Chuyên đề: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và lôgarit

PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số:
Giải phương trình 
1): 
Hdẫn: (1).
2) 
Hdẫn: (2)
3) 
Hdẫn: 
4) . ĐS: x=10.
Tương tự: Giải các phương trình:
5) 	Đáp số: x=2; 	
6)	Đáp sô: 
7) 	
8) 
9) 	Đáp số: 	
Phưong pháp 2: Đặt ẩn phụ:
Đặt 1 ẩn phụ đưa về phương trình đại sô:
1) 
Hdẫn: Đặt . Phương trình trở thành:
2) . ĐS: x=-1; x=-2.
3) . ĐS: x=-2; x=1.
4) 
Hdẫn: Chia cả 2 vế cho 4x ta được phương trình . ĐS: x=0
5) .
Hdẫn: Đặt 
6) 
Hdẫn: Đặt 
7) . ĐS: 
8) Giải phương trình 
. Đặt 
Giải phương trình trên ta được .
Tương tự giải phương trình 
9) 
Chia 2 vế cho , đặt 
đáp số: x=4
10) 	ĐS: x=0
11) (KB-2007) Giải phương trình . ĐS: x=-1,x=1
12) (KA-2006) Giải phương trình 
Chia 2 vế của phương trình cho , đặt ta được phương trình 
Đặt 2 ẩn phụ, phân tích thành nhân tử
1)
Giải: 
Đặt Phương trình (1) trỏ thành
-Với u=1 
- Với v=1 
KL: Phương trình có nghiệm x=0
 Tương tự
Giải các phương trình:
2) 	 ĐS: 	
3) 
4) 	 ĐS: 	
5) ĐS: 
6) 	ĐS: 
7) (KD-2006) Giải phương trình 
Đặt phương trình trở thành . ĐS: x=0;x=1
8) (KD-2003) Giải phương trình 	ĐS: x=-1;x=2 
Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
1) =0
Hdẫn :
Đặt Pt trở thành :
Tương tự
Giải các phương trình:
2) 	ĐS : x=0,x=2	
3) 
4) 	ĐS : x=1	
5) 
Phương pháp 3: lôgarit hoá:
1) 
ĐK: x nguyên dương
2) 
Hdẫn: 
3) 
Lôgarit hóa 2 vế theo cơ số 2 ta có :
4) 	ĐS: 
5) 	ĐS: 
Phương pháp 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Phương trình dạng f(x)=g(x) với f(x) ĐB, g(x) NB hoặc f(x) đơn điệu g(x)=const
1) Giải PT : (1)(SGK giải tích NC trang 127)
Giải: Do nên là hàm số nghịch biến trên 
+Dễ thấy x=2 là nghiệm của phương trình (1)
+Nếu x>2 thì 
+Nếu x<2 thì 
+Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)
2)Giải phương trình : (2)	(SGK giải tích NC trang 127)
Giải:
+Xét hàm số trên 
+Dễ thấy nghịch biến trên , còn g(x) đồng biến trên 
+x=-1 là một nghiệm của phương trình (2)
+Nếu x>-1 thì 
+Nếu x<-1 thì 
Vậy x=-1 là nghiệm của PT (2).
3) Giải phương trình : 
 (3) (SBT giải tích 12 NC)
Giải: 
-Xét hàm số trên 
- Vì nên đồng biến trên ,
 nên g(x) nghịch biến trên và f(1)=g(1)=4
-Với x>1 ta có 
-Với x<1 ta có 
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của PT (3).
4) 
Hdẫn : 
+Nếu 
+Nếu 
Vậy pt vô nghiệm.
5) Cho a, b, c là các số dương, a<c, b<c. CMR : phương trình ax+bx=cx có một và chỉ một nghiệm.
Hdẫn : 
Đặt VT=f(x) . Ta có f(x) là hàm số liên tục trên R, f(x) là hàm nghịch biến trên R
 hay pt có nghiệm duy nhất.
Tương tự
6) 
7) 
Pt dạng trong đó f là hàm số đơn điệu
1) Giải các phương trình: 	
Đặt pt trở thành : 
Xét hàm trên , HSDDB trên nên được u=v 
Từ đó giải ra nghiệm của pt là x=1
2) Giải phương trình sau (10)
 Giải :
Biến đổi phương trình như sau 
 (10’)
Xét hàm số . Hàm f(t) đồng biến trên R
Có thể gặp cả trong đề thi HSG các tỉnh các ví dụ tương tự
3) Giải phương trình (Chọn đội tuyển tỉnh Ninh Bình)
Giải: 
Xét hàm số 
nên f(t) là HS ĐB trên 
Phương trình trên chính là
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x=-2 ; x=1.
4) 	ĐS: 	
5) 
Sử dụng tính đơn điệu chứng minh phương trình có tối đa 2 nghiệm :
1) Giải phương trình:                   
Phương trình tương đương với: 
Rõ ràng phương trình có là nghiệm
Ta có                   
                               với 
;    
Suy ra là hàm liên tục,đồng biến và nhận cả giá trị âm,cả giá trị dương trên R nên phương trình có nghiệm duy nhất .
Từ bảng biến thiên của hàm  có không quá hai nghiệm.
Vậy phương trình có đúng hai nghiệm : .
Chú ý : * Có thể chứng minh phương trình có nghiệm như sau :
               Ta có : 
               Suy ra phương trình có nghiệm .
2) Giải phương trình : (13)
Giải : Xét hàm sô trên 
Ta có với mọi nên hàm số đồng biến trên 
Phương trình (5) có dạng (13’)
Xét hàm số trên 
Ta có 
với mọi nên là hàm số đồng biến trên , do đó có tối đa một nghiệm thực. Từ bảng biến thiên của.
Suy ra có tối đa 2 nghiệm thực 
Mà nên phương trình (13’) có đúng 2 nghiệm 
Vậy phương trình (13) có 2 nghiệm 
3) Cho hàm số . Tìm GTNN của hàm số và CMR: f(x)=3 có đúng 2 nghiệm.
Giải: Ta có 
Suy ra đồng biến trên , f’(0)=0. 
Mà 
Ta có BBT
x
 0 
f’(x)
 - 0 +
f(x)
 1
Từ BBT ta có và phương trình f(x)=3 có đúng 2 nghiệm phân biệt.
CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ.
Bài 1 : Tìm m để pt có nghiệm duy nhất.
Giải :
Đặt t=2x , t>o. Pt trở thành : 
+Nếu m=0 : t=1/5 (t.m)
+ Nếu m≠0 :
Pt đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi pt (2) có duy nhất 1 nghiệm dương. Xét 3 TH :
Bài 2 : Cho pt : 
Giải pt khi m=3
Tìm m để pt có nghiệm duy nhất.
Hdẫn : Đặt . Pt trở thành (2)
x=0 ; x=1/2
(2)
Pt đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi pt (2) có đúng một nghiệm dương. Khảo sát hàm số y=-2t2+5t trên (0 :+∞) ta được 
Bài 3 : Tìm a để pt sau có nghiệm duy nhất :
Hdẫn :
Đặt t=(t>0) phương trình trở thành : 
ĐS : .
Bài 4 : Biện luận theo a, số nghiệm của phương trình 
Đặt t=(t>0), phương trình trở thành .
Khảo sát hs và lập bảng biến thiên
+a>16 ; pt vô nghiệm
+a=16 hoặc a≤0 : pt có nghiệm duy nhất
+0<a<16 : pt có 2 nghiệm phân biệt
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
Hdẫn:
Đặt . Phương trình trở thành: 
Khảo sát hàm số ta được kết quả 18≤m≤82
Bài 6: Cho phương trình 
Giải phương trình khi m=0
Xác định m để phương trình có nghiệm.
Giải: Đặt 
x=±1
Khảo sát hàm số được -30≤m≤2
Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm 
Hdẫn: Đặt t=. Khảo sát hs được 
Bài 8: Cho phương trình . Tìm m để phương trình có nghiệm
Hdẫn: Đặt. Phương trình trở thành: 
Khảo sát hàm số được 
Bài 9: Cho phương trình . Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc (0;2).
Hdẫn:
Đặt 
Phương trình trở thành với f(t)=5t+t
Ta có f(t) là HSĐB trên R nên pt tương đương u=v(*)
Pt đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc (0 ;2) khi và chỉ khi pt (*) có đúng 2 nghiệm thuộc (0 ;2). Khảo sát hàm số ta được kết quả không tồn tại m thoả mãn.
Bài tập tổng hợp về phương trình mũ
Bài 1: Giải các phương trình:
a) 	b)
c) 	d) 
e) 
Bài 2: Giải các phưong trình:
a) 	b) . Đáp số: x=0
c) 	d) 
e) 
Bài 3: Giải các phương trình:
a) 	b)
d) 	f) 
Bài 4: Giải các phương trình:
a) 	b) 
d) 	e) 
Bài 5: Giải các phương trình:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 6: Giải các phương trình:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 
Bài 7: Giải các phương trình:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 8: Giải các phương trình:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 
Bài 9: Giải các phương trình:
a) 	b) 
c) 	d)