Chuyên đề Số phức - Ôn thi tốt nghiệp

MATHVN.COM – www.mathvn.com 
www.mathvn.com -1- 
Năm học: 2009 – 2010 
MATHVN.COM – www.mathvn.com 
www.mathvn.com -2- 
A. SỐ PHỨC. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC. 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 
1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và 
số i thỏa mãn 2 1i = - . 
Kí hiệu z a bi= + 
· i: đơn vị ảo, · a: phần thực, · b: phần ảo. 
Chú ý: 
o z a 0i a= + = được gọi là số thực (a )Ỵ Ì¡ £ 
o z 0 bi bi= + = được gọi là số ảo 
o 0 0 0i= + vừa là số thực vừa là số ảo 
Biểu diễn hình học của số phức: M(a;b) biểu diễn cho số phức z Û z = 
a + bi 
2. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức z a bi= + và z ' a ' b 'i= + với 
a,b,a ', b 'Ỵ ¡ 
a a '
z z '
b b '
=ì
= Û í =ỵ
3. Cộng và tr ừ số phức. Cho hai số phức z a bi= + và z ' a ' b 'i= + với 
a,b,a ', b 'Ỵ ¡ 
( ) ( )z z ' a a ' b b ' i+ = + + + 
( ) ( )z z ' a a ' b b ' i- = - + - 
o Số đối của z = a + bi là –z = – a – bi (a, b )Ỵ ¡ 
4. Nhân hai số phức. Cho hai số phức z a bi= + và z ' a ' b 'i= + với a,b,a ', b 'Ỵ ¡ 
( ) ( )z.z ' aa ' bb ' ab ' a 'b i= - + + 
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi= - 
o '.'.;''; zzzzzzzzzz =+=+= 
o z là số thực zz =Û ; z là số ảo zz -=Û 
6. Môđun của số phức z = a + bi 
o 2 2z a b zz OM= + = =
uuuur
o 00,0 =Û=Ỵ"³ zzCzz 
o z.z ' z z ' , z z ' z z ' z, z '= + £ + " Ỵ£ 
7. Chia hai số phức. 
o Số phức nghịch đảo của z (z )0¹ : z
z
z
2
1 1=- 
x
y
a
b
O
M
MATHVN.COM – www.mathvn.com 
www.mathvn.com -3- 
o Thương của z’ chia cho z (z 0)¹ : 
zz
zz
z
zz
zz
z
z ''
'
'
2
1 === - 
o Với z .'',0 wzzw
z
z
=Û=¹ , 
z
z
z
z
z
z
z
z ''
,
''
==÷
ø
ư
ç
è
ỉ 
II. CÁC DẠNG TOÁN 
Bài toán 1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau: 
a. z i (2 4i)(3 2i)= + - + ; b. 3 3z ( 1 i) (2i)= - + - ; c. ( )2z 1 i
1 i
= + +
-
Giải. 
a. z i (2 4i)(3 2i) i 14 8i 14 7i= + - + = + - = - 
Phần thực a = 14; Phần ảo b = 7- ; môđun z 7 5= 
b. 3 3z ( 1 i) (2i) 2 2i ( 8i) 2 10i= - + - = + - - = + 
Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun z 2 26= 
c. ( )2z 1 i 1 i 1 i 2
1 i
= + + = + + - =
-
Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun z 2= 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 
1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau: 
a. (4 – i) + (2 + 3i) 
– (5 + i) 
b. (2 + i)3 – (3 – i)3 
c. 
-
1
2 3i
d. - 3(2 3i) 
e. (1 + i)2 – (1 – i)2 
f. ( ) ( )+ - -2 23 i 3 i 
g. (2 + i)3 – (3 – i)3 
h. + - -
+ - -
2 3
3 2
(1 2i) (1 i)
(3 2i) (2 i)
i. ( )2 4 53 2
2
-
- +
+
i
i
i
j. ( 1- 2 i ) + 
i
i
+
+
2
1 
k. -3 2i
i
l. ( ) ( )[ ].)25(223 3 iii ---+ 
m. - --
+
3 2
1
i i
i i
n. 
i
i
i
i -
-
+
- 2
1
3 
o. + ++
- -
3 2i 1 i
1 i 3 2i
p. 
( ) )32(41
43
ii
i
+-
- 
2. Tính 
a. 
i21
3
+
b. 
i
i
-
+
1
1 
c. 
mi
m 
h. 
ai
bia + 
i. (2 – i)4 
j. 
i
2
3
2
1
1
-
n. (2 + 3i)2 
o. (2 – 3i)3 
p. 
i
i
+
+
1
24 
q. 2 i (1 i)(4 3i)
3 2i
+ + + -
+
MATHVN.COM – www.mathvn.com 
www.mathvn.com -4- 
d. 
aia
aia
-
+ 
e. 
)1)(21(
3
ii
i
+-
+ 
f. 2i(3 + i)(2 + 4i) 
g. 3 + 2i + (6 + i)(5 + i) 
k. 
i
i
i
63
45
34
+
+
+- 
l. ( ) ( )
i
ii
+-
+
2
21 32 
m. (3 – 2i)(2 – 3i) 
r. (3 4i)(1 2i) 4 3i
1 2i
- +
+ -
-
s. 3 i
i
- + (5 – i)2 
t. 2 2i 1 2i
1 2i 2 2i
+ +
+
- -
Bài toán 2. Tính 2012(1 i)+ 
Giải. 
10062012 2 1006 1006 1006 1006 2 503 1006 503 1006(1 i) (1 i) (2i) 2 .i 2 .(i ) 2 .( 1) 2é ù+ = + = = = = - = -ë û 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 
Tính. 
a. 2 3 20091 ...i i i i+ + + + + b. 100(1 )i- c. 2008 2008(1 ) (1 )+ + -i i 
Bài toán 3. Tìm các số thực x và y biết 2x yi 3 2i x yi 2 4i+ - + = - + + 
Giải. 
2x 3 x 2 x 4
2x yi 3 2i x yi 2 4i (2x 3) (y 2)i (x 2) (4 y)i
y 2 4 y y 1
- = + =ì ì
+ - + = - + + Û - + + = + + - Û Ûí í+ = - =ỵ ỵ
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 
Tìm các số thực x và y biết: 
a. (2x + 3) + (y + 2) i = x – (y – 4) i 
b. (2 – x) – i 2 = 3 + (3 – y) i 
c. (3x - 2) + (2y + 1) i = (x + 1) – (y 
– 5) i 
d. (2x + y) + (y + 2) i = (x + 2) – 
(y – 4) i 
Bài toán 4. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho 
số phức z thỏa mãn: 
a. z i z 2 3i+ = - - ; b. z 3 1+ £ 
Giải. Đặt z x yi= + , khi đó: 
a. z i z 2 3i x yi i x yi 2 3i x (y 1)i x 2 (y 3)i+ = - - Û + + = + - - Û + + = - + - 
 2 2 2 2 x (y 1) (x 2) (y 3) x 2y 3 0Û + + = - + - Û + - = 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng x 2y 3 0+ - = 
b. 2 2 2 2z 3 1 x yi 3 1 x 3 yi 1 (x 3) y 1 (x 3) y 1+ £ Û + + £ Û + + £ Û + + £ Û + + £ 
MATHVN.COM – www.mathvn.com 
www.mathvn.com -5- 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn 2 2(x 3) y 1+ + £ tâm 
I(-3;0) và bán kính bằng 1 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 
Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z 
thỏa mãn: 
a. 43 =++ zz 
b. 2|z – i| = izz 2+- 
c. 3 4z z i= - + 
d. 1z i
z i
-
=
+
e. 1 2z i- + = 
a. z + 2 z = 2 – 4i 
b. 02 =- zz 
f. 02 =+ zz 
g. 2 z i z+ = - 
h. z = 1 
i. z = iz 43+- 
j. 10)_2( =- iz và '.zz = 25 
k. z £ 1 
l. z =1 và phần ảo của z =1 
m. ( ) 243 =-- iz 
n. 1
4
=÷
ø
ư
ç
è
ỉ
-
+
iz
iz 
o. 1=
+
-
iz
iz 
p. 1< z £2 
q. 1222 -=- zzi 
r. phần thực của z 
thuộc đọan [0;1], 
phần ảo của z 
thuộc đoạn [-1;2] 
c. izz 422 -=+ 
d. 022 =+ zz 
B. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG SỐ 
PHỨC 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 
1. Căn bậc hai của số phức 
o z 0= có một căn bậc hai là 0 
o z a= là số thực dương có 2 căn bậc 2 là a± 
o z a= là số thực âm có 2 căn bậc hai là a .i± 
o z = x + yi là số phức có căn bậc 2 là w = a + bi sao cho 
2 2
2 x y aw z
2xy b
ì - =
= Û í
=ỵ
 (a, b, x, y )Ỵ ¡ 
2. Phương tr ình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số thực cho trước, 
A 0¹ ). 
Tính 2B 4ACD = - 
o 0D > : Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2
B
z ,
2A
- ± D
= 
o 0D < : Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2
B i
z ,
2A
- ± D
= 
MATHVN.COM – www.mathvn.com 
www.mathvn.com -6- 
o 0=D : Phương trình có 1 nghiệm kép là 1 2
B
z z
2A
= = - 
3. Phương tr ình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, 
A 0¹ ). 
Tính 2B 4ACD = - 
o 0¹D : Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2
B
z ,
2A
- ± d
= , 
(d là 1 căn bậc hai của )D 
o 0=D : Phương trình có 1 nghiệm kép là 1 2
B
z z
2A
= = - 
II. CÁC DẠNG TOÁN. 
Bài toán 1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 
a. 4- ; b. 3 4i- (NC) 
Giải. 
a. Hai căn bậc hai của 4- là 4 .i 2i± - = ± 
b. Gọi w x yi= + là căn bậc hai của 3 4i- , ta có: 
2
2 2 4 2
2 2 2
x 2x 1 ( ) x 2
x y 3 x 3x 4 0 y 1x y 3 x 2x 4
2 2
2xy 4 x 2y y 22 yx x y
y 1xx
é =ììé = - ì =é íêì ì- = - - = ïê ïê = -ì - = ï ï ï ï ỵ= -= êëëÛ Û Û Û Ûí í í í í ê= - = -= - = - ìỵ ï ï ï ï ê= -ỵ ỵ í= -ï ï =ỵ êỵ ỵë
loại
Vậy 3 4i- có hai căn bậc hai là 2 i- và 2 i- + 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 
1. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 
8;3; 9- ; 11- ; -I; -2i; 2i; 4i 
2. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: (NC) 
5 12i- + ; 8 6i+ ; 33 56i- ; 3 4i- + ; 3+4i; 5 – 12i 
Bài toán 2. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 
a. (3 2i)z 4 5i 7 3i- + + = - ; b. z 2 3i 5 2i
4 3i
+ - = -
-
Giải. 
a. 3 8i 25 18(3 2i)z 4 5i 7 3i (3 2i)z 3 8i z i
3 2i 13 13
-
- + + = - Û - = - Û = = -
-
b. z z2 3i 5 2i 3 i z (3 i)(4 3i) 15 5i
4 3i 4 3i
+ - = - Û = + Û = + - = -
- -
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 
Giải các phương trình sau trên tập số phức: 
a. 
i
i
z
i
i
+
+-
=
-
+
2
31
1
2 h. 3 5i 2 4i
z
+
= - 
MATHVN.COM – www.mathvn.com 
www.mathvn.com -7- 
b. 2iz + 1 – i = 0 
c. (1 – i )z + 2 – i = 2z + i 
d. ( iz –1 )( z + 3i )( z – 2 + 3i) = 
0 
e. ( 2 i) z – 4 = 0 
f. ( )4 5i z 2 i- = + 
g. ( ) ( )23 2i z i 3i- + = 
s. (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z 
t. (3 + 4i)z =(1 + 2i)( 4 + i) 
i. (2 3 ) 5 2
4 3
z i i
i
+ - = -
-
j. (1 + 3i)z – (2 + 5i)= (2 + i) 
k. (3 – 2i)z + (6 – 4i)= 5 – i 
l. (3 + 4i)z + (1 – 3i)=2 + 5i. 
m. 1 1z 3 i 3 i
2 2
- = +
ỉ ư
ç ÷
è ø
n. 0)
2
1
](3)2[( =+++-
i
izizi 
Bài toán 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC) 
 a. 27z 3z 2 0+ + = ; b. 23x 2x 1 0- + - = 
Giải. 
a. 27z 3z 2 0+ + = 
2b 4ac 47 0D = - = - < 
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 
1
b i 3 47.i 3 47
z i
2a 14 14 14
- + D - +
= = = - + 
2
b i 3 47.i 3 47
z i
2a 14 14 14
- - D - -
= = = - - 
b. 23x 2x 1 0- + - = 
2' b ' ac 2 0D = - = - < 
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 
1
b ' i ' 1 2.i 1 2
x i
a 3 3 3
- + D - +
= = = -
-
2
b ' i ' 1 2.i 1 2
x i
a 3 3 3
- - D - -
= = = +
-
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 
1. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 
a. 01.32 =+- xx 
b. 02.32.23 2 =+- xx 
c. 23 2 0x x- + = 
d. 23 2 0+ + =x x 
e. 2 1 0+ + =x x 
f. z4–8 = 0 
g. x3 – 1 = 0 
h. z3 + 1 = 0 
i. z4 + 4 = 0 
j. 5z2 – 7z + 11 = 0 
k. z2 - 2 3 z + 7 = 0 
l. z3 – 8 = 0 
m. z2 + z +7 = 0 
n. z2 – z + 1 = 0 
o. z2 + 2z + 5 = 0 
p. 8z2 – 4z + 1 = 0 
q. x2 + 7 = 0 
r. x2 – 3x + 3 = 0 
s. x2 –5x +7=0 
t. x2 –4x + 11 = 0 
u. z2 – 3z + 11 = 0 
MATHVN.COM – www.mathvn.com 
www.mathvn.com -8- 
2. Giải phương trình sau trên trường số phức 
a. z4 – 5z2 – 6 = 0 
b. z4 +7z2 – 8 = 0 
c. z4 – 8z2 – 9 = 0 
d. z4 + 6z2 + 25 = 0 
e. z4 + 4z – 77 = 0 
f. 8z4 + 8z3 = z + 1 
g. z4 + z3 + 
2
1 z2 + z + 1 = 0 
h. z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0 
i. 4 3 7 2z i z i
z i
- -
= -
-
j. 3 21 1 1 0
2 2 2
z z z+ + - = 
Bài toán 4. Giải các phương trình sau trên tập số phức: (NC) 
 a. 2x (3 4i)x 5i 1 0- + + - = ; b. 2z 2iz 2i 1 0- + - = 
Giải. 
a. 2x (3 4i)x 5i 1 0- + + - = 
2 2b 4ac 3 4i (1 2i) 0D = - = - + = + ¹ 
Gọi d là một căn bậc hai của D , ta có 1 2id = + 
Do 0D ¹ , phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 
1
b 3 4i 1 2i
x 2 3i
2a 2
- + d + + +
= = = + 
2
b 3 4i (1 2i)
x 1 i
2a 2
- -d + - +
= = = + 
b. 2z 2iz 2i 1 0- + - = 
2 2' b ' ac 2i (1 i) 0D = - = - = - ¹ 
Gọi 'd là một căn bậc hai của 'D , ta có ' 1 id = - 
Do ' 0D ¹ , phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 
1
b ' ' i 1 i
z 1
a 1
- + d + -
= = = 
2
b ' ' i (1 i)
z 1 2i
a 1
- -d - -
= = = - + 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. (NC) 
1. Giải các phương trình sau trên tập số phức: 
a. x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 
b. (z2 + i)(z2 – 2iz - 1) = 0 
c. ( )2 1 2 0+ + - - =x i x i 
d. 2z2 – iz + 1 = 0 
e. z2 + (-2 + i)z – 2i = 0 
f. z2 + (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0 
g. z2 + ( 1 – 3 i)z – 2(1 + i) = 0 
h. ( )2 2 8 14 23 0x i x i- + + - = 
j. 2 80 4099 100 0- + - =z z i 
k. ( ) ( )23 6 3 13 0+ - - + - + =z i z i 
l. ( )2 cos sin cos sin 0.- + + =z i z ij j j j 
m. ( )4 28 1 63 16 0- - + - =z i z i 
n. ( )4 224 1 308 144 0- - + - =z i z i 
o. ( 1 – i)x2 – 2x – (11 + 3i) = 0 
p. ( 1 + i)x2 – 2(1 – i)x + 1 – 3i = 0 
MATHVN.COM – www.mathvn.com 
www.mathvn.com -9- 
i. ( ) ( )2 5 14 2 12 5 0- - - + =z i z i q. z2 + 18z + 1681 = 0 
2. Giải các hệ phương trình : 
a. 
ỵ
í
ì
-=+
+=+
izz
izz
25
4
2
2
2
1
21 
b. 
ỵ
í
ì
+-=+
--=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21 
c. 
2 2
1 2
1 2
5 2
4
ì + = +
í
+ = -ỵ
z z i
z z i
d. 
2 2 4 0
2
ì + + =
í
+ =ỵ
u v uv
u v i
e. 2
1
ì - =ï
í
- = -ïỵ
z i z
z i z
C. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC. (NC) 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 
1. Dạng lượng giác của số phức. 
z = r(cos i sin )j+ j (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b 
, z 0)Ỵ ¹¡ 
o 2 2r a b= + là môđun của z 
o j là một acgumen của z thỏa 
a
cos
r
b
sin
r
ì j =ïï
í
ï j =
ïỵ
2. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z = 
r(cos i sin ) , z ' r '(cos ' i sin ')j+ j = j + j thì : 
o z.z ' r.r '[cos( ') i sin( ')]= j+j + j+j 
o z r [cos( ') i sin( ')]
z ' r '
= j-j + j-j 
3. Công thức Moa-vrơ : *NnỴ thì n n[r(cos i sin )] r (cos n isin n )j+ j = j+ j 
Nhân xét: n(cos i sin ) cos n isin nj+ j = j+ j 
4. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác 
Căn bậc hai của số phức z = r(cos )sinjj i+ (r > 0) là 
(cos sin )
2 2
r i
j j
+ và (cos sin ) [cos( ) sin( )]
2 2 2 2
r i r i
j j j jp p- + = + + + 
II. CÁC DẠNG TOÁN. 
Bài toán 1. Viết dạng lượng giác của các số phức sau: 
 a. z 2 2i= - ; b. z 1 3.i= - - 
Giải. 
a. z 2 2i= - 
o Mô đun 2 2r a b 2 2= + = 
MATHVN.COM – www.mathvn.com 
www.mathvn.com -10- 
o Gọi j là một acgumen của z ta có 
1
cos
2
1 4
sin
2
ì j =ï pï Þ j = -í
ï j = -
ïỵ
Dạng lượng giác z 2 2 cos i sin
4 4
é p p ùỉ ư ỉ ư= - + -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
b. z 1 3.i= - - 
o Mô đun 2 2r a b 2= + = 
o Gọi j là một acgumen của z ta có 
1
cos
22
33
sin
2
ì j = -ï pï Þ j = -í
ï j = -ïỵ
Dạng lượng giác 2 2z 2 cos i sin
3 3
é p p ùỉ ư ỉ ư= - + -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 
1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: 
a. i.322 +- 
b. 4 – 4i 
c. 1 – i.3 
d. 
4
sin.
4
cos
pp
i- 
e. 
8
cos.
8
sin
pp
i-- 
f. )1)(3.1( ii +- 
g. 1 3
1
-
+
i
i
2. Thực hiện phép tính 
a. 5 )
4
sin.
4
(cos3).
6
sin.
6
(cos
pppp
ii ++ 
b. 
)15sin.15(cos3
)45sin.45(cos2
00
00
i
i
+
+ 
c. 3(cos20o + isin20o)(cos25o + 
isin25o) 
d. 
)
2
sin.
2
(cos2
)
3
2
sin.
3
2
(cos2
pp
pp
i
i
+
+
3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: 
a. 31 i- 
b. 1 + i 
c. )1)(31( ii +- 
d. 
i
i
+
-
1
31 
e. )3.(.2 ii - 
f. 
i22
1
+
g. z = jj cos.sin i+ 
Bài toán 2. Tính: 
 a. ( )610(1 i) 3 i- + ; b. 
( )
10
9
(1 i)
3 i
+
+
Giải. 
a. ( )610(1 i) 3 i- + 
( )
10
10 5 5 5(1 i) 2 cos i sin 2 cos i sin 32 0 i 32i
4 4 2 2
é ùỉ p p ư é p p ùỉ ư ỉ ư ỉ ư ỉ ư- = - + - = - + - = - = -ê úç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ê úè ø è ø è ø è øè ø ë ûë û
MATHVN.COM – www.mathvn.com 
www.mathvn.com -11- 
( ) ( ) ( )
6
6
6 63 i 2 cos i sin 32. cos i sin 2 1 0i 2
6 6
é p p ùỉ ư+ = + = p+ p = - + = -ç ÷ê úè øë û
( ) ( )510(1 i) 3 i 32i. 64 2048iÞ - + = - - = 
b. 
( )
10
9
(1 i)
3 i
+
+
( )
10
10 5 5 5(1 i) 2 cos i sin 2 . cos i sin 32 i 32i
4 4 2 2
é p p ù p pỉ ư ỉ ư+ = + = + = =ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
( )
9
9
9 3 33 i 2 cos i sin 2 cos isin 512i
6 6 2 2
é p p ù p pỉ ư ỉ ư+ = + = + = -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
( )
10
9
(1 i) 1
163 i
+
Þ = -
+
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 
Tính : 
a. [ 00 30sin30(cos2 i+ )]7 
b. 6)3( i- 
c. 
33
1
1
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
-
+
i
i 
d. 
12
2
3
2
1
÷÷
ø
ư
çç
è
ỉ
+ i 
e. 
2010
i 1
i
+ỉ ư
ç ÷
è ø
f. 
21
321
335
÷÷
ø
ư
çç
è
ỉ
-
+
i
i 
g. 5 7cos sin (1 3 )
3 3
ỉ ư- +ç ÷
è ø
i i i
p p 
h. 
280
3
1
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
+-
+
i
i 
i. ( )251 i+ 
j. ( )( )49
50
3
1
i
i
+
+ 
k. (cos12o + isin12o)5 
Bài toán 3. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: 
 a. z 1 i 3= - - ; b. 1 i 3z
1 i
-
=
+
Giải. 
a. 1 i 3- - 
Dạng lượng giác: 2 2z 2 cos i sin
3 3
é p p ùỉ ư ỉ ư= - + -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
Hai căn bậc hai của z là 
1
1 3 1 3 2 6
w 2 cos isin 2 i i i
3 3 2 2 2 22 2
ỉ ưé p p ùỉ ư ỉ ư= - + - = - = - = -ç ÷ç ÷ ç ÷ê ú ç ÷è ø è øë û è ø
 và 
2
1 3 1 3 2 6
w 2 cos isin 2 i i i
3 3 2 2 2 22 2
ỉ ưé p p ùỉ ư ỉ ư= - - + - = - - = - + = - +ç ÷ç ÷ ç ÷ê ú ç ÷è ø è øë û è ø
b. 1 i 3z
1 i
-
=
+
Dạng lượng giác 7 7z 2 cos i sin
12 12
é p p ùỉ ư ỉ ư= - + -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
MATHVN.COM – www.mathvn.com 
www.mathvn.com -12- 
Hai căn bậc hai của z là 41
7 7
w 2 cos isin
24 24
é p p ùỉ ư ỉ ư= - + -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
 và 
 4 42
7 7 17 17
w 2 cos isin 2 cos i sin
24 24 24 24
é p p ù é p p ùỉ ư ỉ ư ỉ ư ỉ ư= - - + - = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ê ú ê úè ø è ø è ø è øë û ë û
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 
Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau : 
a. –1 + 4 i.3 
b. 4 + 6 i.5 
c. –1 – 2 i.6 
d. 1+ 34 i 
e. ( 3 - i)6 
f. 
2004
1
÷
ø
ư
ç
è
ỉ
+ i
i 
g. i3411+- 
h. ( )i-1
2
2 
i. 
4
sin
4
cos
pp
i- 
j. 
3
sin
3
cos
pp
i- 
k. 4 6 5i+ 
l. 1 2 6i- -