Chuyên đề Thể tích - Phần 01: Thể tích khối đa diện

Phần 1. 
Thể tích khối đa diện
A. Lý thuyết
1. Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12) 
2. Các công thức tính thể tích của khối đa diện
a) Thể tích khối hộp chữ nhật
V = abc với a, b, c là 3 kích thước của khối hộp chữ nhật
b) Thể tích của khối chóp
V= Sđáy . h ; h: Chiều cao của khối chóp
c) Thể tích của khối lăng trụ
V= Sđáy . h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Tính thể tích của khối đa diện
*Phương pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:
+áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích
+Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính được
+Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để được 1 khối đa diện có thể tính thể tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính được thể tích.
*Các bài tập
1)Về thể tích của khối chóp
+Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích đáy và áp dụng công thức :V= Sđáy . h 
Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trường hợp sau:
Cạnh đáy bằng a, góc ABC = 60o 
AB = a, SA = l
SA = l, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α
giải:
a) Gọi O là tâm ∆ABC đều 
⇒ SO ⊥(ABC) 
SABC =a=
∆ABC có SA = SB; ABC = 60o 
⇒ SA = AB = SB = a
SO ⊥ OA ( vì SO ⊥ (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:
SO2 = SA2 - OA2 = a2 - (a)2 = 
⇒ SO = a
Vậy VSABC = S∆ABC . SO = .. a. 
b) Tương tự câu a đáp số: 
 VSABC = . .
c) 
Gọi O là tâm ∆ABC
Gọi A’ là trung điểm BC
Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SA’O = α
Tam giác vuông SOA có: 
 SO2 = l2 - OA2 = l2 - AA’2
Tam giác vuông SOA’ có: 
(2)
Từ (1) (2) ta có: 
 AA’2(sin2 α + 4) = 9l2
S∆ABC = 
⇒VSABC = S∆ABC . SO =
Bài 2. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, AB = a, AC = a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VA’ABC theo a?
Giải.
-Gọi H là trung điểm BC 
⇒A’H ⊥ (ABC) (gt)
-Ta có S∆ABC = 
-Vì A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H ⊥ AH
Tam giác vuông A’HA có:
A’H2 = A’A2 - AH2 = (2a)2 - .(a2 + 3a2)
hay A’H2 = 4a2 - a2 = 3a2 ⇒ A’H = a
⇒VA’ABC = S∆ABC .A’H =
Bài 3. Hình chóp SABCD có SA ⊥ (ABC), SA = a. ∆ABC vuông cân có
 AB = BC =a. B’ là trung điểm SB. C’ là chân đường cao hạ từ A của ∆SAC
a) tính VSABC
b) Chứng minh rằng AB ⊥ (AB’C’). Tính VSAB’C’
Giải
a)
S∆ABC = ; SA =a
⇒ VSABC = S∆ABC .SA = a3
b) ∆SAB có AB = SA = a ⇒∆SAB cân tại A ⇒ AB’ ⊥ SB
B’S = B’B
BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’ 
BC⊥ SA
⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ 	AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’)
	AC’ ⊥ SC 
Cách 1 
Vì AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC = 
B’C’2 = SB’2 - SC’2 = 
⇒S∆AB’C’ = 
⇒V∆AB’C’ = 
Cách 2
Bài 4 Hình chóp SABC có SA⊥ (ABC), ∆ABC cân tại A, D là trung điểm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β. Tính VSABC.
Giải
Dễ thấy 	
(SB, (ABC)) = α = SBA
(SB, (SAD)) = β = BSD
∆ABC cân ⇒ AD ⊥ BC
DB = DC
∆SAB có cos α = (1)
BC ⊥ AD 
BC ⊥ SA (vì SA⊥ (ABC)
⇒ BC ⊥ (SAD) ⇒ BC ⊥ SD
Tam giác vuông SB có sinβ = (2)
Từ (1) (2) 	⇒ ⇒ 
⇒ AB2(sin2 β – cos2 α) = -a2cos2 α ⇒ AB = 
S∆SAB =BD.AD = 
SA = AB. tan α =
⇒ VSABC = SA.S∆ABC == 
Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. các nửa đường thẳng Ax, Cy ⊥ (ABCD) và ở cùng một phía với mặt phẳng đó. Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích của hình chóp BAMNC.
Giải
Gọi I là giao điểm của AC và BD
Ta có BD ⊥ AC 
(vì ABCD là hình vuông)
(Ax, Cy) ⊥ (ABCD)
⇒ BD ⊥ (AMNC) 
⇒ BI ⊥ (AMNC)
BI = 
Diện tích hình thang AMNC là S =
VAMNC = 
*Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí chân đường cao trên đáy.
Ta có một số nhận xét sau:
-Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. 
-Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy 
-Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.
-Nếu có một đường thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đường cao của khối chóp sẽ song song hoặc nằm trờn với đường thẳng đó.
-Nếu một đường thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đường cao của khối chóp là đường thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên.
*Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp.
Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = α, các cạnh bên nghiêng trên đáy một góc α. Tính VSABC 
Giải
- Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)
- Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
- Ta có: ∆ABC = 
mà BC2 = 2AB2 - 2AB2cos α = 2AB2(1-cos α) = a2 ⇒ AB = 
⇒ S∆ABC =
HA = R = 
Tan giác vuông có tan α =⇒ SH =
⇒VSABC = 
Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = và góc giữa 2 đường chéo = 60o. các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 45o. Tính VSABCD 
Giải
-Hạ SO ⊥ (ABCD)
- Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy. ⇒ O là tâm đường tròn đi qua 4 đỉnh A, B, C, D ⇒ tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC ∩ BD
- Đặt AC = BD =x.
Ta có ShcnABCD = AC.BD.sin60o =⇒ x=3
- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45o = SCO = (SC, (ABCD)) ⇒ ∆ASC vuông cân tại S ⇒ SO = ⇒ VSABCD = 
Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60o, BSC = 90o, CSA = 120o.
Chứng minh rằng ∆ABC vuông
Tính VSABC
Giải
a)
 	 ⇒ AB = a
-Tam giác vuông SBC có BC2 = SB2 + SC2 = 2a2
-∆SAC có AC2 = a2 + a2 -2a2cos120o = 2a2 - 2a2(-) =3a2
-∆ABC có AC2 = AB2 + BC2 ⇒∆ABC vuông tại B
b) Hạ SH ⊥ (ABC)
Vì SA = SB = SL HA = HB = HC ⇒ H là trung điểm AC
∆ABC vuông tại B
Tam giác vuông SHB có SB = a ⇒ SH2 = SB2 - BH2 = 
BH = 
(Hoặc ∆SAC là nửa đều tam giác đều ⇒ SH = )
⇒VSABC = 
Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90o. ∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều có cạnh = . 
Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đáp số: VSABCD = 
Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, ∆SAD đều cạnh = 2a, 
BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD
Giải
- Hạ SH ⊥ (ABCD), H ∈ (ABCD)
- Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh được H là tâm đường tròn nội tiếp đáy
- Gọi K là hình chiếu của H lên AD
- Ta có HK = 
- Tam giác vuông SHK 	có HK = a
SK = (vì ∆SAD đều)
⇒SH = 
Vì ⋄ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a
⇒SABCD = 
⇒VSABCD = 
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, 
SB = a, (SAB) (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AB, BC. Tính VSBMDN
Giải
∆SAB hạ SH b AB
(SAB) b (ABCD)
⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN)
S∆CDN = S∆MDA = S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = S⋄ABCD = 2a.2a = 2a2
∆SAB có AB2 = SA2 + SB2 = 4a2 ⇒ SAB vuông tại S 
⇒ ⇒ SH = 
⇒VSBMDN = S⋄BMDN.SH = 
Bài 12: SABCD có ⋄ABCD là hình thang với AB = BC = CD = AD. ∆SBD vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. SB = 8a, SD = 15a. 
Tính VSABCD
Giải
-Trong 	∆SBD kẻ SH b BD
	Vì (SBD) b (ABCD)
⇒SH b (ABCD)
-Tam giác vuông SBD có 
	hay 
	hay 
-Vì hình thang có AB = BC = CD =AD ⇒ = 60o, B = C = 120o
-∆SBD có BD2 = SB2 +SD2 =289a2 ⇒ BD = 17a
∆CBD có BD2 =2BC2(1+) = 3BC2 = 289a2 ⇒ BC = 
S∆BCD = 
S⋄ABCD = 3S∆BCD = 
⇒VSABCD =S⋄ABCD.SH = = 170a3
Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, ∆SCD cân tại S và nằm trong mặt phẳng (ABCD). ∆SAB có SA = a, ASB = 2 α và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc α. Tính thể tích khối chóp SABCD
Giải
Trong ∆SCD hạ SH CD
Vì ∆SCD cân tại S
⇒ H là trung điểm CD.
SH CD
(SCD) (ABCD
⇒ SH (ABCD)
Gọi K là trung điểm AB 
Ta có HK AB
AB SH (vì SH (ABD))
⇒AB (SKH) ⇒ AB SK ⇒ ∆SAB cân tại S
Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH = α
∆SAB có SK = acos α , AB = 2AK = 2asin α
∆SHK vuông tại H có SH =SK.cosα = acos2 α
KH = SKsinα = asinαcosα. SABCD =AB.BC = 2asinα.asinαcosα 
= 2a2sin2αcosα ⇒VSABCD = α
Bài 14: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA b (ABC). ACB =60o, 
BC = a, SA = a, M là trung điểm SB. Tính thể tích MABC
Giải
Cách 1. 
SA b (ABC)
Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H ⇒ MH b (ABC)
Vì M trung điểm SB H- trung điểm
MH=
S∆ABC = 
VMABC = 
Cách 2. 
 VMABC = 
mà VSABC = SA.S∆ABC = 
⇒Vmabc = 
Bài 15: Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA (ABCD), 
AB = a, SA = a. H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh rằng: SC (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
Giải
AH SB (gt) (1)
BC AB (vì ABCD là hình vuông)
BC SA (vì SA (ABCD))
⇒BC (SAB) BC AH (2)
Từ (1) (2) ⇒AH (SBC ⇒AH SC (3)
Chứng minh tương tự ta có: SC AK (4)
Từ (3) (4) ⇒ SC (AKH)
Gọi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF
Kéo dài AF cắt SC tại N
Trong (SAC) kẻ đường thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE (AHK)
Vì OA = OC; OE//CN OE = CN
Tam giác vuông SAD có ⇒ AK = 
Dễ thấy AH =
∆AKH cân tại A
Dễ thấy ∆SBD có mà SK = 
SD = a
⇒
HK = BD = 
OF = SO ⇒
∆SAC có : OA = OC
⇒ ⇒OE =SN = a
 	S∆AHK =KH. = 
 	 ⇒ V = 
* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK như sau:
Chọn hệ toạ độ như hình vẽ.Ta có:
A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a) , O(, , 0)
∆SKA ∆ SAD ⇒ ⇒ SK=
⇒K(0, , )
∆ABS có ⇒ SH=
⇒H(,0,)
Ta có 
 [] =()
 ⇒ VOAHK=|[].|=
Bài 16: Hình chóp SABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a, 
SA = a, SA (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm AD và SC. {I} = BM ∩ AC. Tính thể tích hình chóp ANIB.
Giải
SA (ABCD)
Gọi {O} = AC ∩ BD
Trong ∆SAC có ON // SA 
⇒ON (ABCD) ⇒ NO (AIB)
Ta có NO = 
Tính S∆AIB = ?
ABD só I là trọng tâm 
⇒S∆ABI =S∆ABO = S⋄ABCD = a.a = 
⇒ SANIB =NO.S∆AIB = 
Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 
(SAD) (ABCD), ∆SAD đều. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SB, BC, CD. 
Tính thể tích hình chóp CMNP
Giải
- Gọi E là trung điểm AD. (CNP) ≡ (ABCD) ⇒ SE AD
	(SAD) (ABCD)
⇒SE (ABCD)
- Gọi F là hình chiếu của M lên (ABCD) ⇒ MF // SE. Dễ thấy F ∈ EB và F là trung điểm EB
Ta có MF = SE = 
S∆CNP = 
VCMNP = S∆NCP.MF = 
Nhận xét: có thể dùng phương pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O .
0x ≡ EN, oy ≡ ED, oz ≡ ES
Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ bán kính đáy bằng chiều cao bằng a. Trên đường tròn tâm O lấy A, Trên đường tròn tâm O’ lấy B. sao cho AB = 2a. Tính thể tích hình chóp OO’AB
Giải
Kẻ đường sinh AA’. Gọi D đối xứng với A’ qua O’, H là hình chiếu của B trên 
A’D.
Ta có BH A’D
 BH A’A
 	⇒ BH (AOO’A’)
 	⇒BH là đường cao của tứ diện BAOO’
 	SAOO’ =, A’B =
∆A’BD vuông ở B ⇒ BD=a
∆O’BD đều ⇒ BH= ⇒VBAOO’ =SAOO’ = 
Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a; 
SA (ABCD); (SA, (ABCD) = 60o. Điểm M thuộc cạnh SA, AM = .
 (BCM) ∩ SD ={ N}. Tính thể tích hình chóp S.BCMN
Giải
Ta có SAB=600
∆SAB vuông tại A có AM = , AB = a ⇒ ABM = 300
Kẻ SH⊥ BM thì SH là đương cao của hình chóp S.BCMN
ta có SH=SB sin 300 = a
BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒ ⇒MN = 
⇒SBCMN =
⇒VSBCMN = SBCMN = 
Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90o; 
AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N lần lượt là trung điểm SA và SD. Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM
Giải
Ta có BC//AD ,BC= ,MN//AD , MN= ⇒BC = MN , BC// MN (1)
BC ⊥AB
BC ⊥SA
⇒BC ⊥ (SAB) BC AM (2)
Từ (1) và (2) ta có BCNM là ...  β. Cho khoảng cách từ tâm O của đáy đến (P) bằng a. Tính thể tích của khối nón.
Giải
Gọi E là trung điểm AB ta có OES= β ; AOB= α
Vẽ OM (SAB) thì SOM= ta có:
SO= và OE=
Bán kính đáy R=OA=
Thể tích khối nón là:V=
Bài 7: Cho hình nốn đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy = R. M ∈ SO là đường tròn (C). 
1.Tính thể tích khối nón có đỉnh S và đáy là (C).
2.Tìm x để thể tích này lớn nhát
Giải
Ta có 
Thể tích khối nón V=
V’=
V’ = 0 ⇔ x= h (loại)
Dựa vào bảng biến thiên ta có: V Max ⇔x =
Bài 8: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần bằng 2.Với x nào thì hình trụ tồn tại? Tính thể tích V của khối trụ theo x và tìm giá trị lớn nhất của V.
Giải
Ta có Stp=Sxq+2Sđ=
Theo giả thiết ta có 2 (xy+x2)=2
⇔xy+x2 =1 ⇔ y =.Hình trụ tồn tại y>0 ⇔1-x2> 0 ⇔0 < x < 1
Khi đó V = x2y = x(1-x2) = -x3+x
Khảo sát hàm số trên với x (0,1) ta được giá trị lớn nhất của V=
Bài 9: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O.Trên đường tròn đó lấy một điểm A cố định và một điểm M di động.Biết AOM= α ,nhị diện cạnh AM có số đo bằng β và khoảng cách tư O đến (SAM) bằng a.
Tính thể tích khối nón theo a, α, β.
Giải
Gọi I là trung điểm AM
∆SAM cân nên SI AM
∆OAM cân nên OI AM
(SOI) AM nên SOI là góc phẳng nhị diện cạnh AM ⇒ SIO = β
Kẻ OH (SAM)
(SOI) (SAM)
⇒ H ∈ SI và OH = a
Ta có OI=
V=
Bài 10: Cho mặt cầu đường kính AB=2R. Gọi I là điểm trên AB sao cho AI=h. Một mặt phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn (C).
+Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C). 
+Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất.
Giải
Gọi EFlà 1 đường kính cua (C) ta có :
	IE2 = IA.IB = h(2R-h) ⇒ R = IE = 
Thể tích cần tính là:V= với 0 < h < 2R
V’ = , V’ = 0 
Vmax hay AI = 
Một số bài toỏn về tỷ số thể tớch
B. Nội dung:
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
H'
I. Cụng thức cần nhớ:
C
B
A
S
A'
B'
C'
1. Thể tớch khối chúp:
V=B.h
B: Diện tớch đa giỏc đỏy.
h: Độ dài đường cao.
2. Thể tớch khối lăng trụ:
V=B.h
B: Diện tớch đa giỏc đỏy.
h: Độ dài đường cao.
A
C
B
S
M
3. Tỷ số thể tớch:
Cho khối chúp S.ABC.
A'ẻSA, B'ẻSB, C'ẻSC
* MẻSC, ta cú: 	
II. Bài tập:
Bài 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD, đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật cú AB =a; AD=b. Cạnh SA =2a của hỡnh chúp vuụng gúc với đỏy. M là một điểm nằm trờn cạnh SA với AM =x (0ÊxÊ2a).
1. Mặt phẳng (MBC) cắt hỡnh chúp theo thiết diện là hỡnh gỡ? Tớnh diện tớch thiết diện ấy. Tỡm x để thiết diện ấy cú diện tớch lớn nhất.
S
A
M
N
D
C
B
2. Tỡm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chúp trờn ra hai phần cú thể tớch bằng nhau.
Hd:
1. Thiết diện là hỡnh thang vuụng
MNCB, vuụng tại B và M.
* BM2=BA2+AM2
ịBM=
* DSMN đồng dạng DSAD,
ị
Vậy 
2. Xột hàm số 	(0ÊxÊ2a)
f'(x)=0 Û
Ta cú: f(0)=ab.
f(2a)= 
f()=
f()=
ị khi 
Kết luận: Vậy với thỡ diện tớch của thiết diện lớn nhất.
	3. Gọi V là thể tớch khối chúp S.ABCD ị 
Gọi V1 là thể tớch khối S.MNCB
V1=V(SMBC)+V(SMNC)
Ta cú 
VSABC= ị
* Ta cú: ị VSACD=
ị VSMNC=
V1= VSMNCB=
Ycbt Û V1= Û Û x22-6ax+4a2=0
Û
Kết luận: Vậy x = thỡ (MBC) chia khối chúp thành 2 phần tương đương.
Bài 2: Cho khối lăng trụ tam giỏc đều ABC.A1B1C1. Cỏc mặt phẳng (ABC1) và (A1B1C) chia lăng trụ thành 4 phần. Tớnh tỷ số thể tớch của 4 phần đú. 
A
B
C
M
N
A'
B'
C'
Hd:
Gọi V1=; V1=
	V3=; V4=
Gọi V là thể tớch của lăng trụ.
	Mặt khỏc: 
ị
Vậy V1: V2: V3: V4= 1:3:3:5
Bài 3: Cho hỡnh chúp S.ABCD, đỏy là hỡnh vuụng cạnh a, tõm O. Đường cao của hỡnh chúp là SA =a. M là một điểm di động trờn SB, đặt BM =x (0<x<a). (a)là mặt phẳng qua OM và vuụng gúc với l (ABCD).
S
A
D
C
B
M
K
N
O
H
1. Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp cắt bởi mặt phẳng (a). Tớnh diện tớch thiết diện theo a và x.
2. Xỏc định x để thiết diện trờn là hỡnh thang vuụng. 
Trong trường hợp đú tớnh tỷ số thể tớch của hai phần 
của S.ABCD chia bởi thiết diện.
Hd:
1. Ta cú 
SA^(ABCD)
(a) ^(ABCD)
ị SA // (a)
(a)ầ(SAB)=MN // SA
(a)ầ(SAC)=OK // SA 
(a)ầ(SABCD)=NH qua O 
(a)ầ(SCD)=KH
Vậy thiết diện cần tỡm là tứ giỏc MNHK.
Ta cú MN // OK // SA ị MN ^ (ABCD); OK^ (ABCD)
Std=Sht MKON + SKOH = 
MN=BN=x; KO=SA/2; NH=
Std= 
S
A
D
C
B
M
K
N
O
H
E
2. Để thiết diện là hỡnh thang vuụng Û MK// MO// BC Û N là trung điểm AB Û x=a/2.
V= 
V1=VSOECH+VKOE.MNB
Vậy	
Bài 4: Cho khối chúp S.ABCD, trong đú ABCD là hỡnh thang cú cỏc cạnh đỏy AB, CD sao cho CD=4.AB, một mặt phẳng qua CD cắt SA, SB tại cỏc điểm tương ứng M, N. 
Hóy xỏc định vị trớ điểm M trờn SA sao cho thiết diện MNCD chia khối chúp đó cho thành hai phần tương đương (cú thể tớch bằng nhau).
Hd:
S
A
D
C
B
N
M
Đặt 
Gọi thể tớch của hỡnh chúp S.ABCD là V
Ta cú CD =4AB ị
SADC=4.SABC ị SADC=
ị 
Ta cú 
V1=VSMNC+VSNCD=
KL: Vậy 
Bài 5: Trong mặt phẳng (P) cho đường trũn (C) đường kớnh AB =2R.S là điểm nằm trờn đường thẳng vuụng gúc với mp (P) tại A. Đặt SA =h. Mặt phẳng (Q) qua A và vuụng gúc với SB tại K, C là điểm trờn (C), SC cắt mp (Q) tại H.
Đặt 
1. Tớnh thể tớch của tứ diện SAHK theo R, h và a.
a
B
C
H
K
Sa
2. Chứng minh rằng thể tớch đú đạt giỏ trị lớn nhất tại giỏ trị a0 của a sao cho a0>. Tớnh a0.
Hd:
1. * Ta chứng minh được AH ^ SC.
* 
* VABC= 
* 
2. Đặt P =
MaxP=
Dấu bằng xảy ra Û
ị 2a tự ịa>
KL: Vậy a0 =
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIấN, KHỐI CẦU. ( tiếp ) – Tự giải
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = b, AB = BC = CA = a. Tính thờ̉ tích khụ́i chóp đó theo a, b?
Bài 2. Tớnh thờ̉ tích khụ́i hụ̣p ABCD.A’B’C’D’ biờ́t rằng thờ̉ tích tứ diợ̀n ACB’D’ là a3? 
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC. Trờn các đoạn thẳng SA, SB,SC lõ̀n lượt lṍy các điờ̉m A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng:
Bài 4. Tính thờ̉ tích khụ́i hụ̣p ABCD.A’B’C’D’ biờ́t rằng A’A, A’B, A’D đụi mụ̣t vuụng góc và A’A = a, A’B = b, A’D = c.
Bài 5. Cho tam giác đờ̀u cạnh a. Trờn đường thẳng d vuụng góc với mặt phẳng (ABC) tại A lṍy điờ̉m M. Gọi H là trực tõm của tam giác ABC, K là trực tõm của tam giác BCM.
Chứng minh rằng .
Khi M thay đổi trờn d, tỡm giỏ trị lớn nhất của thể tớch tứ diện KABC.
Bài 6. Cho hai đường thẳng chộo nhau d và d’. Đoạn thẳng AB cú đọ dài a trượt trờn d, đoạn thẳng CD cú độ dài b trươctj trờn d’. Chứng minh rằng thể tớch khối tứ diện ABCD khụng đổi.
Bài 7. Cho lăng trụ tam giỏc đều ABC,A’B’C’ cú chiều cao h và AB’ vuụng gúc với BC’. Tớnh thể tớch của khối lăng trụ theo h?
Bài 8. Cho hỡnh hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cú AA’ = a, AD = b và éACD = a. Tớnh thể tớch khối chúp C’.BCD’A’ theo a, b, a.
Bài 9. Cho tứ diện đều cạnh a. Chứng minh rằng tõm cỏc mặt của nú là cỏc đỉnh của một tứ diện đều và tớnh thể tớch tứ diện đú theo a.
Bài 10. Cho hỡnh chúp A.BCD cú DA, DB, DC đụi một cuụng gúc với nhau và DA = a, DB = b, DC = c. Tớnh diện tớch tam giỏc ABC theo a, b, c.
Bài 10. Cho điểm M trong gúc tam diện vuụng Oxyz cú khoảng cỏch từ M tới cỏc mặt (Oyz), (Ozx), (Oxy) lần lượt là a, b, c. Mặt phẳng (a) qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của thể tớch tứ diện OABC.
Bài 11. Cho tứ diện đều cạnh a. M là một điểm nằm trong tứ diện. Chứng minh rằng tụng khoảng cỏch từ M tới cỏc mặt của tứ diện là một số khụng đổi.
Bài 12. Cho tứ diện ABCD cú AD vuụng gúc với BC và AD tạo với mặt đỏy (BCD) một gúc 600, biết diện tớch tam giỏc BCD bằng S. Một mặt phẳng (a) qua BC vuụng gúc với AD và cắt AD tại E. Tớnh diện tớch tam giỏc BCE theo S.
Bài 13. Cho tứ diện ABCD cú AB, AC, AD đụi một vuụng gúc với nhau và AB = a, AC= b, AD = c. Tớnh bỏn kớnh mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.
Bài 14. Cho M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD. Cỏc đường thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt cỏc mặt đối diện tại A’, B’, C’, D’. Tỡm giỏ trị nhở nhất của biểu thức 
Bài 15. Cho hỡnh chúp S.ABC cú thể tớch bằng 8. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là trung điểm của SC. Tớnh thể tớch khối chúp A.BCC’B’.
Bài 16. Cho hỡnh chúp S.ABC cú SA = a, AB = b, BC = c và ba đoạn thẳng đú đụi một vuụng gúc. Tớnh bỏn kớnh mặt cầu đi qua bồn điểm S, A, B, C và thể tớch của khối cầu đú.
Bài 17. Ba cạnh cuả một tam giỏc cú độ dài 13, 14, 15. Một mặt cầu tiwwps xỳc với ba cạnh tại cỏc tiếp điểm nằm trờn ba cạnh đú. Tớnh thể tớch khối cầu đú, biết khoảng cỏch từ tõm khối cầu tới mặt phẳng chứa tam giỏc bằng 3.
Bài 18. Cho mặt cầu (O;R). Chứng minh rằng tập hợp điểm S sao cho từ đú cú thể kẻ tới mặt cầu (O;R) ba tiếp tuyến đụi một vuụng gúc là một mặt cầu. Hóy tớnh tỷ số thể tớch của hai khối cầu đú.
Bài 19. Cho hỡnh hộp ABCD.A’B’C’D’ cú cỏc gúc phẳng tại đỉnh A bằng 600 và cỏc cạnh AB = AD = AA’ = a.
Chứng minh rằng tồn taị mặt cầu tiếp xỳc với sỏu mặt của hỡnh hộp.
Tớnh diện tớch của mặt cầu và thể tớch của khối cầu đú.
Bài 20. Trong mặt phẳng (P) cho hỡnh vuụng ABCD tõm O cú cạnh bằng a. Trờn đường thẳng Ax vuụng gúc với (P) ta lấy một điểm S tựy ý và dựng mặt phẳng (Q) đi qua A và vuụng gúc với SC. Mặt phẳng (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. ChỨNG minh khi S di chuyển trờn Ax thỡ bảy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luụn luụn thuộc mặt cầu cố định. Xỏc định tõm và bỏn kớnh của mặt cầu đú.
Bài 21. Một mặt cầu nội tiếp hỡnh nún cú bỏn kớnh đỏy là 5a, đường cao là 13a. Tớnh thể tớch khối cầu đú.
Bài 22. Cho tứ diện ABCD cú AB = AC = AD = a, éBAC = 900, éDAB = éDAC = 600. Tớnh diện tớch của mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện và thể tớch của khối cầu đú.
Bài 23. Trong mp(P) cho đường trũn (C) đường kớnh AB = 2R, tõm O. Gọi O’ là điểm đối xứng với O qua A. Dựng O’z vuụng gúc vơi (P), trờn đú lấy O’T = 2R.
Xỏc định tõm I của mặt cầu (S) đi qua T cắt (P) theo giao tuyến là đường trũn (C)
Gọi OI =x. Tớnh x theo R. Tớnh thể tớch của khối cầu (S).
Bài 24. Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú cạnh đỏy bằng a, mặt bờn hợp với mặt đỏy một gúc j. Xỏc định tõm và bỏn kớnh của mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp.Bài 21. 
Bài 25. Cho tứ diện S.ABC cú SA, SB, SC vuụng gúc với nhau đụi một và cú độ dài lần lượt là a, b, c. Hóy xỏc định tõm và bỏn kớnh của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài 26. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc cõn, AB = AC = a, mặt phẳng (SBC) vuụng gúc với mặt phẳng đỏy (ABC) và SA = SB = a.
Chứng minh tam giỏc SBC vuụng.
Xỏc định tõm và bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp thỡnh chúp, biết SC=x.
Bài 27. Cho tứ diện S.ABC cú cỏc cạnh bờn SA = SB = SC = d và éASB = 1200, éBSC = 600, éASC = 900.
Chứng minh tam giỏc ABC vuụng.
Tớnh thể tớch tứ diện S.ABC.
Tớnh bỏn kớnh hỡnh cầu nội tiếp tứ diện S.ABC.
Bài 28. Cho tứ diện ABCD cú AB = BC = AD = CA = DB = và CD = 2a. Xỏc định tõm và bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 29. Lập phương trỡnh mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:
Tõm I(0; 1; -1) và đi qua điểm M(2; 3; -4)
Cú đường kớnh AB, với A(1; -2; 3), B(5; 6; -1)
Tõm I(1; -1; 2) tiếp xỳ với mặt phẳng (Oxz)
Tõm I(3; -4; 6) tiếp xỳc với trục hoành.
Cú tõm I thuộc Oy và đi qua 2 điểm A(1; 0; 0), B(1; 2; 1).
Bài 30. Tỡm tõm và bỏn kớnh mặt cầu nội tiếp tứ diện O.ABC, biết A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3).
Bài 31. Tớnh bỏn kớnh mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:
Tõm I(2; 1; 3) và tiếp xỳc với đường thảng qua A(3; 0; 4), B(1; 2; -3).
Tõm I(-2; 1; -1) và tiếp xỳc với mặt phẳng qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1).