Chuyên đề Phương trình & bất phương trình hệ chứa căn thức

 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
1 
 PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
HỆ CHỨA CĂN THỨC 
 ũ ọ
 (THPT A Nghĩa Hưng – NĐ) 
 NỘI DUNG 
 ( Tóm tắt lí thuyết. Các ví dụ, bài tập, đề thi có lời giải ) 
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. 
II. CÁC DẠNG TOÁN CƠ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. 
1. Phương trình và bất phương trình chứa căn cơ bản. 
2. Quy phương trình chứa căn về hệ phương trình không chứa căn thức. 
3. Sử dụng phương trình tương hoặc hệ quả để giải phương trình chứa căn. 
4. Hệ phương trình chứa căn. 
5. Sử dụng phương pháp chiều biến thiên hàm số để giải phương trình và bất 
phương trình chứa căn. 
6. Phương pháp đáng giá hai vế để giải phương trình và bất phương trình chứa căn. 
7. Phương trình và bất phương trình chứa căn có chứa tham số. 
A) Giải và biện luận phương trình và bất phương trình chứa căn có chứa tham số. 
B) Các bài toán định tính về phương trình và bất phương trình chứa căn có chứa 
tham số. 
III. BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THÚC 
A) các bài luyện tập tổng hợp. 
B) Đề thi đại học từ 2002 đến 2008: Phần phương trình và bất phương trình, hệ 
chứa căn 
( 20 bài : Chính thức và dự trữ ) 
IV. BÀI TẬP CHỨA CĂN THỨC TỰ GIẢI . 
V. PHỤ LỤC: 
 Tham khảo phương pháp giải phương trình, bất phương trình. (PP + TD + BT) 
VI. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ HỖN HỢP CHỨA CĂN THỨC. 
A) Căn thức – Mũ. 
B) Căn thức – Logarit. 
C) Căn thức - lượng giác 
VII. MỘT SỐ BÀI TẬP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI . 
( Dung lượng lớn nên phải chia nhỏ, post 2 đến 3 lấn) 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
2 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
3 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
4 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
5 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
6 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
7 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
8 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
9 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
10 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
11 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
12 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
13 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
14 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
15 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
16 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
17 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
18 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
19 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
20 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
21 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
22 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
23 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
24 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
25 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
26 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
27 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
28 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
29 
Bài 10. (Dự trữ D – 2006 ) 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
30 
Bài giải 
Bài 11. ( Khối A – 2007 ) 
Tìm m để PT sau có nghiệm thực: 243 1 1 2 1x m x x     . 
Bài giải 
Điều kiện các căn thức có nghĩa là x 1 khi đó x 1 0  nên chia 2 vế cho x 1 ta có : 
4
x 1 x 13 m 2
x 1 x 1
  
 
Đặt 4 x 1t
x 1


với 1x  
4
4
t 0
t 1x
t 1

    
. Do đó, tồn tại 1x  4
4
t 0
t 1 1
t 1

    
  0 t 1  
Chú ý: Có thể lập bảng biến thiên của t với 1x  để có điều kiện 0 t 1  . 
Với ẩn phụ t thì phương trình đã cho đưa về : 23t 2t m 0   
23 2 (*)m t t    
Phương trình đã cho có nghiệm  (*) có nghiệm thỏa mãn 0 t 1  
Xét f(t) = 3t2 + 2t với 0 t 1  . f’(t) = 6t + 2 
Từ đó, ta có kết quả 1-1<m
3
 
Bài 12. (Khối B – 2007) 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
31 
CMR: với mọi giá trị dương của tham số m, PT sau có 2 nghiệm thực phân biệt 
x2 + 2x – 8 = ( 2)m x 
Bài giải. 
Bài 13. ( Dự trữ 1- B – 2007 ) 
Tìm m để phương trình: mx1x4 2  có nghiệm. 
Bài giải 
Tìm m để phương trình: mx1x4 2  có nghiệm 
 Xét hàm số   x1xxf 4 2  (điều kiện: x  0) 
  
 
0
x
1
1x
x
2
1x'f
4 32











 , x > 0. Vì 
  x
1
x
x
x
x
1x
x
2
34 64 32


 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
32 
Ta có f giảm trên  0; và 
x
lim f(x) 0

 nên ta có :  0 f(x) 1, x 0;     . 
Vậy, phương trình (1) có nghiệm  mmiền giá trị của f trên đoạn  0;  0 < m  1 
Bài 14. ( Dự trữ 2- B – 2007 ) 
 Tìm m để phương trình : 01xmx13x4 4  có đúng 1 nghiệm 
Bài giải 
1) Phương trình: 01xmx13x4 4  (1) 
 (1) x1mx13x4 4  
   











m1x9x6x4
1x
x1mx13x
1x
2344 
 ycbt  đường thẳng y = –m cắt phần đồ thị f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – 1 với x  1 tại 1 điểm 
 f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – 1 
 TXĐ: x  1 
 f'(x) = 12x2 – 12x – 9 = 3(4x2 – 4x – 3) 
 f'(x) = 0  4x2 – 4x – 3 = 0  
2
3x
2
1x  
 x – –1/2 1 –3/2 + 
 f' + 0 – – 0 + 
 f CĐ + 
 – –12 CT 
 Từ bảng biến thiên ta có: 
ycbt 3 3m hay m 12 m hay m 12
2 2
          
Bài 15. ( Dự trữ 2- B – 2007 câu 4) 
Giải hệ phương trình: 













xy
9y2y
xy2y
yx
9x2x
xy2x
2
3 2
2
3 2
Bài giải. Hệ phương trình 













)2( xy
9y2y
xy2y
)1( yx
9x2x
xy2x
2
3 2
2
3 2
 Từ hệ suy ra: 
   
2 2
2 23 3
1 1VT 2xy x y VP
x 1 8 y 1 8
 
          
 Dễ thấy VT  2xy  x2 + y2 = VP, (
   
1
81y
1
81x
1
3 23 2




 và dấu = xảy ) 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
33 
Ta có VT = VP x y 1 hay x y 0     
 Thử lại, kết luận hệ phương trình có 2 nghiệm : x y 1 hay x y 0    
Bài 16. ( Dự trữ 1- A – 2007 ) 
 Tìm m để phương trình:  2m x 2x 2 1 x(2 x) 0 (2)      có nghiệm x 0,1 3    
Bài giải 
Đặt 2t x 2x 2    t2  2 = x2  2x ; Bpt (2)      

2t 2m (1 t 2),do x [0;1 3]
t 1
Khảo sát 
2t 2g(t)
t 1


 với 1  t  2 ; g'(t) 
2
2
t 2t 2 0
(t 1)
  

. Vậy g tăng trên [1,2] 
 Do đó, ycbt  bpt 
2t 2m
t 1


 có nghiệm t  [1,2]  
 
  
t 1;2
2m max g(t) g(2)
3
Bài 17. ( Dự trữ 1 - D – 2007 ) 
Tìm m để phương trình: m54x6x4x23x  có đúng 2 nghiệm 
Bài giải 
P/trình cho     m94x64x14x24x  (1) 
     m34x14x 22  m34x14x  (1) đặt: 
04xt  . (1) m3t1t  () 
 Phương trình cho có đúng 2 nghiệm  phương trình () có đúng 2 nghiệm t  0 
 Vẽ đồ thị của hàm số   0t ,3t1ttf  . Ta có  









3t neáu 4t2
3t1 neáu 2
1t0 neáu t24
tf 
 y 
 4 
 2 
 0 
 1 2 3 x 
Từ đồ thị ta có ycbt  2 < m  4 
Cách khác: m3t1t  và t 0   0 t 1 1 t 3 t 3hay haym 4 2t m 2 m 2t 4          
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
34 
0 t 1 t 31 t 32 m 4 hay hay m 2m 24 m 4 mt t
2 2
 
              
. Do đó, ycbt  2 < m  4 
( khi 2 3 ) 
Bài 18. ( Dự trữ 2 - D – 2007 ) 
Tìm m để hệ phương trình : 






1xyx
0myx2
 có nghiệm duy nhất. 
Bài giải 
Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất 
 (I) 













x1xy
0myx2
1xyx
0myx2
. Với điều kiện: 





1x
0xy
ta có 
 (I)       
2
2
y 2x my 2x m
1 xxy 1 x y x 1
x
         
    
2
21 x 2x m x 2 m x 1 0
x

        () 
 ( hiển nhiên x = 0 không là nghiệm của () ). Đặt  2f (x) x 2 m x 1    , ( a = 1 ) 
 ycbt  tìm m để phương trình () có đúng 1 nghiệm thỏa x  1 
  af(1) < 0 hay 
f (1) 0 0(vn,do ac 0)
c bhay1 1(VN) 1
a 2a
     
       
  2 m 2 
Bài 19. ( Khối D – 2008 ) 
Bài giải 
Bài 20. ( Khối A – 2008 ) 
Tìm các giá trị của tham số m để PT sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt. 
 4 42 2 2 6 2 6x x x x m      
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
35 
Bài giải 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
36 
 CHUYÊN Đề: PT, BPT, H CHỨA CĂN & CÁC PT, BPT, H LIÊN QUAN 
GV: Vũ Ngọc Vinh 
37 
Bài 9: 
Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: 
 23 1 2 3 1x x x x m         
Bài 10: 
Giải phương trình: 2 2 23 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x       