Chuyên đề Sử dụng tính chất trung điểm để tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số đã cho qua một điểm, một đường thẳng

I. Đặt vấn đề
	Trong chương trình Toán THPT những bài toán về hàm số rất đa dạng và phong phú, đã có nhiều cuốn sách viết về các chuyên đề xung quanh hàm số. Tuy nhiên, với chuyên đề “Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trước qua một điểm, qua một đường thẳng” thì không được trình bày trong sách giáo khoa, ở rải rác các sách tham khảo, một số tác giả đã viết một số bài tập với lời giải dựa trên công thức đổi trục toạ độ, với phương pháp này học sinh phải nhớ công thức đổi trục toạ độ, nhớ được tính chất của hai hàm số đối xứng nhau qua gốc toạ độ, qua trục hoành, qua trục tung.
	Với chuyên đề “Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trước qua một điểm, qua một đường thẳng”. Nếu chỉ dừng lại ở cách giải thông thường nhờ phương pháp đổi trục toạ độ thì đó là điều bình thường. ở đây ta hãy nhìn vấn đề dưới góc độ khác, cách giải quyết khác để giải quyết bài toán hiệu quả hơn và có thể mở rộng sang các bài toán phức tạp hơn.
	Trong bài viết này, tôi muốn trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp về “Sử dụng tính chất trung điểm để tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số đã cho qua một điểm, một đường thẳng”.
	Tôi hy vọng phương pháp này sẽ giúp các em học sinh giải quyết tốt các bài tập cùng dạng trong các kỳ thi vào Đại học, Cao đẳng và khích lệ tinh thần say mê sáng tạo trong học tập của các em, góp phần nâng cao chất lượng cho học sinh Tỉnh nhà.
II. Nội dung
1/ Lý thuyết: Xét trong hệ trục toạ độ Oxy.
+ Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua I(x0; y0)
	I là trung điểm của AB.
+ Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua đường thẳng x = a
	 I là trung điểm của AB; với I(a; y1)
+ Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua đường thẳng y = b
	 I là trung điểm của AB; I(x1; b)
+ Hai điểm: A(x1; y1) và B(x2; y2) đối xứng nhau qua đường thẳng (d): 
y = ax + b (a ≠ 0)
	 I là trung điểm của AB; I(x0; y0) là hình chiếu của A trên đường thẳng (d).
2/ Các bài toán.
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua điểm I(x1; y1).
Bài giải:
	Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C).
	B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I
	 I là trung điểm của AB
	Mà A (C) 2y1 – y = f(2x1 – x)
	 y = g(x)
Kết luận: y = g(x) là hàm số cần tìm.
Ví dụ 1: Cho y = x3 – 3x + 1 (C)
	Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1)
Bài giải:
	Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C).
	B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I
 I là trung điểm của AB
	Do A (C) 2 – y = (2 – x)3 – 3(2 – x) + 1
	 y = x3 – 6x2 + 9x - 1
Kết luận: Hàm số cần tìm là y = x3 – 6x2 + 9x – 1.
Ví dụ 2: Cho y = (C)
	Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua điểm I(2; 1)
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C).
	B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I
 I là trung điểm của AB
	Do A (C) 2 – y = y = 
Kết luận: Hàm số cần tìm là y = 
* Ngay cả với những đường cong không là đồ thị của một hàm số, ta cũng giải quyết bài toán dễ dàng nhờ công thức trung điểm; Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 3: Cho (E): = 1
	Tìm phương trình của đường cong (C) mà (C) đối xứng với (E) qua điểm I(3;2).
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (E).
	B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I
 I là trung điểm của AB
	Do A (E) 
Kết luận: Đường cong cần tìm có phương trình 
Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x), (C) 
	Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng y = b.
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C). I(x0; b)
	B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y = b.
	 I là trung điểm của AB
	Mà A (C) 2b – y = f(x)
	 y = g(x)
Kết luận: y = g(x) là hàm số cần tìm.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 (C).
	Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng y = 1.
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C). I(x0; 1)
	B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y = 1.
	 I là trung điểm của AB
	Mà A (C) 2 – y = x3 – 3x2 + 2
	 y = -x3 + 3x2
Kết luận: Hàm số cần tìm là y = -x3 + 3x2.
Ví dụ 2: (Học viện kỹ thuật quân sự – 1999).
	Cho hàm số y = (C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 2.
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C). I(x0; 2)
	B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng y = 2.
	 I là trung điểm của AB
	Mà A (C) 4 – y = 
	 y = 
Kết luận: Hàm số cần tìm là y = .
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x); (C)
	Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng x = a.
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C). I(a; y0)
	B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng x = a.
	 I là trung điểm của AB
	Mà A (C) y = f(2a-x)
	 y = g(x).
Kết luận: y = g(x) là hàm số cần tìm.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 (C)
	Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng x=-1.
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C). I(-1; y0)
	B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng x = -1.
	 I là trung điểm của AB
	Mà A (C) y = (-2 – x)3 – 3(-2 – x)2 + 2
	 y = -x3 – 9x2 – 24x - 18
Kết luận: Hàm số cần tìm là y = -x3 – 9x2 – 24x - 18.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = (C)
	Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng x = 1.
Bài giải:
Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C). I(1; y0)
	B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng x = 1.
	 I là trung điểm của AB
	Mà A (C) y = 
	 y = .
Kết luận: Hàm số cần tìm là y = .
Bài toán 4: Cho hàm số y = f(x); (C)
	Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đường thẳng (d):
y = ax + b. (a ≠ 0).
Bài giải:
	+ Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C).
	+ Viết phương trình đường thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d).
y = (x – x0) + y0 (Δ)
	+ Tọa độ giao điểm I của (Δ) và (d) là nghiệm của hệ: 
	+ B(x; y) đối xứng với A qua đường thẳng (d) I là trung điểm của AB.
	A(2xI – x; 2yI – y).
	+ Do A (C) 2yI – y = f(2xI – x).
	 y = g(x)
Kết luận: y = g(x) là hàm số cần tìm.
Ví dụ 1: (Đại học lâm nghiệp – 2001).
	Cho hàm số y = (C)
	Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng (d): 
x + y – 3 = 0.
Bài giải:
+ Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C).
	+ Phương trình đường thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d) là:
y = (x – x0) + y0 (Δ)
	+ Tọa độ giao điểm I của (Δ) và (d) là nghiệm của hệ: 
	+ B(x; y) đối xứng với A qua đường thẳng (d) I là trung điểm của AB.
	A(3-y; 3-x).
	+ Do A (C) 3 - x = 
	 y = 
Kết luận: Hàm số cần tìm là y = .
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x2 + 2x + 3 (C).
	Tìm phương trình của đường cong (P) mà (P) đối xứng với (C) qua đường thẳng (d): y = x – 1.
Bài giải:
+ Gọi A(x0; y0) là điểm bất kỳ trên (C).
	+ Phương trình đường thẳng (Δ) qua A và vuông góc với (d) là:
y = - (x – x0) + y0 (Δ)
	+ Tọa độ giao điểm I của (Δ) và (d) là nghiệm của hệ: 
	+ B(x; y) đối xứng với A qua đường thẳng (d) I là trung điểm của AB.
	A(y + 1; x - 1).
	+ Do A (C) x - 1 = (y + 1)2 + 2(y + 1) + 3
	 x = y2 + 4y + 6.
Kết luận: Đường cong cần tìm có phương trình x = y2 + 4y + 6 (P)
* (C) là Parabol có đỉnh tại điểm M(-1; 2) và có trục đối xứng là đường thẳng x = -1; (P) là Parabol có đỉnh tại điểm N(2; -2) và có trục đối xứng là đường thẳng y = -2.
Chú ý: Các bài toán 1, 2, 3 đều có thể giải được bằng phương pháp đổi trục toạ độ; Ta lấy một ví dụ: (Học viện kỹ thuật quân sự – 1999).
Cho hàm số y = (C)
Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 2.
Bài giải:
	+ Đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY gốc I(0; 2) theo công thức:
	+ Hàm số đã cho trở thành 2 + Y = 
	 Y = = F(X).
	+ Do hàm số cần tìm đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 2 (trục hoành đối với hệ IXY) nên hàm số cần tìm có dạng: Y = - F(X)
	 Y = - 
	 	 y – 2 = - 
	 y = 
Kết luận: Hàm số cần tìm là: y = .
Nhận xét 1: Bạn đọc tự so sánh cách giải này với cách giải dùng tính chất trung điểm (Bài toán 2 – ví dụ 2) để thấy được tính ngắn gọn trong việc trình bày; sử dụng tính chất trung điểm, học sinh không phải dùng đến các tính chất khác của hàm số.
Nhận xét 2: Sử dụng phương pháp đổi trục toạ độ còn có hạn chế thứ 2 đó là: chỉ giải quyết được khi (C) là đồ thị của hàm số; khi đường cong đã cho không là đồ thị của một hàm số mà muốn sử dụng phương pháp đổi trục toạ độ ta phải tách đường cong ra từng phần sao cho đường cong trong mỗi phần đó ứng với một hàm số xác định sau đó mới áp dụng công thức đổi trục.
Ta xét một ví dụ: (E) = 1 (1)
Rõ ràng đương cong (E) không là đồ thị của hàm số (vì tồn tại đường thẳng song song với Oy mà cắt (E) tại hai điểm). Để tìm một đường cong đối xứng với (E) qua một điểm hay qua một đường thẳng theo phương pháp đổi trục toạ độ ta phải làm như sau:
+ (1) y = 
	Khi đó ta có hai hàm số: 
	y = f(x) = 
	y = g(x) = 
	Sau đó ta áp dụng công thức đổi trục toạ độ cho từng hàm số, cuối cùng hợp lại ta được đường cong cần tìm.
	Vậy phương pháp đổi trục toạ độ đối với những đường cong không là hàm số thì lời giải rõ ràng dài dòng và phức tạp. Trong khi đó nếu sử dụng tính chất trung điểm ta có lời giải quá ngắn gọn và hiệu quả (xem bài toán 1 – ví dụ 3).
3/ Bài tập luyện tập.
Bài 1: Cho hàm số y = x2 + 2x – 5 (P)
	1, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua điểm I(-1; 1).
	2, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua đường thẳng x=3.
	3, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua đường thẳng y = -1.
	4, Tìm phương trình đường cong đối xứng với đồ thị (P) qua đường thẳng x + y + 2 = 0.
Bài 2: Cho y = x + (C)
	1, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua điểm I(2; 1).
	2, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng x = -1.
	3, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 2.
	4, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng y = x + 3.
Bài 3: Cho (E) 
	Tìm phương trình các đường cong (E1), (E2), (E3), (E4) sao cho.
	1, (E1) đối xứng với (E) qua điểm I(4; 5).
	2, (E2) đối xứng với (E) qua đường thẳng x = 5.
	3, (E3) đối xứng với (E) qua đường thẳng y = -3.
	4, (E4) đối xứng với (E) qua đường thẳng x – y = 0.
III. Kết luận.
	+ Nếu nhìn nhận bốn bài toán trên theo cách nhìn thông thường (đổi trục toạ độ) thì đó là 4 bài toán riêng biệt: Đối xứng qua gốc toạ độ, đối xứng qua trục hoành, đối xứng qua trục tung (xét trong hệ toạ độ mới). Xong nếu sử dụng tính chất trung điểm thì bốn bài toán trên được xem như là một, như vậy tính chất trung điểm đã là phương pháp chung cho cả bốn bài toán đó, học sinh vận dụng dẽ dàng và đạt hiệu quả tốt trong quá trình làm bài. Hơn nữa phương pháp trung điểm còn khắc phục được những khó khăn của phương pháp đổi trục toạ độ đối với các đường cong chưa là đồ thị của hàm số.
	+ Trong quá trình giảng dạy ngoài việc đổi mới phương pháp giảng dạy, giáo viên cũng phải thường xuyên làm giàu thêm chi thức của mình thông qua các hoạt động chuyên đề, dự giờ v.v. Mỗi nét thông minh sáng tạo của học trò, những lời giải hay, những câu hỏi tưởng trừng ngớ ngẩn v.v Tất cả những điều đó đều giúp người thày tự điều chỉnh phương pháp cũng như nội dung để kết quả giảng dạy ngày một cao hơn.
	+ Chuyên đề này tôi đã áp dụng giảng dạy trong nhiều năm, nhất là các em học sinh lớp 12, các em tỏ ra rất hào hứng tiếp thu – vận dụng tốt và giải quyết có hiệu quả các bài tập dạng này; Tuy nhiên tôi không bỏ qua việc giới thiệu phương pháp đổi trục toạ độ để kiến thức của các em hoàn chỉnh hơn ở mọi phương diện; qua đó các em cũng thấy được tính tư duy mềm dẻo và sáng tạo trong toán học là điều rất cần thiết và tăng thêm tính say mê, tìm tòi, sáng tạo trong học tập của các em.
	+ Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã đọc và góp ý cho chuyên đề này.