Chuyên đề tham luận Số phức

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO VĨNH LONG
TRƯỜNG THPT PHẠM HÙNG
Năm học: 2009 – 2010
A. SỐ PHỨC. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC.
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn . 
Kí hiệu 
· i: đơn vị ảo, 	· a: phần thực, 	· b: phần ảo.
Chú ý:
 được gọi là số thực 
 được gọi là số ảo 
 vừa là số thực vừa là số ảo
Biểu diễn hình học của số phức: M(a;b) biểu diễn cho số phức z Û z = a + bi
2. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức và với 
3. Cộng và trừ số phức. Cho hai số phức và với 
Số đối của z = a + bi là –z = – a – bi (a, b 
4. Nhân hai số phức. Cho hai số phức và với 
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là 
z là số thực ; z là số ảo 
6. Môđun của số phức z = a + bi 
7. Chia hai số phức.
Số phức nghịch đảo của z (z: 
Thương của z’ chia cho z (z: 
Với z, 
II. CÁC DẠNG TOÁN
Bài toán 1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau:
a. ; 	b. ; 	c. 
Giải.
a. 
Phần thực a = 14; Phần ảo b = ; môđun 
b. 
Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun 
c. 
Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau:
 (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i)
 (2 + i)3 – (3 – i)3
(1 + i)2 – (1 – i)2
(2 + i)3 – (3 – i)3
( 1- 2 i ) + 
2. Tính 
2i(3 + i)(2 + 4i)
3 + 2i + (6 + i)(5 + i)
(2 – i)4
(3 – 2i)(2 – 3i)
(2 + 3i)2
(2 – 3i)3
+ (5 – i)2
Bài toán 2. Tính 
Giải.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tính.
Bài toán 3. Tìm các số thực x và y biết 
Giải.
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tìm các số thực x và y biết:
(2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i
(2 – x) – i = + (3 – y) i
(3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y – 5) i
(2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) – (y – 4) i
Bài toán 4. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
a. ; 	b. 
Giải. Đặt , khi đó:
a. 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng 
b. 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm I(-3;0) và bán kính bằng 1
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
2|z – i| = 
z + 2 = 2 – 4i
 = 1 
 = 
 và = 25
 1
=1 và phần ảo của z =1
1<2
phần thực của z thuộc đọan [0;1], phần ảo của z thuộc đoạn [-1;2]
B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Căn bậc hai của số phức 
 có một căn bậc hai là 0
 là số thực dương có 2 căn bậc 2 là 
 là số thực âm có 2 căn bậc hai là 
z = x + yi là số phức có căn bậc 2 là w = a + bi sao cho 
 (a, b, x, y
2. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số thực cho trước, A ).
Tính 
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
: Phương trình có 1 nghiệm kép là 
3. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A ).
Tính 
: Phương trình có hai nghiệm phân biệt , 
( là 1 căn bậc hai của 
: Phương trình có 1 nghiệm kép là 
II. CÁC DẠNG TOÁN.
Bài toán 1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
a. ;	 b. (NC)
Giải.
a. Hai căn bậc hai của là 
b. Gọi là căn bậc hai của , ta có:
Vậy có hai căn bậc hai là và 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
8;3; ; ; -I; -2i; 2i; 4i
2. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: (NC)
; ; ; ; 3+4i; 5 – 12i
Bài toán 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a. ; 	b. 
Giải.
a. 
b. 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Giải các phương trình sau trên tập số phức:
2iz + 1 – i = 0
(1 – i )z + 2 – i = 2z + i
( iz –1 )( z + 3i )( – 2 + 3i) = 0 
( 2 i) – 4 = 0 
(1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z
(3 + 4i)z =(1 + 2i)( 4 + i)
(1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i) 
(3 – 2i)z + (6 – 4i)= 5 – i
(3 + 4i)z + (1 – 3i)=2 + 5i.
Bài toán 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC)
	a. ; 	b. 
Giải.
a. 
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
b. 
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
z4–8 = 0
x3 – 1 = 0	
z3 + 1 = 0
z4 + 4 = 0 
5z2 – 7z + 11 = 0
z2 - 2z + 7 = 0
z3 – 8 = 0
z2 + z +7 = 0 
z2 – z + 1 = 0
z2 + 2z + 5 = 0
8z2 – 4z + 1 = 0
x2 + 7 = 0
x2 – 3x + 3 = 0
x2 –5x +7=0 	 
x2 –4x + 11 = 0
z2 – 3z + 11 = 0 
2. Giải phương trình sau trên trường số phức
z4 – 5z2 – 6 = 0 	
z4 +7z2 – 8 = 0
z4 – 8z2 – 9 = 0
z4 + 6z2 + 25 = 0
z4 + 4z – 77 = 0
8z4 + 8z3 = z + 1
z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0
z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0
Bài toán 4. Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC)
	a. ; 	b. 
Giải.
a. 
Gọi là một căn bậc hai của , ta có 
Do , phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
b. 
Gọi là một căn bậc hai của , ta có 
Do , phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. (NC)
1. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0
(z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 0
2z2 – iz + 1 = 0
z2 + (-2 + i)z – 2i = 0
z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0
z2 + ( 1 – 3 i)z – 2(1 + i) = 0
( 1 – i)x2 – 2x – (11 + 3i) = 0
( 1 + i)x2 – 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0 
z2 + 18z + 1681 = 0
2. Giải các hệ phương trình :
C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. (NC)
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Dạng lượng giác của số phức.
z = (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b 
 là môđun của z
 là một acgumen của z thỏa 
2. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z = r(costhì :
3. Công thức Moa-vrơ : thì 
Nhân xét: 
4. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Căn bậc hai của số phức z = r(cos (r > 0) là 
 và 
II. CÁC DẠNG TOÁN.
Bài toán 1. Viết dạng lượng giác của các số phức sau:
	a. ; 	b. 
Giải.
a. 
Mô đun 
Gọi là một acgumen của z ta có 
Dạng lượng giác 
b. 
Mô đun 
Gọi là một acgumen của z ta có 
Dạng lượng giác 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: 
4 – 4i
1 – 
2. Thực hiện phép tính 
5
3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o) 
3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: 
1 + i
z = 
Bài toán 2. Tính:
	a. ; 	b. 
Giải.
a. 
b. 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
Tính :
[)]7
(cos12o + isin12o)5 
Bài toán 3. Tìm căn bậc hai của các số phức sau:
	a. ; 	b. 
Giải.
a. 
Dạng lượng giác: 
Hai căn bậc hai của z là và
b. 
Dạng lượng giác 
Hai căn bậc hai của z là và 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 
Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
–1 + 4
4 + 6
–1 – 2
1+i
( - i)6