Chuyên đề Tâm, điểm và trục đối xứng

Chuyªn ®Ò: “ T¢M, §IÓM & TRôC §èI XøNG ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 1 
TÂM, ðIỂM & TRỤC ðỐI XỨNG 
A. LÝ THUYẾT 
I. HÀM SỐ LẺ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
1. ðịnh nghĩa: Hàm số ( )y f x= ñược gọi là hàm số lẻ trên K nếu: 
 + x K∀ ∈ thì x K− ∈ (có nghĩa K ñối xứng qua 0) 
 + ( ) ( ) f x f x x K− = − ∀ ∈ 
• Tính chất: Nếu ( )y f x= là hàm số lẻ thì ñồ thị của hàm số ( )y f x= ñối xứng qua góc toạ ñộ 
O(0;0) hay ñồ thị hàm số ( )y f x= nhận O(0;0) làm tâm ñối xứng. 
2. Các bài toán liên quan 
Bài toán 1: CMR ñồ thị hàm số ( )y f x= nhận ñiểm I(a;b) làm tâm ñối xứng. 
• Phương pháp 1: ðồ thị hàm số ( )y f x= nhận ñiểm I(a;b) làm tâm ñối xứng 
 ⇔ ( ) ( )2 2 = − − ∀ ∈b f a x f x x D 
• Phương pháp 2: 
 Bước 1: Tịnh tiến hệ toạ ñộ Oxy theo ( ; )OI a b=



thành hệ toạ ñộ IXY, với phép biến ñổi toạ ñộ: 
x X a
y Y b
= +

= +
 Bước 2: Viết phương trình hàm số ( )y f x= trong hệ toạ ñộ IXY: 
 ( ) ( )Y b f X a Y F X+ = + ⇔ = 
 Bước 3: CM hàm số Y=F(X) là hàm số lẻ 
 Bước 4: Kết luận: Vậy ñồ thị hàm số ( )y f x= nhận ñiểm I(a;b) là tâm ñối xứng. 
Chú ý: - ðồ thị hàm số 3 2 ( 0)y ax bx cx d a= + + + ≠ nhận ñiểm uốn làm tâm ñối xứng. 
 - ðồ thị hàm số: ax by
cx d
+
=
+
, 
2ax bx cy
px q
+ +
=
+
 nhận giao ñiểm của 2 ñường tiệm cận làm 
tâm ñối xứng. 
Bài toán 2: Tìm ñiều kiện của tham số ñể ñồ thị hàm số ( )y f x= nhận ñiểm I(a;b) là tâm ñối xứng. 
• Phương pháp: 
 Bước 1: Tịnh tiến hệ toạ ñộ Oxy theo ( ; )OI a b=



thành hệ toạ ñộ IXY, với phép biến ñổi toạ ñộ: 
x X a
y Y b
= +

= +
 Bước 2: Viết phương trình hàm số ( )y f x= trong hệ toạ ñộ IXY: 
 ( ) ( )Y b f X a Y F X+ = + ⇔ = 
Chuyªn ®Ò: “ T¢M, §IÓM & TRôC §èI XøNG ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 2 
 Bước 3: ðồ thị hàm số nhận ñiểm I(a;b) làm tâm ñối xứng ⇔ Y=F(X) là hàm số lẻ ⇒ tham số 
Bài toán 3: Tìm 2 ñiểm A, B thuộc ñồ thị hàm số ( )y f x= ñối xứng qua ñiểm I(a;b). 
• Phương pháp: 
 Bước 1: Lấy 2 ñiểm ( ; ( ))A AA x f x , ( ; ( ))B BB x f x thuộc ñồ thị hàm số 
 Bước 2: Hai ñiểm A, B ñối xứng nhau qua I(a;b) 2( ) ( ) 2
A B
A B
x x a
f x f x b
+ =
⇔ 
+ =
 ⇒ toạ ñộ A và B 
 Bước 3: Kết luận. 
Bài toán 4: Tìm ñường cong ñối xứng với (C): ( )y f x= qua ñiểm I(a;b). 
• Phương pháp: 
 Bước 1: Gọi (H) là ñường cong ñối xứng với (C): ( )y f x= qua ñiểm I(a;b). 
 Bước 2: Khi ñó, với mỗi M(x;y)∈(H) thì ∃M’(x’;y’)∈(C) ñối xứng với M qua I(a;b) 
' ( ')
' 2 (*)
' 2
y f x
x x a
y y b
=

⇔ + =
 + =
 Bước 3: Khử x’, y’ từ HPT (*) , ta ñược phương trình ñường cong (H). 
II. HÀM SỐ CHẲN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
1. ðịnh nghĩa: Hàm số ( )y f x= ñược gọi là hàm số chẳn trên K nếu: 
 + x K∀ ∈ thì x K− ∈ (có nghĩa K ñối xứng qua 0) 
 + ( ) ( ) f x f x x K− = ∀ ∈ 
• Tính chất: Nếu ( )y f x= là hàm số chẳn thì ñồ thị của hàm số ( )y f x= ñối xứng qua trục Oy 
hay ñồ thị hàm số ( )y f x= nhận trục Oy làm trục ñối xứng. 
2. Các bài toán liên quan 
Bài toán 1: CMR ñồ thị hàm số ( )y f x= nhận ñường thẳng x a= làm trục ñối xứng. 
• Phương pháp 1: ðồ thị hàm số ( )y f x= nhận ñường thẳng x a= làm trục ñối xứng 
 ⇔ ( ) ( ) f a x f a x x D+ = − ∀ ∈ 
• Phương pháp 2: 
 Bước 1: Tịnh tiến hệ toạ ñộ Oxy theo ( ;0)OI a=



thành hệ toạ ñộ IXY, với phép biến ñổi toạ ñộ: 
x X a
y Y
= +

=
 Bước 2: Viết phương trình hàm số ( )y f x= trong hệ toạ ñộ IXY: 
Chuyªn ®Ò: “ T¢M, §IÓM & TRôC §èI XøNG ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 3 
 ( ) ( )Y f X a Y F X= + ⇔ = 
 Bước 3: CM hàm số Y=F(X) là hàm số chẳn 
 Bước 4: Kết luận: Vậy ñồ thị hàm số ( )y f x= nhận ñường thẳng x a= là trục ñối xứng. 
Chú ý: - ðồ thị hàm số 4 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ là hàm số chẳn nên nhận trục Oy làm trục ñối xứng. 
 - ðồ thị hàm số: 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ nhận ñường thẳng 
2
b
x
a
= − làm trục ñối xứng. 
Bài toán 2: Tìm ñiều kiện của tham số ñể ñồ thị hàm số ( )y f x= nhận ñường thẳng x a= là trục ñối 
xứng. 
• Phương pháp: 
 Bước 1: Tịnh tiến hệ toạ ñộ Oxy theo ( ;0)OI a=



 thành hệ toạ ñộ IXY, với phép biến ñổi toạ ñộ: 
x X a
y Y
= +

=
 Bước 2: Viết phương trình hàm số ( )y f x= trong hệ toạ ñộ IXY: 
 ( ) ( )Y f X a Y F X= + ⇔ = 
 Bước 3: ðồ thị hàm số nhận ñt x a= làm trục ñối xứng ⇔ Y=F(X) là hàm số chẳm ⇒ tham số 
Bài toán 3: CMR ñường thẳng (d): y ax b= + là trục ñối xứng của ñồ thị (C) của hàm số ( )y f x= . 
• Phương pháp: 
 Bước 1: Gọi (∆) ⊥ (d): y ax b= + ⇒ phường trình của (∆): 1y x m
a
= − + 
 Bước 2: Giả sử (∆) cắt (C) tại 2 ñiểm A, B. Khi ñó hoành ñộ của A, B là nghiệm của phương trình: 
1 1( ) ( ) 0f x x m f x x m
a a
= − + ⇔ + − = 
 Sử dụng hệ thức Viet ta tìm ñược: 
.
A B
A B
x x
x x
+


 Bước 3: Gọi I là trung ñiểm của AB, ta có: 2
1
A B
I
I I
x x
x
y x m
a
+
=


= − +

 Thay toạ ñộ của I vào (d)⇒ nhận xét I∈(d) 
 Bước 4: Kết luận, ñường thẳng (d): y ax b= + là trục ñối xứng. 
Chuyªn ®Ò: “ T¢M, §IÓM & TRôC §èI XøNG ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 4 
Bài toán 4: Tìm 2 ñiểm A, B thuộc ñồ thị hàm số ( )y f x= ñối xứng qua ñường thẳng (d): y ax b= + 
• Phương pháp: 
 Bước 1: Tìm miền xác ñịnh D của hàm số ( )y f x= . 
 Bước 2: Gọi (∆) ⊥ (d): y ax b= + ⇒ phường trình của (∆): 1y x m
a
= − + 
 Bước 3: Giả sử (∆) cắt (C) tại 2 ñiểm A, B. Khi ñó hoành ñộ của A, B là nghiệm của phương trình: 
1 1( ) ( ) 0f x x m f x x m
a a
= − + ⇔ + − = (*) 
 ðể tồn tại A, B thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt thuộc D ⇒ tham số 
 Sử dụng hệ thức Viet ta tìm ñược: 
.
A B
A B
x x
x x
+


 Bước 3: Gọi I là trung ñiểm của AB, ta có: 2
1
A B
I
I I
x x
x
y x m
a
+
=


= − +

 - Hai ñiểm A, B ñối xứng qua (d)⇔ I∈(d) ⇔ m 
 - Thay m vào (*) ta ñược hoành ñộ của A, B là: xA, xB 
 Khi ñó: 1( ; )A AA x x m
a
− + và 1( ; )B BB x x m
a
− + 
Bài toán 5: Tìm ñường cong ñối xứng với (C): ( )y f x= qua ñường thẳng (d): y a= 
• Phương pháp: 
 Bước 1: Gọi (H) là ñường cong ñối xứng với (C): ( )y f x= qua ñường thẳng (d): y a= 
 Bước 2: Khi ñó, với mỗi M(x;y)∈(H) thì ∃M’(x’;y’)∈(C) ñối xứng với M qua (d) 
' ( ')
' (*)
' 2
y f x
x x
y y a
=

⇔ =
 + =
 Bước 3: Khử x’, y’ từ HPT (*) , ta ñược phương trình ñường cong (H). 
B. BÀI TẬP 
Bài 1: Tìm tâm ñối xứng của ñồ thị các hàm số sau ñây: 
 a. y = 1
3
x
3
 - x
2
 – 3x - 5
3
 b. y = 3 21 22
3 3
x x x− + − − 
Bài 2: Tìm tâm ñối xứng của ñồ thị các hàm số sau ñây: 
 a. y = 2
2 1
x
x
−
+
 b. y = 2 1
1 3
x
x
+
−
 c. y = 1 2
2 4
x
x
−
−
Chuyªn ®Ò: “ T¢M, §IÓM & TRôC §èI XøNG ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 5 
Bài 3: Tìm tâm ñối xứng của ñồ thị các hàm số sau ñây: 
 a. y = 
22 5 4
2
x x
x
+ +
+
 b. y = 
2 3 3
2 2
x x
x
− +
−
 c. y = 
2 5 15
3
x x
x
+ +
+
Bài 4: Tìm trên ñồ thị hai ñiểm phân biệt ñối xứng với nhau qua gốc tọa ñộ O. 
a.y= 2
8
x
x
−
−
 b. y = 2 3
1
x
x
+
+
 c. y = 
2 2
3
x x
x
− −
−
Bài 5: Tìm m ñể trên ñồ thị có hai ñiểm phân biệt ñối xứng với nhau qua gốc tọa ñộ O 
 a. y = 3 21 12 2
3 3
x mx x m+ − − − b. y = x3 - 3x2 + m 
 c. 3 22 (2 ) 1y x m x= − + + d. 4923 +++= xmxxy 
 e. 
22 2 2
2 3
x x my
x
+ + +
=
+
 f. 
2 2 22
1
x m x my
x
+ +
=
+
Bài 6: Cho hàm số 
1
22
−
++
=
x
xx
y có ñồ thị ( C).Tìm tất cả các cặp ñiểm ñối xứng nhau qua ñiểm )
2
5
;0(I . 
Bài 7: Cho hàm số : y = 
2 2 3
1
x x
x
− +
+
 Tìm một hàm số y = f(x) ñối xứng với ñồ thị hàm số ñã cho qua ñiểm I(-2 ; 1) 
Bài 8: Cho hàm số 2223 1)1(33 mxmmxxy −+−+−= có ñồ thị (Cm) 
 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị khi m = 2. 
 b) Xác ñịnh m ñể trên ñồâ thị (Cm) có một cặp ñiểm ñối xứng nhau qua gốc tọa ñộ. 
Bài 9: Cho hàm số ( )3 2 1y x ax bx c= + + + . 
 Xác ñịnh a, b, c ñể ñồ thị hàm số (1) có tâm ñối xứng là I(0;1) và ñi qua ñiểm M(1;−1). 
Bài 10: Cho hàm số : y = 2x3 - 3x2 + 6x - 4 
 Tìm một hàm số y = f(x) có ñồ thị ñối xứng với ñồ thị hàm số ñã cho qua gốc tọa ñộ. 
Bài 11: Tìm trên ñồ thị hai ñiểm phân biệt ñối xứng với nhau qua trục tung: 
 a. y = 2x3 – 9x2 – 12x + 1 b. y = 3 21 113
3 3
x x x− + + − 
Bài 12: Cho hàm số : y = 1
1
x
x
−
+
 Chứng minh ñồ thị hàm số nhận ñường thẳng y = x + 2 là trục ñối xứng 
Bài 13: Tìm trên ñồ thị hai ñiểm phân biệt ñối xứng với nhau qua ñường thẳng y = x 
a. y = 
2 2
2
x x
x
+ −
−
 b. y = 
2 4 3
2
x x
x
− +
−
Bài 14: Cho hàm số: y = 
2
1
x
x +
 Tìm trên ñồ thị hai ñiểm phân biệt ñối xứng với nhau qua ñường thẳng y = x + 1 
Chuyªn ®Ò: “ T¢M, §IÓM & TRôC §èI XøNG ” 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn Page 6 
Bài 15: Cho hàm số
1
2
−
=
x
x
y có ñồ thị ( C). Tìm hai ñiểm A, B ñối xứng nhau qua ñt: y = x-1. 
Bài 16: Tìm trên ñồ thị 
22
432
−
+−
=
x
xx
y hai ñiểm ñối xứng nhau qua ñt y = x. 
Bài 17: Cho hàm số 1)1(6)12(32 23 ++++−= xmmxmxy có ñồ thị (Cm). 
Với giá trị nào của m thì ñồ thị có hai ñiểm ñối xứng qua ñường thẳng y = x + 2. 
Bài 18: Cho hàm số
1
1)2(2
+
++−+
=
x
mxmx
y . 
 a) Tìm m ñể trên ñồ thị có hai ñiểm phân biệt A, B sao cho: 5xA-yA+3=0; 5xB-yB+3=0 
 b) Tìm m ñể trên ñồ thị có hai ñiểm phân biệt A, B ñối xứng qua ñt: x +5y +9 =0 
Bài 19: Cho hàm số 1)1(6)12(32 23 ++++−= xmmxmxy có ñồ thị (Cm). 
 Với giá trị nào của m thì ñồ thị có hai ñiểm ñối xứng qua ñường thẳng y = x + 2. 
Bài 20: Cho y = x4 +(m + 3)x3 + 2(m +1)x2. Với giá trị nào của m thì ñồ thị có trục ñối xứng. 
Bài 21: Cho hàm số: y = x4 – 4x3 + 12x – 1 
a. Tìm trục ñối xứng (song song với Oy) của ñồ thị hàm số 
b. Tìm hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị với trục hoành. 
Bài 22: Cho hàm số : y = x4 + 8x3 + 32x + 14 
a. Tìm trục ñối xứng (song song với Oy) của ñồ thị hàm số 
b. Tìm hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị với trục hoành. 
Bài 23: Cho hàm số : y = x4 – 4x3 + 8x 
a. Tìm trục ñối xứng (song song với Oy) của ñồ thị hàm số 
b. Xác ñịnh hoành ñộ giao ñiểm của ñồ thị với ñường thẳng y = 3 
Bài 24: Cho hàm số 
2 2 2
1
x xy
x
− +
=
−
 (C) và 1: d y x m= − + ; 2: 3d y x= + 
 Tìm tất cả giá trị của m ñể (C)cắt (d1) tại 2 ñiểm phân biệt A, B ñối xứng nhau qua (d2). 
Bài 25: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1) 
 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1). 
 b) Chứng minh rằng mọi ñường thẳng ñi qua ñiểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) ñều cắt ñồ thị 
của hàm số (1) tại ba ñiểm phân biệt I, A, B ñồng thời I là trung ñiểm của ñoạn thẳng AB.