Chuyên đề Phương trình đường tròn

Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 1 
M 0

R
I
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 
I- LÝ THUYẾT: 
1. Phương trình đường tròn: 
 Dạng 1: Phương trình đường tròn  C có tâm ( ; )I a b , bán kính 0R  : 
   2 2 2x a y b R    
 Dạng 2: Phương trình tổng quát: 2 2 2 2 0x y ax by c     (*) 
 có tâm ( ; )I a b , bán kính 2 2R a b c   
Lưu ý: Điều kiện để (*) là phương trình của một đường tròn là: 2 2 0   a b c 
THUẬT TOÁN 
Lập phương trình đường tròn: 
 Bước 1: Xác định tâm ( ; )I a b của  C . 
 Bước 2: Xác định bán kính 0R  . 
 Kết luận: Phương trình đường tròn  C có tâm ( ; )I a b , bán kính 0R  : 
   2 2 2x a y b R    
 Nhận xét: Phương trình (*) hoàn toàn xác định nếu biết các hệ số , , a b c . Như vậy 
chúng ta cần 3 giả thiết để xác định , , a b c . 
2. Tiếp tuyến của đường tròn: 2 2 2 2 0x y ax by c     
 a. Tiếp tuyến của  C tại 0 0 0( ; )M x y ( 0M : tiếp điểm) 
 Tiếp tuyến của  C tại 0 0 0( ; )M x y có phương trình: 
0 0 0 0( ) ( ) 0xx yy a x x b y y c       
 (Công thức phân đôi toạ độ) 
Nhận xét: 
 0 0 0 0 0 0( ; ) ( ; )Râ rµng tiÕp tuyÕn ®i qua vµ cã 1 vect¬ ph¸p M x y IM x a y b   

 0 0 0 0: ( ) ( )( ) 0 a x x x b y y y       
b. Điều kiện tiếp xúc: 
 Đường thẳng : 0ax by c    là tiếp tuyến của    ;C d I R   
Lưu ý: Để tiện trong việc tìm phương trình tiếp tuyến của  C , chúng ta không nên xét 
phương trình đường thẳng dạng y kx m  (tồn tại hệ số góc k ). Vì như thế dẫn đến sót 
trường hợp tiếp tuyến thẳng đứng x C (không có hệ số góc). 
Nhắc: 
 * §­êng th¼ng cã hÖ sè gãc .
 * §­êng th¼ng (vu«ng gãc ) kh«ng cã hÖ sè gãc. 
y kx m k
x C Ox
 

 0 0
( ; )0Do ®ã, trong qu¸ tr×nh viÕt pt tiÕp tuyÕn víi (C) tõ 1 ®iÓm M (ngoµi (C)) ta cã thÓ 
thùc hiÖn b»ng 2 p.ph¸p: 
x y
 * Ph­¬ng ph¸p 1: 0 0( ; ) :x y k0Gäi ®­êng th¼ng bÊt k× qua M vµ cã hÖ sè gãc 
0 0( ) y y k x x   
R
I
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 2 
0
.
,
k
k
k x x
¸p dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc, gi¶i ®­îc 
 * NÕu kÕt qu¶ 2 hÖ sè gãc (t­¬ng øng 2 tiÕp tuyÕn), bµi to¸n gi¶i quyÕt xong. 
 * NÕu gi¶i ®­îc 1 hÖ sè gãc th× xÐt ®­êng th¼ng (®©y lµ tiÕp tu yÕn thø hai).
 * Ph­¬ng ph¸p 2:  2 2 0 0( ; ) 0 ( ; )0Gäi lµ 1 v.t ph¸p cña ®.th¼ng ®i qua Mn a b a b x y   
0 0( ) ( 0 ) a x x b y y    
, .¸p dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc, ta ®­îc 1 ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc hai theo a b 
Nhận xét: Ph­¬ng ph¸p 2 tá ra hiÖu qu¶ vµ khoa häc h¬n. 
3. Vị trí tương đối của hai đường tròn-Số tiếp tuyến chung: 
 Cho hai đường tròn  1C có tâm 1I , bán kính 1R và  2C có tâm 2I , bán kính 2R . 
Trường hợp Kết luận Số tiếp tuyến chung 
R 2R 1
I 2I 1
1 2 1 2  R R I I 
 1C không cắt  2C 
(ngoài nhau) 
4 
I 1 I 2
R 1 R 2
1 2 1 2  R R I I 
 1C tiếp xúc ngoài với 
 2C 
3 
I 1 I 2
R 1 R 2
1 2 1 2 1 2    R R I I R R 
 1C cắt  2C tại hai điểm 
phân biệt 
2 
I1 I 2R1
R2
1 2 1 2  R R I I 
 1C tiếp xúc trong với 
 2C 
1 
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 3 
I 1
I 2
R 1
R 2
1 2 1 2  R R I I 
 1C không cắt  2C 
(lồng vào nhau) 
Hay trong nhau 
0 
VẤN ĐỀ 1: Nhận dạng 1 phương trình bậc hai là phương trình đường tròn. Tìm 
tâm và bán kính đường tròn. 
 Phương pháp: 
 Cách 1: Đưa phương trình về dạng 2 2 2 2 0x y ax by c     (1) 
 Kiểm tra, nếu biểu thức: 2 2 0a b c   thì (1) là phương trình đường tròn 


  
2 2
T©m ( ; )I a b
R a b c
 Cách 2: Đưa phương trình về dạng:    2 2( ) ( )x a y b m và kết luận. 
LUYỆN TẬP: 
Bài tập 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn. Tìm tâm và 
bán hính nếu có: 
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
) 6 8 10 0 ) 4 6 12 0
) 2 4 5 0 ) 2 2 4 8 2 0
) 4 0 ) 2 4 8 1 0
) 2 4 5
         
         
       
   
a x y x y b x y x y
c x y x y d x y x y
e x y y f x y x y
g x y xy y 0
Bài tập 2: Cho phương trình      2 2 2 4 6 1 0x y mx my m (1) 
 a. Với giá trị nào của m thì pt(1) là phương trình của đường tròn? 
 b. Nếu (1) là phương trình đường tròn, hãy tìm toạ độ tâm và tính bán kính đường tròn 
đó theo m . 
Bài tập 3: Cho phương tr×nh : 2 2 26 2( 1) 11 2 4 0x y mx m y m m        . 
a. T×m điều kiện của m để pt trªn là l ph­¬ng tr×nh đường trßn. 
b. T×m quỹ tÝch t©m đường trßn. 
Bài tập 4: Cho phương trình: 2 2 1) 2(sin 1) 2 02(cosx y x y        . 
a. Víi gi¸ trÞ nµo cña th× ph­¬ng tr×nh trªn lµ ph­¬ng tr×nh cña mét ®­êng trßn.
b. T×m gi¸ trÞ ®Ó ®­êng trßn cã b¸n kÝnh nhá nhÊt, lín nhÊt.
c. T×m quü tÝch t©m ®­êng trßn, khi thay ®æi trªn ®o¹n


 0;180 .0 0   
Bài tập 5: Cho phương tr×nh ( )mC : 
2 2 2( 1) 2( 3) 2 0x y m x m y       . 
a. T×m m để ( )mC là phương tr×nh của một đường trßn. 
b. T×m m để ( )mC là đường trßn t©m (1; 3).I  Viết phương tr×nh đường trßn. 
c. T×m m để ( )mC là đường trßn cã b¸n kÝnh 5 2.R  Viết phương tr×nh đường trßn. 
d. T×m tập hợp t©m c¸c đường trßn ( )mC . 
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 4 
VẤN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 
Phương pháp: 
 Cách 1: Tìm tâm ( ; )I a b , bán kính  0R . Suy ra       2 2 2( ) :C x a y b R 
 Cách 2: Gọi phương trình đường tròn: 2 2 2 2 0x y ax by c     
 - Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số , , a b c . 
 - Giải hệ phương trình tìm , , a b c . 
LUYỆN TẬP: 
Bài tập 1: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: 
 a. (C) có tâm ( 1;2)I  và tiếp xúc với đường thẳng : 2 7 0x y    . 
 b. (C) có đường kính là AB với (1;1), (7;5)A B . 
Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm với (1;4), ( 7;4), (2; 5)A B C  . 
Bài tập 3: Cho 3 điểm (1;2), (5;2), (1; 3)A B C  . 
 a. Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC. 
 b. Xác định tâm và bán kính của (C). 
Bài tập 4: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với (1;5), (4; 1),A B  
( 4; 5)C   . 
Bài tập 5: Lập phương trình đường tròn (C), có tâm (2;3)I trong các trường hợp sau: 
 a. (C) có bán kính là 5. b. (C) qua điểm (1;5)A . 
 c. (C) tiếp xúc với trục Ox d. (C) tiếp xúc với trục Oy 
 e. (C) tiếp xúc với đường thẳng : 4 3 12 0x y    
Bài tập 6: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm ( 1;2), ( 2;3)A B  và có tâm ở 
trên đường thẳng : 3 10 0x y    . 
Gợi ý: 
Cách 1: Gọi ( ;3 10) ΔI a a   . Do (C) qua A, B nên  IA IB R 
 
Cách 2: 
 Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB. 
 Bước 2: Tâm I của (C) là giao điểm của d và Δ . 
Bài tập 7: Lập phương trình của đường tròn (C) đi qua 2 điểm (1;2), (3;4)A B và tiếp xúc với 
đường thẳng : 3 3 0x y    . 
Gợi ý: 
Cách 1: Gọi ( ; )I a b là tâm đường tròn. 
Theo giả thiết: 
 ;Δ
IA IB
d I IA
 

 giải ra I. 
Cách 2: 
 Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB. 
 Bước 2: Gọi tâm của (C) là I d (tọa độ 1 ẩn). 
Do Δ tiếp xúc với (C) nên  ;Δd I IA  giải ra I. 
Bài tập 8: Lập phương trình đường tròn (C) đi điểm (4;2)M và tiếp xúc với các trục toạ độ. 
Gợi ý: 
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 5 
Gọi ( ; )I a b là tâm của (C). Do (C) tiếp xúc với Ox, Oy nên a b R  . 
TH 1: ( ; ), a b I a a R a   
 Phương trình (C):    2 2 2x a y a a    
Do      2 2 2 2
2
(4;2) 4 2 12 20 0
10

            
a
M C a a a a a
a
Vậy có 2 đường tròn:      2 21 : 2 2 4 C x y    và      
2 2
2 : 10 10 100 C x y    . 
TH 2: ( ; ), a b I a a R a     
 Phương trình (C):    2 2 2x a y a a    
Do      2 2 2 2(4;2) 4 2 4 20 0 v« nghiÖm         M C a a a a a 
Bài tập 9: Cho 3 đường thẳng: 1 2: 3 4 1 0, : 4 3 8 0, : 2 1 0          x y x y d x y . Lập 
phương trình đường tròn (C) có tâm I nằm trên đường thẳng d và (C) tiếp xúc với 1 2,   . 
Gợi ý: 
Cách 1: 
Gọi ( ;1 2 )I a a d  là tâm của đường tròn (C). 
Do 1 2,   là các tiếp tuyến của (C) nên suy ra:    1 2; ;   d I d I giải ra I. 
Cách 2: 
 Bước 1: Lập phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 
2 . 
2 2 2 2
3 4 1 4 3 8
3 4 1 4 3 8
3 4 4 3
   
      
 
x y x y
x y x y 
 
1
2
3 4 1 4 3 8 : 7 0
3 4 1 4 3 8 : 7 7 9 0
        
          
x y x y T x y
x y x y T x y
 Bước 2: Tâm I của đường tròn tương ứng là giao điểm của d và 1 2, . T T 
Bài tập 10: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm (0;1), (2; 3) A B  và có bán kính 
5R  . 
Gợi ý: 
Cách 1: 
Gọi ( ; )I a b là tâm đường tròn (C). Theo giả thiết 
5
IA IB
IA R


 
Cách 2: 
 Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của AB. 
 Bước 2: Gọi I d (tọa độ 1 ẩn). Theo giả thiết 5IA   giải ra I. 
Bài tập 11: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm (1;1)I , biết đường thẳng 
: 3 4 3 0 x y    cắt (C) theo dây cung AB với 2.AB  
Gợi ý: 
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 6 
 Dễ thấy  
2
2
;Δ
4
AB
R d I     
Bài tập 12: (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có (0;2), ( 2; 2)A B   và (4; 2)C  . Gọi H là 
chân đường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Viết phương trình đường 
tròn qua các điểm H, M, N. 
Gợi ý: 
Bước 1: Xác định tọa độ M, N. 
Bước 2: Lập phương trình đường trung trực d của MN. 
Dễ thấy tâm I của (C) thuộc d . 
Bước 3: Tâm I của (C) là giao điểm của BH và d . Suy ra IM R . 
Bài tập 13: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm (1;1)A và có bán kính 10R  , tâm (C) 
nằm trên Ox. 
Gợi ý: 
 Gọi ( ;0)I a Ox là tâm của (C). Theo giả thiết, 10IA  , từ đây giải ra I. 
Bài tập 14: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm (2;3)M và tiếp xúc đồng thời với hai 
đường thẳng 1 2: 3 4 1 0, : 4 3 7 0. x y x y        
Gợi ý: 
 Gọi ( ; )I a b là tâm của (C). Theo giả thiết 
  
   
1
1 2
;Δ
;Δ ;Δ
IM d I R
d I d I
   

 giải ra I. 
Bài tập 15: Viết phương trình đường tròn đi qua gốc toạ độ, bán kính 5R  và tiếp xúc với 
đường thẳng : 5 0 2x y    . 
Gợi ý: 
 Gọi ( ; )I a b là tâm của (C). Theo giả thiết 
 
 
5
;Δ 5
OI R
d I
  


 giải ra I. 
Bài tập 16: Cho đường thẳng : 3 0 d x y   và đường tròn 2 2( ) : 7 0. C x y x y    
Chứng minh rằng d cắt ( )C . Hãy viết phương trình đường tròn ( ')C đi qua ( 3;0)M  và các 
giao điểm của d và ( )C . 
Gợi ý: 
Xét hệ phương trình: 
2 2 2 2
3 0 3
7 0 7 0
 (1)
 (2)
x y y x
x y x y x y x y
                  
Thay (1) vào (2): 2
1 2 (1; 2)
7 6 0
6 3 (0; 3)
x y A
x x
x y B
    
         
Bài toán trở thành, lập phương ... giác ABC có trực tâm H. Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là 
  2 2: 5 4 0C x y x y     , H thuộc đường thẳng : 3 4 0x y    , trung điểm AB là 
 2;3M . Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C. 
Gợi ý: 
(C) có tâm 
1 5 10; , 
2 2 2
I R
 
 
 
. 
 Do   10d , 2I R     tiếp xúc với (C). 
* Dựng đường thẳng qua I và vuông góc với  2;2 .H 
Gọi  ;N a b là trung điểm BC, dễ thấy ABA’C là hình bình hành 
Suy ra:    2 2 1;2 3 3 2 ;9 2HA IN A a b B a b      
 
. 
Vì          2 23 2 9 2 3 2 5 9 2 4 0B C a b a b           
2 22 2 5 13 23 0a b a b      (1) 
Ta có:  3 3;3 9BN a b  

 và BN AH nên . 0BN AH 
 
      2 22 1 3 3 2 5 3 9 0 2 2 3 11 16 0a a b b a b a b             (2) 
Từ (1) và (2) giải ra được 
13
2
b a   hoặc 5 1
2
b a   . 
Với  3 2;3b B M   (loại) 
H
M
I
B
A
A'
N

M
I
H
CB
A
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 31 
Với      5 1;4 , 3;2 , 1;1 .2b B A C  
48) (Bộ đề 150) Cho điểm  1;0A và hai đường tròn   2 2: 2C x y  và  / 2 2: 5C x y  . 
Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt nằm trên các đường tròn (C) và (C’) để tam giác ABC có 
diện tích lớn nhất. 
Gợi ý: 
TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ THI THỬ: 
BÁO “TOÁN HỌC TUỔI TRẺ” 
Bài tập 01: 
Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết  2;1A , trực tâm  6;3H  và trung 
điểm cạnh BC là  2;2D . 
 Bài tập 02: 
Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC, biết  5;2A . Phương trình các đường 
trung trực cạnh BC và đường trung tuyến CC’ lần lượt có phương trình: 
1 2: 6 0, : 2 3 0d x y d x y      
 Bài tập 03: 
Cho tam giác ABC, biết các đường trung tuyến AA’ và đường cao CH lần lượt có 
phương trình 1 2: 2 7 0, : 2 0d x y d x y       . Điểm  1; 2M  thuộc đường thẳng AB. 
Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC. 
 Bài tập 04: 
Tam giác ABC có  2;1A  , tâm đường tròn ngoại tiếp là  1;3I  và điểm  5;3M 
thuộc cạnh BC. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết độ dài cạnh BC bằng 8. 
Đề 01- 10/2010: 
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 32 
1) Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB, BC lần lượt là 
5 2 7 0, 2 1 0 x y x y      . Biết phương trình phân giác trong góc A là 1 0x y   . Tìm 
tọa độ đỉnh C của tam giác ABC. 
2) Cho đường tròn 2 2
3
2
x y  và parabol (P): 2y x . Tìm trên (P) các điểm M mà từ 
đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C) và hai tiếp tuyến này tạo với nhau một góc 060 . 
Đề 02 11/2010: 
1) Cho đường thẳng d: 3 4 5 0x y   và đường tròn (C): 2 2 2 6 9 0x y x y     . 
Tìm những điểm M thuộc (C) và N thuộc d sao cho MN có độ dài nhỏ nhất. 
2) Cho đường tròn    2 2( ) : 1 3 1C x y    và điểm 1 7;
5 5
M
 
 
 
. Tìm trên (C) những 
điểm N sao cho MN có độ dài lớn nhất. 
Đề 03 12/2010: 
1) Cho điểm  1;1A và đường thẳng d: 4 3 12 0x y   . Gọi B, C là giao điểm của d 
với Ox, Oy. Xác định tọa độ trực tâm của tam giác ABC. 
2) Cho đường tròn (C): 2 2 6 2 1 0x y x y     . Viết phương trình đường thẳng d song 
song với đường thẳng : 2 4 0x y    và cắt (C) theo một dây cung có độ dài bằng 4. 
Đề 04 01/2011: 
1) Tính diện tích tam giác đều nội tiếp elip (E): 
2 2
1,
16 4
x y
  nhận điểm  0;2A là đỉnh 
và trục tung làm trục đối xứng. 
2) Tính diện tích tam giác đều nội tiếp parabol (P): 2 2 ,y x nhận đỉnh của parabol làm 
một đỉnh và trục hoành làm trục đối xứng. 
Đề 05 02/2011: 
1) Cho điểm  1;2M . Lập phương trình đường thẳng qua M, cắt các tia Ox, Oy tương 
ứng tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. 
2) Cho tam giác cân ABC ( AB AC ). Biết phương trình các đường thẳng AB, BC 
tương ứng là 1 2: 2 1 0, : 4 3 0 d x y d x y      . Lập phương trình đường cao qua đỉnh B 
của tam giác ABC. 
Đề 06 03/2011: 
1) Cho tam giác ABC biết ba chân đường cao ứng với các đỉnh A, B, C lần lượt là 
     / / /1;1 , 2;3 , 2;4 A B C . Viết phương trình đường thẳng chứa thẳng chứa cạnh BC. 
2) Cho điểm  2; 1M  và đường tròn  1C : 2 2 9x y  . Viết phương trình đường tròn 
 2C có bán kính bằng 4 và cắt  1C theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất. 
Đề 07 04/2011: 
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 33 
1) Viết phương trình các đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác ABC biết  4;3C , 
đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình lần lượt là 
2 5 0x y   và 4 13 10 0x y   . 
2) Cho hai đường tròn  1C : 2 2 1x y  và  2C : 2 2 6 6 17 9x y x y     . Xác định 
phương trình các đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn trên. 
 Đề 08 05/2011: 
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hai điểm  2;5A và  5;1B . Viết phương 
trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng đó 
bằng 3 . 
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hai điểm  2;5A và đường thẳng 
: 2 3 4 0d x y   . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua A và tạo với đường 
thẳng d một góc 45o . 
Đề 09 06/2011: 
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD,biết phương trình cạnh 
AB: 2 1 0x y   và BD: 7 14 0x y   , đường chéo AC đi qua  2;1M . Tìm tọa độ các 
đỉnh của hình chữ nhật. 
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD,biết phương trình các 
đường thẳng chứa hai đường chéo lần lượt là 1 : 7 4 0d x y   và 2 : 2 0d x y   . Viết 
phương trình đường thẳng chứa cạnh hình chữ nhật,biết rằng đường thẳng đó đi qua  3;5M  . 
Đề 07 01/2010: 
1) Cho tam giác ABC có  3;6A  , trực tâm  2;1H và trọng tâm 4 7;
3 3
G
 
 
 
. Xác định 
tọa độ các đỉnh B và C. 
2) Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng : 4 2 0d x y   , cạnh BC song 
song với d . Phương trình đường cao BH: 3 0x y   và trung điểm của cạnh AC là  1;1M . 
Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 
Đề 08 02/2010: 
1) Cho  0;2A và đường thẳng : 2 2 0d x y   . Tìm trên đường thẳng d hai điểm B, 
C sao cho tam giác ABC vuông ở B và 2 .AB BC 
2) Cho đường tròn  C : 2 2 6 2 1 0x y x y     . Viết phương trình đường thẳng d đi 
qua điểm  0;2M và cắt  C theo một dây cung có độ dài bằng 4. 
Đề 09 02/2003: 
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 34 
Cho đường tròn  C : 2 2 9x y  . Tìm m để trên đường thẳng y m có đúng 4 điểm 
sao cho từ mỗi điểm đó kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến  C và mỗi cặp tiếp tuyến đó tạo 
thành một góc 045 . 
Đề 10 03/2003: 
Cho họ đường tròn có phương trình:  2 2 2 1 4 5 0x y m x my      . 
 a) Tìm điểm cố định thuộc họ đường tròn khi m thay đổi. 
 b) Tìm tập hợp các điểm có cùng phương trình đối với mọi đường tròn trong họ 
đường tròn đã cho. 
Đề 11 05/2003: 
Cho elip   2 2: 4 4.E x y  Giả sử  t là một tiếp tuyến bất kì của (E) mà không song 
song với Oy. Gọi M, N là các giao điểm của  t với các tiếp tuyến của (E) tương ứng tại các 
đỉnh    1 22;0 , 2;0 A A . 
 a) Chứng minh rằng: 1 2. 1A M A N 
 
. 
 b) Chứng minh khi tiếp tuyến  t thay đổi thì đường tròn đường kính MN luôn 
đi qua hai điểm cố định. 
Đề 12 01/2005: 
1) Cho đường thẳng d: 2 2 0x y   và hai điểm  0;1A và  3;4B . Hãy tìm tọa độ 
điểm M trên d sao cho 2 22MA MB có giá trị nhỏ nhất. 
2) Cho đường parabol có phương trình 2 4y x  và giả sử F là tiêu điểm của nó. Chứng 
minh rằng nếu một đường thẳng đi qua F cắt parabol tại hai điểm A, B thì các tiếp tuyến với 
parabol tại A, B vuông góc với nhau. 
Đề 13 02/2005: 
Cho hai đường thẳng 1 : 2 1 0d x y   và 2 : 2 7 0d x y   . Lập phương trình đường 
thẳng đi qua gốc tọa độ và tạo với 1d , 2d tam giác cân có đáy thuộc đường thẳng đó. Tính diện 
tích tam giác cân nhận được. 
Đề 14 01/2006: 
Cho tam giác ABC có  1;0A , hai đường thẳng tương ứng chứa đường cao kẻ từ B, C 
của tam giác thứ tự có phương trình 2 1 0x y   và 3 1 0x y   . Viết phương trình đường 
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
Đề 15 01/2006: 
Cho đường thẳng  có phương trình 2 2 0x y   và elip (E): 
2 2
1
8 4
x y
  . Giả sử 
đường thẳng  cắt (E) tại hai điểm A, B. 
 a) Tìm điểm A thuộc (E) để tam giác ABC cân tại A. 
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 35 
 b) Tìm điểm A thuộc (E) để diện tích tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất. 
Đề 16 02/2012: 
1) Cho tam giác ABC vuông tại A. Phương trình BC: 4 3 4 0x y   . Các đỉnh A, B 
thuộc trục Ox và diện tích tam giác ABC bằng 6. Xác định tọa độ trọng tâm tam giác ABC. 
2) Cho hai đường thẳng  : 1 2 1 0d m x my m     và 
 / : 1 5 2 0d mx m y m     . Chứng minh rằng: Tập hợp các giao điểm của d và /d là một 
đường tròn. Tìm phương trình đường tròn đó. 
Đề 17 01/2012: 
1) Cho tam giác ABC có 3AB AC . Đường phân giác trong của góc BAC có phương 
trình 0x y  , đường cao BH có phương trình 3 16 0x y   . Hãy xác định tọa độ các điểm 
A, B, C biết đường thẳng AB đi qua  4;10M . 
2) Cho (E): 
2 2
1
25 4
x y
  . Gọi M, N là hai điểm trên (E) sao cho tam giác OMN vuông 
tại O. Gọi H là hình chiếu của O lên MN. Chứng minh rằng: Khi M, N thay đổi thì H chạy trên 
đường tròn tâm O cố định. Hãy viết phương trình đường tròn đó. 
Đề 18 03/2012: 
1) Cho  3;0A và (E): 
2
2 1
9
x
y  . Xác định tọa độ B, C thuộc (E) sao cho tam giác 
ABC vuông cân tại A. 
2) Tam giác ABC có  1;2A , đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ B có phương 
trình lần lượt là : 2 5 0BE x y   và : 7 15 0BM x y   . Tính diện tích tam giác ABC. 
Đề 19 12/2011: 
1) Cho đường tròn (C): 2 2 2 4 20 0x y x y     và  3;0A . Viết phương trình đường 
thẳng chứa dây cung của đường tròn đi qua A khi dây cung có độ dài nhỏ nhất. 
2) Cho (E) qua  2; 3M   và phương trình đường chuẩn là 8 0x   . Viết phương trình 
chính tắc của (E). 
Đề 20 11/2011: 
1) Tam giác ABC có  1;1A  , trực tâm  1;3H , trung điểm BC là  5;5M . Xác định 
tọa độ các đỉnh B và C của tam giác ABC. 
2) Cho  2;1M và đường tròn (C):    2 21 2 5x y    . Viết phương trình đường 
thẳng  qua M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất. 
Đề 21 10/2011: 
1) Cho : 1d x y  và hai đường tròn  1C :    
2 23 4 18x y    và 
Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 36 
 2C :    
2 25 4 50x y    . Viết phương trình đường tròn tâm thuộc d và đồng thời tiếp 
xúc ngoài với  1C ,  2C . 
2) Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 6, phương trình đường chéo BD là 
2 12x y  , đường thẳng AB qua  5;1M , đường thẳng BC qua  9;3N . Viết phương trình 
các cạnh của hình chữ nhật ABCD, biết B có hoành độ lớn hơn 5.