Chuyên đề: Tính đơn điệu của hàm số (phần 1)

Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
5 
TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Định nghĩa : 
Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên K được gọi là 
 Đồng biến trên K nếu với mọi    1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x    ; 
 Nghịch biến trên K nếu với mọi    1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x    . 
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : 
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I 
 Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì  ' 0f x  với mọi x I ; 
 Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì  ' 0f x  với mọi x I . 
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : 
Định lý 1 : Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân (Định lý Lagrange): 
Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có đạo hàm trên khoảng  ;a b thì tồn tại ít nhất một điểm  ;c a b 
sao cho        'f b f a f c b a   . 
Định lý 2 : 
Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại 
mọi điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó : 
 Nếu  ' 0f x  với mọi x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I ; 
 Nếu  ' 0f x  với mọi x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ; 
 Nếu  ' 0f x  với mọi x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I . 
Chú ý : 
 Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có đạo hàm  ' 0f x  trên khoảng  ;a b thì hàm số f đồng biến 
trên ;a b   . 
 Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có đạo hàm  ' 0f x  trên khoảng  ;a b thì hàm số f nghịch 
biến trên ;a b   . 
Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
6 
BÀI TOÁN GIÁO KHOA 
 Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số : 
  3 21) 3 8 2
3
a f x x x x    
 
2 2
)
1
x x
b f x
x



  3 2) 3 3 2c f x x x x    
  3 21 1) 2 2
3 2
d f x x x x    
Giải : 
  3 21) 3 8 2
3
a f x x x x    
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có   2' 6 8f x x x   
 ' 0 2, 4f x x x    
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : 
x  2 4  
 'f x  0  0  
 f x  
  
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;2 và  4; , nghịch biến trên khoảng  2;4 
 
2 2
)
1
x x
b f x
x



Hàm số đã cho xác định trên tập hợp  \ 1 . 
Ta có  
 
 
 
2
2
2 2
1 12 2
' 0, 1
1 1
xx x
f x x
x x
  
   
 
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : 
x  1  
 'f x   
   
 f x 
   
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 và  1; 
Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
7 
  3 2) 3 3 2c f x x x x    
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có    22' 3 6 3 3 1f x x x x     
 ' 0 1f x x    và  ' 0f x  với mọi 1x   
Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng  ; 1   và 1;  nên hàm số đồng biến trên  . 
Hoặc ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số : 
x  1  
 'f x  0  
 f x  
 1 
  
Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng  ; 1   và 1;  nên hàm số đồng biến trên  . 
  3 21 1) 2 2
3 2
d f x x x x    Tương tự bài )a 
Ví dụ 2: Xét chiều biến thiên của các hàm số : 
  3 2) 2 3 1a f x x x   
  4 2) 2 5b f x x x   
  3 24 2) 6 9
3 3
c f x x x x     
  2) 2d f x x x  
Giải : 
  3 2) 2 3 1a f x x x   
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có   2' 6 6f x x x  
       ' 0, ; 1 , 0;f x x f x      đồng biến trên mỗi khoảng  ; 1  và  0; . 
     ' 0, 1;0f x x f x    nghịch biến trên khoảng  1;0 . 
Ngoài ra : Học sinh có thể giải  ' 0f x  , tìm ra hai nghiệm 1, 0x x   , kẻ bảng biến thiên rồi kết 
luận. 
  4 2) 2 5b f x x x   
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
8 
Ta có   3' 4 4f x x x  
       ' 0, 1;0 , 1;f x x f x     đồng biến trên mỗi khoảng  1;0 và  1; . 
       ' 0, ; 1 , 0;1f x x f x     nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 1  và  0;1 . 
Ngoài ra : Học sinh có thể giải  ' 0f x  , tìm ra hai nghiệm 1, 0, 1x x x    , kẻ bảng biến thiên rồi 
kết luận. 
  3 24 2) 6 9
3 3
c f x x x x     
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có    22' 4 12 9 2 3f x x x x       
  3' 0
2
f x x   và  ' 0f x  với mọi 3
2
x  
Vì hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng 3;
2
 
 
 
và 3 ;
2
 

 
nên hàm số nghịch biến trên  . 
  2) 2d f x x x  
Hàm số đã cho xác định trên 0;2   . 
Ta có    
2
1
' , 0;2
2
x
f x x
x x

 

     ' 0, 0;1f x x f x   đồng biến trên khoảng  0;1 ; 
     ' 0, 1;2f x x f x   nghịch biến trên khoảng  1;2 . 
Hoặc có thể trình bày : 
     ' 0, 0;1f x x f x   đồng biến trên đoạn 0;1   ; 
     ' 0, 1;2f x x f x   nghịch biến trên đoạn 1;2   . 
Ví dụ 3: 
Chứng minh rằng hàm số   24f x x  nghịch biến trên đoạn 0;2   
Giải : 
Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn 0;2   và có đạo hàm   2' 04
x
f x
x

 

 với mọi 
 0;2x  . Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn 0;2   . 
Ví dụ 4: 
Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
9 
1. Chứng minh rằng hàm số   3 cos 4f x x x x    đồng biến trên  . 
2 . Chứng minh rằng hàm số   cos2 2 3f x x x   nghịch biến trên  . 
Giải : 
1. 
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có   2' 3 1 sinf x x x   
Vì 23 0, 1 sin 0,x x x x       nên  ' 0,f x x   . Do đó hàm số đồng biến trên  . 
2 . 
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có    ' 2 sin2 1 0,f x x x       và  ' 0 sin2 1 ,
4
f x x x k k

          
Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn  ; 1 ,
4 4
k k k
 
 
 
      
 
 . Do đó hàm số nghịch biến trên 
 . 
Ví dụ 5: 
Tìm khoảng đơn điệu của hàm số   sinf x x trên khoảng  0;2 . 
Giải : 
Hàm số đã cho xác định trên khoảng  0;2 và có đạo hàm    ' cos , 0;2f x x x   . 
    3' 0, 0;2 ,
2 2
f x x x x
 
     
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : 
x 0 
2
 3
2
 2 
 'f x  0  0  
 f x 1 0 
 0 1 
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 0;
2
 
 
 
và 3 ;2
2


 
 
 
, nghịch biến trên khoảng 3;
2 2
  
 
 
. 
Ví dụ 6: 
Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
10 
Chứng minh rằng : sin t n 2 , 0;
2
x a x x x
 
     
 
 . 
Giải : 
Xét hàm số   sin t n 2f x x a x x   liên tục trên nửa khoảng 0;
2
 

 
.Ta có : 
   22 2
1 1
' cos 2 cos 2 0, 0;
2cos cos
f x x x x f x
x x
 
          
 
là hàm số đồng biến trên 
0;
2
 

 
và    0 , 0;
2
f x f x
 
    
 
 hay sin t n 2 , 0;
2
x a x x x
 
     
 
 (đpcm). 
Ví dụ 7: Chứng minh rằng 
1. sin , 0;
2
x x x
 
    
 
3
2. sin , (0; )
3! 2
x
x x x

    
2 4
3. cos 1 , (0; )
2 24 2
x x
x x

     
3
sin
4. cos , (0; )
2
x
x x
x
 
   
 
Giải : 
1. sin , 0;
2
x x x
 
    
 
Xét hàm số ( ) sinf x x x  liên tục trên đoạn 0;
2
x
 
  
 
Ta có: '( ) cos 1 0 , 0;
2
f x x x
 
      
 
( )f x là hàm nghịch biến trên đoạn 0;
2
 
 
 
 . 
Suy ra ( ) (0) 0 sin 0;
2
f x f x x x
 
       
 
 (đpcm). 
3
2. sin , (0; )
3! 2
x
x x x

    
Xét hàm số 
3
( ) sin
6
x
f x x x   liên tục trên nửa khoảng 0;
2
x
 
 
 
. 
Ta có:
2
'( ) cos 1 "( ) sin 0 0;
2 2
x
f x x f x x x x
 
          
 
 (theo câu 1) 
'( ) '(0) 0 0; ( ) (0) 0 0;
2 2
f x f x f x f x
    
           
   
3
sin , 0;
3! 2
x
x x x
 
      
 
 (đpcm). 
Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
11 
2 4
3. cos 1 , (0; )
2 24 2
x x
x x

     
Xét hàm số 
2 4
( ) cos 1
2 24
x x
g x x    liên tục trên nửa khoảng 0;
2
x
 
 
 
Ta có: 
3
'( ) sin 0 0;
6 2
x
g x x x x
 
       
 
 (theo câu 2) ( ) (0) 0 0;
2
g x g x
 
     
 
2 4
cos 1 , 0;
2 24 2
x x
x x
 
       
 
(Đpcm). 
3
sin
4. cos , (0; )
2
x
x x
x
 
   
 
Theo kết quả câu 2, ta có: 
3
sin , 0;
6 2
x
x x x
 
     
 
332 2 4 62sin sin
1 1 1
6 6 2 12 216
x x x x x x x
x x
  
                
3 2 4 4 2sin
1 (1 )
2 24 24 9
x x x x x
x
 
      
 
Vì 
32 2 4sin
0; 1 0 1
2 9 2 24
x x x x
x
x
   
          
   
Mặt khác, theo câu 3: 
2 4
1 cos , 0;
2 24 2
x x
x x
 
      
 
Suy ra 
3
sin
cos , 0;
2
x
x x
x
   
     
   
(đpcm). 
Ví dụ 8: Chứng minh rằng 
2 2 2
1 1 4
1 , 0;
2sin
x
x x


 
      
 
Giải : 
Xét hàm số 
2 2
1 1
( )
sin
f x
x x
  liênt ục trên nửa khoảng 0;
2
x
 
  
 
. 
Ta có: 
3 3
3 3 3 3
2 cos 2 2( cos sin )
'( )
sin sin
x x x x
f x
x x x x
 
    . 
Theo kết quả câu d của ví dụ7 , ta có: 
3
sin
cos , 0;
2
x
x x
x
   
     
   
Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
12 
3 3cos sin 0 , 0; '( ) 0 , 0;
2 2
x x x x f x x
    
            
   
2
4
( ) 1 , 0;
2 2
f x f x
 

   
        
   
Do vậy: 
2 2 2
1 1 4
1 , 0;
2sin
x
x x


 
      
 
 (đpcm). 
Ví dụ 9: 
Với 0
2
x

  . Chứng minh rằng 
3
12.sin t n 22 2 2
xx a x   . 
Giải : 
Ta có: 
1
sin t n2.sin t n 2 sin t n 22 2 2. 2 .2 2.2
x a xx a x x a x    
Ta chứng minh: 
1 3
sin t n
2 2 1 32 2 sin t n
2 2
x
x a x
x a x x

    [0; )
2
x

  . 
Xét hàm số   1 3sin t n
2 2
x
f x x a x   liên tục trên nửa khoảng 0
2
x

  . 
Ta có:  
3 2
2 2
, 1 3 2cos 3 cos 1cos
22.cos 2 cos
x x
f x x
x x
 
    
2
2
(cos 1) (2 cos 1)
0 , [0; )
22 cos
x x
x
x
 
    . 
( )f x đồng biến trên [0; )
2
 1 3
( ) (0) 0 sin tan
2 2
f x f x x x      [0; )
2
x

  (đpcm). 
Ví dụ 10: Chứng minh rằng 
4 1 0 , x x x    . 
Giải : 
Xét hàm số 4( ) 1f x x x   liên tục trên  . 
Ta có 3'( ) 4 1f x x  và 
3
1
'( ) 0
4
f x x   . 
Vì '( )f x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua 
3
1
4
, do đó 
3 3 3
1 1 1
min ( ) ( ) 1 0
4 4 4 4
f x f     
Vậy ( ) 0 , f x x  . 
Ví dụ 11: Chứng minh rằng 
Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
13 
1. 1 , xe x x   2
2. 1 , 0
2
x xe x x     
Giải : 
1. 1 , xe x x   
Xét hàm số ( ) 1xf x e x   liên tục trên  . 
Ta có: '( ) 1 '( ) 0 0xf x e f x x      
Lập bảng biến thiên, ta thấy ( ) (0) 0 f x f x   . 
2
2. 1 , 0
2
x xe x x     
Xét hàm số 
2
( ) 1
2
x xf x e x    liên tục trên nửa khoảng 0;  
Ta có:  ... 
a
a a
    1 ln(ln ) ln 0a a    
ln
ln 0 ln ln 0
e a
e a a e a a
a
       (3). 
Xét hàm số ( ) lng a e a a  với 1 a e  , ta có: 
 '( ) 1 0 (1; ) ( ) ( ) 0 (1; )eg a a e g a g e a e
a
          mâu thuẫn với (3) 1 a e   không thỏa 
yêu cầu bài toán. 
Vậy a e . 
Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
14 
Ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn về dạng toán này ở chuyên đề “ Mũ – Logarit” 
Ví dụ 12: 
1.Chứng minh rằng 21ln(1 ) 0
2
x x x x     (4). 
2.Tìm số thực a nhỏ nhất để BĐT sau đúng với 0x  2ln(1 )x x ax   (5). 
Giải : 
1.Chứng minh rằng 21ln(1 ) 0
2
x x x x     (4). 
Xét hàm số 21( ) ln(1 )
2
f x x x x    liên tục trên nửa khoảng 0;  . 
Ta có 
21
'( ) 1 0, 0
1 1
x
f x x x
x x
      
 
( ) (0) 0 0 (4)f x f x      đúng. 
2.Tìm số thực a nhỏ nhất để BĐT sau đúng với 0x  2ln(1 )x x ax   (5). 
Giả sử (5) đúng với 0x   (5) đúng với 0x  
2
ln(1 )
 0
x x
a x
x
 
     (6). 
Cho 0x  , ta có: 
2
ln(1 ) 1
2
x x
x
 
 
1 1
2 2
a a      . 
Khi đó: 2 21 0
2
x x x ax x     , 
Mà theo chứng minh ở câu 1 thì: 21ln(1 ) 0
2
x x x x     , dẫn đến 2ln(1 ) 0x x ax x     . 
Vậy 1
2
a  là giá trị cần tìm. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1. Chứng minh rằng hàm số   21f x x  nghịch biến trên đoạn 0;1   . 
2. Chứng minh rằng hàm số   3 24 2 3
3
f x x x x    đồng biến trên  . 
3. Xét chiều biến thiên của các hàm số: 
  5 4 310 7) 2 5
3 3
a f x x x x    
  3 2) 2 1b f x x x x    
  1) 2
1
h f x x
x
 

 ) 3 1i f x x  
  2) 4j f x x x  
Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
15 
  4)c f x x
x
  
  9)d f x x
x
  
  3 21) 2 4 5
3
e f x x x x    
 
2 8 9
)
5
x x
f f x
x
 


  2) 2 3g f x x x   
 )k f x x x  
 )l f x x x  
  2
2
)
9
x
m f x
x


4. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau : 
2
2
1 1
)
2
1
)
3
3
)
1
) 2 3
a y
x x
x
b y
x
x
c y
x
d y x x
 





  
4 3
4 3 2
5 3
7 6 5
1
) 5
2
3 3
) 2 6 11
4 2
4
) 8
5
7
) 9 7 12
5
e y x x x
f y x x x x
g y x x
h y x x x
   
    
   
   
5. Chứng minh rằng : 
)a Hàm số 2
2
x
y
x



 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 
)b Hàm số 
2 2 3
1
x x
y
x
  


 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 
6. Chứng minh rằng : 
)a Hàm số 

3
1 2
x
y
x
 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 
)b Hàm số 

22 3
2 1
x x
y
x
 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó . 
)c Hàm số    2 8y x x nghịch biến trên  . 
)d Hàm số   2cosy x x đồng biến trên  . 
7. Chứng minh rằng : 
)a Hàm số   22y x x nghịch biến trên đoạn   1;2 
)b Hàm số  2 9y x đồng biến trên nửa khoảng  3; 
)c Hàm số   4y x
x
 nghịch biến trên mỗi nửa khoảng  2;0 và  0;2 
)d Hàm số 
2 1
x
y
x


 đồng biến trên khoảng  1;1 , nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 1  và 
 1; . 
8. Cho hàm số  22 2y x x 
Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
16 
)a Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng  2; 
)b Chứng minh rằng phương trình  22 2 11x x có nghiệm duy nhất . 
Hướng dẫn : 
)a
   

    

5 8
' 0, 2;
2
x x
y x
x
. Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng  2; 
)b Hàm số xác định và liên tục trên nửa khoảng  2; , do đó cũng liên tục trên đoạn   2;3 , 
   2 11 3y y  nên theo định lý giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số thực   2;3c sao 
cho    11y c . Số thực   2;3c là 1 nghiệm của phương trình đã cho và vì hàm số đồng biến trên nửa 
khoảng  2; nên   2;3c là nghiệm duy nhất của phương trình . 
9. Cho hàm số  2sin cosy x x . 
)a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn 
 
 
 
0;
3
và nghịch biết trên đoạn  
 
 
 
;
3
. 
)b Chứng minh rằng với mọi   1;1m , phương trình  2sin cosx x m có nghiệm duy nhất thuộc 
đoạn   0; . 
Hướng dẫn : 
)a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn 
 
 
 
0;
3
và nghịch biết trên đoạn  
 
 
 
;
3
. 
Hàm số liên tục trên đoạn   0; và      ' sin 2 cos 1 , 0;y x x x 
Vì  0; sin 0x x   nên trong khoảng     10; : ' 0 cos
2 3
f x x x

      
 
     
 
 ' 0, 0;
3
y x nên hàm số đồng biến trên đoạn 
 
 
 
0;
3


 
     
 
 ' 0, ;
3
y x nên hàm số nghịch biến trên đoạn  
 
 
 
;
3
)b Chứng minh rằng với mọi   1;1m , phương trình  2sin cosx x m có nghiệm duy nhất thuộc 
đoạn   0; . 
 
   
 
 0;
3
x ta có         
 
5
0 1
3 4
y y y y nên phương trình cho không có nghiệm   1;1m 


 
   
 
 ;
3
x ta có           
 
5
1
3 4
y y y y . Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số 
liên tục với         
 
5
1;1 1;
4
m , tồn tại một số thực  
 
  
 
;
3
c sao cho    0y c . Số c là nghiệm 
Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
17 
của phương trình  2sin cosx x m và vì hàm số nghịch biến trên đoạn  
 
 
 
;
3
nên trên đoạn này , 
phương trình có nghiệm duy nhất . 
Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất thuộc đoạn   0; . 
10. Cho hàm số   2 sin tan 3f x x x x   
)a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
 

 
. 
)b Chứng minh rằng 2 sin tan 3x x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
. 
Hướng dẫn : 
)a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nữa khoảng 0;
2
 

 
Hàm số   2 sin tan 3f x x x x   liên tục trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và có đạo hàm 
     
2
3 2
2 2 2
1 cos 2cos 11 2 cos 1 3cos
' 2 cos 3 0, 0;
2cos cos cos
x xx x
f x x x
x x x
    
         
 
Do đó hàm số   2 sin tan 3f x x x x   đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
 

 
)b Chứng minh rằng 2 sin tan 3x x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
Hàm số   2 sin tan 3f x x x x   đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và 
   0 0, 0;
2
f x f x
 
     
 
; do đó 2 sin tan 3 0x x x   mọi 0;
2
x
 
  
 
 hay 
2 sin tan 3x x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
11. 
)a Chứng minh rằng tanx x với mọi 0;
2
x
 
  
 
. 
)b Chứng minh rằng 
3
tan
3
x
x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
. 
Hướng dẫn : 
)a Chứng minh rằng hàm số   tanf x x x  đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
 

 
. 
Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
18 
Hàm số   tanf x x x  liên tục trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và có đạo hàm 
  22
1
' 1 tan 0, 0;
2cos
f x x x
x
 
       
 
. 
Do đó hàm số   tanf x x x  đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và    0 0, 0;
2
f x f x
 
     
 
hay tanx x . 
)b Chứng minh rằng 
3
tan
3
x
x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
. 
Xét hàm số  
3
tan
3
x
g x x x   trên nửa khoảng 0;
2
 

 
. 
Hàm số  
3
tan
3
x
g x x x   liên tục trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và có đạo hàm 
     2 2 22
1
' 1 tan tan tan 0, 0;
2cos
g x x x x x x x x x
x
 
            
 
 câu )a 
Do đó hàm số  
3
tan
3
x
g x x x   đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và 
   0 0, 0;
2
g x g x
 
     
 
 hay 
3
tan
3
x
x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
. 
12. Cho hàm số   4 tanf x x x

  với mọi 0;
4
x
 
  
 
)a Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn 0;
4
 
 
 
. 
)b Từ đó suy ra rằng 4 tanx x

 với mọi 0;
4
x
 
  
 
. 
Hướng dẫn : 
)a Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn 0;
4
 
 
 
. 
Hàm số   4 tanf x x x

  liên trục trên đoạn 0;
4
 
 
 
 và có đạo hàm 
    22
4 1 4 4
' tan , 0; , ' 0 tan
4cos
f x x x f x x
x
  
  
  
         
 
Vì 40 1 tan
4
 


   nên tồn tại một số duy nhất 0;
4
c
 
  
 
 sao cho 4tanc 


 
    ' 0, 0;f x x c   hàm số  f x đồng biến trên đoạn 0;x c    
Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
19 
  ' 0, ;
4
f x x c
 
    
 
 hàm số  f x nghịch biến trên đoạn ;
4
x c
 
  
 
)b Dễ thấy     4 40 ; 0; tan 0 tan
4
f x f c x x x hay x x

 
 
        
 
 với mọi 0;
4
x
 
  
 
. 
13. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau : 
)a sin x x với mọi 0x  , sin x x với mọi 0x  
)b 
2
cos 1
2
x
x   với mọi 0x  
)c
3
sin
6
x
x x  với mọi 0x  , 
3
sin
6
x
x x  với mọi 0x  
)d sin tan 2x x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
Hướng dẫn : 
)a sin x x với mọi 0x  . 
Hàm số   sinf x x x  liên tục trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và có đạo hàm 
  2' 1 cos 2 sin 0, 0;
2 2
x
f x x x
 
       
 
. Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
 

 
và ta có 
   0 0, 0;
2
f x f x
 
     
 
, tức là sin 0, 0; sin , 0;
2 2
x x x hay x x x
    
         
   
 . 
)b 
2
cos 1
2
x
x   với mọi 0x  
Hàm số  
2
cos 1
2
x
f x x   liên tục trên nửa khoảng 0;  và có đạo hàm  ' sin 0f x x x   
với mọi 0x  ( theo câu a ). Do đó hàm số  f x đồng biến trên nửa khoảng 0;  và ta có 
   0 0, 0f x f x    , tức là 
2
cos 1 0, 0
2
x
x x     
Với mọi 0x  , ta có    
2
2
cos 1 0, 0 cos 1 0, 0
2 2
x x
x x hay x x

           
Vậy 
2
cos 1
2
x
x   với mọi 0x  
)c Hàm số  
3
sin
6
x
f x x x   . Theo câu b thì  ' 0, 0f x x   . Do đó hàm số nghịch biến trên  . 
Và       
0 0
0 0
f x f khi x
f x f khi x
  

 
)d sin tan 2x x x  với mọi 0;
2
x
 
  
 
Chuyên đề : Tính đơn điệu của hàm số Nguyễn Phú Khánh 
20 
Hàm số   sin tan 2f x x x x   liên tục trên nửa khoảng 0;
2
 

 
 và có đạo hàm 
  22 2
1 1
' cos 2 cos 2 0, 0;
2cos cos
f x x x x
x x
 
          
 
. Do đó hàm số đồng biến trên nửa 
khoảng 0;
2
 

 
và ta có    0 0, 0;
2
f x f x
 
     
 
14 Chứng minh rằng : 
)a sin tan 12 2 2 , 0;
2
x x x x
      
 
)b 2
2
1 cos , 0;
4 4
x x x
  
    
 
)c 0 05 tan6 6 tan5 
)d 2009 20082008 2009 
)e
2 2
tan tan ,0
2cos cos
a b a b
a b a b
b a
 
      
15 Chứng minh rằng : 
)a ln ,0b a b b a a b
a a b
 
    
)b 
 
1
lg lg 4
1 1
0 1;0 1,
y x
y x y x
x y x y
 
     
    
)c , 0, 0,
ln ln 2
a b a b
ab a b a b
a b
 
    

)d
1
lg ( 1) lg ( 2), 1
x x
x x x

    
)e , 0
2 ln ln
x y x y
x y
x y
 
  
