Chuyên đề về Bất đẳng thức môn Toán 12

BẤT ĐẲNG THỨC
o000o
Dạng 1: Chứng minh BĐT bằng tính chất cơ bản
Nhóm 3:
¯ 
¯
Nhóm 2:
¯
¯
Nhóm 1:
¯ a > b Û a – b > 0
¯ [(a > b)Ù(b > c)] Þ (a > c) 
¯ a > b + c Û a - c > b
¯ a > b Û a + c > b + c.
 A. CẦN NHỚ: 
Nhóm 5:
¯ 
¯
Nhóm 4:
¯ 
¯ Chú ý: Từ các kết quả trên, suy ra kết quả tương tự cho A < B; A ³ B; A £ B.
 B. BÀI TẬP:
 Bài 1: CMR
Nếu (a>b Ù ab>0) thì . b) a2 + ab + b2 ³ 0 c) a2 + b2 + c2 ³ ab+bc+ca. 
2(1 - a)2 ³ 1 – 2a2 e) (1+ a2)(1+ b2) ³ (1 + ab)2 f) 4(a3+ b3)³ (a + b)3 "a, b ³ 0.
 g) (a3 + b3)2£ (a2 + b2)(a4 + b4) h)"a, b ³ 0 i) "a,b>0
 j) a2+b2+c2+d2 ³ (a+b)(c+d) k) a2+ b2+ c2+ d2+ e2 ³ a(b+c+d+e) l) 3(a2+ b2+c2) ³ (a+b+c)2 
 m) (a3+ b3) ³ ab(a+ b) "a, b³ 0 n) "a>b>0 o) "a>2 
p) "a ³0
 q) r) 
 s) Nếu thì x3 > y3 + z3 t) Nếu thì . 
Dạng 2: Dùng bất đẳng thức đặc biệt
 A. CẦN NHỚ:
 1/ Bất đẳng thức CAUCHY: (So sánh trung bình cộng & trung bình nhân) 
 a) Định lý: Cho a ³ 0; b ³ 0; c ³ 0. Ta có: 
 ¯. Dấu bằng xảy ra Û a = b.
 ¯. Dấu bằng xảy ra Û a = b = c.
b) Hệ quả:
¯ Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi chúng bằng nhau.
¯ Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau.
2/ Bất đẳng thức BOUNIACOVSKY: (B.C.S)
 Cho a; b; c; dỴR. Ta có:
ïac + bdï £ hoặc (ac + bd)2 £ (a2+ b2).(c2+ d2)
Dấu bằng xảy ra Û ad = bc.
3/ Bất đẳng thức TRỊ TUYỆT ĐỐI: Cho a, bỴR. Ta có:
¯ - ïạ £ a £ ïạ
¯ơơaơ-ơbơơ £ ơa + bơ ơaơ+ïbï. 
Dấu bằng xảy ra Û ab ³ 0.
 4/ Bất đẳng thức TAM GIÁC: 
Cho a, b, c là 3 cạnh tam giác. Ta có:
ơơbơ-ơcơơ< a <ơbơ+ïcï.
BÀI TẬP:
 Bài 2: CMR 
 a) ; "a,b ¹ 0. b) "a,bỴR. 
 Bài 3: CMR
 a) b) (a+b)(ab+4)³ 8ab "a,b ³ 0 
 c) a + b + 1 ³ d) £ ab "a,b ³ 1 
 e) "a,b,c,d ³ 0. f) Nếu a; b; c ³ 0; a+b+c=1 thì (1-a)(1–b)(1–c)³8abc. 
 Bài 4: CMR 
 a) b) c) x2 + 
 Bài 5: CMR
 a)ï15sinx + 8cosxï£ 17 b) Nếu a + b ³ 1 thì 2a2 + 2b2 ³ 1 
c) Nếu a; b ³ c ³ 0 thì d) Nếu 4x - y = 1 thì x2 + y2 ³; 4x2 + y2 ³.
 Bài 6: Cho DABC có 3 cạnh a, b, c - p là nửa chu vi - S là diện tích. CMR:
 a) p > a; p > b; p > c. b) abc ³ (a + b – c)(b+ c – a)(c + a – b).
 c) a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca). d) a4 + b4 + c4 ³ 16S2.
Trong các bất đẳng thức trên, dấu bằng xảy ra khi nào ?
 Bài 7: Tìm gtnn của các hàm số sau đây:
 a) y = f(x) = b) ; "x>1 c) y = f(x) =
d) y= f(x)= e) ; "x>0
 Bài 8: Tìm gtln của các hàm số sau đây: 
 a) y = f(x) = x(3 – x) "xỴ[0; 3] b) y = f(x)= x(8 – 2x) "xỴ[0; 4] 
 c) y = f(x) = d) y = f(x) = sin2x.cosx "xỴ[0o; 90o] 
 Bài 9: Tìm gtln & gtnn của hàm số: y = f(x) = "xỴ[1; 4].
 Bài 10: 
 a) Tìm hcn có chu vi lớn nhất & nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O, bán kính R cho trước.
 b) Người ta cắt bỏ 4 hình vuông nhỏ bằng nhau ở 4 góc 1 tấm bìa hình vuông cạnh a để 
 làm 1 cái hộp không nắp. Tính cạnh hình vuông nhỏ để hộp có thể tích V lớn nhất ?
 c) Cho DABC đều cạnh a. Người ta dựng 1 hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên
 cạnh BC & 2 đỉnh P, Q theo thứ tự nằm trên 2 cạnh AC & AB. Xác định vị trí điểm M
 sao cho dt(MNPQ) lớn nhất ? Tính gtln đó.
 Gv: Đỗ Khánh Giang