Chuyên đề Sự biến thiên của hàm số và ứng dụng

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
1 
Sự biến thiên của hàm số và ứng dụng 
Mục lục 
Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số .................................................................2 
A. Tóm tắt lý thuyết ..............................................................................................................2 
B. Một số ví dụ .......................................................................................................................3 
C. Bài tập ............................................................................................................................. 12 
D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 14 
Loại 2. Sự biến thiên của hàm số chứa tham số ......................................................................... 18 
A. Tóm tắt lý thuyết ............................................................................................................ 18 
B. Một số ví dụ ..................................................................................................................... 20 
C. Bài tập ............................................................................................................................. 24 
D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 25 
Loại 3. Ứng dụng xét phương trình ........................................................................................... 28 
A. Nguyên tắc chung ........................................................................................................... 28 
B. Một số ví dụ ..................................................................................................................... 29 
C. Bài tập ............................................................................................................................. 39 
D. Hướng dẫn và đáp số ...................................................................................................... 41 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
2 
Loại 1. Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số 
A. Tóm tắt lý thuyết 
* Định nghĩa: Cho  f : a;b   . 
+) f được gọi là đồng biến trên K nếu: 1x ,  2x a;b , 1 2x x     1 2f x f x . 
+) f được gọi là nghịch biến trên K nếu: 1x ,  2x a;b , 1 2x x     1 2f x f x . 
Nếu chỉ sử dụng định nghĩa thì ta sẽ gặp khó khăn trong nhiều bài toán xét tính đơn điệu của hàm 
số. Đạo hàm là công cụ hữu hiệu để xét tính đơn điệu của hàm số. 
* Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  a;b . Khi đó 
+)  f ' x 0  x a;b   f đồng biến trên  a;b . 
+)  f ' x 0  x a;b   f nghịch biến trên  a;b . 
+)  f ' x 0  x a;b   f không đổi trên  a;b . 
Để xét tính đơn điệu của hàm số  y f x , ta làm như sau: 
+) Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. 
+) Bước 2: -) Tính  f ' x . 
-) Tìm nghiệm của phương trình  f ' x 0 . 
-) Xét dấu của  f ' x (nếu cần). 
+) Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số. 
+) Bước 4: Kết luận về sự biến thiên của hàm số. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
3 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Xét chiều biến thiên của hàm số   3 2f x x 3x 9x 2    . 
Giải 
+)  TXÑ . 
+)    2 2f ' x 3x 6x 9 3 x 2x 3      ,  f ' x 0  2x 2x 3 0    x 1x 3
 
 
. 
+) Bảng biến thiên: 
+∞
-∞
f x( )
f ' x( ) ++ _ 00
-25
7
+∞3-1-∞x
 
x
lim f x

  ,  
x
lim f x

  . 
+) Kết luận: f đồng biến trên  ;1 và  3; , nghịch biến trên  1;3 . 
Chú ý: 
1. Giới hạn tại vô cực của hàm đa thức: Xét đa thức bậc n 
  n n 1n n 1 1 0f x a x a x ... a x a     ( *n , na 0 ). 
Ta có  
neáu
neáu
n
x n
a 0
lim f x
a 0
 
 
 
,  
neáu , chaün
neáu , leû
neáu , chaün
neáu , leû
n
n
x n
n
a 0 n
a 0 n
lim f x
a 0 n
a 0 n

 
 
 
 
 
. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
4 
2. Một số quy tắc xét dấu: 
a. Dấu của nhị thức bậc nhất: Xét  g x ax b  ( a 0 ). Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của 
 g x (quy tắc “phải cùng trái khác”): 
_ _ b
a
_ +ag x( ) 0
+∞∞x
b. Dấu của tam thức bậc hai: Xét   2g x ax bx c   ( a 0 , 2b 4ac   ). Ta có ba trường 
hợp sau đây: 
TH1: 0  :  ag x 0 x . 
TH2: 0  :  ag x 0 x . Dấu “ ” xảy ra  b2ax   . 
TH3: 0  :  g x có hai nghiệm phân biệt 1 2x x . Ta có 
 ag x 0  1 2x x x  ,  ag x 0  
1
2
x x
x x

 
. 
Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của  g x trong trường hợp 3 (quy tắc “trong trái ngoài cùng”): 
+0
x2x1_
_+ag x( ) 0
+∞∞x
c. Dấu của đa thức: Tất cả các bài toán xét dấu đa thức đều có thể được quy về xét dấu của đa 
thức có dạng: 
       k k k1 2 n1 2 nP x a x x x x x x     , 
trong đó: 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
5 
- a 0 là hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của  P x . 
- 1 2 nx x x  là các nghiệm của  P x , 
- 1k , , nk là các số nguyên dương, ik được gọi là bội của nghiệm ix . 
Ta có quy tắc sau đây về dấu của đa thức  P x : 
- Khi x lớn hơn nghiệm lớn nhất ( nx ) thì  P x cùng dấu với a . 
-  P x không đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội lẻ và đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội 
chẵn. 
d. Hệ quả (của quy tắc xét dấu đa thức): Nếu một đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt thì đa 
thức đó đổi dấu liên tiếp khi x đi qua các nghiệm. 
Ví dụ 2. Xét chiều biến thiên của hàm số   3 2f x x 3x 3x 1     . 
Giải 
+)  TXÑ . 
+)    22f ' x 3x 6x 3 3 x 1 0        x . Dấu “ ” xảy ra  x 1 . 
+) Bảng biến thiên: 
0
1
+∞
-∞
f x( )
f ' x( ) __ 0
+∞-∞x
 
x
lim f x

  ,  
x
lim f x

  . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
6 
+) Kết luận: f nghịch biến trên  . 
Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta thấy  f ' x 0 x  và  f ' x 0  x 1 , tuy nhiên f vẫn 
nghịch biến trên  . Tổng quát hơn, ta có: 
+)  f ' x 0  x a;b  , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc  a;b  
f đồng biến trên  a;b . 
+)  f ' x 0  x a;b  , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc  a;b  
f đồng biến trên  a;b . 
Ví dụ 3. Xét chiều biến thiên của hàm số   4 3 2f x 3x 4x 12x 24x 5     . 
Giải 
+)  TXÑ . 
+)        3 2 3 2 2f ' x 12x 12x 24x 24 12 x x 2x 2 12 x 1 x 2           . 
+) Bảng biến thiên: 
_
-7+16 2
-7-16 2
16
0
2
+∞
f x( )
f ' x( ) ++ _ 00
+∞02∞x
 
x
lim f x

  . 
+) Kết luận: f nghịch biến trên  ; 2  và  1; 2 , đồng biến trên  2;1 và  2; . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
7 
Ví dụ 4. Xét chiều biến thiên của hàm số   2x 3f x
1 2x



. 
Giải 
+)  TXÑ 12\  . 
+)  
 
 7 21 2x
1
2f x \' x 0
     . 
+) Bảng biến thiên: 
∞_
+∞
_ _ 11
__
1
2
_
f x( )
f ' x( )
+∞∞x
 
3
x
1x x x
x
22x 3lim f x lim lim 1
1 2x 2  

   
 
,
 
 
1x 2
lim f x


  , 
 
 
1x 2
lim f x


  . 
* Kết luận: f nghịch biến trên  12; và  12 ; (nghịch biến trên từng khoảng xác định). 
Chú ý: 
* Cách tính giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ: chia cả tử và mẫu cho lũy thừa 
bậc cao nhất ở mẫu. Chẳng hạn: 
3 4 72 x 2 3x x
3 3 5x x
2 3x x
3x 4x 7 0lim lim 0
11x 3x 5 
 
 
  
    
 (lũy thừa bậc cao nhất ở mẫu là 3x ). 
* Cách xác định các giới hạn một phía: 
 
 x x0
f x
lim
g x
 với điều kiện  0f x 0 ,  0g x 0 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
8 
+) 0a x   0x x ;a  :  g x cùng dấu với  0f x  
 
 x x0
f x
lim
g x
  . 
+) 0a x   0x x ;a  :  g x trái dấu với  0f x  
 
 x x0
f x
lim
g x
  . 
+) 0a x   0x a;x  :  g x cùng dấu với  0f x  
 
 x x0
f x
lim
g x
  . 
+) 0a x   0x a;x  :  g x trái dấu với  0f x  
 
 x x0
f x
lim
g x
  . 
Ví dụ 5. Xét chiều biến thiên của hàm số  
2x x 1f x
x 1
 


. 
Giải 
+)  TXÑ \ 1  . 
+)  
 
2x 2x
2x 1
f ' x 

 . 
+) Bảng biến thiên: 
3
-1
+∞+∞
∞_∞_
++ __
210
00
_
f x( )
f ' x( )
+∞∞x
 
12
x
1x x x x
x 1x x 1lim f x lim lim
x 1 1  
  
   
 
,  
1
x
1x x x
x 1
lim f x lim
1 
 
  

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
9 
 
 
1x 2
lim f x


  , 
 
 
1x 2
lim f x


  . 
+) Kết luận: f đồng biến trên  ;0 và  2; , nghịch biến trên  0;1 và  1;2 . 
Ví dụ 6. Xét chiều biến thiên của hàm số   2f x 1 x  . 
Giải 
+)  TXÑ -1;1 . 
+)    
2
xf ' x x 1;1
1 x

   

. 
+) Bảng biến thiên 
+
_
_0
1
00
101_
f x( )
f ' x( )
+∞∞x
* Kết luận: f đồng biến trên  1;0 , nghịch biến trên  0;1 . 
Ví dụ 7. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số  f x 1 x x 1    . 
Giải 
*  TXÑ -1;1 . 
*  
 
1 x 1 x1 1 x
2 1 x 2 1 x 2 22 1 x 1 x 1 x 1 x
f ' x    
      
      x 1;1   . 
* Bảng biến thiên 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
10 
2
+
_
_0
2
2
101_
f x( )
f ' x( )
+∞∞x
* Kết luận: f đồng biến trên  1;0 , nghịch biến trên  0;1 . 
Nhận xét: Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu 
cơ bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức). Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo hàm 
bằng cách giải một bất phương trình. 
Ví dụ 8. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 2y 2x 1 x   
Giải 
+) TXÑx  21 x 0    x 1;1  . Vậy  TXÑ 1;1  . 
+) 
2
2 2
x 2 1 x xy ' 2
1 x 1 x
 
  
 
,  x 1;1  . 
 x 1;1   , ta có y ' 0  22 1 x x 0   
  22 1 x x  
   2 2
x 0
4 1 x x


 
 2
5
x  . 
y ' 0  2
5
x  . 
+) Bảng biến thiên 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
11 
5
2
-2
-1
+ _0
1
2
5_
f x( )
f ' x( )
+∞∞x
+) Kết luận: hàm đã cho đồng biến trên 2
5
1;  
 
, nghịch biến trên 2
5
;1  
 
. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
12 
C. Bài tập 
Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau đây 
1) 3 2y 2x 2x x 2     . 
2) 3 223y x 2x 16x 31     . 
3) 3 2y x 3x 3x 5    . 
4) 4 312y x x x 5    . 
5) 4 3 2y 3x 22x 51x 36x 1      . 
6) 5 345y x x 8    . 
7) 2 x1 xy


 . 
8) 3x 32x 3y


 . 
9) 
2x 2x 4
x 2y
  

 . 
10) 1 1x x 2y   . 
11) 3x2x 1
y

 . 
12) x 1
3 x
y  . 
13) y x 2 3 x    . 
14) 2y x 2x 3   . 
15) y x 2  . 
16) 2y x 2x  . 
17) 4 4y x 2 5 x    . 
18) [ĐHA08] 4 4y 2x 2x 2 6 x 2 6 x      . 
19) 33 44y x 3 3 x 3 4 x 3 1 x 3 1 x 4 1 x            . 
20) y 2 1 x x 2 x     . 
THS. PHẠM HỒNG PH ...  (bảng biến thiên cho ta hình ảnh 
về ĐTHS). 
* Kết luận hay sử dụng: 
+) Phương trình  * có nghiệm  d có điểm chung với  C . 
+) Số nghiệm của phương trình  * bằng số điểm chung của đường thẳng d với  C . 
+) Nghiệm của  * là hoành độ điểm chung của d và  C . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
29 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Cho phương trình x 1 x m   .  1 
1) Tìm m để  1 có nghiệm. 
2) Tìm m để  1 có hai nghiệm phân biệt. 
Giải 
ĐK: 1 x 0   x 1 . 
Xét  f x x 1 x   , x 1 . 
Ta có    
2 1 x 1 3 4x1
2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 1
f ' x 1   
    
    , x 1 . 
∞_
1
5
4
3
4
+ _0
1_
f x( )
f ' x( )
+∞∞x
 
1 1x2 x 2x x 1 x
x 1 x 1 1x x x 1 2 xx
lim f x lim lim
 
 
     
    . 
Suy ra: 
1)  1 có nghiệm  đường thẳng y m có điểm chung với ĐTHS  y f x  54m  . 
2)  1 có 2 nghiệm phân biệt  đường thẳng y m có 2 điểm chung với ĐTHS  y f x 
 541 m  . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
30 
Ví dụ 2. Tìm m để phương trình 2x mx m 0    1 
có nghiệm  x 1;2 . 
Giải 
Ta có  1   2x m x 1  ( x 1 ) 
  
2xm
x 1


. 
Xét hàm  
2x
x 1f x  với  x 1;2 , ta có  
 
   
2 22x x 1 x x 2x
2 2x 1 x 1
f ' x
  
 
  . 
+∞
+_0 0
2
+
4
_
0 1_
f x( )
f ' x( )
+∞∞x
 
x 1
lim f x

  . 
 1 có nghiệm  đường thẳng y m có điểm chung với ĐTHS  y f x ,  x 1;2  
m 4 . 
Ví dụ 3. [ĐHA08] Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 
4 42x 2x 2 6 x 2 6 x m      .  1 
Giải 
Đặt    f x VT 1 . Sau đây ta khảo sát sự biến thiên của  f x . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
31 
+) TXÑx  
2x 0
6 x 0


 
   x 0;6 . 
+)  
   3 34 4
1 1 1 1f ' x
2x 6 x2 2x 2 6 x
   

 (  x 0;6 ). 
Ta thấy:  f ' 2 0 . 
0 x 2   
0 2x 4
6 x 4
 

 
  0 2x 6 x       
3 34 4
1 1
2 2x 2 6 x
1 1
2x 6 x


 


 
   f ' x 0 . 
Tương tự: 2 x 6    f ' x 0 . 
+) Bảng biến thiên 
3 2+6
12+2 34
42 6+2 6
0
+ _0
62_
f x( )
f ' x( )
+∞∞x
+) Kết luận:  1 có hai nghiệm phân biệt  42 6 2 6 m 3 2 6    . 
Ví dụ 4. [ĐHB09] Tìm để phương trình 2 2x x 2 m   1 
có 6 nghiệm phân biệt. 
Giải 
Đặt    f x VT 1 . Sau đây ta khảo sát sự biến thiên của  f x . 
+) TXÑ= . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
32 
+)    22 2f x x x 2    f ' x   
2
2 2
2
2 x 2 x
2x x 2 x .
x 2

 

 
   22 3 2
2
2x x 2 2x x 2
x 2
  

 
   2 2
2
4x x 2 x 1
x 2
 

 ( x 2  ). 
Ta thấy với x 2   f ' x cùng dấu với    2 24x x 2 x 1  . 
+) Bảng biến thiên 
_1 12
+
_
_0
20_
f x( )
f ' x( )
+∞∞x
 
x
lim f x

  . 
+) Kết luận:  1 có 6 nghiệm phân biệt  0 m 1  . 
Ví dụ 5. [ĐHB07] Chứng minh với mọi giá trị dương m , phương trình sau có hai nghiệm thực 
phân biệt: 
 2x 2x 8 m x 2    .  1 
Giải 
+) Điều kiện để  1 có nghĩa: x 2 0   x 2 . 
+) Ta thấy x 2   VT 1 0 . Do đó: 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
33 
  1     22x 2x – 8 m x – 2  
      2x 2 x – 2 x 4 – m 0      
 3 2
x 2
x 6x 32 m


  
. 
 2
+) Xét   3 2f x x 6x 32   , x 2 . Ta có   2f ' x 3x 12x 0   , x 2  . 
+) Bảng biến thiên: 
+∞
+
0
2_
f x( )
f ' x( )
+∞∞x
 
x
lim f x

  . 
Từ bảng biến thiến suy ra: với m 0 thì  2 luôn có đúng một nghiệm x 2   1 có đúng 
2 nghiệm (ĐPCM). 
Ví dụ 6. [ĐHD04] Chứng minh phương trình sau có đúng 1 nghiệm 
5 2x x 2x 1 0    .  1 
Giải 
 0x là nghiệm của  1   
25
0 0x x 1  
  50x 0 (do  
2
0x 1 0  ) 
  0x 0 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
34 
   20x 1 1  
  50x 1 
  0x 1 . 
Do đó: để chứng minh  1 có nghiệm duy nhất ta chỉ cần chứng minh  1 có nghiệm duy nhất 
thuộc  1; . Xét   5 2f x x x 2x 1    , x 1 . 
+) Ta có      4 4 4 4f ' x 5x 2x 2 x 2 x x 2 x 1 0         x 1  . 
+) Bảng biến thiên của  f x , x 1 : 
+∞
+
-3
1_
f x( )
f ' x( )
+∞∞x
 
x
lim f x

  . 
 ĐTHS  f x ( x 1 ) có đúng một điểm chung với trục hoành   1 có nghiệm duy nhất 
thuộc  1;   1 có nghiệm duy nhất (ĐPCM). 
Ví dụ 7. Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt 
   3 22x 2x x 1 m 0     .  1 
Giải 
Ta có  1     32 2x 2x x 2x m 1      . 
Đặt 2t x 2x  ,  2 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
35 
phương trình đã cho trở thành 
 3t t m 1    .  3 
 2  2x 2x t 0   , ' 1 t   .  2 có nghiệm  ' 0   t 1  . 
Xét   3f t t t  , t 1  . Ta có   2f ' t 3t 1 0   t 1   . 
_
+∞
+
0
1_
f t( )
f ' t( )
+∞∞t
 
t
lim f t

  . 
Ta thấy t 1  ( ' 0  ) cho đúng một nghiệm x , t 1  ( ' 0  ) cho đúng hai nghiệm x . 
Do đó  1 có 2 nghiệm phân biệt   3 có nghiệm t 1   m 1 0    m 1  . 
Ví dụ 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
3 3sin x cos x m  .  1 
Giải 
Ta có  1     sin x cos x 1 sin xcos x m   . 
Đặt  4t sin x cos x 2 sin x     .  2 
 2 có nghiệm x  t 2; 2    . Từ  2 , bình phương hai vế ta được 
2t 1 2sin xcos x   
21 t
2sin xcos x
 . 
Do đó, với phép đặt ẩn phụ  2 , phương trình  1 trở thảnh 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
36 
21 tt 1 m
2
 
   
 
  3t 3t 2m   .  3 
Xét   3f t t 3t  , t 2; 2    . Ta có    2 2f ' t 3t 3 3 t 1    . 
2
2
2_
2
++ _ 00
_ 11 2
++
_ 2_
f t( )
f ' t( )
+∞∞t
Do đó  1 có nghiệm   3 có nghiệm t 2; 2     2 2m 2     1 m 1   . 
Ví dụ 9. [ĐHB04] Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
2 2 4 2 2m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x           
 
.  1 
Giải 
+) Điều kiện để  1 có nghĩa:  x 1;1  . 
+) Đặt 2 21 x 1 xt    .  2 
Ta tìm điều kiện của t để  2 có nghiệm đối với x . Xét   2 2f x 1 xx 1   ,  x 1;1  . 
Ta có   1 1
2 21 x 1 x
f ' x x
 
 
   
 
 (  x 1;1  )   f ' x cùng dấu với x  x 1;1   . 
Bảng biến thiên của  f x : 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
37 
2 2
0
-1
+_ 0
10_
f x( )
f ' x( )
+∞∞x
Từ đó suy ra:  2 có nghiệm đối với x  t 0; 2    . 
+) Ta có 4 22 1 x 2 t     1 trở thành 
  2m t 2 t t 2      
2t t 2
t 2m
  

 (do t 0; 2    ).  3 
Xét hàm  
2t t 2
t 2g t
  

 , t 0; 2    . 
Ta có  
 
2t 4t
2t 2
g' t 0 

  t 0; 2     , dấu “ ” xảy ra  t 0 . 
Bảng biến thiên của  g t : 
2-1
1
+0
0 2_
f x( )
f ' x( )
+∞∞x
 1 có nghiệm   3 có nghiệm t 0; 2     2 1 m 1   . 
Ví dụ 10. [ĐHA07] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
4 23 x 1 m x 1 2 x 1     .  1 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
38 
Giải 
+) Điều kiện để  1 có nghĩa là x 1 . 
+) Chia hai vế cho x 1 0  ta được phương trình tương đương: 
4x 1 x 13 m 2
x 1 x 1
 
 
 
. 
Đặt 4 4
x 1 2t 1
x 1 x 1

  
 
, dễ thấy phương trình này có nghiệm x 1  0 t 1  . 
+) Với phép đặt ẩn phụ như trên, phương trình đang xét trở thành: 
23t m 2t   2m 3t 2t   .  2 
Xét   2f t 3t 2t   ( 0 t 1  ), ta có  f ' t 6t 2   . 
Bảng biến thiên của  f t là: 
1
3
-1
0
-0
1
1
30
+
_
f x( )
f ' x( )
+∞∞x
 1 có nghiệm   2 có nghiệm  t 0;1  131 m   . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
39 
C. Bài tập 
Bài 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
1) 2 x 2 x m    . 
2) 2x 1 x m   . 
3) 2 2 2x x 1 x x 1 m 0       . 
4)  x x x 12 m 5 x 4 x      . 
5)  x 6 x x 6 x m     . 
6)       x 1x 3x 3 x 1 4 x 3 m


     . 
Bài 2. [ĐHA02] Tìm k để phương trình 3 2 3 2x 3x k 3k 0     có ba nghiệm phân biệt. 
Bài 3. Chứng minh với mọi  m 2;2  , phương trình 3 2 2x 3x m 0   luôn có ít nhất hai 
nghiệm phân biệt. 
Bài 4. Tìm m để phương trình 4 2x 2x 4m 0   có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng 
 2;2 . 
Bài 5. Tìm m để phương trình      22 2x 2x m 1 x 2x m 1 0       có nghiệm thuộc đoạn 
 3;0 . 
Bài 6. [ĐHA02] Cho phương trình 2 23 3log x log x 1 2m 1 0     . 
1) Giải phương trình khi m 2 . 
2) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 31;3   
. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
40 
Bài 7. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình    3 2x 1 m x 1 0    . 
Bài 8. Giải phương trình x x2 3 3x 2   . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
41 
D. Hướng dẫn và đáp số 
Bài 1 1) m 2;2 2    . 2) m 1; 2    . 3) m 2 . 4)  m 12 5 4 ;12    . 
5)  x 6 x x 6 x m      1 . Đặt t x 6 x    2   
2t 6
2x 6 x
  . 
 1 trở thảnh: 
2t 6
2t m
   2t 2t 6 2m    3 .  2 có nghiệm đối với x  
t 6;2 3    .  1 có nghiệm   3 có nghiệm t 6;2 3     3 2 3 m 6    . 
6)       x 1x 3x 3 x 1 4 x 3 m


      1 . Đặt   x 1x 3t x 3


   2 ,  1 trở thành 
2t 4t m   3 . 
Chứng minh  2 có nghiệm x với mọi t . Do đó  1 có nghiệm   3 có nghiệm  
m 4  . 
Bài 2 
Phương trình có ba nghiệm phân biệt  3 20 k 3k 4          k 1;0 0;2 2;3    . 
Bài 4 2 m 0   . 
Bài 5      22 2x 2x m 1 x 2x m 1 0        1 . Đặt 2t x 2x   2 .  2 có nghiệm 
 x 3;0    t 1;3  . Với phép đặt ẩn phụ  2 ,  1 trở thành 
 2t m 1 t m 1 0      
2t t 1 m
t 1
 


  3 . 
 1 có nghiệm  x 3;0    3 có nghiệm  t 1;3   32 m 1    . 
Bài 6 
1) 3x 3 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
42 
2) 2 23 3log x log x 1 2m 1 0      1 . Đk: x 0 . 
Đặt 23t log x 1   2 .  2 có nghiệm 3x 1;3       t 1;2 . Với phép đặt ẩn phụ  2 , 
 1 trở thành 2t t 2m 2    3 . 
 1 có nghiệm 3x 1;3       3 có nghiệm  t 1;2  0 m 2  . 
Bài 7 
+) 272k  : phương trình có 1 nghiệm. 
+) 272k  : phương trình có 2 nghiệm. 
+) 272k  : phương trình có 3 nghiệm. 
Bài 8 x x2 3 3x 2    1 .  1  x x2 3 3x 2 0     2 . Xét   x xf x 2 3 3x 2    , ta 
có   x xf ' x 2 ln 2 3 ln 3 3   ,   x 2 x 2f " x 2 ln 2 3 ln 3 0   x   f ' x đồng biến trên 
 , lại có  
x
lim f ' x 3

  và  
x
lim f ' x

   phương trình  f ' x 0 có nghiệm duy 
nhất (giả sử nghiệm đó là  ). Vì  f ' x đồng biến nên  f ' x 0  x ;    ,  f ' x 0 
 x ;      f x đồng biến trên  ;  , nghịch biến trên  ;    2 có tối đa hai 
nghiệm, mặt khác ta thấy 0 và 1 là các nghiệm của  2   0;1 là tập nghiệm của  2 hay 
 0;1 là tập nghiệm của  1 .