Chuyên đề: Số phức - Luyện thi Đại học

Chuyên đề 4: SỐ PHỨC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1/ Tập hợp số phức: C
2/ Số phức (dạng đại số) : z = a + bi (a, b, i là đơn vị ảo, i2 = -1); a là phần thực, b là phần ảo củaz
z là số thực phần ảo của z bằng 0 (b = 0)
z là phần ảo phần thực của z bằng 0 (a = 0)
3/ Hai số phức bằng nhau: 
a + bi = a’ + b’i
4/ Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b được biểu diễn bởi điểm M(a ; b) hay bởi trong mp(Oxy) (mp phức) y
 M(a+bi)
 0 x
5/ Cộng và trừ số phức : 
 . (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i
 . (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’
Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi (a, b 
z biểu diễn , z’ biểu diễn thì z + z’ biểu diễn bởi và z – z’ biểu diễn bởi 
6/ Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’.
7/ Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là 
 a) 
 b) z là số thực ; z là số ảo 
8/ Môđun của số phức : z = a + bi 
 a) 
 b) 
 c) 
9/ Chia hai số phức :
 a) Số phức nghịch đảo của z (z: 
 b) Thương của z’ chia cho z (z: 
 c) Với z, 
10/ Căn bậc hai của số phức : 
z là căn bậc hai của số phức 
z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi (a, b, x, y
a) w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
b) w có đúng hai căn bậc hai đối nhau 
 * Hai căn bậc hai của a > 0 là 
 * Hai căn bậc hai của a < 0 là 
11/ Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là số phức cho trước, A ).
 a) : Phương trình có hai nghiệm phân biệt , ( là 1 căn bậc hai của 
 b) : Phương trình có 1 nghiệm kép là 
12/ Dạng lượng giác của số phức : 
 * z = (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b 
 + là một acgumen của z.
 + 
13/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.
Nếu z = r(costhì :
 a) ]
 b) 
14/ Công thức Moa-vrơ : thì 
15/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Căn bậc hai của số phức z = r(cos (r > 0) là 
C¸C BµI TËP PHÇN Sè PHøC
Bµi 1: BiĨu diƠn c¸c sè phøc sau vµ c¸c sè phøc cđa chĩng trªn mỈt ph¼ng phøc: 
 2+3i ; -4+2i ; -1-3i ; -5 ; 2i 
Bµi 2: T×m c¸c sè phøc liªn hỵp víi c¸c sè phøc trªn råi biĨu diƠn chĩng trªn mỈt ph¼ng phøc
Bµi 3: Cho 2 sè phøc : z = a+bi ; z’ = a’+b’i Víi ®iỊu kiƯn nµo gi÷a a, b, a’, b’ th×
a/ Tỉng, hiƯu cđa z vµ z’ lµ sè thùc; lµ sè thuÇn ¶o
b/ TÝch, th­¬ng cđa z vµ z’ lµ sè thùc ; lµ sè thuÇn ¶o
c/ z2 , z3 lµ sè thùc ; lµ sè thuÇn ¶o
Bµi4: Cho z vµ z' lµ hai sè phøc bÊt k× . Chøng minh r»ng :
Bµi5: Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh (m,a,b >0)
	a/ b/ c/
Bµi6: Cho sè phøc z = a+bi . Hái a,b ph¶i tho¶ m·n ®iỊu kiƯn g× ®Ĩ 
a/§iĨm biĨu diƠn cĩng n»m trong d¶i gi÷a 2 ®­êng th¼ng x = -2 vµ x = 2
b/§iĨm biĨu diƠn cĩng n»m trong d¶i gi÷a 2 ®­êng th¼ng y = -3i vµ y = 3i
c/§iĨm biĨu diƠn cĩng n»m trong h×nh trßn t©m O, b¸n kÝnh 2
Bµi7: Ph©n tÝch ra thõa sè phøc
a/ a2 + 1 b/ 2a2 + 3 c/ 4a2 + 9b2 d/ 3a2 + 5b2
Bµi8: ViÕt d­íi d¹ng l­ỵng gi¸c c¸c sè phøc sau 
a/ b/ c/ d/ 
Bµi9: ViÕt d­íi d¹ng ®¹i sè c¸c sè phøc sau
a/ b/ c/ 
Bµi10: Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh
a/ b/ 
c/ d/ 
e/ f/ 
g/ h/ biÕt 
Bµi11: T×m vÞ trÝ cđa nh÷ng ®iĨm biĨu diƠn c¸c sè phøc
a/ Cã module b»ng 2 ; 3
b/ Cã acgumen b»ng 30o , 60o , 135o , -
Bµi12: ¸p dơng c«ng thøc Moivre ®Ĩ tÝnh
a/ b/ c/ d/ 
Bµi13: T×m c¸c c¨n bËc 5 cđa 1.CMR: Tỉng c¸c gi¸ trÞ c¨n nµy b»ng 0
Bµi14:
a/H·y t×m c¸c c¨n bËc 2 cđa c¸c sè phøc : 3+4i ; 1 - i ; -2 + 3i
b/H·y t×m c¸c c¨n bËc 3 cđa sè phøc : 
c/H·y t×m c¸c c¨n bËc 4 cđa c¸c sè phøc : -1 ; 
Bµi15: H·y gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau trong tËp C
a/ 
b/ 
c/ 
Bµi16: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau víi Èn lµ z 
a/ b/ c/
d/ e/ f/ 
g/ h/ k/
l/ m/ n/ o/
(Trong ®ã Rez vµ Im z lÇn l­ỵt lµ phÇn thùc vµ phÇn ¶o cđa sè phøc z) 
Bµi17:Gi¶i c¸c hƯ ph­¬ng tr×nh sau
a/ b/ c/
d/ e/ g/
Bµi18:H·y x¸c ®Þnh tËp hỵp c¸c ®iĨm trong mỈt ph¼ng phøc biĨu diƠn c¸c sè z tho¶ m·n mçi ®iỊu kiƯn sau:
a/ b/ c/ 	 d/
Bµi19*:Cho biÕt .T×m sè phøc cã module lín nhÊt , module nhá nhÊt
§¸p sè : C¸c sè phøc cÇn t×m lµ : vµ 
Bµi20:
a/Trong c¸c sè z tho¶ m·n : h·y t×m sè z cã moidule nhá nhÊt
b/Trong c¸c sè z tho¶ m·n : h·y t×m sè z cã acgumen d­¬ng nhá nhÊt
Bµi21: H·y tÝnh tỉng biÕt r»ng 
Bµi22: Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau : 
a/ b/
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
 a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) ĐS : 1 và 1
 b) (1 + i)2 – (1 – i)2 ĐS: 0 và 4
 c) (2 + i)3 – (3 – i)3 ĐS: -16 và 37
 d) ĐS :và 
Bài 2: Cho số phức z = x + yi. Tìm phần thực và phần ảo của các số phức :
 a) z2 – 2z + 4i ĐS: x2 – y2 – 2x và 2(xy – y + 2)
 b) ĐS: và 
Bài 3: Giải các phương trình sau (ẩn z):
 a) ĐS: 
 b) ĐS: -1 + i ; 1/2
 c) ĐS: 2/3 + 4i
 d) ĐS: 0, -1, 
 e) ĐS: 0, i, -i
 f) ĐS: bi (b
Bài 4: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
 a) ĐS: x = 1/2 và x = -7/2
 b) = 2 ĐS: y = 
 c) 2|z – i| = ĐS: y = 
Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn : ĐS: 0, 1 , -1
Bài 6: Phân tích ra thứa số :
 a) a2 + 1 ĐS: (a – i)(a + i) b) 2a2 + 3 ĐS:
 c) 4a4 + 9b2 ĐS: (2a – 3bi)(2a + 3bi) d) 3a2 + 5b2 ĐS: 
Bài 7: Thực hiện phép tính :
 a) ĐS: b) ĐS: i
 c) ĐS: -i d) ĐS: 
 e) ĐS: f) ĐS: 
 g) ĐS: h) (2 – i)6 ĐS: -117 – 44i
Bài 8: Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau :
 a) -1 + 4 ĐS: b) 4 + 6 ĐS: 
 c) -1 - 2 ĐS: d) -5 + 12.i ĐS: (2 + 3i)
Bài 9: Giải các phương trình sau trong C.
 a) ĐS: 
 b) ĐS: 
 c) x2 – (3 – i)x + 4 – 3i = 0 ĐS: 2 + i ; 1 – 2i 
 d) 3i.x2 – 2x – 4 + I = 0 ĐS: ; 
Bài 10: Giài các hệ phương trình :
 a) ĐS:(3 – i; 1 + 2.i) và (1 + 2.i; 3 – i) 
 b) ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)
Bài 11: Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: 
 a) ĐS: b) 4 – 4i ĐS: 
 c) 1 - ĐS: d) ĐS: 
 e) ĐS: f) ĐS: 
Bài 12: Thực hiện phép tính :
3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o) ĐS: 
5 ĐS: 15(cos
 ĐS: 
 ĐS: 
Bài 13: Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:
 a) ĐS: ]
 b) 1 + I ĐS: 
 c) ĐS: 
 d) ĐS: 
 e) ĐS: 
 f) ĐS: 
 g) z = ĐS: 
Bài 14: Tính :
(cos12o + isin12o)5 ĐS: 
[)]7 ĐS: 
 ĐS: -2 6
(1 + i)16 ĐS: 2 8
 ĐS: 1
 ĐS: 
 ĐS: 221