Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x Ỵ(a; b). Cho số
gia Dx tại x sao cho x + D Ỵ x (a; b). Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của
hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)).
dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx
Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y = x, thì
dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx
Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx)
Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 1 Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân 1. Các giới hạn đặc biệt: a) ® = x 0 sin xlim 1 x Hệ quả: ® = x 0 xlim 1 sin x ® = u(x) 0 sin u(x)lim 1 u(x) ® = u(x) 0 u(x)lim 1 sin u(x) b) x x 1lim 1 e, x R x®¥ ỉ ư+ = Ỵç ÷ è ø Hệ quả: 1 x x 0 lim (1 x) e. ® + = x 0 ln(1 x)lim 1 x® + = x x 0 e 1lim 1 x® - = 2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: (c)’ = 0 (c là hằng số) 1(x )' xa a-= a 1(u ) ' u u 'a a-= a 2 1 1' x x ỉ ư = -ç ÷ è ø 2 1 u'' u u ỉ ư = -ç ÷ è ø ( ) 1x ' 2 x = ( ) u'u ' 2 u = x x(e )' e= u u(e )' u'.e= x x(a )' a .ln a= u u(a ) ' a .lna . u '= 1(ln x )' x = u'(ln u )' u = a 1(log x ') x.ln a = a u'(log u )' u.ln a = (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 2 2 1(tgx)' 1 tg x cos x = = + 22 u'(tgu)' (1 tg u).u' cos u = = + 2 2 1(cot gx) ' (1 cot g x) sin x - = = - + 22 u'(cot gu)' (1 cot g u).u' sin u - = = - + 3. Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x (a; b)Ỵ . Cho số gia Dx tại x sao cho x x (a; b)+ D Ỵ . Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)). dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx) Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 2 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x). Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm: F '(a ) f(x) và F '(b ) f(b)+ -= = 2. Định lý: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì : a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó. b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số. Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là f (x)dx.ị Do đó viết: f(x)dx F(x) C= +ị Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó. 3. Các tính chất của nguyên hàm: · ( )f(x)dx ' f(x)=ị · af(x)dx a f(x)dx (a 0)= ¹ị ị · [ ]f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx+ = +ị ị ị · [ ] [ ]f(t)dt F(t) C f u(x) u'(x)dx F u(x) C F(u) C (u u(x))= + Þ = + = + =ị ị 4. Sự tồn tại nguyên hàm: · Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. §Bài 1: NGUYÊN HÀM Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 3 BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (dưới đây u = u(x)) dx x C= +ị du u C= +ị 1xx dx C ( 1) 1 a+ a = + a ¹ - a +ị 1uu du C ( 1) 1 a+ a = + a ¹ - a +ị dx ln x C (x 0) x = + ¹ị du ln u C (u u(x) 0) u = + = ¹ị x xe dx e C= +ị u ue du e C= +ị x x aa dx C (0 a 1) lna = + < ¹ị u u aa du C (0 a 1) lna = + < ¹ị cosxdx sin x C= +ị cos udu sin u C= +ị sin xdx cosx C= - +ị sin udu cos u C= - +ị 2 2 dx (1 tg x)dx tgx C cos x = + = +ị ị 22 du (1 tg u)du tgu C cos u = + = +ị ị 2 2 dx (1 cot g x)dx cot gx C sin x = + = - +ị ị 22 du (1 cot g u)du cot gu C sin u = + = - +ị ị dx x C (x 0) 2 x = + >ị du u C (u 0) 2 u = + >ị 1cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0) a + = + + ¹ị 1sin(ax b)dx cos(ax b) C (a 0) a + = - + + ¹ị dx 1 ln ax b C ax b a = + + +ị ax b ax b1e dx e C (a 0) a + += + ¹ị dx 2 ax b C (a 0) aax b = + + ¹ +ị Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 4 Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F '(x) f(x) với x (a; b)= " Ỵ Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) Xác định F’(a+) Xác định F’(b–) + Bước 2: Chứng tỏ rằng F '(x) f(x), x (a ; b) F '(a ) f(a) F '(b ) f(b) + - = " Ỵì ï =í ï =ỵ Ví dụ 1: CMR hàm số: 2F(x) ln(x x a)= + + với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số 2 1f(x) x a = + trên R. Giải: Ta có: 2 2 2 2 2 2x1 (x x a)' 2 x aF '(x) [ln(x x a)]' x x a x x a + + + += + + = = + + + + 2 2 2 2 x a x 1 f(x) x a(x x a) x a + + = = = + + + + Vậy F(x) với a > 0 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Ví dụ 2: CMR hàm số: x 2 e khi x 0 F(x) x x 1 khi x 0 ì ³ï= í + + <ïỵ Là một nguyên hàm của hàm số xe khi x 0 f(x) 2x 1 khi x 0 ì ³ = í + <ỵ trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: a/ Với x 0¹ , ta có: xe khi x 0 F '(x) 2x 1 khi x 0 ì > = í + <ỵ b/ Với x = 0, ta có: Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 5 · Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x0 = 0. 2 0 x 0 x 0 F(x) F(0) x x 1 eF '(0 ) lim lim 1. x 0 x- - - ® ® - + + - = = = - · Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm x0 = 0. x 0 x 0 x 0 F(x) F(0) e eF '(0 ) lim lim 1. x 0 x+ + + ® ® - - = = = - Nhận xét rằng F '(0 ) F '(0 ) 1 F '(0) 1.- += = Þ = Tóm lại: xe khi x 0 F '(x) f(x) 2x 1 khi x 0 ì ³ = =í + <ỵ Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Bài toán 2: Xác định các giá trị của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b). PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F '(x) f(x) với x (a; b)= " Ỵ Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trị tham số. Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau: + Bước 1: Xác định F’(x) trên (a ; b) Xác định F’(a+) Xác định F’(b–) + Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là: F '(x) f(x), x (a ; b) F '(a ) f(a) F '(b ) f(b) + - = " Ỵì ï =í ï =ỵ Þ giá trị của tham số. Bài toán 3: Tìm hằng số tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG · Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C · Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C. Thay giá trị C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm. Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 6 Ví dụ 3: Xác định a , b để hàm số: 2x khi x 1 F(x) ax b khi x 1 ì £ = í + >ỵ là một nguyên hàm của hàm số: 2x khi x 1 f(x) 2 khi x 1 £ì = í >ỵ trên R. Giải: Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp: a/ Với x 1¹ , ta có: 2x khi x 1 F '(x) 2 khi x 1 <ì = í >ỵ b/ Với x = 1, ta có: Để hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục tại x = 1, do đó : x 1 x 1 lim F(x) lim F(x) f(1) a b 1 b 1 a (1) - +® ® = = Û + = Û = - · Đạo hàm bên trái của hàm số y = F(x) tại điểm x = 1. 2 x 1 x 1 f(x) F(1) x 1F'(1) = lim lim 2. x 1 x 1-® ® - - = = - - · Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x0 = 0. x 1 x 1 x 1 F(x) F(1) ax b 1 ax 1 a 1F '(1 ) lim lim lim a. x 1 x 1 x 1+ + + + ® ® ® - + - + - - = = = = - - - Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1 F '(1 ) F '(1 ) a 2.- +Û = Û = (2) Thay (2) vào (1), ta được b = –1. Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1. Khi đó: F’(1) = 2 = f(1) Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Ví dụ 4: Xác định a , b , c để hàm số: -= + +2 2xF(x) (ax bx c)e là một nguyên hàm của 2 2xF(x) (2x 8x 7)e-= - - + trên R. Giải: Ta có: 2x 2 2xF '(x) (2ax b)e 2(ax bx c)e- -= + - + + 2 2x2ax 2(a b)x b 2c e-é ù= - + - + -ë û Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R F '(x) f(x), x RÛ = " Ỵ Û - + - + - = - + - " Ỵ2 22ax 2(a b)x b 2c 2x 8x 7, x R a 1 a 1 a b 4 b 3 b 2c 7 c 2 = =ì ì ï ïÛ - = Û = -í í ï ï- = - =ỵ ỵ Vậy -= - +2 2xF(x) (x 3x 2)e . Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 7 BÀI TẬP Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số xF(x) ln tg 2 4 pỉ ư= +ç ÷ è ø Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số 1f(x) cos x = . Bài 2. Chứng tỏ rằng hàm số 2ln(x 1) , x 0F(x) x 0 ,x 0 ì + ¹ï= í ï =ỵ là một nguyên hàm của hàm số 2 2 2 2 ln(x 1) , x 0f(x) x 1 x 1 , x 0 ì + - ¹ï= +í ï =ỵ Bài 3. Xác định a, b, c sao cho hàm số 2 xF(x) (ax bx c).e-= + + là một nguyên hàm của hàm số 2 xf(x) (2x 5x 2)e-= - + trên R. ĐS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1. Bài 4. a/ Tính nguyên hàm 3 2 2 x 3x 3x 7F(x) của f(x) và F(0) 8. (x 1) + + - = = + b/ Tìm nguyên hàm F(x) của 2 xf(x) sin và F . 2 2 4 p pỉ ư= =ç ÷ è ø ĐS: a/ 2x 8F(x) x ; 2 x 1 = + + + b/ 1F(x) (x sin x 1) 2 = - + Bài 5. a/ Xác định các hằng số a, b, c sao cho hàm số: 2F(x) (ax bx c) 2x 3= + + - là một nguyên hàm của hàm số: 220x 30x 7 3f(x) trên khoảng ; 22x 3 - + ỉ ư= + ¥ç ÷ è ø- b/ Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0. ĐS: a/ a 4; b 2; c 1;= = - = b/ 2G(x) (4x 2x 10) 2x 3 22.= - + - - Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 8 Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Ví dụ 1: CMR , nếu f(x)dx F(x) C= +ị thì 1f(ax b)dx F(ax b) C với a 0. a + = + + ¹ị Giải: Ta luôn có: 1f(ax b)dx f(ax b)d(ax b) với a 0. a + = + + ¹ Áp dụng tính chất 4, ta được: 1 1f(ax b)dx (ax b)d(ax b) F(ax b) C (đpcm) a a + = + + + +ị ị . Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp: f(t)dt F(t) C f(u)du F(u) C, với u u(x)= + Þ = + =ị ị Ví dụ 2: Tính các tích phân bất định sau: a/ 3(2x 3) dx+ị b/ 4cos x.sin xdxị c/ x x 2e dx e 1+ị d/ 2(2 ln x 1) dx x + ị Giải: a/ Ta có: 4 4 3 31 1 (2x 3) (2x 3)(2x 3) dx (2x 3) d(2x 3) . C C. 2 2 4 8 + + + = + + = + = +ị ị b/ Ta có: 5 4 4 cos xcos x.sin xdx cos xd(cos x) C 5 = - = - +ị ị c/ Ta có: x x x x x 2e d(e 1)dx 2 2 ln(e 1) C e 1 e 1 + = = + + + +ị ị d/ Ta có: 2 2 3(2 ln x 1) 1 1dx (2 ln x 1) d(2 ln x 1) (2 ln x 1) C. x 2 2 + = + + = + +ị ị Ví dụ 3: Tính các tích phân bất định sau: a/ 2 x2sin dx 2ị b/ 2cot g xdxị c/ tgxdxị d/ 3 tgx dx cos xị Giải: a/ Ta có: 2 x2sin dx (1 cosx)dx x sin x C 2 = - = - +ị ị b/ Ta có: 2 2 1cot g xdx 1 dx cot gx x C sin x ỉ ư= - = - - +ç ÷ è øị ị c/ Ta có: sin x d(cosx)tgxdx dx ln cosx C cosx cosx = = - = - +ị ị ị Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 9 d/ Ta có: 33 4 4 3 tgx sin x d(cosx) 1 1dx dx cos x C C. cos x cos x cos x 3 3cos x -= =- = - + = - +ị ị ị Ví dụ 4: Tí ... a, y b (a b)= = = = < sinh ra khi quay quanh trục Oy được tính bởi công thức: b b 2 2 a a V x .dy [f(y)] .dy= p = pị ị Diện tích: b a S f(y) dy.= ị Thể tích: b 2 a V [f(y)] .dy= pị y x b a (H) (C) y x (H) (C) a b y x b a (H) (C) 0 y x (C) a b 0 §Bài 2: THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 145 Vấn đề 3: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: 1 2(C ) : y f(x), (C ) : y g(x), x a, x b (a b)= = = = < với f(x) và g(x) cùng dấu) sinh ra khi quay quanh trục Ox được tính bởi: b 2 2 a V f (x) g (x) .dx= p -ị (3) * f(x) và g(x) cùng dấu có nghĩa là hai phần đồ thị cùng nằm một phía đối với trục Ox, với mọi x Ỵ đoạn [a; b]. * Để bỏ dấu “| |” trong công thức (3) ta chú ý các trường hợp sau: TH1: 1 2(C ) (C ) và f(x) g(x) 0, x [a; b]:Ç = Ỉ > ³ " Ỵ b 2 2 a (3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ị TH2: 1 2(C ) (C ) và f(x) g(x) 0, x [a; b]:Ç = Ỉ < £ " Ỵ b 2 2 a (3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ị TH3: 1 2(C ) cắt (C ) tại 2 điểm A, B có hoành độ x = a, x = b và d(x) > g(x) ³ 0, x [a; b]:" Ỵ b 2 2 a (3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ị TH4: 1 2(C ) cắt (C ) tại 2 điểm A, B có hoành độ x = a và f(x) < g(x) £ 0, x [a; b]:" Ỵ b 2 2 a (3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ị y x 0 (H) a b (C2) (C1) y y x 0 (H) a b (C1) (C2) y y x (H) A B a b 0 (C2) (C1) y x (H) A B a b 0 (C2) (C1) Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 146 TH5: 1 2(C ) cắt (C ) tại 3 điểm A, B, C, trong đó xA = a xB = b, xC = c với a < c < b như hình bên: 1 2(3) V V VÛ = + c b 2 2 2 2 a c [f (x) g (x)]dx [g (x) f (x)]dx.= p - + p -ị ị Vấn đề 4: Thể tích vật tròn xoay do hình phẳng (H) giới hạn bởi 4 đường: 1 2(C ) : x f(y), (C ) : x g(y), y a, y b (a b)= = = = < với f(y) và g(y) cùng dấu) sinh ra khi quay quanh trục Oy được tính bởi: b 2 2 a V f (y) g (x) .dy= p -ị (4) TH1: 1 2 1 2(C ) (C ) và x f(y) x g(y) 0,Ç =Ỉ = > = ³ với mọi y [a; b].Ỵ b 2 2 a (4) V [f (y) g (y)].dyÛ = p -ị TH3: 1 2(C ) cắt (C ) tại 2 điểm A, B có tung độ A By a y b= = ³ với mọi y [a; b].Ỵ b 2 2 a (4) V [f (y) g (y)].dyÛ = p -ị * Các TH2, TH4 và TH5 thực hiện tương tự như vấn đề 3. Ví dụ 1: Xét hình phẳng giới hạn bởi (P) : y2 = 8x và đường thẳng x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng nói trên: a/ quanh trục hoành b/ quanh trục tung. Giải: a/ 2(P): y 8x (P) : y 8x (x 0)= Û = ± ³ Thể tích V khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi (P) và x = 2 quanh trục Ox là: y x C (C1) (C2) V2 V1 A a c b B y x2 (H) C2 C1 b a A B x1 x (H) x1 x2 y x 0 C2 C1 a b Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 147 2 2 2 0 0 V y .dx 8x.dx 16= p = p = pị ị (đvtt). b/ 2 21(P) : y 8x x y 8 = Û = Thể tích V khối ... quanh trục tung là: 24 4 2 2 2 4 1 4 1 1 899V 2 y du 2 y dy ... 8 64 32- - pỉ ư ỉ ư= p - = p - = =ç ÷ ç ÷ è ø è øị ị (đvtt). Ví dụ 2: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và parabol (p) : 2y 2x x= - . Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho (H) a/ quay quanh trục hoành b/ quay quanh trục tung. Giải: a/ Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục hoành là: 2 2 2 2 2 0 0 16V y .dx (2x x ) dx ... 15 p = p = p - = =ị ị (đvtt). b/ 2 2(P) : y 2x x x 2x y 0 (1)= - Û - + = 1 1 2 2 ' 1 y 0 0 y 1 x 1 1 y, (0 x 1) (1) x 1 1 y, (1 x 2) D = - ³ Û £ £ é = - - £ £ Û ê ê = + - £ £ë Thể tích V khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục tung là: 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 0 0 0 8V (x x )dy (x x )(x x )dy 2(2 1 y)dy ... . 3 p = p - = p + - = p - = =ị ị ị Ví dụ 3: Cho hình giới hạn elip: 2 2x y 1 4 + = quay quanh trục hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo nên. Giải: 2 2 2 2 2x x 1(E) : y 1 y 1 y 4 x , (| x | 2) 4 4 2 + = Û = - Û = ± - £ Thể tích V khối tròn xoay cần tìm là: 2 2 2 2 2 2 8V y .dx (4 x ).dx ... 4 3- - p p = p = - = =ị ị (đvtt). Ví dụ 4: Gọi (D) là miền kín giới hạn bởi các đường: y x, y 2 x= = - và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Oy. Giải: y x 0 –1 2 –2 1 y x 2 1 0 (H) 1 (P) x2 x1 x y 4 0 – x = 2 2 (P) Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 148 · 1y x x x 2= Û = = · 2y 2 x x x 2 y.= - Û = = - · Thể tích vật thể tròn xoay khi quay (D) quanh trục Oy là: 1 1 2 2 2 2 2 2 1 0 0 V (x x )dy [(2 y) (y ) ]= p - = p - -ị ị 32 15 p = (đvtt). BÀI TẬP Bài 18. Tính vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của miền (D) giới hạn bởi các đường: a/ y = lnx; y = 0; x = 2. b/ 2x y 5 0; x y 3 0.+ - = + - = c/ 2y x ; y x.= = d/ 2 2y x 4x 6; y x 2x 6.= - + = - - + e/ 2y x(x 1) .= - f/ xy x.e ; x 1; y 0 (0 x 1)= = = £ £ g/ x x 2y e ; y ; x 0; x 2.- += = = = h/ 3y x ln(1 x ); x 1.= + = i/ 2(P) : y x (x 0), y 3x 10; y 1= > = - + = (miền (D)) nằm ngoài (P)). k/ 4 4y cos x sin x; y 0; x ; x . 2 p = + = = = p ĐS: a/ 22 (ln 2 1) ;p - b/ 153 ; 5 p c/ 3 ; 10 p d/ 3p e/ . 105 p f/ 2(e 1) ; 4 p - g/ 2 2(e 1) ;p - h/ (2 ln 2 1). 3 p - i/ 56 . 5 p k/ 23 . 8 p Bài 19. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục oy hình phẳng giới hạn bởi các đường: a/ 2y x ; y 1; y 2.= = = . b/ 2 2y x ; x y .= = c/ Đường tròn tâm I(3 ; 0), bán kính R = 2. ĐS: a/ 3 ; 2 p b/ 3 ; 10 p c/ 224 .p Bài 20. Xét hình (H) giới hạn bởi đường cong 1y ; x = trục Ox; x = 1 và x = t a/ Tính diện tích S(t) của (H) và thể tích V(t) sinh bởi (H) khi quay quanh Ox. b/ Tính: t lim S(t) ®+¥ và t lim V(t). ®+¥ y x 4 2 1 0 1 2 y x= y 2 x= - A Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 149 ĐS: a/ S(t) ln t; V(t) ; t p = = p - b/ t t lim S(t) ; lim V(t) ®+¥ ®+¥ = +¥ = p Bài 21. Cho miền (D) giới hạn bởi đường tròn (C): 2 2x y 8+ = và parabol (p): 2y 2x.= a/ Tính diện tích S của (D). b/ Tính thể tích V sinh bởi (D) khi quay quanh Ox. ĐS: a/ 4 2 . 3 - p b/ 4 (8 2 7). 3 p - Bài 22. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt tạo nên khi quay các đường: a/ 2 / 3xy b (0 x a) a ỉ ư= £ £ç ÷ è ø quanh trục Ox. b/ y sin x; y 0 (0 x )= = £ £ p a/ quanh trục Ox b/ quanh trục Oy. c/ 2x xy b ; y b a a ỉ ư= =ç ÷ è ø a/ quanh trục Ox. b/ Quanh trục Oy. d/ xy e ; y 0 (0 x )-= = £ < +¥ quanh trục Ox và Oy. ĐS: a/ 23 ab ; 7 p b/ 2 x/ V ;2 p a = 2y/ V 2 .b = p c/ 2x 4/ V ab ; 15 a = p 2 y ab/ V . 6 p b = d/ x/ V ;2 p a = y/ V 2 .b = p Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 150 Bài 1. Tính các tích phân sau: a/ 2 2 2 x .dx; - +ị b/ 1 2 2 0 x dx ; 4 x- ị c/ 2 2 1 x 1 dx; x - ị d/ 1 2 3 0 dx ; (1 x )+ ị e/ 1 2 2 2 0 x dx ; (x 1)+ị f/ / 4 2 0 x dx; cos x p ị g/ / 2 x 0 e .cos xdx; p ị h/ / 4 4 4 x / 4 sin x cos xdx; 3 1 p -p + +ị i/ 0 cos2x.dx ; sin x cosx 2 p + +ị k/ 5 /12 2 /12 dx ; sin 2x 2 3 cos x 2 3 p p + + - ị ĐS: a/ 8 (4 2); 3 - b/ 3 ; 3 2 p - c/ 3 ; 3 p - d/ 2 ; 2 e/ 1 1 ln 2; 4 4 - + f/ 2ln ; 4 2 p + g/ / 21 (e 1); 2 p - h/ 3 ; 16 p i/ 2ln3 – 2; k/ 3 . 4 Bài 2. Biết 2 2)x 1), x 0 f(x) K(1 x ), x 0 - + £ì = í - >ỵ . Tìm giá trị K để 1 1 f(x).dx 1. - =ị ĐS: K = 3. Bài 3. a/ Cho hàm số 2x x e e f(x) t.ln t.dt.= ị Tìm hoành độ điểm cực đại x. b/ Tìm giá trị 3x 0; 2 pỉ ưỴç ÷ è ø để hàm số 2x x sin tf(x) dt t = ị đạt cực đại. ĐS: a/ x ln 2.= - b/ x . 3 p = Bài 4. Cho hàm số x 2 0 2t 1f(x) dt, 1 x 1. t 2t 2 + = - £ £ - +ị Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f. ĐS: a/ 1min f f ; 2 ỉ ư= -ç ÷ è ø b/ max f f(1).= Bài 5. Cho hàm số x 2 0 f(x) (t 1)(t 2) dt.= - -ị Tìm điểm cực trị và điểm uốn của đồ thị f. ÔN TẬP TÍCH PHÂN Trần Sĩ Tùng Tích phân Trang 151 ĐS: 17 4 4 112CT : 1; ; Đ.Uốn : 2; ; ; 12 3 3 81 ỉ ư ỉ ư ỉ ư- -ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø Bài 6. Đường thẳng (D): x – 3y + 5 = 0 chia đường tròn (C) : 2 2x y 5+ = thành 2 phần, tính diện tích của mỗi phần. ĐS: 1 2 5 5 15 5S ; S . 4 2 4 2 p p = - = + Bài 7. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong (C): 1y ; y 0 x = = ; x = 1; x = 2. Tìm toạ độ điểm M trên (C) mà tiếp tuyến tại M sẽ cắt từ (H) ra một hình thang có diện tích lớn nhất. ĐS: 3 2M ; . 2 3 ỉ ư ç ÷ è ø Bài 8. Cho điểm A thuộc (P): y = x2, (A khác gốc O); (D) là pháp tuyến tại A của (P) ((D) vuông góc với tiếp tuyến tại A với (P)). Định vị trí của A để diện tích giới hạn đỉnh bởi (P) và (D) là nhỏ nhất. ĐS: 4 1 1 1 1min S ; A ; hay A ; . 3 2 4 2 4 ỉ ư ỉ ư= -ç ÷ ç ÷ è ø è ø Bài 9. Cho hình (H) giới hạn bởi: 2 2x y 1 16 4 x 4 2 ì - =ï í ï =ỵ . Tính thể tích sinh ra khi (H) quay quanh Oy. ĐS: 128 . 3 p Bài 10. Cho hình (H) giới hạn bởi: 2y ax , a 0 y bx, b 0 ì = > í = - >ỵ . Quay hình (H) ở góc phần tư thứ hai của hệ toạ độ quanh trục Ox. Tìm hệ thức giữa a và b để thể tích khối tròn xoay sinh ra là hằng số, không phụ thuộc vào a và b. ĐS: b5 = K.a3, với K là hằng số dương bất kỳ. Bài 11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2y x 4x 3 , y x 3.= - + = + (Đề thi chung của Bộ GDĐT–khối A_2002) ĐS: 109 6 (đvdt). Bài 12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 2x xy 4 và y . 4 4 2 = - = (Đề thi chung của Bộ GDĐT – khối B _ 2002) Tích phân Trần Sĩ Tùng Trang 152 ĐS: 42 3 p + (đvdt). Bài 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): 3x 1y x 1 - - = - và hai trục toạ độ. (Đề thi.......................................... khối D_2002) ĐS: 41 4 ln 3 + (đvdt). Bài 14. Tính tích phân 2 3 2 5 dxI . x x 4 = + ị (Đề thi.......................................... khối A_2003) ĐS: 1 5ln . 4 3 Bài 15. Tính tích phân / 2 2 0 1 2sin xI dx. 1 sin2x p - = +ị (Đề thi.......................................... khối B_2003) ĐS: 1 ln2. 2 Bài 16. Tính tích phân 2 2 0 I x x dx.= -ị (Đề thi.......................................... khối D_2003) ĐS: 1. Bài 17. Tính tích phân 2 1 xI dx. 1 x 1 = + +ị (Đề thi.......................................... khối A_2004) ĐS: 11 4 ln 2. 3 - Bài 18. Tính tích phân e 1 1 3ln x.ln xI dx x + = ị (Đề thi.......................................... khối B_2004) ĐS: 116 . 135 Bài 19. Tính tích phân 3 2 2 I ln(x x)dx.= -ị (Đề thi.......................................... khối D_2004) ĐS: 3ln3 – 2.
Tài liệu đính kèm: