1, Gọi toạ độ các giao điểm M1, M2 theo pt tham số của 2 đt đã cho. Ta có A, M1, M2 thẳng hang từ đó lập hệ pt ẩn t1, t2 tim được M1, M2 đường thẳng cần tìm là M1M2
 Cách 2, Gọi (P) mp qua A và chứa (d1), (Q) là mp qua A và chứa (d2). Khi đó đường thẳng cần lập là giao tuyến của (P) và (Q) , do đó co vtcp 
VD2: Viết pt đường thẳng (d) qua A(1; -1; 3) và cắt cả 2 đường thẳng và 
LỜI GIẢI
Cách 1: pt tham số của 
Gọi M(2+t’; -1-3t’; -1+2t’); N(1-2t; -t; 2+t) lần lượt là giao điểm của (d) với và .
Ta có: 
Do A, M, N thẳng hàng cùng phương k sao cho: 
Cách 2: có vtcp (1;-3;2) qua M(2; -1; -1)
 có vtcp qua N(1;0;2)
 Gọi (P) là mp chứa và qua A
 Gọi (Q) là mp chứa và qua A
 Gọi (d) là đường thẳng cần tìm thì (d) là giao tuyến của (P) và (Q). Do đó (d) có vtcp: = (-6;24;-24) cũng là vtcp của (d)
 Vậy pt (d) là: 
3, viết ptđthẳng qua A vuông góc và cắt (D):
P2: Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (D). Tìm H. Đường thẳng AH chính là đường thẳng cần tìm.
Cách 2: Gọi (P) là mp qua A và vuông góc với (D); (Q) là mp qua A và chứa (D) thì đường thẳng cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q).
VD3: Viết pt đường thẳng qua M(1;2;-2) vuông góc và cắt đường thẳng (d): 
LỜI GIẢI
Cách 1: Gọi H(t; 1-t; 2t) là hình chiếu vuông góc của M trên (d)
 Ta có: ; vtcp của (d): 
 Do 
Cách 2: Gọi (P) là mp qua M và vuông góc với (D)
 (Q) là mp qua M và chứa (D).
 (D) qua A(0;1;0) và có vtcp: 
 Đt cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q) nên có vtcp là: 
Nhận xét: cách 1 sẽ giúp ta giải quyết bài toán hình chiếu của 1 điểm trên 1 đường thẳng và bài toán khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng
4, viết ptđt qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng (d1) và (d2)
P2: gọi là vtcp của đt (d) cần tìm
VD4: Viết ptđt qua A(-1; -3; 0) và vuông góc với cả 2 đường thẳng: và 
LỜI GIẢI
(d1) có vtcp: ; (d2) có vtcp: 
đường thẳng cần tìm vuông góc với (d1) và (d2) nên có vtcp: =(-6; -7; -2)
Vậy ptđt cần tìm là: 
5, Viết ptđt qua điểm A cắt đt(d) và song song với mp(P):
P2: 
Cách 1: Gọi là giao điểm của 2 đường thẳng. Ta có: từ đó tìm được M suy ra ptđt AM cần tìm
Cách 2: Gọi là mp qua A và song song (P)
 là mp qua A và chứa (d)
Khi đó, đt cần tìm là giao tuyến của và , vì vậy có vtcp: 
VD5: Viết ptđt ( qua A(1;1;1) song song với mp(P): x-3z +3 = 0 và cắt đường thẳng (d): 
LỜI GIẢI
Cách 1: Gọi M(t, 1+3t; -3) là giao điểm của (và (d). 
 Ta có: 
 Mp(P) có vtpt: 
 AM//mp(P) 
Cách 2 : Gọi là mp qua A và song song mp(P)
 là mp qua A và chứa (d)
 (d) qua N(0; 1; -3) và có vtcp 
 có vtpt: 
 (là giao tuyến của và nên có vtcp: 
 ptđ t(:
6, Viết ptđt(d) qua A, vuông góc (d1), cắt (d2)
P2:
Cách 1: Gọi M nằm trên (d2) là giao điểm của (d) và (d2)
Ta có: . Từ đó tìm được M suy ra (d) ((d) chính là AM)
Cách 2: Gọi (P) là mp qua A và vuông góc (d1)
(Q) là mp qua A và chứa (d2). Khi đó (d) là giao tuyến của (P) và (Q)
VD: Viết ptđt(d) qua A(1;1;1), vuông góc (d1): và cắt (d2): 
LỜI GIẢI
Cách 1: Gọi M(2; 1+2t; -1-t) là giao điểm của (d) và (d2).
Ta có: ; (d1) có vtcp: 
Vậy ptđt(d) là:
Cách 2: (d1) có vtcp: ; (d2) qua B(2;1;-1), có vtcp: 
 Gọi (P) là mp qua A, vuông góc (d1) 
(Q) là mp qua A và chứa (d2) 
(d) là giao tuyến của (P) và (Q) nên có vtcp: 
Vậy ptđt(d): 
II, ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
1, ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
P2:
Cách 1: Gọi M(d1) và N(d2) sao cho MN là đoạn vuông góc chung. Ta có hệ :
 Từ đó tìm được M, N và pt đường vuông góc chung (là đường thẳng MN)
Cách 2: đường vuông góc chung có vtcp: 
 Gọi (P) là mp chứa (d1) và song song 
 (Q) là mp chứa (d2) và song song 
 đường vuông góc chung là giao tuyến của (P) và (Q)
VD1: Viết pt đường vuông góc chung của 2 đường thẳng: (d): 
 và (d’): 
LỜI GIẢI
Cách 1: Gọi M(1+t; t; 2-t) và N(0; 1+t’; -t’)sao cho MN là đoạn vuông góc chung của (d) và (d’). 
 Ta có: ( lần lượt là vtcp của (d) và (d’) 
Cách 2: Đường vuông góc chung của (d) và (d’) có vtcp: 
 Gọi (P) là mp chứa (d) và song song với 
 (Q) là mp chứa (d’) và song song với 
 đường vuông góc chung của (d) và (d’) là giao tuyến của (P) và (Q)
 (P) có vtpt: 
 (Q) c ó vtpt: 
 Dễ thấy A(0; -1; 3) nằm trên giao tuyến của (P) và (Q) 
2, khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
a, là độ dài đoạn vuông góc chung 
b, bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mp song song với nó và chứa đường kia
c , Tính theo công thức: (M, N lần lượt nằm trên (d) và (d’) )
VD2: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau sau:
 (d1): và (d2): 
LỜI GIẢI
Cách 1: ptts của (d1):
 Gọi M(3+2t’; -1+t’; 1-t’); N(1; 2t; -1+t) là các điểm lần lượt nằm trên (d1) và (d2) sao cho MN là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)
 Ta có: 
Cách 2: (d2 ) qua A(1;0;-1)
Gọi (P) l à mp chứa (d1) và song song (d2)
(P): 
Cách 3: 
Nhận xét: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tính khoảng cách giữa 2 đường thì nên làm theo cách 2 hoặc cách 3. Nếu bài toán vừa yêu cầu tính khoảng cách vừa yêu cầu viết pt đường vuông góc chung thì nên làm theo cách 1!
III, BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM
P2: Để tìm điểm trong không gian ta thường đi theo 1 trong 2 hướng sau:
1, CM điểm cần tìm là giao điểm của đt(d) với mp(P). Tìm (d), (P) từ đó suy ra điểm cần tìm
2, Gọi toạ độ điểm cần tìm. Lập hệ pt, giải hệ suy ra toạ độ của điểm đó.
VD: Cho A(1; 1; 1); B(2; 2; 2) và đường thẳng (d): 
Tìm M trên (d) sao cho: MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
LỜI GIẢI
Cách 1: Gọi M(t; 2; 3-t) là điểm cần tìm
Ta có: MA=. Dấu “=” xảy ra t=
 MB= Dấu “=” xảy ra 
. Dấu “=” xảy ra . Vậy 
Cách 2: ta thấy: . Gọi (P) là mp chứa AB và vuông góc (d).
Suy ra ptmp(P): x - z = 0
M thoả mãn bài toán khi và chỉ khi M là giao điểm của (d) và (P)
Vậy 
nhận x ét: Nếu gt không cho thì ta phải khảo sát hàm số để tìm t
VD: Cho A(1; 1; 1); B(2; 2; 2) và đường thẳng (d): 
a, CMR: AB và (d) chéo nhau
b, Tìm M trên (d) để MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
LỜI GIẢI
a, (d) có vtcp: và qua điểm C(1;2;3)
Ta có: AB và (d) chéo nhau
b, Gọi M(1; 2+t; 3-2t) là điểm cần tìm
Ta có: MA= 
 MB= 
Từ đó lập BBT. Suy ra điểm M cần tìm.
IV, BÀI TOÁN HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC VÀ ĐỐI XỨNG
1, HÌNH CHIẾU CỦA 1 ĐIỂM LÊN 1 MP:
P2: Gọi (d) là đt qua A và vuông góc với mp(P). Giao điểm của (d) và (P) là hình chiếu của A trên (P). 
A’ đối xứng A qua (d) khi và chỉ khi H là trung điểm của AA’
VD: Cho (P): x – 2y + z – 3 = 0 và A(1; 1; 1). Tìm A’ đối xứng của A qua (P)
LỜI GIẢI
Gọi (d) là đường thẳng qua A và vuông góc với (P)
Top of Form
H là hình chiếu của A trên (P) 
A’ đối xứng A qua (P) khi và chỉ khi H là trung điểm của AA’. Vậy A’(2; -1; 2)
Bottom of Form
2, HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN 1 ĐT :
P2: 
Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (d).Ta có: 
Cách 2: Gọi (P) là mp qua A và vuông góc với (d). Giao điểm của (P) và (d) chính là hình chiếu vuông góc của A lên (d)
A’ đối xứng với A qua (P) khi và chỉ khi H là trung điểm của AA’
VD:Cho (d): và A(-1; 0; 1). Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên (d)
LỜI GIẢI
Cách 1: Gọi H(1; 1+t; t)
 (d) có vtcp: 
Có: 
Cách 2: Gọi (P) là mp qua A và vuông góc với (d).
Ptmp(P): y + z – 1 = 0
H là giao điểm của (d) và (P). Vậy H(1; 1; 0) 
 3, HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐƯỜNG THẲNG TRÊN MỘT MP
P2:
Cách 1: gọi (Q) là mp qua (d) và vuông góc (P). Khi đó giao tuyến của (P) và (Q) là hình chiếu vuông góc của (d) trên (P). 
Cách 2: lấy 2 điểm A và B trên (P). Tìm A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A, B trên (P) khi đó đường thẳng A’B’ là hình chiếu của (d) trên (P)
VD: Cho (d): và (P): 2x – z = 0.
Viết pt đường thẳng (d’) là hình chiếu vuông góc của (d) trên (P).
LỜI GIẢI
Cách 1: Gọi (Q) là mp qua (d) và vuông góc (P) (d’) là giao tuyến của (P) và (Q) 
(Q) có vtpt: 
(d’) có vtcp: 
Dễ thấy M(0; 1; 0) nằm trên giao tuyến của (P) và (Q).
Vậy pt(d’): 
Cách 2: Lấy A(0; 1; 0) và B(1; 0; 1) là 2 điểm trên (d). Gọi A’, B’ lần llượt là hình chiếu của A và B trên (P).
Ptđt AA’: 
A’ là giao điểm của AA’ và (P) 
Ptđt BB’: 
B’ là giao của BB’ và (P) 
Đt (d’): 
BÀI TẬP
Bài 1: Cho 2 đường thẳng (d1): và (d2): 
CMR (d1), (d2) chéo nhau. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng đó
Bài 2: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 cạnh a có A(0; 0; 0), B(0; a; 0), D(a; 0; 0) và A1(0; 0; a). Các điểm M, N, K lần lượt trên các cạnh AA1, C1D1, CC1 sao cho: 
A1M= ; D1N= ; CK= 
1, Viết ptđt (d) qua K và song2 MN
2, Tính độ dài đoạn thẳng thuộc (d) và nằm phía trong hình lập phương.
Bài 3: Cho 2 đường thẳng: và 
1, CMR : chéo nhau
2, Viết ptmp (P), (Q) song2 với nhau và lần lượt qua 
3, Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng.
Bài 4: Cho A(1; 0; 2); B(1; 1; 0); C(0; 0; 1); D(1;1;1)
1, Viết pt đường cao DH của tứ diện ABCD.
2, Viết ptmp tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tại A.
Bài 5: Cho 2 đường thẳng: (d1): và (d2): 
CMR 2 đường thẳng trên cùng nằm trên 1 mp. Viết ptmp đó.
Bài 6: Cho M(1; 2; -1) và đt(d): . Gọi N là điểm đối xứng của M qua (d). Tính độ dài MN.
Bài 7: Cho 2 đường thẳng: (m): và (n): 
CMR (m); (n) chéo nhau. Viết pt đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa (m), (n).
Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A’(0;0;0), B’(0;2;0); D’(2;0;0); A(0;0;2). M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của D’C’, C’B’, B’B, AD.
a, Tìm toạ độ hình chiếu của C trên AN.
b, CMR: MQ, NP đồng phẳng. Tính diện tích tứ giác MNPQ.
Bài 9: Cho mp(P): x + 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng (d): s
Viết ptđt (nằm trên (P) đi qua giao điểm của (d) và (P) và vuông góc với (d).
Bài 10: Viết ptđt qua A(3; -2; -4) song2 với mp(P): 3x-2y-3z-7 = 0 đồng thời cắt đường thẳng (d): 
Bài 11: Cho A(1;2;1) và đường thẳng (d): 
1, Viết ptmp qua A và chứa (d).
2, Tính khoảng cách từ A đến (d).
Bài 12: Trong kg cho tam giác ABC có A(1;2;5) và 2 đường trung tuyến là: 
 và . Viết pt các cạnh của tam giác.
Bài 13: Cho 2 đt (d): và (d’): 
1, CMR (d) và (d’) chéo nhau. Viết pt đường vuông góc chung của (d) và (d’)
2, Viết ptmp cách đều (d) và (d’)
Bài 14: Cho mp(P): 2x + 5y + z + 17 = 0 và đt(d): 
Viết ptđt qua giao điểm A của (d) và (P), vuông góc (d) và nằm trong (P).
Bài 15: Viết ptđt vuông góc với mp(P): x + y + z = 1 và cắt cả 2 đường thẳng:
(d1): và (d2): 
Bài 16: Cho tứ diện ABCD biết: A(2;0;0); B(0;4;0); C(0;0;6); D(2;4;6).
1, Tìm toạ độ chân đường cao vẽ từ D của tứ diện.
2, Tìm tập hợp những điểm M trong không gian thoả mãn: . 
Bài 17: Cho tứ diện SABC với S(-2;2;4); A(-2;2;0); B(-5; 2; 0); C(-2; 1; 1). Tính khoảng cách giữa 2 cạnh SA và BC.
Bài 18: Cho 2 đường thẳng song2: (d1): và 
(d2): 
1, Viết ptmp chứa (d1) và (d2)
2, Tính khoảng cách gữa (d1) và (d2)
Bài 19: Cho 2 đt (d1): và (d2): 
1, CMR (d1) và (d2) cắt nhau. Tìm toạ độ giao điểm.
2, Viết ptmp chứa (d1) và (d2)
Bài 20: Cho A(0;1;1) và 2 đường thẳng (d1): và (d2): 
Lập ptđt qua A vuông góc (d1) và cắt (d2).
Bài 21: Cho đt (d):và điểm I(2;-1;3). Tìm toạ độ điểm K đối xứng I qua (d).
Bài 22: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng sau: (d1): và
 (d2): 
Bài 23: Cho mp(P) đi qua 3 điểm A(0;0;1); B(-1;-2;0); C(2;1;-1)
1, Viết pt(P).
2, Viết ptđt qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với (P).
3, Xác định chân đường cao hạ từ A tới BC và tính thể tích tứ diện OABC.
Bài 24: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
1, Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AA’ và BD’.
2, CMR: BD’ vuông góc với mp(DA’C’).
Bài 25: Cho 2 đường thẳng (d): và (d’): .
1, CMR: (d) và (d’) song2. Viết ptmp chứa (d) và (d’).
2, Tìm toạ độ điểm N đối xứng với M(-2;3;-4) qua (d).
Bài 26: Cho 4 điểm A(4;1;4); B(3;3;1); C(1;5;5); D(1;1;1)
1, Tìm hình chiếu vuông góc của D trên (ABC). Tính thể tích tứ diện ABCD.
2, Viết pt đường vuông góc chung của AC và BD.
Bài 27: Cho tứ diện SOAB với: O(0;0;0); A(6;3;0); B(-2;9;1); S(0;5;8).
1, CMR: SB vuông góc với OA.
2, CMR hình chiếu của SB lên (OAB) vuông góc với OA. Gọi K là giao điểm của OA với hình chiếu đó, tìm toạ độ của K.
3, Gọi P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SO và AB. Tìm M trên SB sao cho PQ và KM cắt nhau.
Bài 28: Cho (P): 16x – 15y – 12z + 15 = 0
1, Lập pt mặt cầu (S) tâm O và tiếp xúc (P). Tìm toạ độ tiếp điểm của (P) và (S).
2, Tìm điểm đối xứng của O qua (P).
Bài 29: Cho đt(d): và mp(P): 2x + y – 2z +2 = 0.
1, Lập pt mặt cầu (S) có tâm I nằm trên (d), tiếp xúc (P) và có bán kính bằng 1.
2, Gọi M là giao điểm của (d) và (P), T là tiếp điểm của (S) với (P). Tính MT.
Bài 30: Cho 2 đt: (d1): và (d’): 
1, Tính khoảng cách giữa (d) và (d’).
2, Cho 2 điểm A, B di động trên (d) sao cho AB = 3 và C, D di động trên (d’) sao cho CD= 4. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 31: Cho đường thẳng (dk): .
1, CMR: (dk) luôn nằm trong 1 mp cố định, viết ptmp đó.
2, Xác định k để (dk) song2 với 2mp : 6x - y - 3z -13 = 0 và x - y + 2z -3 = 0
Bài 32: Cho (P): x + y + z = 3 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 12. CMR: (P) cắt (S), tìm tâm và bán kính đường tròn giao tuyến của (P) và (S).
Bài 33: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 67 = 0
 và đường thẳng (D): . Viết ptmp chứa (D) và tiếp xúc (S).
Bài 34: Cho A(1;2;-1), B(4; 0; 1) và đường thẳng (d): .
1, CMR: AB và (d) song2.
2, Tìm I trên (d) sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Bài 35: Cho A(a;0;0), B(0;a;0), C(a;a;0), D(0;0;d), (a,d>0). A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên DA và DB.
1, Viết ptmp chứa OA’, OB’. CMR: mp đó vuông góc với CD.
2, Tính d theo a để số đo góc A’OB’ bằng 450.
Bài 36: Cho góc tam diện vuông Oxyz và mặt cầu đơn vị x2 + y2 + z2 =1 (x, y, z ) trong góc tam diện ấy. mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA=a>0; OB=b>0; OC=c>0. CMR:
1, 
2, (1 + a2)(1 + b2)(1 + c2)64. Tìm vị trí của M để đẳng thức xảy ra.
Bài 37: Cho A(2;3;5) và (P): 2x + 3y + z – 17 = 0.
1, Viết ptđt(d) qua A và vuông góc (P). CMR: (d) cắt Oz, tìm giao điểm của (d) và Oz.
2, Tìm A’ đối xứng A qua (P).
Bài 38:Cho (d): và (d’): 
1, CMR: (d) và (d’) chéo nhau.
2, Viết pt đường vuông góc chung của 2 đt đó.
Bài 39: Cho 2 đt: và .
Viết pt đường thẳng (d) đối xứng với qua 
Bài 40: Cho tam giác ABC có C(3;2;3) đường cao AH: , phân giác trong BD: . Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Bài 41: Cho 4 đường thẳng: (d1): ; (d2): ; 
(d3): ; (d4): .
1, CMR: (d1), (d2) cùng nằm trên 1 mp, viết ptmp đó
2, CMR tồn tại một đường thẳng (d) cắt cả 4 đường thẳng trên, viết ptđt đó.
Bài 42: Cho 4 điểm S(3;1;-2); A(5;3;-1); B(2;3;-4); C(1;2;0).
1, Tìm toạ độ điểm D đối xứng với C qua đt AB.
2, M là điểm bất kỳ trên mặt cầu tâm D, bán kính R= ( M không nằm trên mp(ABC)). Xét tam giác có độ dài các cạnh bằng độ dài các đoạn MA, MB, MC. Hỏi tam giác đó có đặc điểm gì?
Bài 43: Cho đường thẳng (d): và mp(P): 2x – 2y + 7 = 0.
1, Tìm toạ độ giao điểm I của (d) và (P).
2, Tính cosin góc giữa (d) và (P).
3, Viết ptđt nằm trong (P), qua I và vuông góc (d).
Bài 44: Cho hệ trục toạ độ Oxyz, trên các nửa trục Ox, Oy, Oz lấy các điểm A(2a;0;0); B(0;2b;0); C(0;0;c), (a, b, c>0).
1,Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC) theo a, b, c.
2, Tính thể tích tứ diện OABE, trong đó E là chân đường cao AE trong tam giác ABC.
Bài 45: Cho A(2;4;1); B(3;5;2) và đt (d): 
1, Xét vị trí tương đối của AB và (d).
2, Tìm M trên (d) sao cho độ dài của vectơ nhỏ nhất.
Bài 46: Cho A(1;0;0); B(1;1;0); C(0;1;0); D(0;0;m), ( m0).
1, Tính khoảng cách giữa AC và BD khi m = 2.
2, Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên BD(O là gốc toạ độ). Tìm m để diện tích tam giác OBH lớn nhất.
Bài 47: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết S(3;2;4); B(1;2;3); D(3;0;3)
1, Lập pt đường vuông góc chung của AC và SD.
2, Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD. Lập ptmp qua BI và song song AC.
3, Gọi H là trung điểm của BD, G là trực tâm tam giác SCD, tính độ dài HG.
Bài 48: Cho đường thẳng (d): và mp(P): 2x – y – 2z – 2 = 0
1, viết pt mặt cầu có tâm thuộc (d), tâm cách (P) một khoảng bằng 2 và mặt cầu cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
2, Viết ptmp(R) qua (d) và tạo với (P) 1 góc nhỏ nhất.
Bài 49: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. 
1, Tính theo a khoảng cách giữa A’B và B’D.
2, M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa MP và C”N.
Bài 50: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2;0;0); B(0;1;0); S(0;0;). Gọi M là trung điểm của SC.
1, Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BM.
2, mp(ABM) cắt đường thẳng SD tại N. Tính thể tích khoói chóp S.ABMN.
Bài 51: Cho A(-4;-2;4) và đường thẳng (d):. Viết ptđt qua A vuông góc và cắt (d).
Bài 52: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ biết A(a;0;0); B(-a;0;0); C(0;1;0); B’(-a;0;b) với a>0, b>0.
1, Tính khoảng cách giữa B’C và AC’ theo a và b.
2, Cho a, b thay đổi luôn thoả mãn a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa B’C và AC’ lớn nhất.
Bài 53: Cho đường thẳng (d): và mp(P): 2x + y – 2z + 9 = 0.
1, Tìm toạ độ điểm I trên (d) sao cho khoảng cách từ I đến (P) bằng 2.
2, Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P). Viết ptđt qua A nằm trong (P) và vuông góc với (d).
Bài 54: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ với A(0;-3;0); B(4;0;0); C(0;3;0); B’(4;0;4).
1, Tìm toạ độ các đỉnh A’, C’. Viết pt mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mp(BCC’B’).
2, Gọi M là trung điểm của A’B’ viết ptmp(P) đi qua A, M và song song BC’. Mp(P) cắt A’C’ tại N. Tính độ dài MN.
Bài 55: Cho 2 đường thẳng (d1): và (d2): 
1, CMR: (d1) và (d2) song song, viết ptmp(P) chứa cả (d1) và (d2).
2, mp toạ độ (Oxz) cắt (d1), (d2) lần lượt tại A, B. Tính diện tích tam giác OAB.