Chuyên đề: Vấn đề số phức

CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC
Kiến thức cơ bản cần nhớ.
Định nghĩa số phức:
+ Dạng đại số: z = a + bi, ( a, b R, i2 = - 1)
Các kết quả: Cho số phức z = a + bi, ta có:
+). Phần thực là a, phần ảo là b, đơn vị ảo là i.
+). Môđun của số phức : 
+). Số phức liên hợp : 
+). Điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ Oxy là : M(a ; b).
Các phép toán đối với số phức
+). Phép cộng, trừ và nhân các số phức được thực hiện tương tự như cộng, trừ và nhân các số thực với chú ý i2 = - 1.
+). Phép chia số phức z1 cho số phức z2 được thực hiện theo quy tắc sau : 
+). Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau
Chú ý : tất cả các tính chất mà đúng với phép toán trên các số thực thì cũng đúng trên các số phức.
Phương trình bậc hai với hệ số thực.
Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, có =b2 – 4ac.
+). Nếu > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt 
+). Nếu = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = 
+). Nếu < 0, PT có 2 nghiệm phức 
Một số kết quả cần nhớ :
i0 = 1 i4n = 1	2). i1 = i i4n + 1 = i
i2 = - 1 i4n + 2 = - 1	4). i3 = - i i4n + 3 = - i
5. (1 – i)2 = - 2i 6). (1 + i)2 = 2i
Các dạng bài tập.
Bài 1. Xác định phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau.
1). z = (4 – i)(3 + 2i) + (1 – i)2
2). z = (2 + 3i)2 – (3 + 4i)3
3). Z = (1 – i)(2 – i)(3 + i)
4). Z = ( 1+ i)2008 – (1 + i)2009 + (1 + i)2010
5). Z = 
6). 
7). 
8). 
9). z2 – 2z + 4i
10). Z = (1 – i)10 – (4 + i)(1 – 2i)
Hướng dẫn : với các bài tập này, ta phải đưa các số phức đã cho về dạng z = a + bi 
Bài 2 : Giải các phương trình sau trên tập số phức( z là ẩn)
1). (1 + z)(2 + 3i) = 1 + i
2). 
3). z2 – 7z – 17 = 0
4). z4 – 2z2 – 63 = 0 
5). (z – i)(z2 + 1)(z3 + i) = 0
6). (z2 + z)2 +4(z2 + z) – 12 = 0
7). 
8). 
9). z2 + |z| = 0 
10). z2 + |z|2 = 0
11). 
12). 
Hướng dẫn : Đây là các phương trình ẩn z, ta giải như với PT trên tập số thực.
Bài 3 : Tìm các số thực x, y trong mỗi trường hợp sau ( z là số phức).
1). 2(x + i) + 1 – 5yi = 3 – 8i
2). x(1 + 3i) + y(i – 2) = 5 + i
3). x(1 + 4i) + (y2 – 5)I = 3y + 3
4). x(3 + 5i) + y(1 – 2i)2 = 9 + 14i
5). x(1 + i) + 4y – 6 – (3y + 5)I = 0
6). 2z3 – 9z2 + 14z – 5 = (2z – 1)(z2 + xz + y)
7). z4 – 4z2 – 16z – 16 =(z2 – 2z – 4)(z2 + xz – y)
8). z4 + 2z3 + 3z2 + 2z + 2 =(z2 + 1)(z2 - xz – y)
9). z3 + 3z2 + 3z – 63 = (z – 3)(z2 - xz + y)
10). z3 – 2(1 + i)z2 + 4(1 + i)z – 8i = (z –ai)(z2 + bz + c) (a, b , c R)
Hướng dẫn: Thực chất đây là bài toán so sánh 2 số phức.
Bài 4: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z = x + yi, thỏa mãn điều kiện sau.
1). |z – 1 – i| = 1
2). |z + 3i + 4| < 2
3). | z - 2 + i| = 2
4). |z + + 3 – i| > 3
5). |z - + 1 + i| = 2
6). 2|z – i| = |z - + 2i|
7). |2i - 2| = | 2z – 1|
8). |2iz – 1| = 2|z + 3|
9). |z2 - 2 | = 4
10). |z + 2| + |z – 2| = 6
11). |z + 3|2 + | z – 3|2 = 20
12). |z – 2| = x + 3
13). | z – 2| - | z + 2| = 6
14). | z + 4| = y – 5 
15). (2 – z)(i + ) là 1 số thực tùy ý
16). (2 – z)(i + ) là 1 số ảo tùy ý
17). là 1 số thực ?
18). , k là 1 số thực dương ?
Bài 5 : Tìm các số phức thỏa điều kiện sau.
1). 
2). 
3). và 
4). và 
Hướng dẫn : Dấu (||) trong các bài tập này được hiểu là môđun của các số phức
Bài 6: (TN-2008) Tính giá trị của biểu thức: P = 
Bài 7: (ĐH-2009A) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của pt: . Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 8: (ĐH-2009B)Tìm số phức z thỏa mãn : và .
Bài 9: (ĐH-2009D)Trong mp(Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: