Chuyên đề Phương trình đường thẳng trong không gian

Lời mở đầu
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz thì phương trình đường thẳng là một dạng bài tập thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp phổ thông và tuyển sinh đại học.
Đối với phương trình đường thẳng, sách giáo khoa trình bày cả ba loại: phương trình tổng quát, phương trình tham số và phương trình chính tắc.Trong sách giáo khoa có nhiều bài tập về phương trình đường thẳng mà không đưa ra cách giải chung.
Trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh học phần này tôi đã làm theo hướng sau:
Một số vấn đề về phương trình đường thẳng.
Đưa ra các bài toán cơ bản.
Mô phỏng các bài toán bằng hình vẽ.
Phương pháp giải quyết các bài toán đó.
Ví dụ cụ thể.
Phương pháp giải các bài toán khác.
Một số bài tập tự luyện.
Nội dung của chuyên đề
I. Một số vấn đề về phương trình đường thẳng.
1. Điều kiện để lập được phương trình đường thẳng
Biết một điểm M0(x0; y0; z0) và véc tơ chỉ phương (a; b; c), hoặc biết hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB), hoặc biết phương trình của hai mặt phẳng:.
2. Chuyển phương trình tổng quát của đường thẳng về dạng tham số và chính tắc.
+ Tìm một điểm M0 ẻ d và véc tơ chỉ phương = []
+ Cho x = t, giải hệ x, y theo t.
Có nhiều bài toán công thức dựa trên từng dạng phương trình đường thẳng học sinh phải biết chuyển đổi để xác định được các yếu tố và áp dụng.
3. Chuyển phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng về dạng tổng quát. Đường thẳng được xem như là giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc với một trong ba mặt phẳng toạ độ.
II. Một số bài toán về phương trình đường thẳng.
1. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0(x0; y0; z0) và vuông góc với mặt phẳng (a) .
2. Viết phương trình hình chiếu d’ của đường thẳng d trên mặt phẳng (a).
3. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0, cắt cả d1 và d2.
4. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2.
5. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.
III. Mô phỏng các bài toán bằng hình vẽ.
Bài toán 1: Bài toán 2: 
d
d’
A
A’
d
M0
Bài toán 3: Bài toán 4:
M0
d1
d2
M
d1
d2
Bài toán 5:
d2
M
N
d1
M
d
d2
d1
N
IV. Phương pháp giải quyết từng bài toán .
Qua hình vẽ được mô phỏng học sinh tự tìm và nêu phương pháp giải quyết.
1. Bài toán 1 : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0 và vuông góc với mặt phẳng (a).
Phương trình đường thẳng d là phương trình của đường thẳng qua điểm M0 và có véc tơ chỉ phương là véc tơ pháp tuyến .
2. bài toán 2 : Viết phương trình hình chiếu d’ của đường thẳng d trên mặt phẳng (a).
Phương pháp 1: 
+ d’ = 
trong đó là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (a). Hay là mặt phẳng qua M0 ẻ d và có véc tơ pháp tuyến =[].
Phương pháp 2: 
+ Tìm hình chiếu H của M0 ẻ d trên (a).
+ Tìm giao điểm I của d và (a).
+ d’ là đường thẳng HI.
3. Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0, cắt cả d1 và d2.
Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng a(M0, d1) và b(M0, d2).
Nếu d1 và d2 chéo nhau thì d là duy nhất.
Nếu d1 // d2, thì vô nghiệm
Nếu d1, d2 và M0 đồng phẳng thì có vô số nghiệm.
4. Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0(x0; y0; z0), vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2.
Có phương pháp giải như sách bài tập hình học 12 ( bài tập 10Đ9 chương 2):
Gọi d là đường thẳng cần tìm, thì d = (a) ầ (b). Trong đó:
+ (a) là mặt phẳng đi qua M0, vuông góc với d1.
+ (b) là mặt phẳng đi qua M0 và chứa d2.
Cách giải trên chưa đầy đủ vì chưa chứng tỏ d cắt d2. Nếu thêm lời giải bằng cách xét vị trí tương đối của d & d2 thì lời giải dài dòng và đôi khi không có hiệu lực trong trường hợp bài toán vô số nghiệm ( có vô số đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán) hoặc bài toán vô nghiệm.
Cách giải bài tập dạng này như sau:
Phương pháp 1: 
+ Lập phương trình mặt phẳng (a) qua M0(x0; y0; z0), (a) vuông góc với d1.
+ Tìm giao điểm M của d2&(a).
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng qua hai điểm M0, M.
Phương pháp 2:
+ Gọi d là đường thẳng cần tìm. Giả sử M(xM; yM; zM) là giao điểm của d & d2 ị M ẻ d2 nên toạ độ của M thoả mãn d2. (1)
+ M0 ẽ d2 nên M0 ạ M ị là một véc tơ chỉ phương của d.
+ d1 có véc tơ chỉ phương mà d ^ d1 nên ^ hay . = 0. (2)
Từ (1) và (2) tìm được toạ độ của M.
Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình (cách1 & cách 2) tìm tọa độ của M là số nghiệm của bài toán.
5. Bài toán 5: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 & d2.
Phương pháp 1:
+ Xác đinh véc tơ chỉ phương của d1 & d2.
[]
+ Lập phương trình mặt phẳng (a) qua d1 có véc tơ chỉ phương 
+ Lập phương trình mặt phẳng (b) qua d2 có véc tơ chỉ phương 
+ Giao tuyến d = (a)ầ(b) là đường vuông góc chung cần tìm.
Phương pháp 2:
+ Viết phương trình đường thẳng d1 & d2 dưới dạng tham số
+ Lấy M ẻ d1 (phụ thuộc tham số t)
 N ẻ d2 (phụ thuộc tham số s).
+ vuông góc với các véc tơ chỉ phương & 
 ị
+ Đường thẳng MN là đường vuông góc chung d của d1 và d2.
V. Các ví dụ minh hoạ
1. Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng (D) qua điểm M(-2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (a): x + 2y – 2z +1 = 0.
Giải:
Mặt phẳng (a) có véc tơ pháp tuyến . D là đường thẳng qua điểm M(-2; 1; 0) có véc tơ chỉ phương . Do đó phương trình đường thẳng (D) có dạng:
.
2.Ví du 2: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: 
trên mặt phẳng (a): x + 2y + 3z + 4 = 0.
 Giải:
Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (a), (b) là mặt phẳng qua d và vuông góc với (a) thì d’ = (a) ầ (b). Mặt phẳng (b) có phương trình:
.
Vậy phương trình của đường thẳng d’ là:.
3. ví dụ 3: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: 
trên mặt phẳng (a) : 4x – 2y + z –1 = 0.
Giải:
Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (a), (b) là mặt phẳng qua d và vuông góc với (a) thì d’ = (a) ầ (b). 
Đường thẳng d cho dưới dạng tổng quát nên nó là giao của hai mặt phẳng vì vậy ta viết phương trình mặt phẳng (b) chứa d:
.
Từ đó phương trình mặt phẳng (b) có dạng: x + 4y + 4z + 11 = 0.
Vậy hình chiếu d’ của d trên mặt phẳng (a) có phương trình là:
d’: .
* Nhận xét: Ta còn có thể giải theo phương pháp 2 như sau:
+ Lấy M0 ẻ d có toạ độ M0(1; -3; 0).
+ Tìm H là hình chiếu của M0 trên mặt phẳng (a), I là giao điểm của d với (a)
+ d’ là đường thẳng IH. Phương trình của d’ là:
4. Ví dụ 4: Viết phương trình của đường thẳng qua điểm M(-4; -5; 3) và cắt cả hai đường thẳng:
Giải:
Gọi D là đường thẳng qua điểm M và cắt cả d1, d2 thì D = (M; d1) ầ (M; d2).
d1 qua điểm A(-1; -3; 2), có véc tơ chỉ phương .
d2 qua điểm B(2; -1; 1), có véc tơ chỉ phương .
Gọi (P) là mặt phẳng qua M & d1 thì (P) có cặp véc tơ chỉ phương và nên (P) có phương trình là:
Gọi (Q) là mặt phẳng qua M & d2 thì (Q) có cặp véc tơ chỉ phương 
và nên (Q) có phương trình là:
Vậy đường thẳng D có phương trình: .
5. Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng qua điểm M0(0; 1; 1), vuông góc với đường thẳng d1: và cắt đường thẳng d2: .
Giải:
Phương pháp 1: 
Mặt phẳng (a) đi qua điểm M0(0; 1; 1) và vuông góc với d1 sẽ nhận véc tơ chỉ phương của d1 là là véc tơ pháp tuyến nên phương trình (a) có dạng: 
 3(x - 0) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0
Û 3x + y + z - 2 = 0.
Gọi M là giao điểm của d2 và (a) thì toạ độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Đường thẳng cần tìm đi qua M0 và nhận véc tơ làm véc tơ chỉ phương nên có phương trình là:
.
Phương pháp 2:
 Gọi d là đường thẳng cần tìm.
Giả sử M(x0; y0; z0) là giao điểm của d & d2, ta có M ẻd2 nên toạ độ của M thoả mãn hệ phương trình:
 (1)
vì M0 ẽ d2 nên M0 ạ M, suy ra là một véc tơ chỉ phương của d. Ta có d1 có véc tơ chỉ phương mà d vuông góc với d1 nên hay = 0 Û 3x0 + 1(y0 - 1) +1(z0 – 1) = 0 
 Û 3x0 + y0 + z0 – 2 = 0. (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Vậy phương trình đường thẳng d là: .
Chú ý: Như vậy số nghiệm của hệ phương trình (*) là số nghiệm của bài toán.
6. Ví dụ 6: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng:
Phương pháp 1: 
d1 qua M1(3; 3; 4) và có véc tơ chỉ phương là .
d2 qua M2(1; 6; -1) và có véc tơ chỉ phương là .
.
Đường vuông góc chung d của d1 và d2 là giao tuyến của P() ầ Q().
 .
.
Vậy phương trình của đường vuông góc chung d: .
Phương pháp 2: 
Gọi M ẻ d1 có toạ độ thoả mãn: M( 3 + 2t; 3 + 2t; 4+3t)
Gọi N ẻ d2 có toạ độ thoả mãn: N(1 – s; 6 + 2s; -1)
ị M(1; 1; 1) và = (2; 1; -2).
Phương trình đường vuông góc chung d là:.
VI. Phương pháp giải các bài toán khác
Từ 5 bài toán thường gặp trên, học sinh vận dụng giải một số bài toán dạng khác như sau:
1.Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(2; 3; -5) và song song với đường thẳng D có phương trình:
Hướng dẫn: Ta chuyển về bài toán viết phương trình đường thẳng d qua điểm M, có véc tơ chỉ phương .
2. Bài toán 2: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng D trên các mặt phẳng toạ độ.
3. Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(3; 2; 1) cắt và vuông góc với đường thẳng D có phương trình: 
.
* Nhận xét : Học sinh có cách giải:
+ Lập phương trình mặt phẳng (a) qua M và (a) ^ D.
+ Gọi H = Dầ(a).
+ d là đường thẳng qua M&H.
Kết quả: phương trình đường thẳng d: .
4. Bài toán 4: Tìm điểm đối xứng của điểm M0 qua đường thẳng D:
Giải:
+ Phương trình mặt phẳng (a) qua điểm M0 và vuông góc với đường thẳng D:
 2(x - 2) + (-1)(y + 1) +2(z - 1) = 0 Û 2x – y + 2z – 7 = 0.
+ Giao điểm I của D và (a):
I()
+ M0’ đối xứng với M0 qua đường thẳng D nhận I là trung điểm của MM0 có toạ độ :
M0’() .
Chú ý: Đường thẳng d ^ D Û d vuông góc với mặt phẳng chứa D.
5. Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm của đường thẳng D và mặt phẳng (a) cho trước nằm trong mp(a) và vuông góc với D.
HD : + Gọi M0 = D ầ (a).
 + Lập phương trình mặt phẳng (b) qua M0 và vuông góc với mặt phẳng (a).
 + Đường thẳng d = (a) ầ (b).
VII. Một số bài tập tự luyện 
Bài tập 1: Viết phương trình hình chiếu d của đường thẳng D : trên mặt phẳng (a): 2x + y + z + 1 = 0.
Kết quả: d .
Bài tập 2: Cho hai đường thẳng:
Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.
Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(2; 3; 1) cắt cả d1 và d2.
Kết quả: d .
Bài tập 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M0(1; 3; 0), vuông góc với đường thẳng: và cắt đường thẳng: .
Kết quả: có vô số đường thẳng thoả mãn.
Bài tập 4: Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M0(2; 1; 1), vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng: .
Kết quả: Không tồn tại đường thẳng nào thoả mãn bài toán( bài toán vô nghiệm).
Kết luận
Qua giờ dạy và ôn luyện cho học sinh thông qua phương pháp và một số ví dụ, học sinh nắm và biết vận dụng. Đồng thời qua đó có phương pháp giải quyết một bài toán dạng khác.
Với các phương pháp nêu trên, nhằm hướng dẫn học sinh biết cách giải các bài toán về viết phương trình đường thẳng trong chương trình đã học.
Kết quả học sinh nắm được và bước đầu vận dụng tốt.
Móng Cái, ngày 24 tháng 05 năm 2005
người viết
Nguyễn Thị Quảng