Chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp hàm số

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
1 
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 
Loại 1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số 
A. Nguyên tắc chung 
Để tìm GTLN, GTNN của một hàm số, ta có hai quy tắc sau đây: 
* Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa): Giả sử f xác định trên D  . 
 
x D
M max f x

 ( M là GTLN của hàm số f trên D )  
 
 0 0
f x M x D
x D : f x M
   

  
. 
 
x D
m minf x

 (m là GTNN của hàm số f trên D )  
 
 0 0
f x m x D
x D : f x m
   

  
. 
* Quy tắc 2 (Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn): Để tìm giá GTLN, 
GTNN của hàm số f xác định trên đoạn  a;b , ta làm như sau: 
Bước 1: Tìm các điểm 1x , 2x , , mx thuộc khoảng  a;b mà tại đó hàm số f có đạo 
hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. 
Bước 2: Tính  1f x ,  2f x , ,  mf x ,  f a ,  f b . 
Bước 3: So sánh các giá trị tìm được ở bước 2. Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN 
của f trên đoạn  a;b ; số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của f trên đoạn  a;b . 
 
            1 2 m
x a;b
max f x max f x , f x , ..., f x , f a , f b

 . 
 
            1 2 m
x a;b
min f x min f x , f x , ..., f x , f a , f b

 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
2 
Quy ước: Khi nói đến GTLN, GTNN của hàm số f mà không chỉ rõ GTLN, GTNN trên tập nào 
thì ta hiểu là GTLN, GTNN trên tập xác định của f . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
3 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. [ĐHD11] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 
22x 3x 1y
x 1
 


 trên đoạn  0;2 . 
Giải 
Ta có 
     
   
2 2
2 2
4x 3 x 1 2x 3x 1 2x 4x 2y ' 0
x 1 x 1
      
  
 
  x 0;2  
  y đồng biến trên  0;2 
 
 
 
 
 
x 0;2
17
3x 0;2
min y y 0 3
max y y 2


  


 

. 
Nhận xét: * f đồng biến trên  a;b  
 
   
 
   
x a;b
x a;b
min f x f a
max f x f b


 




. 
 * f nghịch biến trên  a;b  
 
   
 
   
x a;b
x a;b
min f x f b
max f x f a


 




. 
Ví dụ 2. [ĐHB03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2y x 4 x   . 
Giải 
+)  TXÑ 2;2  . 
+) 
24 x xx
2 24 x 4 x
y ' 1  
 
   (  x 2;2  ). 
 x 2;2   , ta có: y' 0  24 x x 0    24 x x   2 2
x 0
4 x x


 
  x 2 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
4 
Vậy         min y min y 2 ;y 2 ;y 2 min 2;2;2 2 2      , đạt được  x 2  . 
         max y max y 2 ;y 2 ;y 2 min 2;2;2 2 2 2     , đạt được  2 . 
Ví dụ 3. [ĐHD03] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 
2
x 1y
x 1



 trên đoạn  1;2 . 
Giải 
 
 
2 x
2x 1
2 2 2
x 1 x 1
1 xy '
x 1 x 1 x 1

  

 
  
. 
 x 1;2   ta có y' 0  x 1 . 
Vậy         3 55min y min y 1 ;y 2 ;y 1 min 0; ; 2 0    , đạt được  x 1  . 
         3 55max y max y 1 ;y 2 ;y 1 max 0; ; 2 2    , đạt được  x 1 . 
Ví dụ 4. [ĐHB04] Tìm GTLN, GTNN của hàm số 
2ln xy
x
 trên đoạn 31;e 
 
. 
Giải 
  2ln x 2x
2 2
2 .x ln x 2ln x ln xy '
x x
 
  . 
 3x 1;e  , ta có y' 0  22ln x ln x 0  
 ln x 0 hoặc ln x 2 
 x 1 hoặc 2x e 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
5 
 2x e (  31 1;e ). 
Vậy       3 2 3 29 4min y min y 1 ;y e ;y e min 0; ; 0e e
 
   
 
, đạt được  x 1 . 
       3 3 2 29 4 4max y max y 1 ;y e ;y e max 0; ;e e e
 
   
 
, đạt được  2x e . 
Ví dụ 5. [ĐHD10] Tìm GTNN của hàm số 2 2y x 4x 21 x 3x 10        . 
Giải 
TXÑx  
2
2
x 4x 21 0
x 3x 10 0
   

   
  
3 x 7
2 x 5
  

  
  2 x 5   . 
Suy ra  TXÑ= 2;5 . 
2 2
x 2 2x 3y '
x 4x 21 2 x 3x 10
 
  
     
. 
y' 0  
2 2
x 2 2x 3
x 4x 21 2 x 3x 10
 

     
  
 
2 2
2 2
x 4x 4 4x 12x 9
x 4x 21 4 x 3x 10
   

     
         2 2 2 24 x 3x 10 x 4x 4 x 4x 21 4x 12x 9           
  4 3 2 4 3 24 x 7x 6x 28x 40 4x 28x 27x 216x 189           
 251x 104x 29 0   
 1x
3
 hoặc 29x
17
 . 
Thử lại, ta thấy chỉ có 1x
3
 là nghiệm của y' . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
6 
 y 2 3  ,  y 5 4 ,  13y 2  min y 2 , đạt được  13x  . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
7 
C. Bài tập 
Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 
1)   2f x 4 x  . 
2)   2f x x 2x 5   trên đoạn  2;3 . 
3)   2f x x 2x 4    trên đoạn  2;4 . 
4)   3f x x 3x 3   trên đoạn 323;   . 
5)   3 213f x x 2x 3x 4    trên đoạn  4;0 . 
6)   3 2f x x 3x 9x 1    trên đoạn  4;4 . 
7)   3f x x 5x 4   trên đoạn  3;1 . 
8)   4 2f x x 8x 16   trên đoạn  1;3 . 
9)   1xf x x  trên khoảng  0; . 
10)   1x 1f x x   trên khoảng  1; . 
11)   1xf x x  trên nửa khoảng  0;2 . 
12)   xx 2f x  trên nửa khoảng  2;4 . 
13)  
22x 5x 4
x 2f x
 

 trên đoạn  0;1 . 
14)   4 4f x sin x cos x  . 
15)   2f x 2sin x 2sin x 1   . 
16)   2f x cos 2x sin xcos x 4   . 
17)   3 2f x cos x 6cos x 9cos x 5    . 
18)   3f x sin x cos 2x sin x 2    . 
19)  
3f x sin 3x 3sin x   
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
8 
20)  
22cos cos x 1
cos 1
f x  


THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
9 
Loại 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức 
A. Nguyên tắc chung 
Việc giải bài toán dạng này gồm các bước như sau 
+) Xác định ẩn phụ t . 
+) Từ giả thiết, tìm miền giá trị của t . 
+) Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một 
hàm với đối số t . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
10 
B. Một số ví dụ 
Trong những ví dụ đầu tiên, ta quan tâm đến những bài toán tìm GTLN, GTNN có đặc điểm sau: 
+) Vai trò của x , y trong ràng buộc giữa x và y là bình đẳng. 
+) Vai trò của x , y trong biểu thức cần tìm GTLN, GTNN cũng bình đẳng. 
Phương pháp chung 
+) Chọn ẩn phụ t là một biểu thức đối xứng đối với x , y ( t xy , t xy , t x y  , 
2 2t x y  , 2 2t x y xy   , ). 
+) Tìm miền giá trị của ẩn phụ bằng cách sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, chẳng hạn 
2 2
1 1
x y
2 x y x yxy
2 2
 
  

, 
2 2x y xy xy    , 2 2x y xy 3xy   
2 2x y xy xy   , 2 2x y xy 3xy    . 
+) Đưa việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức cần xét về việc tìm GTLN, GTNN của một 
hàm với đối số t . 
Ví dụ 1. Cho x , y 0 thỏa mãn x y 4  . Tìm GTLN, GTNN của    3 3S x 1 y 1   . 
Giải 
Đặt t xy  
 2x y
0 t 4
4

   . 
Ta có S       3 2xy x y x y 3xy 1        
  3 2t 4 4 3t 1   
 
  3t 12t 63  . 
Xét hàm   3f t t 12t 63   , với  t 0;4 . Ta có   2f ' t 3t 12 0    t 0;4    f t 
đồng biến trên  0;4 . Do đó 
+)  
 
   
t 0;4
S f t min f t f 0 63

     . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
11 
Dấu “ ” xảy ra  
x y 4
xy 0
 


     x;y 4;0 hoặc    x;y 0;4 . 
 min S 63  , đạt được     x;y 4;0 hoặc    x;y 0;4 . 
+)  
 
   
t 0;4
S f t max f t f 4 49

    . 
Dấu “ ” xảy ra  
x y 4
xy 4
 


     x;y 2;2 . 
 max S 49 , đạt được     x;y 2;2 . 
Ví dụ 2. Cho x , y 0 thỏa mãn x y xy 3   . Tìm GTLN, GTNN của 
2 2x y 1S
y 1 x 1 x y 3
  
   
. 
Giải 
Đặt t x y   2t
4
xy 3 t 0
3 t
  

 
  
xy 3 t
2 t 3
 

 
. 
Ta có S  
   
3 3 2 2x y x y 1
x 1 y 1 x y 3
  

   
  
     
 
3 2x y 3xy x y x y 2xy 1
xy x y 1 x y 3
     

    
  
   
 
3 2t 3 3 t t t 2 3 t 1
3 t t 1 t 3
    

   
  
3
2t 7t 1 3t
4 4 t 3 2
   

. 
Xét hàm  
3
2t 7t 1 3f t t
4 4 t 3 2
    

,  t 2;3 . 
Ta có  
 
2
7
4 2
3t 1f ' t 2t 0
4 t 3
    

  t 2;3    f 1 đồng biến trên  2;3 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
12 
Do đó 
+)     4S f t f 2
5
   . Dấu “ ” xảy ra  
x y xy 3
x y 2
  

 
  x y 1  
 4minS
5
 , Đạt được  x y 1  . 
+)     35S f t f 3
6
   . Dấu “ ” xảy ra  
x y xy 3
x y 3
  

 
  
x 0
y 3



 hoặc 
x 3
y 0



. 
 35max S
6
 , Đạt được 
x 0
y 3



 hoặc 
x 3
y 0



. 
Ví dụ 3. [ĐHB09] Cho x , y thỏa mãn  3x y 4xy 2   . Tìm GTNN của 
   4 4 2 2 2 2A 3 x y x y 2 x y 1      . 
Giải 
Áp dụng bất đẳng thức    22 2 34a b ab a b    với 2a x , 2b y ta được 
   24 4 2 2 2 23x y x y x y4        
22 2 2 29A x y 2 x y 1
4
     . 
Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức  24xy x y  , ta có 
   3 2x y x y 2          2x y 1 x y 2 x y 2 0           x y 1  
 (do      2 2x y 2 x y 2 x y 1 1 0         x , y ). 
Đặt 2 2t x y   
 
 
2x y 1
2 2
2
t
9A f t t 2t 1
4

 

    

. 
Xét hàm   29f t t 2t 1
4
   , 12t  . Ta có  
9
2f ' t t 2 0   
1
2t    f t đồng biến trên 
12 ;       912 16f t f  12t  . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
13 
Như vậy 916S  , dấu “ ” xảy ra  2 2 1
2
x y
x y


 
     1 12 2x;y ; hoặc    1 12 2x;y ;   
(thỏa mãn điều kiện). 
Vậy 916minS  , đạt được     1 12 2x;y ; hoặc    1 12 2x;y ;   . 
Ví dụ 4. Cho x , y thỏa mãn 2 2x xy y 1   . Tìm GTLN, GTNN của 2 2S x xy y   . 
Giải 
Cách 1: Từ giả thiết suy ra 2 2x y 1 xy    S 1 2xy  . 
Từ các bất đẳng thức 
 
 
2
2
x y 0
x y 0
  

  
 suy ra 
2 2
2 2
x y xy xy
x y xy 3xy
    

  
  131 xy   . 
Do đó 
 +) 2 13 3S 1   , dấu “ ” xảy ra  
1
3
2 2
xy
x xy y 1
 

   
   1 1
3 3
x;y ;   
 
 hoặc   1 1
3 3
x;y ;    
 
. 
 Vậy 13minS  , đạt được   
1 1
3 3
x;y ;   
 
 hoặc   1 1
3 3
x;y ;    
 
. 
 +) S 1 2 3   , dấu “ ” xảy ra  2 2
xy 1
x xy y 1
 

  
    x;y 1; 1  hoặc    x;y 1;1  . 
 Vậy maxS 3 , đạt được     x;y 1; 1  hoặc    x;y 1;1  . 
Cách 2: Ta có 
2 2
2 2
x xy yS
x xy y
 

 
. 
+) Xét y 0 : thay y 0 vào giả thiết ta được x 1   S 1 . 
+) Xét y 0 : Chia cả tử và mẫu của S cho 2y và đặt xyt  , ta được 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
14 
2
2 2
t t 1 2tS 1
t t 1 t t 1
 
  
   
. 
Xét hàm   2
2tf t 1
t t 1
 
 
, ta có  
 
 
2
22
2 t 1
f ' t
t t 1


 
. 
Bảng biến thiên của hàm  f t : 
  
2
t
1 1t t t 2t
lim f t lim 1 1
1 
 
      
 
. 
Suy ra: 
+)   13S f 1  . Dấu “ ” xảy ra  
x
y
2 2
1
x xy y 1
 

   
   1 1
3 3
x;y ;   
 
 hoặc   1 1
3 3
x;y ;    
 
. 
 Vậy 13minS  , đạt được   
1 1
3 3
x;y ;   
 
 hoặc   1 1
3 3
x;y ;    
 
. 
+)  S f 1 3   . Dấu “ ” xảy ra  
x
y
2 2
1
x xy y 1
  

   
    x;y 1; 1  hoặc    x;y 1;1  . 
Vậy maxS 3 , đạt được     x;y 1; 1  hoặc    x;y 1;1  . 
Nhận xét: Từ cách giải thứ hai của ví dụ trên, ta hình thành bài toán tổng quát như sau: 
1
1f t( )
f ' t( ) ++ _ 00
1
3
3
+∞1-1-∞t
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
15 
Bài toán 3: Cho x , y thỏa mãn 2 2ax bxy cy d   . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 
2 2S mx nxy py   . 
Cách giải 
+) Tìm những giá trị của S khi y 0 . 
+) Khi y 0 , viết 
2 2mx nxy qy
2 2ax bxy cy
S d.  
 
 . Chia cả tử và mẫu của S cho 2y và đặt xyt  , ta được 
2mt nt p
2at bt c
S d.  
 
 . 
Bằng cách khảo sát  
2mt nt p
2at bt c
f t  
 
 ta suy ra minS , max S . 
Ví dụ 5. [ĐHA03] Cho x , y , z 0 thỏa mãn x y z 1   . Chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1x y z 82
x y z
      .  1 
Giải 
Xét : 1a x;
x
 
 
 

, 1b y;
y
 
 
 

, 1c z;
z
 
 
 

 thì  VT 1 a b c a b c     
     
 tức là: 
   
2
22 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1VT 1 x y z x y z
x y zx y z
 
            
 
Đến đây ta có hai cách đi tiếp: 
Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : 
3x y z 3 xyz   , 31 1 1 13
x y z xyz
   . 
Do đó:   9VT 1 9t
t
  với  23t xyz , trong đó : 
2x y z 10 t
3 9
  
   
 
. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
16 
Xét   9f t 9t
t
  có   2
9f ' t 9 0
t
    19t 0;      f t nghịch biến trên  190;   
  1f t f 82
9
 
  
 
   VT 1 f (t) 82  (ĐPCM). 
Cách 2:  
2
2 1 1 1x y z
x y z
 
     
 
     
2
2 21 1 181 x y z 80 x y z
x y z
 
        
  
    
2
2 21 1 12 81 x y z 80 x y z
x y z
 
       
 
   21 1 118 x y z 80 x y z
x y z
 
        
 
 18.9 – 80 82 . 
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. 
Bài toán 4: Cho x , y , z 0 thỏa mãn x y z k   (k 0 ). Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 
 f x;y;z . 
Cách giải 
+) Đặt 3t xyz  
x y z k
3 30 t
    . 
+) Biểu diễn  f x;y;z theo t để được:    f x;y;z g t . 
+) Việc tìm GTLN, GTNN của biểu thức  f x;y;z được quy về tìm GTLN, GTNN của 
 g t . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
17 
C. Bài tập 
Bài 1. [ĐHD09] Cho x , y 0 thỏa mãn x y 1  . Tìm GTLN, GTNN của 
   2 2S 4x 3y 4y 3x 25xy    . 
Bài 2. Cho x , y 0 thỏa mãn x y 1  . Tìm GTLN, GTNN của 
x yS
y 1 x 1
 
 
. 
Bài 3. Cho x , y 0 thỏa mãn x y 1  . Tìm GTLN, GTNN của 
   2 2 2 2S x 1 y 1 x y 1      . 
Bài 4. Cho x , y 0 thỏa mãn x y xy 3   . Tìm GTLN, GTNN của 
x y 6S
x 2 y 2 x y 1
  
   
. 
Bài 5. Cho x , y thỏa mãn 2 2x y 1 xy   . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 
4 4 2 2S x y x y   . 
Bài 6. [ĐHD12] Cho x , y thỏa mãn    2 2x 4 y 4 2xy 32     . Tìm GTNN của 
   3 3A x y 3 xy 1 x y 2      . 
Bài 7. [ĐHB08] Cho x , y thỏa mãn 2 2x y 1  . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 
 2
2
2 x 6xy
P
1 2xy 2y


 
. 
Bài 8. Cho x , y thỏa mãn 2 2x y xy 1   . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 
2S x 2xy xy   . 
Bài 9. Cho x , y thỏa mãn 2 22x y xy 1   . Tìm GTNN của biểu thức 
2 2S x y  . 
Bài 10. Cho x , y , z 0 thỏa mãn 32x y z   . Tìm GTNN của biểu thức 
2 2 2
2 2 2
1 1 1S x y z
x y y z z x
      . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
18 
Bài 11. Cho x , y , z 0 thỏa mãn 32x y z   . Tìm GTNN của biểu thức 
1 1 1S x y z
x y z
      . 
Bài 12. [ĐHB10] Cho a , b , c 0 thỏa mãn a b c 1   . Tìm GTNN của biểu thức 
   2 2 2 2 2 2 2 2 2M 3 a b b c c a 3 ab bc ca 2 a b a         .