Chuyên đề Thể tích khối đa diện - Chủ đề Thể tích khối đa diện

Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 1 
c
b
a
h
S ABC
H
C
B
A
S
h
Sday
Chủ đề: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 
I- LÝ THUYẾT: 
1. ĐỊNH NGHĨA: 
 Thể tích của một khối đa diện là một số dương có tính chất sau: 
a. Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau. 
b. Nếu một khối đa diện được phân chia thành các khối đa diện nhỏ thì thể tích 
của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó. 
 c. Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1. 
 2. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH: 
Thể tích của khối hộp chữ nhật Thể tích của khối chóp Thể tích của khối lăng trụ 
 . . V a b c= 
1 . 
3
V S h= 
 . V S h= 
**ĐẶC BIỆT: 
1- Thể tích khối lập phương: Cho khối lập phương cạnh a. 3 V a = 
2- Thể tích khối chóp cụt: 
Cho khối chóp cụt có diện tích hai đáy là B và B’ , chiều cao h. ( )1 ' ' . 3= + +V B B BB h 
II- LUYỆN TẬP: 
Kỹ năng: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 
Phương pháp: 
Ph­¬ng ph¸p 1: Dùa vµo c«ng thøc 
ViÖc tÝnh thÓ tÝch cña mét khèi ®a diÖn bÊt kú, th«ng th­êng ®­îc thùc hiÖn theo 2 b­íc sau:
 B­íc 1: X¸c ®Þnh ®­êng cao cña khèi chãp, khèi l¨ng trô. 
 B­íc 2 : TÝnh diÖn tÝch ®¸y t­¬ng øng.
 B­íc 3 : ¸p dông c«ng thøc
Ph­¬ng ph¸p 2: HoÆc 
 * Chia khèi ®a diÖn ®· cho thµnh c¸c khèi l¨ng trô hoÆc c¸c khèi chãp ®¬n gi¶n h¬n.
 * GhÐp thªm vµo khèi ®a diÖn ®· cho b»ng c¸c khèi ®a diÖn quen biÕt ®Ó ®­îc mét
 khèi ®a diÖn ®¬n gi¶n h¬n (Th«ng th­êng ®èi c¸c bµi to¸n thiÕt diÖn)
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 2 
LOẠI I: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 
Phương pháp: 
 Bước 1: Xác định và chỉ rõ chiều cao h của khối chóp. Tính h 
 Bước 2: Tính diện tích đáy và áp dụng công thức: 
1 .
3
V h S=chãp ®¸y 
I- BÀI TẬP MINH HỌA: 
Bài tập 1: Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC trong các trường hợp sau: 
 a) Cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 2a . 
 b) Cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc 060 . 
 c) Cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc 030 . 
Bài giải: 
 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì ( )SG ABC^ . Vậy SG là chiều cao của hình 
chóp S.ABC. 
a) TH: Cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 2a . 
* Tính SG: 
Xét SGAD vuông tại G: 
Ta có: 
2
2 2 2 2 .
3
SG SA AG SA AMæ ö= - = - ç ÷è ø
2
2
2 22 2 3 4 62 . 2
3 2 3 3
a a aa a
æ ö
= - = - =ç ÷
è ø
 . 
* Tính diện tích đáy: ( )2 23 2 3
4ABC
S a aD = = . 
Vậy 
3
21 1 6 2. . . 3
3 3 3 3ABC
a aV SG S aD= = =chãp (đ.v.t.t) 
b) TH: Cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc 060 . 
Do ( )SG ABC^ nên AG là hình chiếu của AS lên (ABC) 
Suy ra: Góc giữa SA và (ABC) là góc 0ˆ 60SAG = . 
* Tính SG: 
Xét SGAD vuông tại G: 
Ta có: 
02 2 3ˆ ˆtan .tan .tan 60 . . 3
3 3 2
SG aSAG SG AG SAG AM a
AG
= Û = = = = 
* Tính diện tích đáy: 
23
4ABC
aSD = . 
Vậy 
2 31 1 3 3. . .
3 3 4 12ABC
a aV SG S aD= = =chãp (đ.v.t.t) 
c) TH: Cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc 030 . 
Ta có: ( ) ( )ABC SBC BCÇ = . 
M
a 2
2a
G
S
A
B
C
C
B
A
S
G
a M
600
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 3 
Mặt khác: 
SM BC
AM BC
^ì
í ^î
 nên góc giữa (SBC) và (ABC) là góc 0ˆ 30SMG = . 
* Tính SG: 
Xét SGMD vuông tại G: 
Ta có: 
0
ˆtan
1 1 3 3ˆ. tan .tan 30 . .
3 3 2 3 6
SGSMG
GM
a aSG GM SMG AM
=
Û = = = =
* Tính diện tích đáy: 
23
4ABC
aSD = . 
Vậy 
2 31 1 3 3. . .
3 3 6 4 72ABC
a a aV SG SD= = =chãp (đ.v.t.t) 
Hoàn toàn tương tự, các em giải quyết bài tập: 
Bài tập: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD trong các trường hợp sau: 
 a) Cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 2a . 
 b) Cạnh đáy bằng a và cạnh bên hợp với đáy một góc 060 . 
 c) Cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc 030 . 
Lưu ý: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD là hình chóp có đáy là hình vuông ABCD tâm O và 
có chiều cao là SO. 
Bài tập 2: (Tốt nghiệp 2010 THPT) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông 
cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa mặt phẳng ( )SBD và mặt 
phẳng đáy là 060 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a . 
Bài giải: 
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Ta có: ( ) ( )ABCD SBD BDÇ = . 
Mặt khác: 
SO BD
AO BD
^ì
í ^î
 nên góc giữa (SBD) và (ABCD) là góc 0ˆ 60SOA = . 
* Tính SA: 
Xét SOAD vuông tại A: 
Ta có: 
0
ˆtan
2 2 6ˆ. tan .tan 60 . 3
2 2 2
SASOA
OA
a a aSA OA SOA
=
Û = = = =
* Tính diện tích đáy: 2ABCDS a= . 
Vậy 
3
21 1 6 6. . .
3 3 2 6ABCD
a aV SA S a= = =chãp (đ.v.t.t) 
300
Ma
G
S
A
B
C
a
O
600
D
S
A
B
C 
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 4 
Bài tập 3: (Tốt nghiệp 2011 THPT) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang 
vuông tại A và D với AD = CD = a, AB=3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh 
bên SC tạo với mặt đáy một góc 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
Bài giải: 
Do ( )SA ABCD^ nên AC là hình chiếu của SC lên (ABCD) 
Suy ra, góc giữa SC và (ABCD) là 0ˆ 45SCA = . 
* Tính SA: 
Tam giác ACD vuông cân tại D, cạnh AD DC a= = 
2AC aÞ = . 
Xét SACD vuông tại A: 
 0ˆ ˆtan .tan 2.tan 45 2SASCA SA AC SCA a a
AC
= Û = = = 
* Tính diện tích hình thang ABCD: 
Ta có: ( ) ( ) 23 2
2 2
AB CD AD a a a
S a
+ +
= = =ABCD 
Vậy 
3
2
.
1 1 2 2. 2.2
3 3 3S ABCD ABCD
aV SA S a a= = = (đ.v.t.t) 
Bây giờ, chúng ta sẽ giải quyết bài toán khó chịu một tí. 
Bài tập 4: (Tốt nghiệp 2009 THPT) Cho hình chóp S.ABC với mặt bên SBC là tam giác 
đều cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết 0ˆ 120BAC = , tính thể tích của 
khối chóp S.ABC theo a . 
Bài giải: 
Dễ thấy rằng: SAB SAC AB ACD = D Þ = . 
* Tính diện tích tam giác ABC: 
Cách 1: Đặt 0AB AC x= = > . 
Trong ABCD , áp dụng định lí cosin ta được: 
2 2 2
2 2 2 0 2
ˆ2 . .cos
2 cos120 3
33 3
3
BC AC AB AB AC BAC
x x x x
aBC x x a AB AC x
= + -
= + - =
Þ = Û = Û = = =
Suy ra: 
2 2 2
2 2 2 3
2 3 4 6
BC a a aAM AB BM AB æ ö= - = - = - =ç ÷è ø
Lúc đó: 
21 1 3 3. . .
2 2 6 12ABC
a aS AM BC aD = = = 
Cách 2: Xét tam giác ABM vuông tại M có: 
0
3ˆsin
ˆ 2.sin 60 3sin
BM BM a aBAM AB
AB BAM
= Û = = = 
Tiếp tục như trên. 
* Tính chiều cao SA: 
450
3a
a
a
S
A
C
B
D 
1200
M
S
A
B
C
a
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 5 
Ta có: 
2
2 2 2 6
3 3
a aSA SB AB a= - = - = . 
Vậy 
2 3
.
1 1 6 3 2. . .
3 3 3 12 36S ABC ABC
a a aV SA SD= = = (đ.v.t.t) 
Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a , BCD là tam giác vuông cân 
tại D, (ABC) ^ (BCD). Tính thể tích tứ diện ABCD. 
Bài giải: 
Gọi M là trung điểm của BC. 
Do 
( ) ( )
( ) ( )
ABC BCD
ABC BCD BC
ì ^ï
í Ç =ïî
 và AM BC^ nên ( )AM BCD^ 
nên AM là đường cao của tứ diện ABCD. 
* Tính AM: 3
2
aAM = 
* Tính diện tích SBDD : 
Ta có: 2 2 2 2 2 2 22
2
aDB DC BC DB BC a DB DC+ = Û = = Þ = = . 
Suy ra: 
21 .
2 4SBD
aS DC DBD = = . 
Vậy 
2 31 1 3 3. . .
3 3 2 4 24ABCD BCD
a a aV AM SD= = = (đ.v.t.t) 
Tương tự, các em giải quyết bài tập sau: 
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB đều cạnh a 
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD), biết (SAC) hợp với (ABCD) một góc 30o. 
Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC = 2BD = 2 a . Tam 
giác SAD vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích 
hình chóp S.ABCD. 
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AD = CD 
= a ; AB = 2 a , biết tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). 
Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 
Tiếp tục nâng cao thêm 1 tí nữa nhé? Thông qua bài tập sau: 
Bài tập 1: ( Trích Đề khối A- 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông 
cân tại B, 2AB BC a= = ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng 
(ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC tại N. 
Biết góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM. 
Bài giải: 
Nhận xét rằng: Do 
( ) ( )
( ) ( )
SAB ABC
SAC ABC
ì ^ï
í
^ïî
 và ( ) ( )SAB SAC SAÇ = nên ( )SA ABC^ . 
Vậy SA là đường cao của khối chóp S.BCNM. 
* Tính SA: 
M
D
A
B
C
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 6 
Dễ thấy: 
AB BC
SB BC
^ì
í ^î
 và ( ) ( )ABC SBC BCÇ = 
nên góc giữa ( )ABC và ( )SBC là góc 0ˆ 60SBA = . 
Xét SABD vuông tại A: 
0ˆ ˆtan .tan 2 .tan 60 2 3SASBA SA AB SIA a a
AB
= Û = = = . 
* Tính diện tích hình thang BMNC: 
Ta có: ( ) ( )
22 3
2 2 2BMNC
MN BC MB a a a aS
+ +
= = = 
Vậy 
2
3
.
1 1 3. .2 3. 3
3 3 2S BCNM BCD
aV SA S a aD= = = (đ.v.t.t) 
Cách khác: 
Với lập luận như trên, tính được 2 3SA a= 
Ta có: . . .
.
1 1. . .
4 4
A SMN
A SMN A SBC
A SBC
V AS AM AN AM AN V V
V AS AB AC AB AC
= = = Û = 
Tính 
3
2
.
1 1 1 1 1 4 3. . . . .2 3 . .4
3 3 2 3 2 3A SBC ABC
aV SA S SA AB BC a aD= = = = (đ.v.t.t) 
Suy ra: 
3 3
. .
1 1 4 3 3.
4 4 3 3A SMN A SBC
a aV V= = = (đ.v.t.t) 
Mặt khác: 
3 3
3
. . . . . .
4 3 3 3
3 3A SBC A SMN S BCNM S BCNM A SBC A SMN
a aV V V V V V a= + Û = - = - = (đ.v.t.t) 
Tương tự, các em giải quyết bài tập sau: 
Bài tập 1: ( Đề khối D- 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, 
3 , 4 BA a BC a= = ; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết 
2 3SB a= và 0ˆ 30 .SBC = Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ B đến 
mặt phẳng (SAC) theo a . 
II- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) 
cùng vuông góc với (SBC). Tính thể tích khối chóp. 
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy (ABC) là tam giác vuông cân tại B với AC = a , 
biết SA vuông góc với đáy (ABC) và SB hợp với đáy một góc 60o. 
a) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông. 
b) Tính thể tích khối chóp. 
Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc 
với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích khối chóp. 
Bài tập 4: Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, 5 , 6AB AC a BC a= = = và các 
cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó. 
Mở rộng: Thay giả thiết ABCD vuông cân tại A với AB a= hoặc ABCD đều cạnh a . 
Bài tập 5: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc nhọn A bằng 
60o và SA ^ (ABCD), biết rằng khoảng cách từ A đến cạnh SC bằng a . Tính thể tích khối 
chóp S.ABCD. 
600
N
M
S
A
B
C
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 7 
Bài tập 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a , 
AD = 2 a , SA ^ (ABCD) và (SCD) hợp với đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp 
S.ABCD. 
Bài tập 7: Cho hình chóp tam giác đều có đường cao h và mặt bên có góc ở đỉnh bằng 60 o. 
Tính thể tích hình chóp. 
Bài tập 8: Cho hình chóp tứ giác đều có mặt bên hợp với đáy một góc 45o và khoảng cách 
từ chân đường cao của chóp đến mặt bên bằng a . Tính thể tích hình chóp . 
MỘT SỐ ĐỀ THI 
Đề 1 (Đề Cục Khảo thí 2010) 
Xét hình chóp S.ABCD có SA SB SD DA AB BC CD a= = = = = = = . Biết thể tích 
của khối chóp S.ABCD bằng a
32
6
, tính độ dài cạnh bên SC theo a . 
Đề 2 (Đề Cục Khảo thí B, D- 2010) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông 
tại B, BC a= và AC a= 2 ; cạnh bên SA vuông góc với đáy và có độ dài a 3 . Gọi H là 
hình chiếu của A lên đường thẳng SB. Tính thể tích của khối tứ diện HABC theo a . 
Đề 3 (Đề Cục Khảo thí TN- 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông 
cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy 
bằng 300, tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a . 
Đề 4 (Tốt nghiệp 2007) Cho hình chóp tam giác S.ABC với đáy là tam giác vuông đỉnh B, 
cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA AB BC a= = = . Tính thể tích của khối chóp 
S.ABC. 
Đề 5 (Tốt nghiệp 2007_Lần II) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD là hình 
vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA AC= . Tính thể tích của khối 
chóp S.ABCD. 
Đề 6 (Tốt nghiệp 2008) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 
bằng 2a. Gọi I là trung điểm cạnh BC. 
a) Chứng minh SA vuông góc với BC. b)Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a . 
Đề 7 (Tốt nghiệp 2008_Lần II) 
 Cho hình chóp tam giác S.ABC với đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông 
góc với mặt phẳng ( )ABC . Biết , AB a BC a= = 3 và SA a= 3 . 
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a . 
b) Gọi I là trung điểm cạnh SC, tính độ dài cạnh BI theo a . 
Đề 8 (Tốt nghiệp 2009 GDTX) 
 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB a= và AC a= 3 ; 
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( )ABC và SA a= 2 . Tính thể tích của khối chóp 
S.ABC theo a . 
Đề 9 (Tốt nghiệp 2010 GDTX) 
 Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA SB SC SD= = = . 
Biết , AB a BC a= =3 4 và SAO = 045 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a . 
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 8 
LOẠI II: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 
Phương pháp: 
 Bước 1: Xác định và chỉ rõ chiều cao h của khối lăng trụ. Tính h 
 Bước 2: Tính diện tích đáy và áp dụng công thức: .l¨ng trô ®¸y V h S= 
Bài tập 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác vuông cân tại A có 
cạnh = 2BC a và biết ' 3A B a= . Tính thể tích khối lăng trụ. 
Bài giải: 
Do ABCD vuông cân tại A và = 2BC a nên .AB AC a= = 
* Tính chiều cao AA’: 
Xét 'BAAD vuông tại A: 
( )2 2 2 2' ' 9 2 2AA BA AB a a a= - = - = . 
* Tính diện tích đáy ABC: 
Ta có: 
21 .
2 2ABC
aS AB ACD = = . 
Vậy 
2 3
. ' ' '
1 2'. .2 2 .
3 2 3ABC A B C ABC
a aV AA S aD= = = (đ.v.t.t) 
Bài tập 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B với 
BA = BC = a , biết A'B hợp với đáy (ABC) một góc 600. Tính thể tích lăng trụ. 
Bài giải: 
Do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên ( )'AA ABC^ nên AB là hình 
chiếu vuông góc của A’B lên (ABC). 
Suy ra, góc giữa A’B và (ABC) là góc 0ˆ' 60A BA = . 
* Tính chiều cao AA’: 
Xét 'BAAD vuông tại A: 
0'ˆ ˆtan ' ' . tan ' .tan 60 3.AAA BA AA AB A BA a a
AB
= Û = = = . 
* Tính diện tích đáy ABC: 
Ta có: 
21 .
2 2ABC
aS BA BCD = = . 
Vậy 
2 3
. ' ' '
1 3'. . 3.
3 2 6ABC A B C ABC
a aV AA S aD= = = (đ.v.t.t) 
Chúng ta sẽ nâng mức độ lên nhé? 
Bài tập 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên 
là 3a và hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ. 
Bài giải: 
Nhận xét: Tất cả các cạnh bên của lăng trụ đềuhợp với đáy một góc bằng nhau. 
Gọi H là hình chiếu của C lên (A’B’C’). 
Lúc đó: CH là chiều cao của lăng trụ ABC.A’B’C’. 
Suy ra, góc giữa CC’ và (A’B’C’) là 0ˆ ' 60CC H = . 
3a
a 2
A'
C'
B'
A
B C
600 a
C'
B'
A'
A
C
B
a
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 9 
* Tính chiều cao CH: 
Xét 'CC HD vuông tại H: 
0
ˆsin '
'
3ˆ'.sin ' 3.sin 60 .
2
CHCC H
CC
aCH CC CC H a
=
Û = = =
* Tính diện tích đáy ABC: 
Ta có: 
23
4ABC
aSD = . 
Vậy 
2 3
. ' ' '
3 3 3 3. .
2 4 8ABC A B C ABC
a a aV CH SD= = = (đ.v.t.t) 
Và thêm một tí nữa. 
Bài tập 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a , cạnh bên hợp với 
đáy một góc 600. Hình chiếu của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính thể 
tích của khối lăng trụ đã cho. 
Bài giải: 
Gọi I là trung điểm của BC. Theo giả thiết, ( )'A I ABC^ suy ra góc giữa AA’ và (ABC) là 
0ˆ' 60A AI = và A’I là chiều cao của lăng trụ. 
* Tính chiều cao A’I: 
Xét 'A AID vuông tại I: 
0
'ˆtan '
3 3ˆ' . tan ' .tan 60 .
2 2
A IA AI
AI
a aA I AI A AI
=
Û = = =
* Tính diện tích đáy ABC: 
Ta có: 
23
4ABC
aSD = . 
Vậy 
2 3
. ' ' '
3 3 3 3. .
2 4 8ABC A B C ABC
a a aV CH SD= = = (đ.v.t.t) 
Bây giờ thử xem, đề thi Đại học có khó khăn gì không?.... 
Bài tập 5: (Trích Đề Khối B- 2011) Cho lăng trụ 1 1 1 1.ABCD A B C D có đáy ABCD là hình 
chữ nhật, , 3 AB a AD a= = . Hình chiếu vuông góc của điểm 1A lên (ABCD) trùng với 
giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng ( )1 1ADD A và (ABCD) bằng 060 . Tính 
thể tích khối lăng trụ 1 1 1 1.ABCD A B C D . 
Bài giải: 
Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là trung điểm của AD. 
Ta có: 1AO là chiều cao của lăng trụ 1 1 1 1. .ABCD A B C D 
Theo giả thiết: 
( )1
1
AO ABCD
AD A I
OI AD
ì ^ï Þ ^í
^ïî
600
H
a
a
a
CB
A
B'
C'
A'
a 3
a
A'
B'
C'
I
B
A C
a
600
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 10 
Ta có: ( ) ( )1 1ADD A ABCD ADÇ = (1) 
Theo chứng minh trên ta lại có: 
1
AD OI
AD A I
^ì
í ^î
 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra, góc giữa hai mặt phẳng 
 ( )1 1ADD A và (ABCD) là góc giữa OI và 1A I , 
tức là góc 01 ˆ 60A IO = . 
* Tính chiều cao 1 :AO 
Xét 1A IOD vuông tại O, ta có: 
 011 1 1
3ˆ ˆtan .tan .tan 60 .
2 2
AO a aA IO AO OI A IO
OI
= Û = = = 
* Tính diện tích đáy ABCD: 
Ta có: 2. 3ABCDS AB AD a= = . 
Vậy 
3
2
1
3 3. . 3
2 2l¨ng trô ABCD
a aV AO S a= = = (đ.v.t.t) 
II- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
Bài tập 1: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD = 
60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30o . Tính thể tích của hình hộp. 
Bài tập 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C 
hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30o. Tính thể tích lăng trụ. 
Bài tập 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng 
(A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 .Tính thể tích lăng trụ. 
Bài tập 4: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và BD' = a . 
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 
a) BD' hợp với đáy (ABCD) một góc 60o . 
b) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30o . 
Bài tập 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại B với 
BA = BC = a , biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600. Tính thể tích lăng trụ. 
Bài tập 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a . Tính thể 
tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 
a) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o. 
b) A'B hợp với đáy (ABC) một góc 45o. 
c) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ. 
Bài tập 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2 a .Tính thể tích 
lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 
a) Mặt (ACD') hợp với đáy (ABCD) một góc 45o. 
b) BD' hợp với đáy (ABCD) một góc 600. 
c) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a . 
Bài tập 8: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh a . Tính thể tích 
lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 
a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o . 
b) Tam giác BDC' là tam giác đều. 
c) AC' hợp với đáy (ABCD) một góc 450 
I
O
D1
A1 B1
C1
D
600
BA
C
Chuyên đề THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 11 
Bài tập 9: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a và góc A = 600. 
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây: 
a) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc 60o. 
b) Khoảng cách từ C đến (BDC') bằng 
2
a . 
c) AC' hợp với đáy (ABCD) một góc 450. 
Bài tập 10: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có BD' = 5 a , BD = 3 a . Tính thể tích 
khối hộp trong các trường hợp sau đây: 
a) AB = a . 
b) BD' hợp với (AA'D'D) một góc 30o 
c) (ABD') hợp với đáy (ABCD) một góc 300 
Bài tập 11: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên 
là 3a và hợp với đáy ABC một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ. 
Bài tập 12: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a và điểm A' 
cách đều A, B, C biết AA' = 2 3
3
a . Tính thể tích lăng trụ. 
Bài tập 13: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu 
trên (ABC) nằm trên đường cao AH của tam giác ABC biết mặt bên (BB'C'C) hợp với đáy 
(ABC) một góc 60o. 
a) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật. 
b) Tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C'. 
Bài tập 14: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều tâm O. Cạnh CC' = a hợp với 
đáy (ABC) một góc 60o và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O . 
a) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật. Tính diện tích AA'B'B. 
b) Tính thể tích lăng trụ ABC.A'B'C'. 
Bài tập 15: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông 
góc hạ từ A' trên (ABC) trùng với trung điểm của BC và AA' = a . 
a) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ. 
b) Tính thể tích lăng trụ. 
Bài tập 16: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD.A'B'C'D' cã AB=a, BC=2a, AA'=a. LÊy ®iÓm M 
trªn c¹nh AD sao cho AM=3MD.
 a) TÝnh thÓ tÝch khèi chãp M.AB'C.
 b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn mp(AB'C).