TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa :
Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác định trên K được gọi là
• Đồng biến trên K
• Nghịch biến trên K
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 5 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ðịnh nghĩa : Giả sử K là một khoảng , một ñoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số f xác ñịnh trên K ñược gọi là • ðồng biến trên K nếu với mọi ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x∈ < ⇒ < • Nghịch biến trên K nếu với mọi ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x∈ 2. ðiều kiện cần ñể hàm số ñơn ñiệu : Giả sử hàm số f có ñạo hàm trên khoảng I • Nếu hàm số f ñồng biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≥ với mọi x I∈ • Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì ( )' 0f x ≤ với mọi x I∈ 3. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñơn ñiệu : ðịnh lý 1 : ðịnh lý về giá trị trung bình của phép vi phân (ðịnh lý Lagrange): Nếu hàm số f liên tục trên ;a b và có ñạo hàm trên khoảng ( );a b thì tồn tại ít nhất một ñiểm ( );c a b∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( )'f b f a f c b a− = − ðịnh lý 2 : Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một ñoạn , f là hàm số liên tục trên I và có ñạo hàm tại mọi ñiểm trong của I ( tức là ñiểm thuộc I nhưng không phải ñầu mút của I ) .Khi ñó : • Nếu ( )' 0f x > với mọi x I∈ thì hàm số f ñồng biến trên khoảng I • Nếu ( )' 0f x < với mọi x I∈ thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I • Nếu ( )' 0f x = với mọi x I∈ thì hàm số f không ñổi trên khoảng I Chú ý : • Nếu hàm số f liên tục trên ;a b và có ñạo hàm ( )' 0f x > trên khoảng ( );a b thì hàm số f ñồng biến trên ;a b • Nếu hàm số f liên tục trên ;a b và có ñạo hàm ( )' 0f x < trên khoảng ( );a b thì hàm số f nghịch biến trên ;a b TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 6 CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Ví dụ 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số : Giải : ( ) 3 21) 3 8 2 3 a f x x x x= − + − Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) 2' 6 8f x x x= − + ( )' 0 2, 4f x x x= ⇔ = = Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau : x −∞ 2 4 +∞ ( )'f x + 0 − 0 + ( )f x +∞ −∞ Vậy hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng ( );2−∞ và ( )4;+∞ , nghịch biến trên khoảng ( )2;4 ( ) 2 2 ) 1 x x b f x x − = − Hàm số ñã cho xác ñịnh trên tập hợp { }\ 1ℝ . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 12 2 ' 0, 1 1 1 xx x f x x x x − +− + = = > ≠ − − Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau : x −∞ 1 +∞ ( )'f x + + +∞ +∞ ( )f x −∞ −∞ ( ) 3 21) 3 8 2 3 a f x x x x= − + − ( ) 2 2 ) 1 x x b f x x − = − ( ) 3 2) 3 3 2c f x x x x= + + + ( ) 3 21 1) 2 2 3 2 d f x x x x= − − + Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 7 Vậy hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng ( );1−∞ và ( )1;+∞ ( ) 3 2) 3 3 2c f x x x x= + + + Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) ( )22' 3 6 3 3 1f x x x x= = + = + ( )' 0 1f x x= ⇔ = − và ( )' 0f x > với mọi 1x ≠ − Vì hàm số ñồng biến trên mỗi nửa khoảng ( ; 1−∞ − và )1;− +∞ nên hàm số ñồng biến trên ℝ . Hoặc ta có thể dùng bảng biến thiên của hàm số : x −∞ 1− +∞ ( )'f x + 0 + ( )f x +∞ 1 −∞ Vì hàm số ñồng biến trên mỗi nửa khoảng ( ; 1−∞ − và )1;− +∞ nên hàm số ñồng biến trên ℝ . ( ) 3 21 1) 2 2 3 2 d f x x x x= − − + Tương tự bài )a Ví dụ 2: Giải : ( ) 3 2) 2 3 1a f x x x= + + Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) 2' 6 6f x x x= + ( ) ( ) ( ) ( )' 0, ; 1 , 0;f x x f x> ∈ −∞ − +∞ ⇒ ñồng biến trên mỗi khoảng ( ); 1−∞ − và ( )0;+∞ . ( ) ( ) ( )' 0, 1;0f x x f x< ∈ − ⇒ nghịch biến trên khoảng ( )1;0− . Ngoài ra : Học sinh có thể giải ( )' 0f x = , tìm ra hai nghiệm 1, 0x x= − = , kẻ bảng biến thiên rồi kết luận. Xét chiều biến thiên của các hàm số : ( ) 3 2) 2 3 1a f x x x= + + ( ) 4 2) 2 5b f x x x= − − ( ) 3 24 2) 6 9 3 3 c f x x x x= − + − − ( ) 2) 2d f x x x= − Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 8 ( ) 4 2) 2 5b f x x x= − − Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) 3' 4 4f x x x= − ( ) ( ) ( ) ( )' 0, 1;0 , 1;f x x f x> ∈ − +∞ ⇒ ñồng biến trên mỗi khoảng ( )1;0− và ( )1;+∞ . ( ) ( ) ( ) ( )' 0, ; 1 , 0;1f x x f x< ∈ −∞ − ⇒ nghịch biến trên mỗi khoảng ( ); 1−∞ − và ( )0;1 . Ngoài ra : Học sinh có thể giải ( )' 0f x = , tìm ra hai nghiệm 1, 0, 1x x x= − = = , kẻ bảng biến thiên rồi kết luận. ( ) 3 24 2) 6 9 3 3 c f x x x x= − + − − Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) ( )22' 4 12 9 2 3f x x x x= − + − = − − ( ) 3' 0 2 f x x= ⇔ = và ( )' 0f x < với mọi 3 2 x ≠ Vì hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng 3 ; 2 −∞ và 3 ; 2 +∞ nên hàm số nghịch biến trên ℝ . ( ) 2) 2d f x x x= − Hàm số ñã cho xác ñịnh trên 0;2 . Ta có ( ) ( ) 2 1 ' , 0;2 2 x f x x x x − = ∈ − ( ) ( ) ( )' 0, 0;1f x x f x> ∈ ⇒ ñồng biến trên khoảng ( )0;1 ( ) ( ) ( )' 0, 1;2f x x f x< ∈ ⇒ nghịch biến trên khoảng ( )1;2 Hoặc có thể trình bày : ( ) ( ) ( )' 0, 0;1f x x f x> ∈ ⇒ ñồng biến trên ñoạn 0;1 ( ) ( ) ( )' 0, 1;2f x x f x< ∈ ⇒ nghịch biến trên ñoạn 1;2 Ví dụ 3: Giải : Dễ thấy hàm số ñã cho liên tục trên ñoạn 0;2 và có ñạo hàm ( ) 2' 04 x f x x − = < − với mọi ( )0;2x ∈ . Do ñó hàm số nghịch biến trên ñoạn 0;2 . Chứng minh rằng hàm số ( ) 24f x x= − nghịch biến trên ñoạn 0;2 Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 9 Ví dụ 4: Giải : 1. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) 2' 3 1 sinf x x x= + + Vì 23 0, 1 sin 0,x x x x≥ ∈ + ≥ ∈ ℝ ℝ nên ( )' 0,f x x≥ ∈ ℝ . Do ñó hàm số ñồng biến trên ℝ . 2 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . Ta có ( ) ( )' 2 sin2 1 0,f x x x= − + ≤ ∀ ∈ ℝ và ( )' 0 sin2 1 , 4 f x x x k k π π= ⇔ = − ⇔ = − + ∈ ℤ Hàm số nghịch biến trên mỗi ñoạn ( ); 1 , 4 4 k k k π π π π − + − + + ∈ ℤ . Do ñó hàm số nghịch biến trên ℝ . Ví dụ 5: Giải : Hàm số ñã cho xác ñịnh trên khoảng ( )0;2π và có ñạo hàm ( ) ( )' cos , 0;2f x x x π= ∈ . ( ) ( ) 3' 0, 0;2 , 2 2 f x x x x π π π= ∈ ⇔ = = Chiều biến thiên của hàm số ñược nêu trong bảng sau : x 0 2 π 3 2 π 2π ( )'f x + 0 − 0 + ( )f x 1 0 0 1− Hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng 0; 2 π và 3 ;2 2 π π , nghịch biến trên khoảng 3 ; 2 2 π π . 1. Chứng minh rằng hàm số ( ) 3 cos 4f x x x x= + − − ñồng biến trên ℝ . 2 . Chứng minh rằng hàm số ( ) cos2 2 3f x x x= − + nghịch biến trên ℝ . Tìm khoảng ñơn ñiệu của hàm số ( ) sinf x x= trên khoảng ( )0;2π Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 10 Ví dụ 6: Giải : Xét hàm số ( ) sin tan 2f x x x x= + − liên tục trên nửa khoảng 0; 2 π .Ta có : ( ) ( )22 2 1 1 ' cos 2 cos 2 0, 0; 2cos cos f x x x x f x x x π = + − > + − > ∀ ∈ ⇒ là hàm số ñồng biến trên 0; 2 π và ( ) ( )0 , 0; 2 f x f x π > ∀ ∈ hay sin tan 2 , 0; 2 x x x x π + > ∀ ∈ . ỨNG DỤNG ðẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ðẠI SỐ Ví dụ 1: Giải : ðặt 2sin ; 0 1t x t= ≤ ≤ . Khi ñó phương trình ( ) 5 5 81* 81 (1 ) , 0;1 256 t t t ⇔ + − = ∈ Xét hàm số 5 5( ) 81 (1 )f t t t= + − liên tục trên ñoạn 0;1 , ta có: 4 4'( ) 5[81 (1 ) ],t 0;1f t t t = − − ∈ 4 4 81 (1 ) 1 '( ) 0 40;1 t t f t t t = − = ⇔ ⇔ = ∈ Lập bảng biến thiên và từ bảng biến thiên ta có: 1 81 ( ) ( ) 4 256 f t f≥ = Vậy phương trình có nghiệm 21 1 1sin cos2 ( ) 4 4 2 6 t x x x k k Z π π= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈ . Chứng minh rằng : sin tan 2 , 0; 2 x x x x π + > ∀ ∈ . Giải phương trình : ( )10 10 81 81sin cos * 256 x x+ = Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 11 Ví dụ 2: Giải : 2 21. 3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0 (1)x x x x x+ + + + + + + = Phương trình (1) ( ) 2 23 (2 ( 3 ) 3) (2 1)(2 (2 1) 3) (2)x x x x⇔ − + − + = + + + + ðặt 3 , 2 1, , 0u x v x u v= − = + > Phương trình (1) 2 2(2 3) (2 3) (3)u u v v⇔ + + = + + Xét hàm số 4 2( ) 2 3 , 0f t t t t t= + + > Ta có ( ) 3 4 2 2 3 '( ) 2 0, 0 3 t t f t t f t t t + = + > ∀ > ⇒ + ñồng biến trên khoảng ( )0;+∞ . Khi ñó phương trình (3) 1 ( ) ( ) 3 2 1 5 f u f v u v x x x⇔ = ⇔ = ⇔ − = + ⇔ = − Vậy 1 5 x = − là nghiệm duy nhất của phương trình. Chú ý : Nếu hàm số ( )y f x= luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) thì số nghiệm của phương trình : ( )f x k= sẽ không nhiều hơn một và ( ) ( )f x f y= khi và chỉ khi x y= . 2tan2. os =2 , - ; 2 2 xe c x x π π + ∈ Xét hàm số : 2tan( ) osxf x e c x= + liên tục trên khoảng - ; 2 2 x π π ∈ . Ta có Giải phương trình : 2 21. 3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0x x x x x+ + + + + + + = 2tan2. osx=2 , - ; 2 2 xe c x π π + ∈ . 3. 2003 2005 4006 2x x x+ = + 3 4. 3 1 log (1 2 )x x x= + + + Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 12 2 3 2 3 tan tan 2 1 2e os '( ) 2 tan . sin sin cos os x x c xf x x e x x x c x − = − = Vì 2 3tan2 2 os 0xe c x≥ > > Nên dấu của '( )f x chính là dấu của sinx . Từ ñây ta có ( ) (0) 2f x f≥ = Vậy phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất 0x = . 3. 2003 2005 4006 2x x x+ = + Xét hàm số : ( ) 2003 2005 4006 2x xf x x= + − − Ta có: '( ) 2003 ln2003 2005 ln2005 4006x xf x = + − 2 2''( ) 2003 ln 2003 2005 ln 2005 0 "( ) 0 x xf x x f x= + > ∀ ⇒ = vô nghiệm ( )' 0f x = có nhiều nhất là một nghiệm . Do ñó phương trình ( ) 0f x = có nhiều nhất là hai nghiệm và ( ) ( )0 1 0f f= = nên phương trình ñã cho có hai nghiệm 0, 1x x= = Chú ý : • Nếu hàm số ( )y f x= luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) và hàm số ( )y g x= luôn ñơn ñiệu nghiêm ngoặc ( hoặc luôn ñồng biến hoặc luôn nghịch biến ) trên D , thì số nghiệm trên D của phương trình ( ) ( )f x g x= không nhiều hơn một. • Nếu hàm số ( )y f x= ) có ñạo hàm ñến cấp n và phương trình ( )( ) 0kf x = có m nghiệm, khi ñó phương trình ( 1)( ) 0kf x− = có nhiều nhất là 1m + nghiệm 3 4. 3 1 log (1 2 )x x x= + + + 1 2 x > − Phương trình cho ( )3 3 33 1 2 log (1 2 ) 3 log 3 1 2 log (1 2 ) *x x xx x x x x⇔ + = + + + ⇔ + = + + + Xét hàm số: 3 ( ) log , 0f t t t t= + > ta có ( ) ( )1' 1 0, 0 ln 3 f t t f t t = + > > ⇒ là hàm ñồng biến khoảng ( )0;+∞ nên phương trình ( ) ( )* (3 ) (1 2 ) 3 2 1 3 2 1 0 * *x x xf f x x x⇔ = + ⇔ = + ⇔ − − = Xét hàm số: 2( ) 3 2 1 '( ) 3 ln 3 2 "( ) 3 ln 3 0x x xf x x f x f x= − − ⇒ = − ⇒ = > Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 13 ( ) 0f x⇒ = có nhiều nhất là hai nghiệm, và ( )(0) 1 0f f= = nên phương trình ñã cho có hai nghiệm 0, 1x x= = . Ví dụ 3: Giải : ðiều kiện 2 3 2 0 1 2x x x x− + ≥ ⇔ ≤ ∨ ≥ ðặt 2 3 2, 0u x x u= − + ≥ Phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 3 ... 3 x ta có ( ) π ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 5 0 1 3 4 y y y y nên phương trình cho không có nghiệm ( )∈ −1;1m π π • ∈ ; 3 x ta có ( ) ππ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ 5 1 3 4 y y y y . Theo ñịnh lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục với ( ) ∀ ∈ − ⊂ − 5 1;1 1; 4 m , tồn tại một số thực π π ∈ ; 3 c sao cho ( ) = 0y c . Số c là nghiệm của phương trình + =2sin cosx x m và vì hàm số nghịch biến trên ñoạn π π ; 3 nên trên ñoạn này , phương trình có nghiệm duy nhất . Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất thuộc ñoạn π 0; . 10. Cho ( ) ( )−1;1 , 2;4A B là hai ñiểm của parabol = 2y x .Xác ñịnh ñiểm C thuộc parabol sao cho tiếp tuyến tại C với parabol song song với ñường thẳng AB . 11. Với giá trị nào của a hàm số ( ) 3f x x ax= − + nghịch biến trênℝ . 12. Với giá trị nào của m , các hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó ? ) 2 1 m a y x x = + + − ( )22 2 3 1 ) 1 x m x m b y x − + + − + = − Hướng dẫn : ( ) = + + ⇒ = − ≠ − − 2 ) 2 ' 1 , 1 1 1 m m a y x y x x x • ≤ 0m thì > ∀ ≠' 0; 1y x . Do ñó hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng ( )−∞;1 và ( )+∞1; . • > 0m thì ( ) ( ) ( ) − − = − = ≠ − − 2 2 2 1 ' 1 , 1 1 1 x mm y x x x và = ⇔ = ±' 0 1y x m . Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( )−1 ;1m và ( )+1;1 m ; do ñó không thoả ñiều kiện . Vậy :hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó khi và chỉ khi ≤ 0m Chú ý : Bài toán trên ñược mở rộng như sau 1 )a Tìm giá trị của m ñể hàm số ñồng biến ( )−∞ −; 1 2 )a Tìm giá trị của m ñể hàm số ñồng biến ( )+∞2; 3 )a Tìm giá trị của m ñể hàm số nghịch biến trong khoảng có ñộ dài bằng 2. Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 41 4 )a Tìm giá trị của m ñể hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( )0;1 và ( )1;2 . 5 )a Gọi < 1 2 x x là hai nghiệm của phương trình ( )− − =21 0x m . Tìm m ñể : 5.1 )a = 1 2 2x x 5.2 )a < 1 2 3x x 5.3 )a + < + 1 2 3 5x x m 5.4 )a − ≥ − 1 2 5 12x x m ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 1 2 2 1 ) 2 ' 2 1 1 1 x m x m m m b y x m y x x x − + + − + − − = = − + + ⇒ = − + − − − 1 ' 0, 1 2 m y x• ≤ ⇒ < ≠ , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ) ( );1 à 1;v−∞ +∞ 1 2 m• > phương trình ' 0y = có hai nghiệm 1 2 1x x< < ⇒ hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng ( ) ( )1 2;1 à 1;x v x , trường hợp này không thỏa . 13. Với giá trị nào của m , các hàm số nghịch biến trên ℝ ( )3 21 2 2 1 3 2 3 y x x m x m= − + + + − + Hướng dẫn : ( )3 2 21 2 2 1 3 2 ' 4 2 1, ' 2 5 3 y x x m x m y x x m m= − + + + − + ⇒ = − + + + ∆ = + • = − 5 2 m thì ( )= − − ≤2' 2 0y x với mọi ∈ =ℝ, ' 0x y chỉ tại ñiểm = 2x . Do ñó hàm số nghịch biến trên ℝ . ( )• < − ∆ < 5 ' 0 2 m hay thì < ∀ ∈ ℝ' 0,y x . Do ñó hàm số nghịch biến trên ℝ . ( )• > − ∆ > 5 ' 0 2 m hay thì =' 0y có hai nghiệm ( )< 1 2 1 2,x x x x . Hàm số ñồng biến trên khoảng ( ) 1 2;x x . Trường hợp này không thỏa mãn . Ngoài ra ta có thể trình bày : Hàm số nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi 1 0 5 2 5 0 ' 0 2 a m m = − < ⇔ + ≤ ⇔ ≤ −∆ ≤ Vậy hàm số nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi ≤ − 5 2 m Chú ý : Bài toán trên ñược mở rộng như sau 1 )a Tìm giá trị của m ñể hàm số ñồng biến ( )− −2; 1 2 )a Tìm giá trị của m ñể hàm số ñồng biến ( )0;1 và ( )2;3 Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 42 3 )a Tìm giá trị của m ñể hàm số ñồng biến trong khoảng có ñộ dài bằng 1. 4 )a Tìm giá trị của m ñể hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0;1 . 14. Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 21 21 2 3 3 3 f x x m x m x= + − + − − )a Với giá trị nào của m , hàm số ñồng biến trên ℝ )b Với giá trị nào của m , hàm số ñồng biến trên : ( )1) 1;b +∞ ( )2) 1;1b − (3) ; 1b −∞ − 4 ) 1;0b − 15. Cho hàm số ( ) 2 sin tan 3f x x x x= + − )a Chứng minh rằng hàm số ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π . )b Chứng minh rằng 2 sin tan 3x x x+ > với mọi 0; 2 x π ∈ . Hướng dẫn : )a Chứng minh rằng hàm số ñồng biến trên nữa khoảng 0; 2 π Hàm số ( ) 2 sin tan 3f x x x x= + − liên tục trên nửa khoảng 0; 2 π và có ñạo hàm ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 1 cos 2 cos 11 2 cos 1 3 cos ' 2 cos 3 0, 0; 2cos cos cos x xx x f x x x x x x π− + + − = + − = = > ∀ ∈ Do ñó hàm số ( ) 2 sin tan 3f x x x x= + − ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π )b Chứng minh rằng 2 sin tan 3x x x+ > với mọi 0; 2 x π ∈ Hàm số ( ) 2 sin tan 3f x x x x= + − ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π và ( ) ( )0 0, 0; 2 f x f x π ≥ = ∀ ∈ ; do ñó 2 sin tan 3 0x x x+ − > mọi 0; 2 x π ∈ hay 2 sin tan 3x x x+ > với mọi 0; 2 x π ∈ 16. Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 43 )a Chứng minh rằng tanx x> với mọi 0; 2 x π ∈ . )b Chứng minh rằng 3 tan 3 x x x> + với mọi 0; 2 x π ∈ . Hướng dẫn : )a Chứng minh rằng hàm số ( ) tanf x x x= − ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π . Hàm số ( ) tanf x x x= − liên tục trên nửa khoảng 0; 2 π và có ñạo hàm ( ) 22 1 ' 1 tan 0, 0; 2cos f x x x x π = − = > ∀ ∈ . Do ñó hàm số ( ) tanf x x x= − ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π và ( ) ( )0 0, 0; 2 f x f x π > = ∀ ∈ hay tanx x> . )b Chứng minh rằng 3 tan 3 x x x> + với mọi 0; 2 x π ∈ . Xét hàm số ( ) 3 tan 3 x g x x x= − − trên nửa khoảng 0; 2 π . Hàm số ( ) 3 tan 3 x g x x x= − − liên tục trên nửa khoảng 0; 2 π và có ñạo hàm ( ) ( ) ( )2 2 22 1 ' 1 tan tan tan 0, 0; 2cos g x x x x x x x x x x π = − − = − = − + > ∀ ∈ câu )a Do ñó hàm số ( ) 3 tan 3 x g x x x= − − ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π và ( ) ( )0 0, 0; 2 g x g x π > = ∀ ∈ hay 3 tan 3 x x x> + với mọi 0; 2 x π ∈ . 17. Cho hàm số ( ) 4 tanf x x x π = − với mọi 0; 4 x π ∈ )a Xét chiều biến thiên của hàm số trên ñoạn 0; 4 π . )b Từ ñó suy ra rằng 4 tanx x π ≥ với mọi 0; 4 x π ∈ . Hướng dẫn : )a Xét chiều biến thiên của hàm số trên ñoạn 0; 4 π . Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 44 Hàm số ( ) 4 tanf x x x π = − liên trục trên ñoạn 0; 4 π và có ñạo hàm ( ) ( ) 22 4 1 4 4 ' tan , 0; , ' 0 tan 4cos f x x x f x x x π π π π π π − − = − = − ∀ ∈ = ⇔ = Vì 4 0 1 tan 4 π π π − < < = nên tồn tại một số duy nhất 0; 4 c π ∈ sao cho 4 tanc π π − = ( ) ( ) ' 0, 0;f x x c• > ∈ ⇒hàm số ( )f x ñồng biến trên ñoạn 0;x c ∈ ( ) ' 0, ; 4 f x x c π • < ∈ ⇒ hàm số ( )f x nghịch biến trên ñoạn ; 4 x c π ∈ )b Dễ thấy ( ) ( ) 4 40 ; 0; tan 0 tan 4 f x f c x x x hay x x π π π ≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ − ≥ ≥ với mọi 0; 4 x π ∈ . 18. Chứng minh rằng các bất ñẳng thức sau : )a sinx x , sinx x> với mọi 0x < )b 2 cos 1 2 x x > − với mọi 0x ≠ )c 3 sin 6 x x x> − với mọi 0x > , 3 sin 6 x x x< − với mọi 0x < )d sin tan 2x x x+ > với mọi 0; 2 x π ∈ Hướng dẫn : )a sinx x . Hàm số ( ) sinf x x x= − liên tục trên nửa khoảng 0; 2 π và có ñạo hàm ( ) 2' 1 cos 2 sin 0, 0; 2 2 x f x x x π = − = > ∀ ∈ . Do ñó hàm số ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π và ta có ( ) ( )0 0, 0; 2 f x f x π > = ∀ ∈ , tức là sin 0, 0; sin , 0; 2 2 x x x hay x x x π π − > ∀ ∈ > ∀ ∈ . )b 2 cos 1 2 x x > − với mọi 0x ≠ Hàm số ( ) 2 cos 1 2 x f x x= − + liên tục trên nửa khoảng )0; +∞ và có ñạo hàm ( )' sin 0f x x x= − > với mọi 0x > ( theo câu a ). Do ñó hàm số ( )f x ñồng biến trên nửa khoảng )0; +∞ và ta có ( ) ( )0 0, 0f x f x> = ∀ > , tức là 2 cos 1 0, 0 2 x x x− + > ∀ > Với mọi 0x < , ta có ( ) ( ) 2 2 cos 1 0, 0 cos 1 0, 0 2 2 x x x x hay x x − − − + > ∀ ∀ < Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 45 Vậy 2 cos 1 2 x x > − với mọi 0x ≠ )c Hàm số ( ) 3 sin 6 x f x x x= − − . Theo câu b thì ( )' 0, 0f x x< ∀ ≠ . Do ñó hàm số nghịch biến trên ℝ . Và ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 f x f khi x f x f khi x > < )d sin tan 2x x x+ > với mọi 0; 2 x π ∈ Hàm số ( ) sin tan 2f x x x x= + − liên tục trên nửa khoảng 0; 2 π và có ñạo hàm ( ) 22 2 1 1 ' cos 2 cos 2 0, 0; 2cos cos f x x x x x x π = + − > + − > ∀ ∈ . Do ñó hàm số ñồng biến trên nửa khoảng 0; 2 π và ta có ( ) ( )0 0, 0; 2 f x f x π > = ∀ ∈ MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG KỲ THI TÚ TÀI &TUYỂN SINH ðẠI HỌC 1 Tìm tham số m ñể ñồ thị của hàm số ñồng biến trên ℝ : )a 3 2 1 (3 2) 3 m y x mx m x − = + + − )b ( )3 21 2 1 1 3 y x x m x= − + + − 2 Tìm m ñể các hàm số sau nghịch biến trên ℝ ( ) ( )3 21 2 2 2 2 5 3 m y x m x m x − = − − + − + 3 Tìm m ñể các hàm số sau ñồng biến trên ℝ )a siny x m x= + )b 1 1 sin sin2 sin 3 4 9 y mx x x x= + + + )c 2 2 1 2 2 cos sin cos cos 2 4 y mx x m x x x= − − + )d ( 3) (2 1)cosy m x m x= − − + 4 Tìm tham số m ñể ñồ thị của hàm số : )a 3 23 ( 1) 4y x x m x m= + + + + nghịch biến trên ( )1;1− )b 3 2 2(2 7 7) 2( 1)(2 3)y x mx m m x m m= − − − + + − − ñồng biến trên )2; +∞ Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12 Tính ñơn ñiệu của hàm số 46 )c 3 23y x x mx m= + + + nghịch biến trên ñoạn có ñộ dài bằng 1. )d 2(2 1) 3 5 1 m x mx y x − − + = − ñồng biến trên ñoạn 2;5 )e 22 3 2 1 x x m y x − − + = + nghịch biến trên khoảng 1 ; 2 − +∞ )f 2 8 8( ) x x y x m − = + ñồng biến trên khoảng ( )1;+∞ )g 2 1 mx x m y mx + + = + ñồng biến trên khoảng ( )0;+∞ . 5 Chứng minh rằng : )a sin tan 12 2 2 , 0; 2 x x x x π+ + > ∈ )b 2 2 1 cos , 0; 4 4 x x x π π + < < ∈ )c 0 05 tan6 6 tan 5> )d 2009 20082008 2009> )e 2 2 tan tan ,0 2cos cos a b a b a b a b b a π− − < − < < < < 6 Chứng minh rằng : )a ln , 0 b a b b a a b a a b − − > > < < )b ( ) 1 lg lg 4 1 1 0 1;0 1, y x y x y x x y x y − > − − − < < < < ≠ )c , 0, 0, ln ln 2 a b a b ab a b a b a b − + > ≠ − )d 1 lg ( 1) lg ( 2), 1 x x x x x + + > + > )e , 0 2 ln ln x y x y x y x y + − > > > −
Tài liệu đính kèm: