Chuyên đề Tích phân (Lê Minh Đạt)

Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 1
CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
Bảng công thức tích phân bất định :
  Cdx0   Cxdx
1
1
1


nC
n
xdxx
n
n Cxdx
x
 ln1
  Cedxe xx   Caadxa
x
x
ln
  Cxxdx cossin   Cxxdx sincos
  Cxdxx tancos12   Cxdxx cotsin12
  Cxudxxu xu )(ln)( )(
  Cax axadxax ln211 22
Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số )(xf liên tục trên đoạn  ba; có nguyên hàm là )(xF .
Giả sử )(xu là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn   , và có miền giá trị là  ba;
thì ta có :
    CxuxFdxxuxuf  )()()('.)(
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)  
1
0
21 1x
xdxI b)  
1
0
2 1x
x
e
dxeI c)   e x dxxI 13
ln1
Bài làm :
a) Đặt
2
212 dtxdxxdxdtxt 
Đổi cận :




21
10
tx
tx
  Caxxaaxxdxax 222 ln22
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 2
Vậy : 2ln
2
1ln
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
21    ttdtxxdxI
b) Đặt dxedtet xx  1
Đổi cận :




12
11
2etx
etx
Vậy : )1ln(ln
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2





 ettdte dxeI
e
e
e
e
x
x
c) Đặt dx
x
tdtxt 1ln1 
Đổi cận :




2
11
tex
tx
Tích phân lượng giác :
Dạng 1 : 


nxdxmxI cos.sin
Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
Dạng 2 : 


dxxxI nm .cos.sin
Cách làm :
Nếu nm, chẵn . Đặt xt tan
Nếu m chẵn n lẻ . Đặt xt sin (trường hợp còn lại thì ngược lại)
Dạng 3 :  

 cxbxa
dxI
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :






2
2
2
1
1
cos
1
2
sin
2
tan
t
t
x
t
t
x
x
t
Dạng 4 :  


dx
xdxc
xbxaI .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
xdxc
xdxcBA
xdxc
xbxa
cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.



Sau đó dùng đồng nhất thức .
)122(
3
2
3
2ln1
2
1
2
1
2
3
1
3   tdttx dxxI
e
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 3
Dạng 5:   


dx
nxdxc
mxbxaI .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
Đặt :
nxdxc
C
nxdxc
xdxcBA
nxdxc
mxbxa



cos.sin.cos.sin.
)sin.cos.(
cos.sin.
cos.sin.
Sau đó dùng đồng nhất thức.
BÀI TẬP
Tính tích phân :
a)  
2
0
41 )1(sin
cos

x
xdxI b)  2
0
5
2 cos

xdxI c)  4
0
6
3 tan

xdxI
Bài làm :
a) Đặt : xdxdtxt cos1sin 
Đổi cận :





2
2
10
tx
tx

Vậy :
24
7
3
1
)1(sin
cos
2
1
3
2
1
4
2
0
41   ttdtxxdxI

b) Đặt : xdxdtxt cossin 
Đổi cận :





1
2
00
tx
tx

Vậy :
   
15
8
3
2
5
211cos
1
0
1
0
3
5
1
0
1
0
2422
2
0
5
2



 


 
tt
t
dtttdttxdxI

c) Đặt : dxxdtxt )1(tantan 2 
Đổi cận :





1
4
00
tx
tx

Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 4
Vậy :
415
13
35
1
11
1
tan
4
0
1
0
35
1
0
1
0
2
24
2
64
0
6
3






 





 
duttt
dt
t
tt
t
dtt
xdxI
Tính các tích phân sau :
a)  
2
0
22221 cos.sin.
cos.sin

dx
xbxa
xxI b)  
3
0
2 2cos2
cos

dx
x
xI
Bài làm :
a) Đặt : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222 
Đổi cận :





2
2
2
0
btx
atx

Nếu ba 
Vậy :  
baab
ba
t
ab
t
dt
ab
dx
xbxa
xxI
b
a
b
a


  
11
2
1
cos.sin.
cos.sin
2222
2
0
22221
2
2
2
2

Nếu ba 
Vậy :
a
x
a
xdx
a
a
xdxxdx
xbxa
xxI
2
12cos
4
12sin
2
1
cos.sin
cos.sin.
cos.sin
2
0
2
0
2
0
2
0
22221






b) Đặt : xdxdtxt cossin 
Đổi cận :





2
3
3
00
tx
tx

Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 5
Vậy : 




2
3
0 2
2
3
0
2
3
0
2
2
32
1
232cos2
cos
t
dt
t
dtdx
x
xI

 Đặt : ududtut sin
2
3
cos
2
3 
Đổi cận :





42
3
2
0


ut
ut
Vậy :
 
242
1
2
1
cos1
2
3
sin
2
3
2
1
2
32
1
2
4
4
4
2
4
2
2
3
0 2
2














udu
u
udu
t
dtI
Tính các tích phân sau :
a)  
2
0
1 5cos3sin4
1

dx
xx
I b)   
2
0
2 5cos3sin4
6cos7sin

dx
xx
xxI
Bài làm :
a) Đặt :
1
21
2
tan
2
tan 2
2


 
t
dtdxdxxdtxt
Đổi cận :





1
2
00
tx
tx

Vậy :
 
6
1
2
1
15
1
13
1
24
1
2
1
0
1
0
2
1
0
2
2
2
2
1



 
t
t
dtdt
t
t
t
t
tI
b)Đặt :
5cos3sin45cos3sin4
sin3cos4
5cos3sin4
6cos7sin



xx
C
xx
xxBA
xx
xx
Dùng đồng nhất thức ta được: 1,1,1  CBA
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 6
Vậy :
 
6
1
8
9ln
2
5cos3sin4ln
5cos3sin4
1
5cos3sin4
sin3cos41
5cos3sin4
6cos7sin
1
2
0
2
0
2
0
2






 


Ixxx
dx
xxxx
xxdx
xx
xxI
Bạn đọc tự làm :
a)  2
6
2
3
1
sin
cos


dx
x
xI b)  2
0
3
2 sin.cos

xdxxI c)  
2
0
3 2sin

x
dxI
c)  
2
0
3
3 1cos
sin4

dx
x
xI d)  
2
0
5 3cos2sin
1

dx
xx
I d)   
2
0
6 3cos2sin
1cossin

dx
xx
xxI
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
Dạng 1 :     Caxnax
dxI
nn
  11.11 với     1,0,  NCna ta có :
Nếu Ran  ,1 ta có : Cx
ax
dxI   ln
Dạng 2 :     dxcbxax xI n2  trong đó : 



04
,,,,
2 acb
Rcba
* Giai đoạn 1 : 0 ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức cbxax 2 ,
sai khác một số :
        


nnn
cbxax
dxba
a
dx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
babax
a
I
222
2
2
2
2
22
2 



* Giai đoạn 2 :
Tính    

 



 bax
t
n
n
n
t
dt
a
adx
cbxax
dxI
2
22 12
.
4
* Giai đoạn 3 :
Tính    dttI n112 có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt tant
Dạng 3 :    dxxQ xPI nm
Ta có :    01
01
......
......
bxbxb
axaxa
xQ
xP
n
n
m
m
n
m


Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 7
Nếu :    QP degdeg  thì ta thực hiện phép chia      
 
 xQ
xR
xA
xQ
xP
n
r
nm
n
m   trong đó
phân số   xQ
xR
n
r
 có    QR degdeg 
Nếu :    QP degdeg  ta có các qui tắc sau :
*Qt 1:         nnnnnxm ax
A
ax
A
ax
A
ax
P
 

1
11
......
Vdụ 1a :  
    


n
i
i
i
i
n
i
i
i
m
ax
A
ax
xP
1
1
Vdụ 1b :    22))()(( cx
D
cx
C
bx
B
ax
A
cxbxax
xPm

*Qt 2':         nnnnnnnm cbxax BxAcbxax BxAcbxax BxAcbxax xP     212 112 112 ...... với 0
*Qt 3:             
m
i
n
k
i
i
i
i
nm
t
cbxax
BxA
x
A
cbxaxx
xP
1 1
2
1
2 
Vdụ 1 :     cbxax CBxx Acbxaxx xPt  22)( 
Vdụ 2 :           22 222 1122 cbxax
CxB
cbxax
CxB
x
A
cbxaxx
xPt


 
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)  
1
0
21 23xx
dxI b)   
1
0
222 23xx
dxI
Bài làm :
a)      
1
0
1
0
1
0
21 2
1
1
1
2123
dx
xxxx
dx
xx
dxI
b)          dxxxxxdxxx dxI  



1
0
22
1
0
222 21
2
2
1
1
1
23
  OKxx
xx


 
1
0
2ln1ln2
2
1
1
1
 
3
4ln2ln1ln 10  xx
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 8
Tính các tích phân sau :
a)  
1
0
241 33xx
dxI b)     
1
0
22 21
24 dx
xx
xI
Bài làm :
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được   Caxaax dxI arctan1220 với 0a
   dxxxxx dxxx dxI    
1
0
1
0
2222
1
0
241 3
1
1
1
2
1
3133
 329
23
arctan
3
1
arctan
2
1
1
0


  xx
b) Đặt :         12 221212 24 2
2
22 



xx
ACCBxBAx
x
CBx
x
A
xx
x
Do đó ta có hệ :













0
2
2
02
42
0
C
B
A
AC
CB
BA
Vậy :       
1
0
1
0
222 1
2
2
2
21
24 dx
x
x
x
dx
xx
xI
 
9
4ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2  xx
Bạn đọc tự làm :
a)   
3
2
21 1
1 dx
xx
xI b)  
5
2
22 32xx
dxI
c) dx
xx
xI  
2
1
3
3
3 4
1
 d)  
2
3
243 23
dx
xx
xI
HD:
a)   11
1
22 

x
C
x
B
x
A
xx
x
 b)
3132
1
2  x
B
x
A
xx
c)   





1212
41
4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x
 d)
221123 24  x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
Đẳng thức tích phân :
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 9
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận
xét một số đặc điểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, .
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
BÀI TẬP
Chứng minh rằng :      1
0
1
0
11 dxxxdxxx mnnm
Bài làm :
Xét    1
0
1 dxxxI nm
Đặt : dtdxdxdtxt 1
Đổi cận :




01
10
tx
tx
Vậy :         0
1
1
0
1
0
111 dtttdtttdxxxI nmnmnm (đpcm)
Chứng minh rằng nếu )(xf là hàm lẻ và liên tục trên đoạn  aa, thì :
 


a
a
dxxfI 0
Bài làm :
     1)( 0
0
  
 

a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét  

0
a
dxxf . Đặt dtdxdxdtxt 
Đổi cận :




00 tx
atax
V ậy :        

a a
a
dttfdttfdxxf
0 0
0
Thế vào (1) ta được : 0I (đpcm)
Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu )(xf là hàm chẳn và liên tục trên đoạn
 aa, thì     


a
a
a
dxxfdxxfI
0
2
Cho 0a và  xf là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 10
Chứng minh rằng :     





dxxfdx
a
xf
x
01
Bài làm :
Xét   dx
a
xf
x
 
0
1
 . Đặt dtdxdxdtxt 
Đổi cận :




00 tx
tx 
Vậy :         
 
 0 0
0
111 t
t
tx a
tfadt
a
tfdx
a
xf
Thế vào (1) ta được :            

 

0
0
0 111
dxxfdx
a
xfdx
a
xfadx
a
xf
xx
x
x
 (đpcm)
Cho hàm số  xf liên tục trên  1,0 . Chứng minh rằng :
     
0 0
sin
2
sin. dxxfdxxfx
Bài làm :
Xét  
0
sin. dxxfx . Đặt dtdxdxdtxt  
Đổi cận :




0
0
tx
tx


Vậy :                
0 00
sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx
      
0 0
sin.sin dttftdttf
   
   dxxfdxxfx
dxxfdxxfx








00
00
sin
2
sin.
sinsin.2
Từ bài toán trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số  xf liên tục trên  ba, và    xfxbaf  . Thì ta luôn có :
  ... 


0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax
ccxtcbxax
 





m
dcx
bax
xS , đặt 0; 
 cbad
dcx
bax
t m
Tính :    32 74xx
dxI
Bài làm :
      2 3232 374 xt t
dt
xx
dx
Đặt :  duudtut 1tan3tan3 2 
Ta có     

uu
udu
u
duuI
tan3tan3
32
2
cos
3
1
1tan.33
1tan3
C
xx
xC
t
tCu 
 74
2
3
1
13
1
sin
3
1
22
Tính : a)   12 xx
xdxI b)   122 xxx
dxI
Bài làm :
a) 
 



 

3
12
222 1
13
2
1
4
3
2
11 xt
dt
t
t
x
xdx
xx
xdx
 
Cxxxxx
Ctttdt
t
tI
x
t


 

 

1
2
1ln
2
11
1ln
2
11
2
3
1
13
2
1
22
22
3
12
2
b)Đặt : 2
1
t
dtdx
t
x 
  C
t
t
dt
xxx
dxI
t
x


   2
1
arcsin
1212 1 22
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 18
CxCx 


2
1
arcsin
2
11
arcsin
Tìm các nguyên hàm sau
a)   3 11 xxdxI b)   11 xx dxI
Bài làm :
a)Đặt : dxdttxtxt  566 611
Vậy : 




 66 1
2
1
23
5
3 1
1166
11 xtxt
dt
t
tt
tt
dtt
xx
dxI
Cxxxx
Ctttt


11ln6161312
1ln6632
663
23
b)   


 

dx
x
xdxxdx
x
xx
xx
dxI 1
2
11
2
1
2
11
11
2
1
 11
2
1
2
1 dx
x
x
xx  
Xét dx
x
x 1 Đặt :   dtt tdxtxxxt 222 12111 
Vậy :   OKt
dttdx
x
x
x
x
t

 
 1
2
2
1
21
Tìm các nguyên hàm sau :
a)   dxxxI 9. 22 b)   dxxxI 4.16 22
Bài làm :
a)Đặt : dt
t
tdx
t
t
xtxx 2
22
2
2
9
2
99 
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 19
Vậy :
   
    Cxxxxxx
C
t
t
tdt
tt
t
dt
t
tdt
t
t
t
t
t
tI









 

 



 



 


4
2
2
4
2
4
4
5
3
5
24
2
222
2
2
1
94
65619ln162
4
9
16
1
4
6561ln162
416
16561162
16
1
81
16
1
4
9
.
2
9
.
2
9
b)Đặt : dt
t
tdx
t
t
xtxx 2
22
2
2
4
2
44 
   
    Cxxxxxx
C
t
t
tdt
tt
t
dt
t
tdt
t
t
t
t
t
tI









 

 



 



 


4
2
2
4
2
4
4
5
3
5
24
2
222
2
2
4
644ln36
4
4
64ln36
4
25636
16
4
4
.
2
4
.
2
416
Tính các tích phân sau :
a)   1
2
1
2
1 dxxxI b) 
 

8
3
2 1
dx
xx
dxI
Bài làm :
   1
2
1
2
1
2
1
2
1 1212
1 dxxdxxxI
Đặt : tdtdxtx cos
2
1
sin12 
Đổi cận :





2
1
0
2
1

tx
tx
Vậy :   2
0
2
0
2
0
2
1 2sin2
11
8
12cos1
8
1
cos
4
1



   tdtttdtI
 
16
000
28
1  

 

 
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 20
b) Đặt : dxtdtxt  21
Đổi cận :




38
23
tx
tx
Vậy :    


3
2
2
3
2
2
8
3
2 1
2
1
2
1 t
dt
tt
tdtdx
xx
dxI
Bạn đọc tự làm :
a)   121 xx
dxI b) dxxxI   22 4 c)    323 4x
dxI
d)   dxxI 24 1 d)  
 dx
x
xI
11
11
2
2
5 d) dx
x
I
11
1
2
6 

Bất đẳng thức tích phân :
Nếu       0,0   dxxfbaxxf b
a
Nếu          dxxgdxxfbaxxgxf b
a
b
a
  ,
Nếu          abMdxxfabmbaxxfm b
a
 ,
Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bước chặn sinx,cosx
BÀI TẬP
Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a)   1
0 4
11 dxxx b)
2
1
15
2 2
1
2   dxx x c)   
1
0
211 dxxx
Bài làm:
a)Áp dụng AM-GM ta có :
     1,0
4
1
2
11
2


  xxxxx
2ln1ln
2
1ln
1
1ln
3
2


 

t
t
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 21
Vậy :  
4
1
4
11
1
0
1
0
 dxdxxx (đpcm)
b) Xét hàm số :    2,1
12
 xx
x
xf
Đạo hàm :
   
  





1
1
0
1
1
22
2
x
x
xf
x
x
xf
Ta có :
 
 




5
22
2
11
f
f
Vậy :
 
2
1
15
2
2
1
15
2
2,1
2
1
15
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2





dx
x
x
dxdx
x
xdx
x
x
x
Áp dụng Bunhicopxki ta có :
 1,02111111 22  xxxxx
Vậy :    012111
0
 dxxx
  1
0
211 dxxx (đpcm)
Chứng minh rằng :
e
dx
x
xe x
121
sin.3
1
2


Bài làm :
 
e
exx x
113,1  
  
 3
1
2
3
1
2 1
1
1
sin. dx
xe
dx
x
xe x
Xét   
3
1
2 1
1 dx
xe
Đặt :  dttdxtx 1tantan 2 
 111sin. 22 

xex
xe x
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 22
Đổi cận :





3
3
4
1


tx
tx
Do đó :    121tan 1tan
3
4
3
4
2
2 





  edtte dtt
Từ đó ta được đpcm.
Bạn đọc tự làm :
Chứng minh rằng :
a)
10cos3516
2
0
2


  xdx b) 21sin43
3
6
 


dx
x
x
 c)
8
2
46
3
6
32



  xx
dx
d*) Cho 2 hàm số liên tục :        1,01,0:;1,01,0:  gf
 Chứng minh rằng :         

 1
0
1
0
21
0
.. dxxgdxxfdxxgxf
Một số ứng dụng của tích phân thường gặp :
1)Tính diện tích :
Cho hai hàm số    xfxf & liên tục trên đoạn  ba, . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đường là :
   







xgy
bx
xfy
ax
;
Được tính như sau :
     b
a
dxxgxfS
2)Tính thể tích :
Nếu diện tích  xS của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa độ , là
hàm số liên tục trên đoạn  ba, thì thể tích vật thể được tính :
 dxxfV b
a

Nếu hàm số  xf liên tục trên  ba, và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 23
 





Ox
xfy
bxax ,
Khi (H) quay quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay . Lúc đó thể tích được tính :
   dxxfV b
a
 2
Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy
3)Tính giới hạn :
   dxxfxf b
a
n
i
ii
n   1 .lim  trong đó 





1
1
iix
ii
xx
xx 
Từ đó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :
Viết dãy số thành dạng : 




n
i
n
n
if
n
S
1
1 sau đó lập phân hoạch đều trên  1,0 , chọn
n
i
xii  ta có   
1
01
1lim dxxf
n
if
n
n
in
4)Tính độ dài cung đường cong trơn:
Nếu đường cong trơn cho bởi phương trinh  xfy  thì độ dài đường cung nó được tính
như sau :
  dxyl b
a
  21 với ba, là hoành độ các điểm đầu cung .
4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.
Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau đó dùng đồng nhất thức, bước cuối
cùng là tính tích phân .
 Hình1a hình1b
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 24
 hình1c hình1d
BÀI TẬP
Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R.
Bài làm : (hình 1a)
Phương trình đường tròn có dạng :
22222 xRyRyx 
Do tính đối xứng của đồ thị nên : dxxRS
R 
0
224
Đặt : tdtRdxtRx cossin 
Đổi cận :





2
00

tRx
tx





2
00

tRx
tx
Vậy :
 
 dvdtRtxR
dttRtdtRtRS
2
2
0
2
2
0
2
2
0
22
2sin
2
12
2cos12cossin4





 
 
Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol 2xy  , phía trên bởi đường thẳng đi qua điểm
A(1,4) và hệ số góc là k . Xác định k để hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .
Bài làm (hình 1b)
Phương trình đường thẳng có dạng.  41  xky
Phương trình hoành độ giao điểm .
  0441 22  kkxxxkx
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 25
Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử 21 xx 
Vậy diện tích là :
    
         *4
2
1
3
1
4
23
41
12
2
121
2
212
2
3
2
2
1
2
1


 


  
kxxkxxxxxx
xkxkxdxxxkS
x
x
x
x
Với :
     





44.4
4.
2
12
2
1
2
2
22
12
12
12
kkxxxxxx
kxx
kxx
Thế vào  * ta được :
   
 164164
6
1
4
2
144
3
1164
22
222



 
kkkk
kkkkkkS
     34122
6
1164
6
1 3232  kkk
Vậy : 34min S khi 2k
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

 

2
2
xay
yax
Bài làm : (hình 1c)
Do tính chất đối xứng của đồ thị mà ta chỉ cần xét 0a
Xét :
  













0
0
0
22
2
a
xay
ayxyx
a
xay
yax
Với yx  ta được :
 
 









lx
nax
a
xay
yx
0
0
2
Với 0 ayx ta được :
 
 
















lx
nax
a
xay
aaxx
a
xay
ayx
0
0
0
0
0
2
22
2
Ta lại có :
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 26













00
2
2
2
a
a
xy
axy
a
xay
yax
Vậy diện tích cần tính là :
 dvtta
a
x
xa
dx
a
x
xadx
a
x
axS
a
aa
2
0
3
2
3
0
2
2
1
0
2
3
1
32
3 

 


 

  
Bạn đọc tự làm :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a)






2
01
013
x
yx
yx
 b)






4
4
2
y
xy
xy
 c) 0
0
2






y
yx
yx
 d)





0,
12
2
2
2
ba
b
y
a
x
Hình vẽ tương ứng ↓↓↓
 hình a hình b
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 27
 hình c hình d
Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :
6
5555
...321
n
nSn

Tính .lim
n
nS
Bài làm :
5
1
5555
.
1
.......
3211






 









 n
i
n
n
n
nnnn
S
n
i
n
Xét hàm số    1,05  xxf .
Ta lập phân hoạch đều trên  1,0 với các điểm chia :
1.....0 1210   nn xxxxx và chiều dài phân hoạch
n
xxl ii
1
1  
Chọn
n
i
xii  ta có    
5
11
1 .
1lim 

 

 n
i
n
fxx
n
i
n
i
iii
n

6
1limlim
1
0
5
0
   dxxSS n nl n
Với mỗi số nguyên dương n ta đặt :
nnnnn
Sn 
1
......
3
1
2
1
1
1
Tính .lim
n
nS
Bài làm :



























 1
1
.
1
1
1
......
13
1
12
1
11
11
1
n
in
n
n
nnn
n
S
n
i
n
Xét hàm số    1,0
1
1  xxf .
Ta lập phân hoạch đều trên  1,0 với các điểm chia :
Chuyên đề tích phân LTĐH 2012-2013
BIÊN SOẠN: LÊ MINH ĐẠT – ĐT: 0918 344 200 Trang 28
1.....0 1210   nn xxxxx và chiều dài phân hoạch
n
xxl ii
1
1  
Chọn
n
i
xii  ta có    









 


1
1
.
1lim
11
1
n
in
fxx
n
i
n
i
iii
n

2ln1ln
1
limlim
1
0
1
00
  xxdxSS n nl n