Chuyên đề: Sự tiếp xúc của hai đường cong

Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2009 
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 
VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009 
Môn: TOÁN 
Chuyên đề: SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG 
I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ 
Bài toán tiếp xúc giữa 2 đồ thị rất hay và khó, tuy nhiên chuyên đề này các bạn sẽ nắm vững 
được các bước giải và cách làm dạng toán này. 
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
Hai đường y = f(x), y = g(x) tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ x0, nếu hệ sau đây 
thoả mãn: 
 f(x0) = g(x0) 
 f ’(x0) = g’(x0) 
Xin đưa ra vài ví dụ sau: 
Thí dụ 1: Cho y = x3 - 3x2 + 2. Tìm trên đường thẳng y = - 2, các điểm mà từ đó có thể vẽ được 
hai tiếp tuyến tới đường cong và vuông góc với nhau. 
Giải. Gọi điểm phải tìm là M (α , 2). Để ý rằng đường thẳng x = α đi qua M cắt đường 
cong và song song với trục tung và nó không thể là tiếp tuyến, vì thế mọi tiếp tuyến với đường 
cong đi qua M (nếu có), đều có dạng:y = k (x - α )+ 2 . 
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có hệ phương trình sau: 
x30 - 3x20 + 2 = k(x0 - α ) +2 (1) 
3x02 - 6x0 = k (2) 
Thay (2) vào (1) ta có: 
2x30 - 3x20 (1 + α ) + 6α x0 - 4 = 0 
Ù (x0 - 2) [2x20 + (1- 3α )x0 + 2] = 0 (3) 
Với mọi α , (3) luôn có nghiệm x0 = 2 ứng với nó, từ (2) suy ra k = 0 
Vì mọi tiếp tuyến của đường cong đã cho không thể có dạng x = c, vậy không có bất kì 
tiếp tuyến nào của đường cong đã cho vuông góc với tiếp tuyến 
y=-2.Vì thế để thoả mãn điều kiện đầu bài, thì phương trình sau (ẩn x0) 
2x20 + (1 - 3α )x0 + 2 = 0 (4)có hai nghiệm phân biệt x’ và x’’, sao cho: (3x’2 
- 6x’) (3x’’2 - 6x’’) = -1 
Để thoả mãn điều ấy, hệ sau đây cần được thoả mãn 
Δ = (1 - 3x20)2 - 16 > 0 (5) 
9(x’x’’)2 - 18x’x’’(x’ + x’’) + 36x’x’’ = -1 (6) 
Dựa vào định lí Viét, thì x’ + x’’ = 3 1; ' '' 1
2
x xα − = 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2009 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 2 
Vì thế từ (6) có: 27x0 = 55 => x0 = 
55
27
. 
Thay x0 = 
55
27
vào (5) thấy đúng. 
Tóm lại: trên đường y = -2, chỉ có duy nhất điểm M( 55 , 2
27
− ) thoả mãn yêu cầu đầu bài. 
Thí dụ 2. Cho y = x3 - 3x2. Tìm tất cả các điểm M nằm trên đường cong sao cho từ M chỉ có thể 
vẽ được duy nhất một tiếp tuyến tới đường cong để cho. 
Bài giải 
Gọi M ( 3 2, 3 )α α α− là điểm cần tìm. Tiếp tuyến qua M chỉ có thể có dạng: 
y = k(x - α ) + α 3 -3α 2 
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Ta có hệ phương trình sau: 
x30 - 3x20 = k (x0 - α ) + α 3 - 3α 2 (1) 
3x30 - 6x0 = k (2) 
Thay (2) vào (1), ta có: 
2x30 - 3x20 (α + 1) + 6α x0 +α 3 - 3α 2 = 0 (*) 
Ù (x0 - α ) [2x20 - (α + 3)x0 - α 2 + 3α ] = 0 
Ù (x0 - α )2 (2x0 + α - 3) = 0 
x0 = α 
x0 = 
3
2
α− (3) 
Chú ý rằng vì y = x3 - 3x2 là đường cong bậc ba, nên số tiếp tuyến vẽ được bằng số tiếp 
tuyến với đường cong. Vì thế qua M có 1 tiếp tuyến duy nhất với đường cong khi và chỉ khi hệ 
(1) (2) (ẩn x0) có nghiệm duy nhất. Dựa vào (3) điều đó xảy ra khi: 
3 1
2
αα α−= = 
Vậy trên đường cong y = x3 - 3x2 có một điểm duy nhất thoả mãn yêu cầu đề bài. Đó là điểm M 
(1, - 2) 
Nhận xét: 
- Ta có thể thấy M (1, -2) chính là điểm uốn của đường cong đã cho. 
- Bằng phép toán tương tự bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh kết quả tổng quát sau: 
“Với đường cong bậc ba tuỳ ý y = ax3 + bx2 + cx + d, a 0≠ , điểm uốn là điểm duy nhất trên 
đường cong mà qua đó có đúng 1 tiếp tuyến với đường cong”. 
- Chính vì M (α ,α 3 - 3α 2) nằm trên đường cong, nên chắc chắn (*) có nghiệm x0 = α . 
Vì thế có thể hạ bậc (*) như đã làm ở trên. 
- Trong bài đã sử dụng tính chất “Với đường cong bậc ba mỗi tiếp tuyến chỉ tiếp xúc với 
đường cong tại một điểm” (dễ chứng minh). Tính chất này xin lưu ý không còn đúng với đường 
cong bậc bốn. Có thể xem thí dụ sau: 
Xét hàm số y = x4 - 2x2 
Ù 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2009 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3 
Ta có: y’ = 4x3 - 4x = 4x (x2 - 1) 
và bảng biến thiên sau : 
x -∞ -1 0 1 +∞ 
y’ - 0 + 0 - 0 + 
y -1 0 -1 
Từ đó suy ra đồ thị của y = x4 - 2x2 có dạng: 
(Đồ thị) 
Ta thấy tiếp tuyến y = -1 tiếp xúc với y = x4 - 2x2 tại hai điểm cực tiểu của nó. Như vậy 
thí dụ này đã chứng minh nhận xét của ta. 
Thí dụ 3. Cho đường cong y = 
2 1( )
1
x x C
x
+ +
+ 
Chứng minh rằng từ điểm A(1, -1) luôn kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau ,đến đồ 
thị (C). 
Giải: Vì đường thẳng x = 1 không thể là tiếp tuyến của (C), nên mọi tiếp tuyến qua A(1, -
1) (nếu có) đều có dạng: 
y = k (x - 1) - 1 
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm, khi đó ta có hệ 
2
0 0
0
0
2
0 0
2
0
1 ( 1) 1(1
1
2 (2)
( 1)
x x k x
x
x x k
x
⎧ + + = − −⎪ +⎪⎨ +⎪ =⎪ +⎩
)
Thay (2) vào (1) ta có: 
2
0 0
2
0
3 1 0
( 1)
x x
x
+ + =+ 
 (3) 20 03 1x x+ + + = 0
Rõ ràng = 3 > 0, vậy (3) có hai nghiệm phân biệt t1, t2. 'Δ
Như vậy, qua A có hai tiếp tuyến với đường cong. Còn lại ta chứng minh hai tiếp tuyến 
này vuông góc với nhau. Từ (2) suy ra hai tiếp tuyến có hệ số góc tương ứng là: 
2
1 1
1 2
1 2
2 ;
( )
t tk
t t
+= + 
2
2 2
2 2
2
2
( 1)
t tk 
t
+= +
Ta có: [ ]
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 2
1 2 1 2
( ) 2 ( ) 4(
( ) 1
t t t t t t t t )
t t t t
+ + + +=
+ + +
k k (4) 
Dựa vào định lí Viet, thì: t1 + t2 = - 3; t1t2 = 1 
Thay lại vào (4) ta có: 1 2 2
1 6 4 1
(1 3 1)
k k − += − + = (5) 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2009 
Từ (5) suy ra hai tiếp tuyến cũng vuông góc với nhau => (đpcm) 
Thí dụ 4. Cho đường cong y = 
2 3
2
x x
x
+ −
+ (C) 
Tìm các điểm trên trục hoành, nếu từ đó kẻ được một tiếp tuyến của (C). Gọi điểm phải 
tìm là M (α , 0). Do x = α không thể là tiếp tuyến của (C), nên mọi tiếp tuyến với (C) qua M 
đều có dạng y = k (x - α ) 
Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm, khi đó ta có hệ sau: 
2
0 0
0
0
3 ( )
2
x x k x
x
α+ − = −+ (1) 
2
0 0
2
0
4 5
( 2)
x x k
x
+ + =+ (2) 
Thay (2) vào (1) ta có: 
f(x0) = (1 - α ) x20 + 2x0 (3 - 2x) + 6 - 5α = 0 (3) 
 x0 -2 (4) ≠
Dựa vào tính chất: Mọi tiếp tuyến của đường y =
2
( , ' 0)
' '
ax bx c a a
a x b
+ + ≠+ chỉ tiếp xúc với 
đường cong đó tại một điểm duy nhất, nên suy ra ta cần tìm giá trị của tham số α để hệ (3) (4) 
(ẩn x0) có nghiệm duy nhất. 
Xét các khả năng sau: 
1. Nếu α ≠ 1, khi đó (3) (4) 2x0 + 1 = 0 
x0 ≠ - 2 
Từ đó suy ra hệ (3) (4) có nghiệm duy nhất trong trường hợp này 
2. Nếu α ≠ 1. Khi đó hệ (3) (4) có nghiệm duy nhất khi 
a. Hoặc 
' 2 3 0
( 2) 2 0F
α α
α
⎧⎪Δ = − − + =⎨ − = − − ≠⎪⎩
α = 1 13
2
− ± 
b. Hoặc 
' 2 3 0
( 2) 2 0F
α α
α
⎧⎪Δ = − − + >⎨ − = − − ≠⎪⎩
α = 2 
Vậy trên trục hoành có 4 điểm cần tìm là: 
M1(1, 0), M2(-2, 0), M3(
1 13
2
− + , 0), M4( 1 132
− − , 0) 
III. CỦNG CỐ KIẾN THỨC 
Bài 1: (Đại học, cao đẳng, khối D - 2002) 
Tìm m để đường cong (c) có phương trình 
2(2 1)
1
m x m
x
− −
− (c) 
tiếp xúc với đường thẳng y = x 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2009 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 5 
Bài giải 
xét y = 
2(2 1)
1
m x m
x
− −
− , Ta có y’ = 
2
2
( 1)
( 1)
m
x
−
− 
Gọi xo là hoành dộ tiếp điểm ta có hệ sau đây 
2
0(2 1)
1o
m x m
x
− −
− = xo (1) 
2
2
( 1)
( 1)o
m
x
−
− = 1 (2) 
Bài toán trở thành: tìm m để hệ (1),(2) (của xo) có nghiệm: 
từ (2) suy ra m ≠ 1 (vì m = 1, thì VT (2) = 0) 
Khi đó (2) trở thành (m - 1)2 = (xo - 1)2 (*) 
Rõ ràng xo = m thoả mãn, (vì do m ≠ 1=> xo ≠ 1) 
Thay vào xo = m vào (1) thấy thoả mãn, vì khi đó 
VT(1) = 
2(2 1)
1
m m m
m
− −
− = 
2
1
m m
m
−
− = m = VF (1) 
Vậy với mọi m 1, hệ (1) (2) (của xo. chắc chắn có nghiệm) ≠
do đó có giá trị cần tìm của thay số m là m ≠ 1. 
Bài 2: Tìm m để đường cong y = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 2m2 + m và y = 2x3 –10x2 +10x+1 tiếp 
xúc với nhau 
Bài giải: Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có hệ sau: 
4 3 2 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0
3 2 2
0 0 0 0 0
6 12 14 2 2 10 10 1(
4 18 24 14 6 20 10(2)
x x x x m m x x x
x x x x x
⎧ − + − + + = − + +⎪⎨ − + − = − +⎪⎩
1)
x x x+ + − =
Ta thấy (2) ⇔ 3 20 0 04 24 44 24 0 ⇔ 3 20 0 06 11 6x x x 0− + − = 
⇔ ( 0x - 1)( 0x - 2)( 0x - 3) = 0 ⇔ 0x = 1 hoặc 0x = 2 hoặc 0x = 3 
- Nếu 0x = 1. Thay vào (1) và ta có: 2m
2 + m – 7 = 3 ⇔ 2m2 + m – 10 = 0 ⇔
2
5
2
m
m
=⎡⎢⎢ = −⎣
- Nếu 0x = 2. Thay vào (1) và ta có: 2m
2 + m – 7 = 0 ⇔ m = 1 57
4
− ± 
- Nếu 0x = 3. Thay vào (1) ta có: 2m
2 + m – 10 = 0 (Quay về trường hợp 0x = 1) 
Vậy các giá trị cần tìm của m là : m = 2 , m = 5
2
− , hoặc m = 1 57
4
− ± 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Luyện thi Đại học, Cao đẳng 2009 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 6 
IV. BÀI TẬP VỀ NHÀ 
Bài 1: Cho y = 
2 1
1
x x
x
− +
− (C) 
 Tìm trên Oy các điểm có thể kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến (C). 
Bài 2: Cho y = 
22 1
1
x x
x
+ +
+ (C) 
Tìm trên Oy các điểm có thể kẻ được đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau 
Bài 3: Cho hàm số 3 2y x 3x 3mx 4= − + + . Xác định m để đồ thị hàm số trên tiếp xúc với trục 
hoành. 
Bài 4: Cho đường cong có hàm số: ( mC )
22 (1 ) 1x m x my
x m
+ − + += − . Tìm m để cắt trục 
Ox tại 2 điểm và tiếp tuyến với ( tại 2 điểm đó vuông góc với nhau 
( mC )
)mC
 Tổ Toán Trung tâm BDVH Hocmai.vn 
 Nguồn: Hocmai.vn