Loại 1. Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
A. Nguyên tắc chung
* Để giải chứng minh hai đường thẳng vuông góc , ta có thể làm như sau:
+) Phương pháp 1: Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng chứa đường
thẳng kia.
Sự vuông góc Mục lục Loại 1. Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ............................................................. 1 A. Nguyên tắc chung ..................................................... 1 B. Một số ví dụ ............................................................. 3 C. Bài tập ...................................................................... 9 Loại 2. Hai mặt phẳng vuông góc ................................... 13 A. Nguyên tắc chung ................................................... 13 B. Một số ví dụ ........................................................... 14 C. Bài tập .................................................................... 18 Bản quyền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84 Từ khóa : pham hong phong, su vuong goc THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 1 Loại 1. Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng A. Nguyên tắc chung * Để giải chứng minh hai đường thẳng vuông góc , ta có thể làm như sau: +) Phương pháp 1: Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia. a P b P a b . +) Phương pháp 2 (Sử dụng định lý ba đường vuông góc): Giả sử b' là hình chiếu vuông góc của b lên P , a P . Khi đó a b a b ' . +) Phương pháp 3(Sử dụng mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc): b'/ /b a b ' a b . * Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, ta có thể làm như sau +) Phương pháp 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng. a b a c b P c P b c vaø caét nhau a P . +) Phương pháp 2: (Sử dụng mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc): a / / Q Q / / P a P , THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 2 a / /a' a' P a P . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 3 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Biết đáy ABC là tam giác vuông tại B . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và SC . Chứng minh MN AB . Giải * SA ABC , BC ABC BC SA 1 . Mặt khác theo giả thiết: BC AB 2 . Từ 1 , 2 suy ra: BC SAB BC SB , nói cách khác SBC vuông tại B 12NB SC 3 (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền). * SA ABC , AC ABC AC SA , nói cách khác SAC vuông tại A 1 2NA SC 4 (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền). * Từ (3), (4) suy ra NA NB NAB cân tại N nên trung tuyến MN đồng thời là đường cao MN AB (ĐPCM). Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có mặt ABC là tam giác cân tại C , ABD là tam giác cân tại D . Chứng minh AB CD . Giải Gọi M là trung điểm của AB . DAB cân tại D nên trung tuyến DM đồng thời là đường cao AB MD 1 . Tương tự như thế, ta cũng chứng minh được AB MC 2 . Từ 1 , 2 suy ra AB DMC , lại có DC DMC . Từ đó suy ra AB CD (ĐPCM). N M A C B S M D A C B THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 4 Ví dụ 3. [ĐHD07] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ( AD / /BC ), BA BC a , AD 2a , SA vuông góc với đáy. Chứng minh SCD là tam giác vuông. Giải Ta thấy AC là hình chiếu của SC lên ABCD . Lại có CD ABCD nên: CD SC CD AC (Định lý ba đường vuông góc). Lấy M là trung điểm của AD . Dễ thấy tứ giác ABCM là hình vuông AD2CM AB a ACM vuông tại C , nói cách khác: CD AC (ĐPCM). Ví dụ 4. [CĐABD09] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SD , BC . Chứng minh MN SP . Giải Ta có MN / /AD / /BC MN / /BC 1 . Mặt khác: ABC cân tại S nên trung tuyến SP đồng thời là đường cao SP BC 2 . Từ 1 , 2 suy ra SP MN (ĐPCM). Ví dụ 5. [ĐHA07] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Mặt bên SAD là tam giác cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M , P lần lượt là trung điểm của SB , CD . Chứng minh AM BP . Giải a a 2a M S A B C D P NM I S A B C D THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 5 Lấy N , Q lần lượt là trung điểm của BC , AD . * Ta có: MN là đường trung bình của BSC MN / /SC (1). Hơn nữa: tứ giác ANCQ là hình bình hành AN / /CQ (2) . Từ (1), (2) suy ra AMN / / CQS (3). * SQ là trung tuyến của tam giác cân SAD SQ AD . Mặt khác: AD là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc SAD và ABCD nên SQ ABCD . Lại có BP ABCD . Từ đó suy ra BP SQ (4). BCP CDQ (c.g.c) CBP DCQ . Đặt I BP CQ . Ta có CIP 180 DCQ BPC 180 CBP BPC BCP 90 BP CQ (5). Từ (4), (5) suy ra: BP CQS (6). * Từ (3), (6) suy ra: BP AMN , hơn nữa MA AMN PB MA (ĐPCM). Ví dụ 6. [ĐHD02] Cho hình lập phương 1 1 1 1ABCD.A B C D . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của 1BB , CD , 1 1A D . Chứng minh 1MP C N . Giải * Ta thấy 1 1 1PD CDD C 1D là hình chiếu vuông góc của P lên 1 1CDD C (1). Gọi Q là trung điểm của 1CC 1 1MQ CDD C . Do đó: Q là hình chiếu vuông góc của M lên 1CC (2). Từ (1), (2) suy ra 1QD là hình chiếu vuông góc của MP lên 1 1CDD C (3). IN M Q P B C D A S I Q P N M A D CB A1 D1 C1B1 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 6 * Lại có 1 1 1NCC QC D (c.g.c) 1 1 1CC N C D Q . Đặt 1 1I NC QD . Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1QIC 180 CC N D QC 180 C D Q D QC QC D 90 1 1C N QD (4). * Từ (3), (4) suy ra 1C N MP (ĐPCM). Ví dụ 7. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc. Chứng minh rằng H là trực tâm ABC khi và chỉ khi OH ABC . Giải Đặt M AH BC , N BH CA . * Phần thuận: giả sử H là trực tâm ABC . Từ giả thiết của phần thuận suy ra BC AM (1). Từ giả thiết của bài toán: OA OB , OA OC OA mp(OBC) , lại có BC mp(OBC) , từ đây suy ra BC OA (2). Từ (1), (2) suy ra BC mp(OAM) , lại có OH mp(OAM) , từ đây suy ra OH BC (3). Một cách tương tự, ta cũng có OH CA (4). Từ (3), (4) suy ra OH mp(ABC) . * Phần đảo: giả sử OH mp(ABC) (5). Gọi H ' là trực tâm của ABC . Từ chứng minh phần thuận ta có OH' mp(ABC) (6). Từ (5), (6) suy ra H H' hay H là trực tâm của ABC . Ví dụ 8. Cho tứ diện OABC có OA OB , gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC) . Chứng minh H là trực tâm của ABC khi và chỉ khi OC (OAB) . Giải O A C B MHN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 7 Đặt M AH BC . * Phần thuận: giả thiết thì H là trực tâm ABC . Từ giả thiết này, ta có BC AM (1). Từ OH mp(ABC) , BC mp(ABC) suy ra BC OH (2). Từ (1), (2) suy ra BC mp(OAM) , mà OA mp(OAM) . Từ đó suy ra OA BC (3). Theo giả thiết thì OA OB (4). Từ (3), (4) suy ra OA mp(OBC) , lại có OC mp(OBC) . Từ đây suy ra OA OC (5) . Một cách tương tự, ta cũng chỉ ra được OA OB (6). Từ (5), (6) suy ra OA mp(OBC) . * Phần đảo: giải thiết OA OBC . Theo bài 3 thì H là trực tâm ABC . Ví dụ 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A , O là trực tâm của ABC , SA mp(ABC) , H mp(SBC) . Chứng minh H là trực tâm SBC khi và chỉ khi OH mp(SBC) . Giải * Phần thuận: giả thiết thì H là trực tâm SBC . Đặt M CO AB , N CH SB . Từ giả thiết suy ra: CN SB , CM AB . Gọi P là trung điêm của BC . Vì ABC đều, SBC cân tại S nên SH và AO đều đi qua P . Vì AP và SP lần lượt là SP là các đường cao của các tam giác ABC và SBC nên AP và SP đều vuông góc với BC . Từ đó suy ra BC mp(SAP) . Lại có: OH mp(SAP) . Từ đó suy ra OH BC (1). AB là hình chiếu của SB lên mp(ABC) . Lại có: MC mp(ABC) , MC AB . Từ đó suy ra: MC SB hay SB MC (2). Lại có: SB NC (3). Từ (2), (3) suy ra: SB mp(CMN) OH SB (4). O A C B MH O M P S A B C HN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 8 Từ (3), (4) suy ra OH mp(SBC) . * Phần đảo: giải thiết OH mp(SBC) . Gọi H ' là trực tâm SBC . Từ phần thuận suy ra OH' mp(SBC) . Từ đó suy ra H' H . Vậy H là trực tâm ABC . Ví dụ 10. Cho tứ diện ABCD . M , N lần lượt là trung điểm của BC và AD . Biết AB 16a , CD 12a , MN 10a (a 0 ). Chứng minh AB CD . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 9 C. Bài tập Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có AB AC , SAC SAB . M là trung điểm BC . Chứng minh: SA BC . Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có đáy lớn là AD và A 90 . Biết AD 2BC 2AB . 1) Chứng minh: AC CD . 2) Gọi E là trung điểm AD tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SBC và SCD . 3) Biết gócSCD 90 . Xác định góc giữa SA và BE . Bài 3. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC . Gọi I là trung điểm BC . 1) Chứng minh BC AD . 2) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI . Chứng minh AH mp BCD . Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có SA mp ABC và đáy là tam giác vuông tại B . 1) Chứng minh BC SB 2) Từ A lần lượt kẻ hai đường cao AH , AK của các tam giác SAB và SAC . Chứng minh AH mp SBC và SC mp AHK . Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA SC , SB SD . Chứng minh 1) SO mp ABCD . 2) AC SD . Bài 6. Cho tứ diện ABCD có AB CD , AC BD . Gọi H là trực tâm BCD . Chứng minh 1) AH BCD . 2) AD BC . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 10 Bài 7. Hình chóp S.ABC có SA vuông với đáy, ABC cân ở A . Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh: 1) BC SAM . 2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SM . Chứng minh AH SB . Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có a 62SA và các cạnh còn lại đều bằng a (a 0 ). Gọi I là trung điểm BC . Chứng minh SI ABC . Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O , SA ABCD và SA AB . Gọi H và M lần lượt là trung điểm của SB và SD . Chứng minh OM AHD . Bài 10. Cho ABC cân tại A , I và H lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC . Dựng SH mp ABC , trên đoạn CI và SA lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho MC 2MI và NA 2NS . Chứng minh MN mp ABC . Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , cạnh SB vuông góc với đáy ABC . Qua B kẻ BH vuông góc với SA , BK vuông góc với SC . Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết rằng AC a , BC a 3 và SB a 2 . Bài 12. Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau và OA OB OC a . Kí hiệu K , M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC , CA . Gọi E là điểm đối xứng của O qua K và I là giao điểm của CE với mặt phẳng OMN . 1) Chứng minh rằng CE vuông góc với mặt phẳng OMN . 2) Tính diện tích của tứ giác OMIN theo a . Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình vuông cạnh bằng a . Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB và CD . 1) Tính các cạnh của tam giác SIJ theo a . Chứng minh rằng SI vuông góc với mặt phẳng SCD và SJ vuông với mặt phẳng SAB . 2) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ . Chứng minh rằng SH vuông góc với AC . 3) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA . Tính độ dài đoạn thẳng AM theo a . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 11 Bài 14. Cho tứ diện OABC có OA OB OC a và oAOB AOC 60 , 0BOC 90 . 1) Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện và chứng minh rằng tam giác ABC vuông. 2) Chứng minh OA CB . Bài 15. [ĐHB12] Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA 2a , AB a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SC . Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng ABH THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 12 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 13 Loại 2. Hai mặt phẳng vuông góc A. Nguyên tắc chung * Góc giữa hai mặt phẳng chính là góc giữa hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến. * Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta thường sử dụng các phương pháp sau đây +) Sử dụng định nghĩa: chứng minh một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại. +) Sử dụng góc giữa hai mặt phẳng: chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 90 . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 14 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có mặt ACD và BCD là các tam giác đều cạnh a . Biết a 6 2AB , chứng minh ACD BCD . Giải Lấy E là trung điểm của CD . AE là trung tuyến của tam giác cân ACD nên đồng thời là đường cao, do đó: CD AE (1). Tương tự, ta cũng chứng minh được CD BE (2). Từ (1), (2) suy ra: góc giữa hai mặt phẳng ACD và BCD chính là góc AEB . Ta thấy 2 22a 3 a 62 2 3a 2 2 2AE BE 2 . AEB vuông tại E AEB 90 (ĐPCM). Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với đáy. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SC . Chứng minh SAC AHK . Giải * Theo giả thiết thì SC AK (1). * Ta chứng minh SC HK : Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có 2 2 SH.SB SA SK.SC SA SH.SB SK.SC . Từ đây suy ra HKBC là tứ giác nội tiếp (2). Lại có: CB AB (giả thiết), CB SA (do SA ABC ) SB SAB CB SB (3). Từ (2), (3) suy ra SC HK (4). Từ (3), (4) suy ra SC AHK SAC AHK (ĐPCM). D A E C B S A B C H K THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 15 Ví dụ 3. [ĐHB06] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB a , AD a 2 , SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AD . Chứng minh SAC SMB . Giải Đặt I AC BD . Áp dụng định lý Pitago, tính được: AC a 3 , a 6BM 2 . Vì hai tam giác IAM và ICB đồng dạng nên IA IC IA IC AC AM BC AM BC AM BC a 2 2 a 2 2 .a 3AM.AC a 3IA AM BC 3a 2 . Tương tự: a 6a 2 2 2 a 2 2 .AM.BM a 6IM AM BC 6a 2 . Ta có: 2 2 2 2 2 2a 3 a 6 a 2IA IM AM 3 6 2 IAM vuông tại I hay BM AC (1). Lại có SA mp(ABCD) , BM mp(ABCD) BM SA (2). Từ (1), (2) suy ra BM mp(SAC) mp(SMB) mp(SAC) (ĐPCM). Ví dụ 4. [ĐHA02] Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đỉnh S , có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SB , SC . Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết rằng mặt phẳng AMN vuông góc với mặt phẳng SBC . Giải a a a 2 I M S B A D C THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 16 * Lấy I là trung điểm của BC . ABC đều AI BC , SBC cân SI BC . Từ đó suy ra BC SAI 1 . Lại có MN BC 2 . Từ 1 , 2 suy ra MN SAI MN SI MN AJ ( J SI MN ) SI, AJ chính là góc giữa hai mặt phẳng AMN và SBC AJI 90 . * Dễ thấy J là trung điểm của SI SAI cân tại A a 32SA AI . Lại có a 32 3 3AH AI . Do đó a 152 2 6SH SA AH . Vậy 3a 3 15 a 51 1 1 S.ABC ABC3 3 2 2 6 24V S .AH a. a. Ví dụ 5. [ĐHA03] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C'D' có các đáy là hình vuông cạnh a , AA ' b , M là trung điểm của CC' . Xác định tỷ số a b sao cho A'BD MBD . Giải Đặt I AC BD . Ta thấy A'BD cân tại A nên trung tuyến A'I đồng thời là đường cao. Như vậy A'I BD (1). Tương tự ta cũng chứng minh được MI BD (2). Từ (1), (2) suy ra góc giữa hai mặt phẳng A'BD và MBD chính là góc giữa hai đường thẳng A'I và MI . J M N H I C B A S b a a M I A' A D' C' B' B D C THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 17 Áp dụng định lý Pitago, ta tính được: 2 2 2 bA 'M 2a 4 , 2 2 2aA'I b 2 , 2 2 2 2 a bMI A'I 2 4 . Thành thử A'BD MBD A'IM 90 2 2 2A'M A'I MI 2 2 2 2 2 2b a a b2a b 4 2 2 4 a 1 b . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 18 C. Bài tập Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác SBD là các tam giác cân tại S . Chứng minh SAC SBD . Bài 2. Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B , SA vuông góc với đáy. 1) Chứng minh SAB SBC . 2) Gọi M là trung điểm AC . Chứng minh SAC SBM . Bài 3. Hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau . Biết AC AD BC BD a và CD 2x . Xác định x theo a sao cho ABC ABD . Bài 4. Cho tam giác đều ABC cạnh a , I là trung điểm BC , D là điểm đối xứng của A qua I . dựng đoạn a 6SD 2 vuông góc với mp(ABC) . Chứng minh 1) SAB SAC . 2) SBC SAD . Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C , mặt bên SAC là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. 1) Chứng minh mp SBC mp SAC . 2) Gọi I là trung điểm của SC . Chứng minh mp ABI mp SBC . Bài 6. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC . Tính diện tích tam giác AMN theo a biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) . Bài 7. Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C'D' cạnh a . Chứng minh ACC'A' A'BD . Bài 8. Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Khi nào AA'C'C BB'D'D .
Tài liệu đính kèm: