Chuyên đề Về các bất đẳng thức

Chuyên đe BẤT ĐẲNG THỨC
	 TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Số thực dương, số thực âm:
Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0
Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0
Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu 
Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu 
Chú ý: 
Phủ định của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề ""
Phủ định của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề ""
II. Khái niệm bất đẳng thức:
 1. Định nghĩa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức 
 là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a
 Ta có: 
Nếu a>b hoặc a=b, ta viết . Ta có:
2. Định nghĩa 2:
Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số 
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B
	 	 " A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B
	 	 " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu 
	 	 " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu 
được gọi là một bất đẳng thức
Quy ước : 
Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng.
Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng 
III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức :
1. Tính chất 1: 
2. Tính chất 2: 
Hệ quả 1: 
Hệ quả 2: 
3. Tính chất 3: 
4. Tính chất 4: 
Hệ quả 3: 
Hệ quả 4: 
5. Tính chất 5: 
6. Tính chất 6: 
7. Tính chất 7: 
8. Tính chất 8: 
	Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì :
	 Nếu a và b là hai số không âm thì :
IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối :
1. Định nghĩa: 
2. Tính chất : 
3. Với mọi ta có :
V. Bất đẳng thức trong tam giác :
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :
a > 0, b > 0, c > 0
VI. Các bất đẳng thức cơ bản :
a. Bất đẳng thức Cauchy:
Cho hai số không âm a; b ta có : 
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Tổng quát :
Cho n số không âm a1,a2,...an ta có :
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =...= an
b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski :
Cho bốn số thực a,b,x,y ta có :
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx
Tổng quát :
Cho hai bộ số và ta có :
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 
c) Bất đẳng thức cơ bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có: 
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
 Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức :
 Ta thường sử dụng các phương pháp sau 
1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương 
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng .
Ví du1ï:
	Chứng minh các bất đẳng thức sau:
	1. với mọi số thực a,b,c
	2. với mọi a,b
Ví dụ 2:
 Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b , chứng tỏ rằng: 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu x>0 thì 
2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp
Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng 
minh.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : 
Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng:
Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng: 
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có: 
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : 
Ví dụ6: Cho x,y,z và xyz=1. Chứng minh rằng : 
Ví dụ 7: Cho x, y, z > 0 và x+y+z=xyz. Chứng minh rằng : 
Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng : 
Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng :
3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx 0
Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: với mọi x > 0
 Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: với mọi 
 Ví dụ 4: Với , chứng minh 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
I.BiÕn ®ỉi t­¬ng ®­¬ng,®¸nh gi¸
Bµi 1: CMR "a.
Bµi 2: CMR " x,y,z.
Bµi 3: CMR (x-2)(x-4)( x-6)(x-8) + 16 ³ 0 "x.
Bµi 4: Cho a,b,c tho¶ m·n a2 + b2 + c2 = 1. CMR 
abc + 2( 1 + a + b + c + ab + bc + ca) ³ 0
Bµi 5: Cho a,b,c > 0. CMR
 1) NÕu ab ³ 1 th× .
 2) NÕu a,b,c ³ 1 th× .
Bµi 6: Cho a,b,c tho¶ m·n . CMR .
Bµi 7: Cho a+b ³ 0. CMR .
Bµi 8: Cho a,b,c > 0. CMR .
Bµi 9: CMR .
Bµi 10: CMR 1. a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a( b + c + d + e ) "a,b,c,d,e
 	 2.a2 + b2 + c2 + d2 ³ a( b + c + d) "a,b,c,d.
Bµi 11.Cho x>0 CMR 
Bµi 12.Cho a,b>0 CMR .
Bµi 13.Cho a,b>0 vµ (Nh©n chÐo vµ ph©n tÝch).
Bµi 14.Cho a,b,c>0 vµ a,b,c 1,CMR (AD bµi 13 vµ ababc).
Bµi 15.
II.BÊt ®¼ng thøc C«si
Bµi 1: Cho a,b,c > 0. CMR 	
a4 + b4 + c4 ³ ab3 + bc3 +ca3 
3a3 + 7b3 ³ 9ab2
Bài 2: Cho x , y,z > 0 tháa m·n xyz = 1. CMR 
Bµi 3: Cho x,y,z > 0 tho¶ m·n x + y + z = 1.
a) CMR : .
b) T×m GTNN cđa : A = .
Bµi 4: Cho a,b,c,m,n,p > 0. CMR:
a) b)
Bµi 5: Cho a,b,c > 0. CMR:
a) (BÊt ®¼ng thøc Nesbit)
b) NÕu abc = 1 th× : .
Ba× 6.
Cho a,b0,CMR. 
Bµi7.Cho a,b,c>0,CM c¸c B§T sau
.
Cho thªm ®k :a+b=1 CMR
Bµi 8:Cho a,b,c lµ ba c¹nh cđa mét tam gi¸c,CM c¸c B§T sau:
Bµi 9.Cho a,b,c>0,CM c¸c B§T sau
Bài 9: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng 
 Khi nµo đẳng thức xảy ra? 
Bài 10: Chứng minh rằng với mọi x, ta có: 
	Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 11: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Bài 12: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức , chứng minh rằng: 
Bµi 13.(Kü thuËt co si ng­ỵc dÊu).
Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=3 CMR: 
Cho a,b,c,d>0,CMR 
Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR 
Cho a,b,c>0 tho¶ m·n a+b+c=3,CMR 
Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR 
Cho a,b,c,d>0 CMR 
Cho a,b,c0 tho¶ m·n a+b+c=3 CMR 
Cho a,b,c0 tho¶ m·n a+b+c=3 CMR
Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR 
Cho a,b,c0 tho¶ m·n a+b+c=3 CMR
Bµi 14(Kü thuËt thªm bít trong B§T COSI)
Cho a,b,c>0 CMR (Thªm (a+b)/4..hoỈc COSI ng­ỵc )
Cho a,b,c>0 CMR(Thªm a,b,c)
Cho a,b,c>0 CMR(Thªm b+c)
Cho a,b,c>0 vµ abc=1,CMR
 (Thªm(1+b)/8+(1+c)/8)
Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR
 (Thªm (b+c+d)/9..)
Cho a,b,c>0 CMR (Thªm a,b,c)
Cho a,b,c>0 CMR 
Cho a,b,c>0 CMR (Thªm ab,bc,ca)
Cho a,b,c>0 CMR(Thªm )
Cho a,b,c>0 CMR
III.BÊt ®¼ng thøc BunhiacèpSki
Bµi 1: Cho a,b,c > 0. CMR:
 a) 
 b) 
 c) 
Bµi 2 : Cho a,b,c ³ tho¶ m·n a+b+c = 1. CMR: 
Bµi 3 : CMR :
 	a) víi x,y ³ 1
 	b) víi 0 < ca,b
Bµi 4 : Cho a,b,c > 0. CMR:
 a) ( a + b )4 8(a4 + b4) ; 
 b) 
 c) víi 2a + 3b ³ 7
 d) víi ab + bc + ca = abc
Bµi 5: Cho x,y > 0. T×m GTNN:
 a) A = víi x + y = 1 
 b) B = x + y víi 
 c) C = 
 d) D =
IV.BÊt ®¼ng thøc vỊ trÞ tuyƯt ®èi:
Bµi 1: Cho CMR: 
Bµi 2: CMR :
Bµi tËp thªm :
Bµi 1: Cho a,b,c > 0 tho¶ m·n a + b = c .CMR 
Bµi 2: CMR 	
Bµi 3: T×m GTNN cđa biĨu thøc:
A = víi x > 0 ; B = víi x > 0 ; C = 
 biÕt r»ng x,y,z > 0 vµ x + y + z 1
Bµi 4: Cho x,y > 0 tho¶ m·n x2 + y3 ³ x3 + y4 . CMR 
Bµi 5:Cho x,y,z > 0 tho¶ m·n xyz( x + y + z) = 1.T×m GTNN P = (x+y)(x+z)
Bµi 6: Cho a,b,c > 0.CMR:
a) 
b) (a + 1) (b + 1) (a + c) (b + c) ³ 16abc
c) 
Bµi 7: Cho a,b,c Ỵ[-1,1] tho¶ m·n a + b + c = 0.T×m GTLN,GTNN cđa P = a2 + b4 + c6
Bµi 8: Cho a,b,c > 0 tho¶ m·n a+b+c = 1.T×m GTNN P = 
Bµi 9: CMR: 
a)
b)
c)
Bµi 10.CMR víi mäi a,bR ta cã,dÊu “=” s¶y ra khi nµo?
Bµi 11: CMR: 
V.BÊt ®¼ng thøc dïng tÝnh chat tØ sè
 A.T/C:Cho ba sè d­¬ng a,b,c
NÕu 
NÕu 
NÕu cho thªm d>0 th× NÕu 
 B.Bµi tËp
Cho a,b,c>0,CMR 
Cho a,b,c,d>0 CMR 
Cho a,b,c,d>0 CMR Kh«ng lµ sè tù nhiªn
Cho a,b,c,d>0 CMR 
	Bµi tËp cđng cè :
CMR : víi a,b,c > 0 bÊt k× ta cã :
a) 
b) 
c) 
TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC, GTLN – GTNN NHỜ DỰ ĐỐN DẤU BẰNG
	Các em h/s và các bạn thân mến, trong các đề thi TSĐH thường cĩ một câu V là câu khĩ, câu này những năm gần đây thường cho dưới dạng các bài tốn BĐT. Và thường thì các sĩ tử khơng biết bắt đầu từ đâu để giải quyết nĩ. Bài viết này tơi sẽ truyền đạt cho các bạn một cách suy nghĩ tìm lời giải bài tốn.
1. Bất Đẳng thức Cơsi (các chiêu này xem trong “Đại số 10”)
Bất Đẳng thức Cauchy cho 2 số :
Cho 2 số a, b 0 .Khi đĩ: a + b 2 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b.
Bất Đẳng thức Cauchy cho 3 số :
	Cho 3 số a, b, c 0 . Khi đĩ ta cĩ: a + b + c 3 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c.
Nhận dạng:
+ Tìm nhỏ nhất của tổng khi biết tích.
+ Tìm lớn nhất của tích khi biết tổng, tổng bình phương.
+ Chứng minh tổng lớn hơn tích, tích chia tổng (tổng bình phương, . . .)
+ Dùng nhập các tổng, tổng nghịch đảo, . . . thành một.
Các BĐT cơ bản liên quan hay dùng :
a2 + b2 2ab.
a2 + b2 + c2 ab + ac + bc .Dấu ‘=’ khi a = b = c.
a2 + b2 + c2 (a + b + c)2 ab + ac + bc . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c.
Với a, b > 0. Ta cĩ : (a + b)() 4 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b (hay : )
Với a, b, c > 0. Ta cĩ : (a + b + c)() 9 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c (hay : ) .
	Ý nghĩa của các bất đẳng thức 4, 5 là cho phép ta nhập các phân số thành một do đĩ rất thuận lợi cho việc xét hàm với một ẩn. 
2. Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki –BĐT Trị Tuyệt Đối :
	Trong chương trình thi Đại Học chúng ta chỉ được áp dụng BĐT Cauchy cho 2 và 3 số khơng âm và bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 cặp số.
	Dấu ‘=’ xảy ra khi (Nếu bỏ dấu thì cần thêm 0 nữa)
	b. Nhận dạng:
 	+ Tổng các cặp số cĩ tích khơng đổi.
	+ Tổng bình phương bằng một số khơng đổi.
	c. Ứng dụng 
	+ Nhập các tổng bình phương thành một.
	3. Khảo sát hàm số 
	 	Khi tìm GTNN, GTLN các em thường mắc phải sai lầm phổ biến trong việc tìm giá trị của biến tại các điểm đạt max, min đĩ là : thực hiện liên tiếp nhiều bước đánh giá nhưng dấu ‘=’ tại mỗi bước là khơng như nhau do đĩ khơng cĩ dấu ‘=’ để xảy ra đẳng thức cuối. Xét bài tốn:
 	Tìm GTLN của f(x) = sin5x + cosx, cĩ bạn đã giải như sau:
	Chỉ cần xét trong x[0 ;].Ta cĩ:sin5x sinx suy ra : f(x) sinx + cosx
	Mặt khác : sinx + cosx = 2sin(x + ).
	Vậy f(x)max = 2.
	Nhận xét : bài giải trên sai (bài giải đúng xem ở dưới) do đã vướng sai lầm trong tìm dấu ‘=’. f(x) khơng thể đạt giá trị bằng 2 được vì để tới BĐT cuối chúng ta đã thực hiện 2 phép biến đổi : 
	+ lần 1: sin5x sinx ; dấu ‘=’ khi x = 0, /2.
	+ lần 2: 2sin(x +); dấu ‘=’ khi x=
	 Như vậy, khi thực hiện mỗi bước biến đổi ta thường tự đặt ra câu hỏi: 
	+ Khi thực hiện các bước biến đổi như vậy thì liệu dấu ‘=’ cĩ đạt được ở bước cuối cùng khơng ?
	+ Đánh giá như thế nào để cĩ thể đưa về vế cịn lại được hay khơng ?
	Mặc dù bài tốn cĩ thể thực hiện liên tiếp nhiều bước biến đổi nhưng để dấu ‘=’ đạt được thì ở mỗi bước dấu ‘=’ cũng phải giống như dấu ‘=’ ở đẳng thức cuối cùng. Vậy thì tại sao ta khơng dự đốn trước dấu ‘=’ của BĐT (hoặc giá trị mà tại đĩ biểu thức đạt max, min) rồi từ đĩ mới định hướng phương pháp đánh giá ?. Đây là một cách phân tích tìm lời giải mà tơi muốn giới thiệu. Để cĩ hướng suy nghĩ đúng chúng ta thực hiện các bước phân tích sau: 
	I.Phân tích –tìm lời giải:
1.Dự đốn dấu ‘=’ của BĐT hay các điểm mà tại đĩ đạt GTLN, GTNN.
2.Từ dự đốn dấu “=”, kết hợp với các BĐT quen thuộc dự đốn phép đánh giá. Mỗi phép đánh giá phải đảm bảo nguyên tắc “dấu ‘=’ xảy ra ở mỗi bước này phải giống như dấu ‘=’ dự đốn ban đầu”.
	Để làm rõ, tơi xin phân tích cách suy nghĩ tìm lời giải trong một vài ví dụ sau:
II. Các thí dụ:
	Thí dụ 1: (ĐH 2003-A)
	Cho x, y, z > 0 thỏa mãn : x + y + z 1. Cmr:
P = 
	Phân tích: 
	B1. Dự đốn dấu ‘=’: x = y = z = 1/3
	B2. Để làm mất dấu căn, ta cĩ thể suy nghĩ theo 2 hướng: mất dấu căn ở từng số hạng hoặc nhập dấu căn ở mỗi số hạng thành một.
Nếu suy nghĩ theo hướng mất dấu căn ở từng số hạng ta dùng BĐT Bunhiacopxki:	
+ ở dạng tổng hai bình phương BĐT BCSta cần tìm: . . Dấu ‘=’ của dự đốn ban đầu là x = và dấu ‘=’ của đánh giá BĐT BCS là .Như vậy 2 số cịn lại cần điền sẽ cĩ tỉ lệ 3 : = 9 : 1. Ta được :. Tương tự với y, z và cộng lại, ta được: P.+ x+ y+ z. 
	+ Vế phải là tổng các phân sốquen (BĐT Cơsi )
. (Dấu ‘=’ vẫn đảm bảo) P 
(với t = x + y + x (0 < t ). Khảo sát hàm ta được đpcm. (Tới đây cĩ em dùng BĐT Cơsi khơng thu được kết quả vì đã vi phạm nguyên tắc dấu ‘=’)
	2. Nếu suy nghĩ theo hướng nhập các dấu căn:
	 + Ở mỗi dấu căn là dạng bình phương tổng 3 độ dài của ba vectơ .
	 + Dự đốn dấu ‘=’ khi x = y = z = . Khi đĩ 3 vectơ = (x ; ),= (y ; ) và = (z ; ) cùng hướng được tức đẳng thức sau xảy ra được : P = 
	+ Tới đây thực hiện các bước phân tích như 1.
	Khi thay dữ kiện x + y + z bằng dữ kiện khác, chẳng hạn: x + y + z thì vế phải bài tốn như thế nào ? 
	Thí dụ 2: (DBĐH - 2003)
	Tìm GTNN, GTLN của : P = sin5x + cosx.
	Phân tích:
	Ta thấy P chứa một ẩn x suy nghĩ đầu tiên của ta thường là dùng đạo hàm. Thử đạo hàm : 
f’(x) = 5sin4x.cosx –x
	+ Chúng ta thấy cĩ một nghiệm là sinx = 0 nhưng các nghiệm cịn lại ta khơng thể tìm được. Như vậy hướng giải quyết khi đạo hàm trực tiếp là khơng khả thi. Nhưng qua đây cho ta cĩ dự đốn được các điểm mà tại đĩ đạt NN, LN sẽ là các điểm làm sinx = 0.(thường thì các điểm đạt max, min là các điểm tới hạn của hàm số)
	+ Từ điều này, khi ta biến đổi và sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá phải luơn luơn cĩ dấu ‘=’ tại các điểm làm sinx = 0. 
	+ Muốn đưa về một ẩn t, ta đặt t = cosx, nhưng sin5x khơng chuyển về t được đánh giá sin5x để hạ một bậc (sin2x, sin4x, . . . thì đưa về t = cosx được). Phải đánh giá như thế nào để dấu ‘=’cĩ được khi sinx = 0 sin5x sin4x Khi đĩ : sin4x = (1 – t2)2 
f(x) g(t) = (1 – t2)2 + t , t[-1 ; 1].
	+ g’(t) = - 4t(1 – t2) hàm bậc 3 nhưng ta khơng nhẩm nghiệm được (thử bấm máy xem cĩ nghiệm trong [-1 ; 1]khơng cĩ nghiệm g’(t) chỉ mang dấu) đánh giá g’(t) để chứng minh g’(t) cĩ một dấudùng BĐT hoặc đạo hàm :
	+ g”(t) = 12t2 – 4, g’’(t) = 0 . Lập BBT hoặc để ý rằng g’(1), g’() > 0 g’(t) > 0, . Suy ra : max g(t) = g(1) (vẫn đảm bảo dấu ‘=’ như ở trên).
	Thí dụ 3: (ĐH 2004-A)
	Cho tam giác khơng tù ABC, thỏa mãn điều kiện: cos2A + cosB + cosC = 3.
	Tính các gĩc của tam giác ABC.
	Phân tích:
	Bài tốn yêu cầu tính 3 gĩc trong khi đĩ chỉ cho một đẳng thức ràng buộc như vậy chỉ cĩ cách dùng BĐT để đánh giá một vế lớn hơn hoặc bằng vế cịn lại.
	+ Dự đốn dấu ‘=’: B = C = 450 và A = 900. (B, C đối xứng nên dự đốn B = C, hệ số cosB là từ đây dự đốn B = 450 thử vào thấy thỏa.)
	+ Ta thực hiện biến đổi biểu thức quen thuộc : cosB + cosC = 2cos.cos, với dự đốn B = C thì cos = 1, ta cĩ thể đánh giá cosB + cosC để chuyển về một ẩn : cosB + cosC = 2cos.sin
	+ Vậy : cos2A + . 
Đây là bài tốn một ẩn ta cĩ thể 
	H1: Đặt t = sin (t ) chuyển 
f(t)=(2(2t2 – 1)2–1) + 4t –1= 8t4 –8t2 +4t -1 
f’(t)=32t3–16t + 4khơng giải được nghiệm. (bấm máy tìm nghiệm tthấy khơng cĩ nghiệm f’(t) chỉ cĩ một dấu )f”(t) lập BBT suy ra được f’(t) 0 ,f(t) ( bài tốn thường gặp ở lớp 12)
	H2: Đánh giá cos2A để giảm bớt bậc, cĩ thể phân tích theo hướng : cos2A = 2cos2A – 1.Với dự đốn dấu ‘=’ khi A = 900 ở trên, ta cĩ thể đánh giá cos2A như thế nào?Đánh giá :cos2A cosA (để đảm bảo dấu ‘=’ xảy ra khi A = 900)
	+ Thu được : cosA +
hay: –2sin2+. 
Suy ra: sin=
	Thí dụ 4: (ĐH Mỏ Địa Chất - 99)
Giả sử A, B, C là 3 gĩc một tam giác. Tìm GTNN :
P = 
	Phân tích:
+ Dự đốn điểm đạt GTNN: thử một số giá trị đặc biệt và dự đốn A = B (A, B đối xứng)
A , B
150
300
450
600
P
6/5
4/3
26/15
	Vậy dự đốn A = B= 300, C = 1200
+ Với giá trị dự đốn ta để ý :
	2 + cos2A = 2 + cos2B = 2 – cos2C, và cần đánh giá . Điều này trùng với cách nhập các phân số trongBĐT Cơsi :
	+ Vậy : P = Q
	+ Mục tiêu bây giờ là đi chứng minh:
R = cos2A + cos2B – cos2C 3/2 (giá trị tại điểm dự đốn, chiều để đảm bảo Q 6/5)
	+ Biểu thức của R chứa tổng quen thuộc của tam giác : cos2A + cos2B = 2cos(A – B).cos(A + B) = 
- 2cos(A – B). cosC và cos2C = 2cos2C – 1. Vậy :
R = - 2cos(A – B).cosC – 2cos2C + 1
	+ Tới đây, cĩ 2 suy nghĩ :
H1 : Khi A = B = 300 xảy ra thì cos(A – B) = 1 và cosC = . Tỉ lệ này giống tỉ lệ phân tích thành bình phương trong biểu thức của R.
Ta thử phân tích: R = - 2(cosC + )2 + 1 +cos2(A – B) . Đây là mục tiêu cần đi tới.
H2 : Đánh giá R đưa về một ẩn. Theo dự đốn thì cos(A – B) = 1 xảy ra được. Vậy ta cĩ đánh giá quen thuộc : cos(A – B) . Nếu nhân cosC vào 2 vế ta gặp sai lầm vì chưa biết dấu cosC. Ta tránh bằng cách : 
- cos(A – B).cosC (dấu ‘=’ đạt được tại các điểm dự đốn.). Vậy : 
R -2cos2C + 2 + 1= -()2 + (hoặc xét hàm )
	Thí dụ 5: (ĐHSP Hà Nội – 99)
Cho x, y, z [0 ; 1]. Chứng minh rằng :
2(x3 + y3 + z3) – (x2y + y2z + z2x)
Phân tích:
+ Dự đốn dấu ‘=’: hai số bằng 1cịn 1 số bằng 0 hoặc x = y = z = 1.
+ Với dự đốn trên làm thế nào để xuất hiện được vế trái ? Để làm xuất hiện x2y ta thử xét tích :
( 1- x2)(1 - y) 0 (đảm bảo dấu ‘=’ như dự đốn) hay : x2y + 1 – x2 – y . Thực hiện tương tự trên ta cĩ :
 y2z + 1 – y2 – z 	 z2x + 1 – z2 – x 
+ Nếu cộng 3 vế ta gần được bđt cần chứng minh, chỉ thay 2(x3 + y3 + z3) bằng tổng : x2 + y2 + z2 + x + y + z. Với giả thiết x, y, z [0 ; 1] thì ta cĩ thể so sánh các lũy thừa với bậc khác nhau, do đĩ cĩ thể so sánh hai tổng trên: x3 x2 x ; y3 y2 y và z3 z2 z. Cộng các bđt ta được đích cần phải tới.
Thí dụ 6: (ĐH- A- 2005)
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
Phân tích:
+ Dự đốn dấu ‘=’ x = y = z = ¾
+ Với dự đốn đĩ thì 2x = y + z, x+ z = 2y, x + y = 2z ; mỗi phân số ở vế phải bây giờ giống vế phải của BĐT nhập phân số quen thuộc ở thức thứ 4 của chiêu “Cơsi”.
+ Đánh giá: ;;
+ Với dự đốn x = y =z ta cĩ thể đánh giá :cộng các BĐT này ta được đpcm.
Thí dụ 7:
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :
Phân tích:
+ Dự đốn dấu “=” : x = = = z = 1
+ Với dự đốn này thì 1 = x3= y3, ở mỗi phân số ta thấy đều cĩ dạng tổn chia tích, ta dùng Cơsi để đánh giá tổng đưa về tích:
Suy ra : VT 
+ Kết hợp với giả thiết và với dự đốn dấu ‘=’thì . Điều này trùng với dấu hiệu của BĐT Cơsi, do đĩ dùng BĐT Cơsi ta được:
 VT 
	Qua các ví dụ trên chúng ta thấy được tầm quan trọng của việc đánh giá, dự đốn dấu ‘=’xảy ra ở các BĐT.Ngồi việc tránh cho ta những sai lầm thường gặp trong quá trình tìm GTNN, GTLN thì việc dự đốn dấu ‘=’cịn cho chúng ta định hướng được phương pháp chứng minh(các cách đánh giá là hồn tồn tự nhiên chứ khơng phải ‘từ trên trời rơi xuống’).Xin mời các em vận dụng vào các bài tập sau:
 III.Bài tập đề nghị:
Tính các gĩc của tam giác ABC biết rằng :
	a. sin2A + sin2B + 2sinAsinB = + 3cosC + cos2C
 	 b. cosA+cosB – cosC= -
	2>Tìm GTNN của : P = 3sinx + 8cos7x
 Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng : 3x + 2y + 4z 
	4> Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh:
 Cho tam giác nhọn ABC. Chứng minh: 
Cho 3 số x, y, z > 0 sao cho xy + yz + zx = xyz. 
	Chứng minh rằng : 
(ĐH – A- 2005)
Cho x, y, z > 0 thỏa mãn : . Chứng minh rằng : 
(ĐH – D – 2005)
Cho x, y, z > 0 thỏa : xyz=1. Cmr: 
	Trên đây cũng chỉ là một trong số rất nhiều cách suy nghĩ và dĩ nhiên nĩ cũng chỉ giải quyết được một vài dạng BĐT cụ thể mà thơi. Nhân đây tơi xin chân thành cảm ơn Th.S Nguyễn Quốc Luận đã đĩng gĩp nhiều ý kiến quý báu giúp tơi hồn thành bài viết này. Rất mong sự trao đổi của các bạn. 
MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CĨ ĐIỀU KIỆN
Chúng ta thường gặp các dạng tốn chứng minh BĐT cĩ dạng :Cho ,chứng minh cĩ một kĩ thuật là ta đi chứng minh :   .Nếu chứng minh được như thế , từ điều kiện ta suy ra được .Sau đây là một số ví dụ:   
Ví dụ 1.Cho ,chứng minh : 
Giải : Ta cĩ : 
mà nên 
nên 
Ví dụ 2:Cho x,y là các số dương thỏa mãn ,chứng minh rằng :
Giai: Ta cĩ : 
Mà 
Ví dụ 4:Cho x,y là các số dương thỏa ,chứng minh rằng :
Giải:  Ta cĩ : (x,y là các số dương)
tương tự 2 bài trên ta suy ra 
Mong phương pháp này sẽ hỗ trợ cho các bạn giải tốn ,đặc biệt là những ai yêu bài tốn BĐT .HẾT