Chuyên đề Tam thức bậc hai

Chuyên đề tam thức bậc hai
Phương trình bậc 2, định lý Viet:
Giải và biện luận các phương trình sau:
m2x2 – m(5m + 1)x – 5m - 2 = 0.
(m - 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.
 + = 2.
Giải các phương trình sau:
(1 - )x2 - 2(1 + )x + 1 + 3 = 0.
 + = 3( - ).
(a + b)2x2 – (a - b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = 0, (a + b 0).
x2 – 2sina.sinb.x + sin2a + sin2b – 1 = 0.
CMR các phương trình sau luôn có nghiệm " a, b, c ẻ R:
(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0. 
ab(x - a)(x - b) + bc(x - b)(x - c) + ca(x - c)(x - a) = 0.
Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau:
x3 – m(x - 1) - 1 = 0.
x3 – m(x + 2) + 8 = 0.
Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 (a0) có 2 nghiệm x1, x2. Hãy tính các biểu thức sau theo a, b, c:
A = x12 + x22.
B = x13 + x23.
C = x14 + x24.
D = x16 + x26.
E = x2x13 + x1x23.
F = | x1 – x2 |.
G = + .
H = + .
Tìm m sao cho các phương trình sau thoả mãn: 
Pt: x2–mx+m2 –m–3 = 0 có nghiệm t/m: x12 + x22 = 4.
Pt: x2–(m+2)x+m2+1 = 0 có nghiệm t/m: x12 + x22 = 3x1x2.
Pt: 3x2+4(m-1)x+m2–4m+1 = 0 có nghiệm t/m: + =(x1+x2).
Pt: x2 +mx+1 = 0 có nghiệm t/m: + > 7.
Pt: x2–(2m+1)x+m2 +1 = 0 có nghiệm x1, x2 t/m: x1 = 2x2 .
Pt: x2–3,75x+m2 = 0 có nghiệm x1, x2 t/m: x1 = x22 .
Pt: mx2–2(m-1)x+3(m-2) = 0 có nghiệm x1, x2 t/m: x1 + 2x2 = 1.
Cho phương trình: (m – 2)x2 - 2mx + m + 1 = 0 (1). Tìm m để:
Phương trình có 2 nghiệm là 2 số đối nhau.
Phương trình có 2 nghiệm trái dấu sao cho nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt.
Phương trình chỉ có một nghiệm dương.
Cho phương trình: 2x2 + (2m - 1)x + m – 1 = 0 (1)
Tìm m để (1) có 2 nghiệm x1, x2 t/m: 3x1 – 4x2 = 11.
CMR phương trình (1) không thể có 2 nghiệm dương.
Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc m.
Bất phương trình bậc 2, định lý thuận:
Giải các bất phương trình sau:
2x2 – 5x + 3 < 0.
x2 - 4x – 5 ³ 0.
x2 + 3x – 4 ³ 0.
x3 – 6x2 + 5x +12 0. 
4x2 - 4x + 1 0.
x2 – (m + 2)x + m + 1 0.
Giải và biện luận các bất phương trình sau:
ax2 + (a + 1)x + 1 >0
(m - 1)x2 – 2(m + 1)x + m + 3 > 0
4(m + 2)x2 – 2(m - 1)x + m - 1 < 0
Giải các hệ bất phương trình sau:
Tìm m để:
(m2 + 2m)x2 + 2(m + 2)x – 3 ³ 0, " x ẻ R.
mx2 + 4x + m > 0, " x ẻ R.
mx2 - mx – 5 < 0, " x ẻ R.
> 0, " x ẻ R.
Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
(m + 1)x2 - 2mx – m + 3 < 0.
(m + 1)x2 – 2(m – 1)x +3m - 3 < 0.
(m + 1)x2 – 2(m – 1)x +3m - 3 ³ 0.
Tìm a để hệ phương trình sau vô nghiệm: 
Cho hệ phương trình: 
Tìm a để hệ bất phương trình có nghiệm.
Tìm a để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất.
CMR:	a. x2 + 2xy + 3y2 +2x + 6y + 3 ³ 0 " x, y ẻ R.
b. x2y4 – 4xy3 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ³ 0 " x, y ẻ R.
Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 + 10 = 0. Hãy tìm GTLN, GTNN của S = x + y + 1.
Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: (x2 - y2 +1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0. Hãy tìm GTLN, GTNN của S = x2 + y2 .
Định lý đảo: 
So sánh số –2 với các nghiệm của các phương trình bậc 2 sau:
2x2 – 9x – 15 = 0.
x2 + (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
mx2 + (m-2)x – 3m – 4 = 0.
Cho phương trình bậc 2: x2 – 2(m + 1)x + 5m – 1 = 0 (1). Hãy so sánh các nghiệm của (1) với số 1 khi m thay đổi.
Cho phương trình bậc 2: x2 – mx + 3m – 8 = 0 (1). Hãy so sánh các nghiệm của (1) với số 4 khi m thay đổi.
Cho phương trình: (3 – m)x2 + 2mx + m + 2 = 0 (1). Tìm m để:
Tìm m để (1) có 2 nghiệm < 1.
Tìm m để (1) có 1 nghiệm ẻ (-1; 3) còn nghiệm kia > 3.
Tìm a để phương trình: (a + 1)x2 – 8(a + 1)x + 6a = 0 có đúng một nghiệm ẻ (0; 1).
Tìm m để phương trình: (m-3)log20,5(x-4) – (2m+1)log0,5(x-4) + m + 2 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 t/m: 4 < x1 < x2 < 6.
Tìm m để phương trình: = mtg2x có nghiệm.
Tìm m để phương trình: + 3tg2x + m(tgx + cotgx) – 1 = 0 có nghiệm. 
Cho phương trình: x2 – (a + 2)x + 5a + 1 = 0. Tìm a sao cho:
Phương trình có một nghiệm lớn hơn 1.
Phương trình chỉ có một nghiệm lớn hơn 1.
Phương trình có nghiệm ẻ (-1; 1).
Tìm m để: f(x) = x2 – (m+2)x + m2 +1 > 0 " x > 1.
Tìm m để: f(x) = (m-2)x2 – 3(m-6)x – m - 1 < 0 " x ẻ (-1; 0).
Giải và biện luận các bất phương trình sau:
 > 1.
2x - m > m – 1.
| x2 – 2x – m | | x2 – 3x – m |
Biện luận số nghiệm của các phương trình sau: 
x4 – 5x2 + 6 – m = 0.
x4 + mx3 + x2 + mx + 1 = 0
x2 = 2(m-1) - 5m.
(m-1)Sin2x–2(m+1)Cosx+2m–1= 0.
Tìm a để bất phương trình: + 2(2a + 1)+ 4a2 – 3 < 0 đúng " x.
Tìm a để bất phương trình: Sin3x + mSin2x + 3Sinx ³ 0 đúng " x t/m: 0 x .
Hệ phương trình bậc 2:
Giải các hệ phương trình sau:
Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai:
Hệ đối xứng loại 1:
Hệ đẳng cấp bậc 2:
Hệ đối xứng loại 2:
Các hệ phương trình khác:
Giải các phương trình sau:
x2 + = 5
x3 + 1 = 2
x3 - 3=2
x3 - 1 =