Chuyên đề: Về bất đẳng thức AM-GM

Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xồi-Bình Phước GV: Nguyễn Hữu Hiếu 
Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! 1 
CHUYÊN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 
Bài 1. Chứng minh rằng: DẠY BẤT ĐẲNG THỨC “CƠ SI” MÀ HỌC SINH KHƠNG LÀM ĐƯỢC NGHĨA 
LÀ “THẦY SI” 
Bài 2. Cho 0; 0a b  . Tìm GTNN của biểu thức 
a b
S
b a
  . 
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 
x
xx
2
562 2 
 trong đó x > 0. 
Bài 4. Cho 0x , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q =
 12
1722


x
xx
Bài 5. Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = 
x
x 20003 
Bài 6. Tìm GTNN của  
2
3
2
f(x) x
x
 , x > 0. 
Bài 7. Cho x > 0 ; y > 0 và 6 yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
yx
yxP
1612
35  
Bài 8. Cho x > 1, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 
1
25
4


x
x 
Bài 9. Cho 10  x , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 
xx
4
1
3


Bài 10. Cho 0 4; 0 y 3   x . Tìm GTLN của    3 4 2 3   A y x y x 
Bài 11. Cho 3a  . Tìm GTNN của biểu thức 
1
S a
a
  
Bài 12. Cho 2a  . Tìm GTNN của biểu thức 
2
1
S a
a
  
Bài 13. Cho 
, 0
1
a b
a b


 
. Tìm GTNN của biểu thức 
1
S ab
ab
  
Bài 14. Cho 
, , 0
3
2
a b c
a b c



  
. Tìm GTNN của biểu thức 
1 1 1
S a b c
a b c
      
Bài 15. Cho 
2 2 2
, , 0
1
a b c
a b c


  
. Tìm GTNN của biểu thức 
1
S a b c
abc
    
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xồi-Bình Phước GV: Nguyễn Hữu Hiếu 
Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! 2 
Bài 16. Cho 
, , 0
1
a b c
a b c


  
. Tìm GTLN của biểu thức 3 3 3S a b b c c a      
Bài 17. Cho 
, , 0
3
a b c
a b c


  
. Tìm GTLN: 3 3 3( 2 ) ( 2 ) ( 2 )S a b c b c a c a b      
Bài 18. Cho 
2 2 2
, , 0
1
a b c
a b c


  
. Tìm GTLN : 2 2 2 2 2 23 3 3S a b c b c a c a b      
Bài 19. Cho 
, , 0
3
a b c
a b c


  
. Chứng minh: 
3 3 3 3
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c
a b b c b c c a c a a b
  
     
Bài 20. Cho 
, , 0
3
a b c
a b c


  
. Chứng minh: 
3 3 3
1
(2 ) (2 ) (2 )
a b c
b c a c a b a b c
  
  
Bài 21. Cho 
2 2 2
, , 0
1
a b c
a b c


  
. Chứng minh: 
3 3 3 1
2 2 2 3
a b c
b c c a a b
  
  
Bài 22. Cho 
, , 0
1
a b c
ab bc ca


  
. CMR: 
2 2 2
3
21 1 1
a b c
a b c
  
  
Bài 23. Cho 
, , 0
1
a b c
ab bc ca


  
. CMR: 
1 1 1 9
( ) ( ) ( ) 2a a b b b c c c a
  
  
Bài 24. Cho 
, , 0
1
a b c
a b c


  
. CMR: 
     
2 2 2
9
4
a b c
b c c a a b
  
  
Bài 25. Cho 
2 2 2
, , 0
3
a b c
a b c


  
. CMR: 3
ab bc ca
c a b
   
Bài 26. Cho 
, , 0
1
a b c
a b c


  
. CMR 
1
2
bc ca ab
S
a bc b ca c ab
   
  
Bài 27. Cho 
, , 0
1
a b c
abc



. CMR: 
3 3 3
1 1 1 3
( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b
  
  
Bài 28. Cho 
, , 0
1
a b c
a b c


  
. Tìm GTNN 
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( )
S
a b c ab a b bc b c ca c a
   
    
Bài 29. Cho 
, , 0
3
2
a b c
a b c



  
. Tìm GTNN 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
S a b c
b c c a a b
         
Bài 30. Víi hai sè d­¬ng x vµ y ta cã: )
11
(
4
11
yxyx


. §¼ng thøc x¶y ra khi x=y. 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xồi-Bình Phước GV: Nguyễn Hữu Hiếu 
Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! 3 
Bài 31. Cho ba sè d­¬ng a, b, c, ta cã: )
111
(
2
1111
cbaaccbba






 . §¼ng thøc x¶y 
ra khi a = b = c. 
Bài 32. Cho ba sè d­¬ng a, b, c, ta cã: 
)
111
(
2
1
2
1
2
1
2
1
accbbabacacbcba 










. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ 
chØ khi a=b=c. 
Bài 33. Víi a, b, c lµ c¸c sè d­¬ng: )
111
(
4
1
2
1
2
1
2
1
cbabacacbcba






. §¼ng 
thøc x¶y ra khi a = b = c. Chĩ ý: NÕu thªm gi¶ thiÕt 4
111

cba
 th× bµi 
to¸n lµ néi dung c©u V, §Ị thi §¹i häc vµ Cao ®¼ng khèi A, n¨m 2005. 
Bài 34. Chøng minh r»ng víi a, b, c d­¬ng: 
accbbabacacbcba 3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
1











. §¼ng thøc x¶y ra khi vµ 
chØ khi : a=b=c. 
Bài 35. Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc tháa m·n ®iỊu kiƯn x + y + z = 0,x + 1>0, y + 1 > 0, z + 4 
> 0. H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa 
1 1 4
x y z
Q
x y z
  
  
Bài 36. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc 
x t t y y z z x
A
t y y z z x x t
   
   
   
. Víi x, y, z, t lµ 
c¸c sè d­¬ng. 
Bài 37. Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d­¬ng. Chøng minh c¸c bÊt ®¼ng thøc: 


































bcabcabacacbcba
accbbabacacbcba
2
1
2
1
2
1
2
1
32
1
32
1
32
1
/2
4
1
.
111
)(32
1
)(32
1
)(32
1
/1
Bài 38. Chøng minh r»ng nÕu a, b, c lµ c¸c sè thùc d­¬ng tháa m·n ®iỊu kiƯn abc = ab + 
bc + ca th×: 
96
17
32
1
32
1
32
1





 bacacbcba
Bài 39. Cho x > 0, y > 0 tháa m·n x + y 1 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa: 
xy
xyyx
A 4
21
22


 
Bài 40. Cho tam gi¸c ABC cã chu vi 2p=a+b+c (a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh). Chøng minh 
r»ng: 
 










 cbacpbpap
111
2
111
Bài 41. Cho x, y, z  0 thỏa mãn điều kiện azyx  
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xồi-Bình Phước GV: Nguyễn Hữu Hiếu 
Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! 4 
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = zxyzxy  
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 222 zyx  
Bài 42. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện 12 zyx . Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức P = 
x
z
z
y
y
x
 
Bài 43. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện azyx  . Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức Q = 


















z
a
y
a
x
a
111 
Bài 44. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện 1 cba . Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức A = 
   
   cba
cba


111
111
Bài 45. Cho x, y thỏa mãn điều kiện 1 yx và x > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
B = 32 yx . 
Bài 46. Chứng minh: a) 
3
2
  
  
a b c
b c c a a b
 với a, b, c > 0 
b) 
2 2 2
2
 
  
  
a b c a b c
b c c a a b
Bài 47. Cho a, b, c > 0 . Chứnng minh: 
a)  
1 1
4
 
   
 
a b
a b
 b)  
1 1 1
9
 
     
 
a b c
a b c
c) 2 2 2    a b c ab bc ca d)   2 2 2 9    a b c a b c abc 
e)     
bc ca ab
a b c
a b c
 f) 
4 4 4 9
2 2 2
  
       a b c a b c a b c a b c
g) 
1 1 1
    
a b c
bc ca ab a b c
Bài 48. Cho x, y, z > 0. Chứng minh 
2 2 2
2 2 2
    
x y z x y z
y z xy z x
Bài 49. Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 . Chứng minh: 
   
8
.
729
x y y z z x xyz    
Bài 50. Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1. Chứng minh: 
6     a b b c c a 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xồi-Bình Phước GV: Nguyễn Hữu Hiếu 
Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! 5 
Bài 51. Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số nguyên dương. Chứng minh 
1 1 1
3
2 2 2
       
       
     
n n n
x y z
Bài 52. Cho x, y, z là 3 số dương. Chứng minh 3 2 4 3 5    x y z xy yz zx 
Bài 53. Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0. Chứng minh 
8 8 8 2 2 2    a b c a b c 
Bài 54. Cho a, b, c, d > 0 . Chứng minh 
2 2 2 2
5 5 5 5 3 3 3 3
1 1 1 1
      
a b c d
b c d a a b c d
Bài 55. Cho x, y, z tuỳ ý khác khơng. Chứng minh 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
  
 x y z x y z
Bài 56. Chứng minh với x, y là 2 số khơng âm tuỳ ý, ta luơn cĩ: 3 3 23 17 18 x y xy 
Bài 57. Chứng minh 
    4 5 4 3 6 1
4
   

  
a b c d
a b c d
 với 5, 4, 3, 6a b c d      
Bài 58. Cho a, b, c > 0. Chứng minh    2 2 2 1 1 1 3
2
 
       
   
a b c a b c
a b b c c a
Bài 59. Cho x, y, z > 0 Chứng minh 1 1 1 8
   
      
   
x y z
y z x
Bài 60. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của 
1 1 1
  
  
x y z
P
x y z
 (ĐHNT-
1999) 
Bài 61. Cho 3 số dương a, b, c thỏa a.b.c=1. Tìm GTNN của biểu 
thức:
2 2 2 2 2 2
  
  
bc ca ab
P
a b a c b c b a c a c b
 (ĐHNN – 2000) 
Bài 62. Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết , , 0a b c  : 
a/ 
5 5 5
3 3 3
2 2 2
a b c
a b c
b c a
     b/ 
5 5 5
3 3 3a b c a b c
bc ca ab
     
c/ 
5 5 5 3 3 3
3 3 3
a b c a b c
b c ab c a
     d/ 
4 4 4
2 2 2
a b c
a b c
bc ca ab
     
e/ 
3 3 3
2 2 21 ( )
2 2 2 3
a b c
a b c
a b b c c a
    
  
 f/
3 3 3
2 2 2
1
( )
4( ) ( ) ( )
a b c
a b c
b c c a a b
    
  
g/ 
3 3 3 1
( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) 4
a b c
a b c
a b b c b c c a c a a b
    
     
Bài 63. Cho , ,x y z là ba số dương thỏa mãn 1xyz  . 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xồi-Bình Phước GV: Nguyễn Hữu Hiếu 
Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! 6 
Chứng minh rằng 
2 2 2 3
1 1 1 2
x y z
y z x
  
  
(ĐH 2005) 
Bài 64. Giả sử ,x y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 
5
4
x y  . Tìm GTNN của 
biểu thức 
4 1
4
S
x y
  (ĐH 2002) 
Bài 65. Cho , ,x y z là các số dương và 1x y z   . Chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
x y z
      (ĐH 2003) 
Bài 66. Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn 
1 1 1
4
x y z
   . Chứng minh rằng: 
1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
  
     
(ĐH 2005) 
Bài 67. Chứng minh rằng với mọi x thì 
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x              
     
(ĐH 2005) 
Bài 68. Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn 1xyz  . Chứng minh rằng: 
3 3 3 3 3 31 1 1
3 3
x y y z z x
xy yz zx
     
   (ĐH 2005) 
Bài 69. Chứng minh rằng với mọi , 0x y  thì 
2
9
(1 ) 1 1 256
y
x
x y
  
        
(ĐH 2005) 
Bài 70. Cho , ,x y z thỏa mãn 0x y z   . Chứng minh 3 4 3 4 3 4 6x y z      (ĐH 
2005) 
Bài 71. Cho , ,a b c là ba số dương thỏa mãn 
3
4
a b c   . Chứng minh rằng: 
3 3 33 3 3 3a b b c c a      (ĐH 2005) 
Bài 72. Cho , ,x y z thỏa mãn 3 3 3 1x y z     . Chứng minh 
9 9 9 3 3 3
43 3 3 3 3 3
x y z x y z
x y z y x z z x y  
 
  
  
(ĐH 2006) 
Bài 73. Cho ,x y là hai số dương thỏa mãn điều kiện 4x y  . Tìm GTNN của biểu thức 
2 3
2
3 4 2
4
x y
A
x y
 
  (ĐH 2006) 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xồi-Bình Phước GV: Nguyễn Hữu Hiếu 
Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! 7 
Bài 74. Ba số dương , ,a b c thỏa mãn 
1 1 1
3
a b c
   . Chứng minh rằng: 
(1 )(1 )(1 ) 8a b c    (ĐH 2001) 
Bài 75. Giả sử x và y là hai số dương và 1x y  . Tìm GTNN của 
1 1
x y
P
x y
 
 
(ĐH 2001) 
Bài 76. Cho hai số thực 0, 0x y  thỏa mãn 2 2( )x y xy x y xy    . Tìm GTLN của biểu 
thức 
3 3
1 1
A
x y
  (ĐH 2006) 
Bài 77. Chứng minh rằng nếu 0 1y x   thì 
1
4
x y y x  (ĐH 2006) 
Bài 78. Cho 
, 0
1
a b
a b


 
, tìm GTNN của 
2 2
1 1
2
P
aba b
 

Bài 79. Cho 
, 0
1
a b
a b


 
, tìm GTNN của 
2 2
1 1
21
P
aba b
 
 
Bài 80. Cho 
, 0
1
a b
a b


 
, tìm GTNN của biểu thức 
2 2
1 1
4P ab
aba b
  

. 
Bài 81. Cho 
, 0
1
a b
a b


 
, tìm GTNN của biểu thức 
3 3 2 2
1 1 1
S
a b a b ab
  

. 
Bài 82. Cho 
, , 0
3
a b c
a b c


  
. Chứng minh rằng: 3 3 3 32 2 2 3 3a b b c c a      . 
Bài 83. Cho 
, , 0
1
x y z
xyz



, chứng minh rằng: 
2 2 2 3
1 1 1 2
x y z
y z x
  
  
Bài 84. Chứng minh rằng: 3 3 33 2 3 3a b b c c a      (ĐTK 2005) 
Bài 85. Cho 
, , 0
1
a b c
a b c


  
, tìm GTNN của các 
biểu:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
P
ab bc caa b c
S
ab bc caa b b c c a
Q
ab bc caa bc b ca c ab
   
 
     
  
     
  
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Trường THPT Hùng Vương-Đồng Xồi-Bình Phước GV: Nguyễn Hữu Hiếu 
Xin đừng để học sinh SỢ bất đẳng thức ?! 8 
Bài 86. Cho 2 2 1u v  , chứng minh rằng: 
2 2
2 2
2 2
1 1 25
2
u v
u v
   
      
   
. 
Bài 87. Cho , ,a b c dương thỏa 1abc  , tìm GTNN của biểu thức: 
2 2 2( ) ( ) ( )
bc ca ab
Q
a b c b c a c a b
  
  
 (ĐH 2000 – 2001) 
Bài 88. Cho 
, , .0
1 1 1
1
x y z
x y z



  

, tìm GTLN của 
1 1 1
2 2 2
P
x y z x y z x y z
  
     
Bài 89. Cho 
, , 0
1
a b c
abc



,chứng minh rằng 
3 3 3
1 1 1 3
2( ) ( ) ( )a b c b c a c a b
  
  
Bài 90. Cho 
, , 0
1
a b c
abc



, tìm GTNN của 
3 3 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
a b c
P
b c c a a b
  
     
Bài 91. Cho , , , 0a b c d  , tìm GTNN của 
2 3 2 3 2 3 2 3
a b c d
P
b c d c d a d a b a b c
   
       
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.