Chuyên đề Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Các kiến thức cơ bản
Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa và lôgarit
Tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit
Các phương trình, bất phương trình cơ bản:
Với m > 0, 0 < a 1 thì:
ax = m x = logam ax > m 
ax 0 với mọi x R
Với mọi số thực m và 0 < a 1 thì:
logax = m x = am logax > m 
Một số phương pháp giải phương trình, Hệ phương trình 
 Bất PHươNG TRìNH mũ, lôgarit
Phương pháp đưa về cùng cơ số
Với 0 < a 1 thì:
af(x) = ag(x) f(x) = g(x); af(x) > ag(x) f(x) > g(x) nếu a > 1
 f(x) < g(x) nếu 0 < a <1
logaf(x) = logag(x) logaf(x) > logag(x) ; nếu a > 1
logaf(x) > logag(x) ; nếu 0 < a < 1.
Ví dụ 1. Giải PT: 2x+1 .5x = 2.102x+5 (1)
LG: (1) 10x = 102x+5 x = 2x +5 x = - 5.
Ví dụ 2. Giải PT: log3 (2x+1) - (2)
LG: Đkiện 2x+1 > 0 và 1- x > 0 
(2) log3(2x+1) = x = 0; x = 2 (Loại)
PT có nghiệm duy nhất x = 0.
Ví dụ 3. Giải BPT: log5(4x +144) – 4log52 < 1+ log5(2x-2 +1) (3)
LG: Đkiện: 
 (3) log5(4x +144) < log580(2x-2+1) 
 4x -20.2x +64 < 0 4 < 2x < 16 2< x < 4. 
Ví dụ 4. Giải BPT: (4)
LG: Do , (4) 
 x1 hoặc -2 x < -1.
2) Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 5. Giải PT: 3.49x + 2.14x – 4x = 0 (5)
HD: Chia hai vế của PT cho 4x rồi đặt t = 
Ví dụ 6. Giải PT: - = 20 (6)
LG: Đkiện x 0, do phương trình chứa căn, đặt t = 
 (5) t - -20 = 0 t2 – 20t -125 = 0 t = - 5 (L), t = 25 (TM)
t = 25 
Ví dụ 7. Giải BPT: 4x – 2.52x < 10x 
HD: Chia hai vế cho 10x , ta được 
, Đặt t = . BPT 
Với đkiện t > 0 ta có 0 < t < 2 , (Chú ý do cơ số < 1).
Ví dụ 8. Giải BPT: (8)
HD: Đkiện 0 < x 1/2 và 1
Đặt t = log2x , t 0 (8) ; 
Suy ra tập nghiệm của (8) là : 
* Dạng nếu (a+)(a- ) =1, nên đặt t = 
* Dạng au2f(x)+b(uv)f(x)+cv2f(x) = 0, nên chia hai vế cho v2f(x), đặt t = 
3) Phương pháp logarit hoá
Ví dụ 9. Giải PT: (9)
LG: Đkiện x -2 . Lôgarit cơ số 3 hai vế ta có x = 1 hoặc x = -(1+log32).
Ví dụ 10. Giải BPT: (10)
LG: Đkiện x > 0. Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta có : (log2x +4)log2x < 5, 
Đặt t = log2x; PT t2 + 4t-5 < 0 -5 < t < 1 -5 < log2x < 1 2-5 < x < 2.
4) Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số
Chú ý : a > 1, thì af(x) > ab f(x)>b ; logaf(x) > logab f(x) > b >0
	0 ab f(x) logab 0<f(x) < b.
Ví dụ 11. Giải PT: 3x = 3 – log5x (11)
LG: Ta có x = 1 là một nghiệm của phương trình (11)
Với x > 1 thì 3x > 31 = 3 và - log5x 3 – log5x.
Với x log51 = 0 3x < 3 – log5x.
Vậy x =1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 12. GPT: 3x + 2x = 3x +2 
LG: Dễ thấy rằng PT có nghiệm x = 0 , x = 1. (PT không có nghiệm duy nhất)
Xét hàm số: f(x) = 3x + 2x – 3x+2 ta có : f’(x) = 3xln3 + 2xln2 – 3
f’’(x) = 3xln23+2xln22 > 0 với mọi x R hàm số f’(x) đồng biến trên R.
Mặt khác hàm số f’(x) liên tục trên R và f(-1).f(1) < 0 PT f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x0 (-1; 1). Ta có bảng biến thiên sau:
 x - x0 + 
f’(x) - 0 +
 + + 
f(x) 
Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình có không quá 2 nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0; x = 1.
5) Hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và lôgarit
Chú ý : Ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình , hệ bất phương trình như đối với hệ hữu tỉ đã biết và kết hợp với các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit để giải hệ PT, Hệ BPT mũ và lôgarit.
Ví dụ 13 (ĐH K B-2005). Giải HPT: 
LG: Đkiện x > 0 và 0 < y 2
(2) 3(1+ log3x) – 3log3y = 3 log3x = log3y x = y. 
Thay x = y vào phương trình (1) ta có phương trình (1) (x-1)(2-x) = 0 x = 1 ; x = 2. Từ đó HPT có hai nghiệm là (1 ; 1) và (2; 2). 
Ví dụ 14 (ĐH KD-2002 ).Giải HPT: 
LG: Từ PT(2) 2x = y, y > 0; Thế vào PT(1) ta được PT :
y3 -5y2 +4y = 0 y = 0, y = 1, y = 4 . Hệ PT có nghiệm (0; 1) ; (2; 4).
6) Các bài toán tổng hợp (Hay và khó)
Ví dụ 15. (ĐH NT-1996). Tìm nghiệm dương của PT: 
 HD: Biến đổi PT về dạng: 
Đặt t = log2x, PT 2t + 3t = 5t . Bằng phương pháp hàm số có nghiệm t = 1 x = 2. 
Ví dụ 16. (ĐH KA-2002). Cho PT: (16) (m là tham số)
Giải PT khi m =2.
Tìm m để PT (16) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 
HD: Đkiện x > 0, Đặt t = 1 ta có PT t2+t-2m-2 = 0 (*)
(16) có nghiệm thuộc (*) có nghiệm thuộc [1; 2].
Xét hàm số f(t) = t2+t trên [1; 2] ta được PT (16) có nghiệm m [0 ; 2]
Ví dụ 17.(ĐHQGHN-1997) Giải và BL BPT theo tham số a: (17)
HD: Điều kiện a > 0, a 1, x > 0.
Với 0 < a < 1. Lấy lôgarit cơ số a hai vế PT (1+logax)logax 4(1+logax) (logax+1)(logax-4) 0 -1 logax 4 a4 x a-1.
Với a > 1, Biến đổi như trên với chú ý cơ số > 1 ta được (logax+1)(logax-4) 0
Ví dụ 18.(ĐHQG HN - 2000) Giải PT: 
HD: Đkiện x > 0, đặt t = log2x x = 2t , ta có PT: 
Nhân cả hai vế với sau đó biến đổi ta có: [-4t][ -1] = 0 t = 0 x = 1.
Ví dụ 19. Giải PT: (19)
HD: Ta có 4x2 – 4x+4 = (2x-1)2 + 3 3 log3(4x2-4x+4) 1, VP 8
	Mặt khác theo BĐT Cô-si, ta có: VT 8 
 (19) 	 giải hệ ta có nghiệm của PT là x = 
Ví dụ 20.(ĐH KD - 2006) Chứng minh rằng với a > 0, hệ sau có nghiệm duy nhất:
HD: Đkiện x > -1, y > -1
Thế (2) y = x+a vào (1) ta có PT: ex+a- ex +ln(1+x) – ln(1+a+x) (3) với x > -1, a >0.
hệ có nghiệm duy nhất (3) có nghiệm duy nhất x > -1. 
Xét hàm số f(x) = ex+a- ex +ln(1+x) – ln(1+a+x) ĐPCM.
C. Bài tập tổng hợp
I. Các bài toán trong đề thi tuyển sinh đại học từ năm 2002 đến 2008
Bài 1. (K-A. 2008) Giải PT: log2x-1(2x2+x-1) + log(x+1)(2x-1)2 = 4. ĐS: x = 2; x = 5/4
Bài 2. (K-B.2008) Giải BPT: . ĐS: x (-4; -3) (8; + )
Bài 3. (K-D.2008) Giải BPT: . ĐS: x 
Bài 4. (K-A.2007) Giải BPT: . ĐS: x 
Bài 5. (K-B.2007) Giải BPT: (-1)x + (+1)x - 2 = 0. ĐS: x = 1; x = -1
Bài 6. K-D.2007) Giải BPT: . ĐS: x = log23
Bài 7. (K-A.2006) Giải PT: 3.8x+4.12x-18x -2.27x = 0. ĐS: x = 1
Bài 8. (K-B.2006) Giải BPT: log5(4x+144)-4.log52 < 1+ log5(2x-2+1). ĐS: x (2; 4)
Bài 9. (K-A.2004) Giải HPT: . ĐS: (x; y) = (3; 4)
Bài 10. (K-D.2003) Giải PT: . ĐS: x= -1; x =2
Bài 11. (K-B.2002) Giải BPT: logx(log3(9x-72)) 1.	ĐS: log973 < x2
II. Các bài toán trong đề thi tuyển sinh đại học trước năm 2002
Bài 1. (HVQHQT-1999) Giải PT: .ĐS: x {-5; -1; 1; 2}
Bài 2. (ĐHQG-KD.2000) Giải PT: 8.3x + 3.2x = 24 +6x . ĐS: x = 1; x = 3
Bài 3. (ĐHQG-KB.1998) Giải PT: 125x +50x = 23x+1. ĐS: x = 0
Bài 4. (ĐHQG-1997) Giải PT: . ĐS: x = 0 ; x = 
Bài 5. (ĐH YHN-2000) Giải PT: . ĐS: x= 1
Bài 6. (ĐHTL 2000) Giải PT: .	ĐS: x = -1; x = 2
Bài 7. (ĐHTCKT-1997) Giải PT: 25x -2(3-x)5x + 2x -7 = 0.	ĐS: x = 1
Bài 8. (ĐH NT-1997) Giải PT: 2x+1 – 4x = x-1.	ĐS: x =1
Bài 9. (ĐHSP HN- 2001) Giải PT: 3x + 5x = 6x+2.	 ĐS: x = 0; x =1
Bài 10. (ĐHNNHN-2000) Cho phương trình: (m+3).16x + (2m-1).4x +m +1 = 0. 
 Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. 	ĐS: 
Bài 11. (ĐHQG TPHCM.1996) Cho phương trình: (2+ )x + (2-)x = m . 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.	m > 2
Bài 12. (ĐH NT -1998) Tìm m để phương trình sau: .	
có 4 nghiệm phân biệt ĐS: m (-1 ; 1)\ {0}
Bài 13. (QGHN- 1995) Giải HPT: . 	ĐS: (1; 1); (-1 ; -1)
Bài 14. (ĐHGT -1998) Giải BPT: .	 ĐS: x (-3; -) 
Bài 15. (ĐH Dược HN -1997) Giải BPT: . 
	ĐS: x (- ; -1) 
Bài 16. (ĐHQG HN-1996) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn phương trình : 
	+cos2y.	ĐS: (x; y) = 
Bài 17. (ĐHQG HN-1999) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất PT sau có nghiệm:
	.	ĐS: m 4
Bài 18. (ĐHSP TPHCM-2000) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất PT sau có nghiệm : .	ĐS: m 1
Bài 19. (ĐH BKHN-1999) Giải PT: .	 (Chia 4logx)ĐS: x = 10-2
Bài 20. (ĐH THHN-1994) Giải PT: .	ĐS: x = 1/ 2 ; x=2
Bài 21. (ĐH SPHN-1994) Giải PT: .	ĐS: x = 3
Bài 22. (ĐHSPHN-1990) Giải PT: .	ĐS:
Bài 23. (ĐH Mỏ ĐC -1993) Giải BPT: .	ĐS: 
Bài 24. (ĐH Luật HN-1997) Giải BPT: .	ĐS: -1 4
Bài 25. (ĐH YHN-1997) Giải BPT: . 	ĐS: x 
Bài 26. (ĐH BKHN 2000) Giải PT: log4(x+1)2+2 =. x{2,2–}
Bài 27. (ĐH SPHN-2000) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để mọi x [0; 2] đều thoả mãn bất phương trình . 	ĐS: m [2; 4]
Bài 28. (ĐH Mỏ ĐC -1999) Giải hệ: .	
ĐS: (a ; a), a > 0; (2; 1)
Bài 29. (ĐH SPHN-1991) Giải hệ: . 	ĐS: (8; 2); (2; )
Bài 30. (ĐH SPNN-1998) Giải hệ: .	ĐS: (2; 1), .