Chuyên đề Phương pháp về luyện tập thể tích khối đa diện

Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 1 
c b
a
MH CB
A
CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP 
 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 
I. Ôn tập kiến thức cơ bản: 
ÔN TẬP 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10 
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho ABCD vuông ở A ta có : 
a) Định lý Pitago : 2 2 2BC AB AC= + 
b) CBCHCABCBHBA .;. 22 == 
c) AB. AC = BC. AH 
d) 222
111
ACABAH
+= 
e) BC = 2AM 
f) sin , os , tan ,cot
b c b c
B c B B B
a a c b
= = = = 
g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a = 
sin cos
b b
B C
= , 
 b = c. tanB = c.cot C 
 2.Hệ thức lượng trong tam giác thường: 
 * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA 
 * Định lý hàm số Sin: 2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = = 
3. Các công thức tính diện tích. 
 a/ Công thức tính diện tích tam giác: 
1
2
S = a.ha =
1 . .
. sin . .( )( )( )
2 4
a b c
a b C p r p p a p b p c
R
= = = - - - với
2
a b c
p
+ +
= 
Đặc biệt :* ABCD vuông ở A : 1 .
2
S AB AC= ,* ABCD đều cạnh a: 
2 3
4
a
S = 
 b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh 
 c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng 
 d/ Diên tích hình thoi : S = 1
2
(chéo dài x chéo ngắn) 
 d/ Diện tích hình thang : 1
2
S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 
 e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao 
 f/ Diện tích hình tròn : 2S .Rp= 
ÔN TẬP 2 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 2 
A.QUAN HỆ SONG SONG 
§1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 
I. Định nghĩa: 
Đường thẳng và mặt 
phẳng gọi là song song 
với nhau nếu chúng 
không có điểm nào chung. 
a/ /(P) a (P)Û Ç =Æ 
a
(P)
II.Các định lý: 
ĐL1:Nếu đường thẳng d 
không nằm trên mp(P) và 
song song với đường 
thẳng a nằm trên mp(P) 
thì đường thẳng d song 
song với mp(P) 
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)
ì Ë
ï Þí
ï Ìî
d
a
(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a 
song song với mp(P) thì 
mọi mp(Q) chứa a mà cắt 
mp(P) thì cắt theo giao 
tuyến song song với a. 
a/ /(P)
a (Q) d / /a
(P) (Q) d
ì
ï Ì Þí
ï Ç =î
d
a
(Q)
(P)
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng 
cắt nhau cùng song song 
với một đường thẳng thì 
giao tuyến của chúng 
song song với đường 
thẳng đó. 
(P) (Q) d
(P)/ /a d / /a
(Q)/ /a
ì Ç =
ï Þí
ï
î
 a
d
Q
P
§2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 
I. Định nghĩa: 
Hai mặt phẳng được gọi 
là song song với nhau nếu 
chúng không có điểm nào 
chung. 
(P)/ /(Q) (P) (Q)Û Ç =Æ 
Q
P
II.Các định lý: 
ĐL1: Nếu mp(P) chứa 
hai đường thẳng a, b cắt 
nhau và cùng song song 
với mặt phẳng (Q) thì 
(P) và (Q) song song với 
nhau. 
a,b (P)
a b I (P)/ /(Q)
a/ /(Q),b / /(Q)
ì Ì
ï Ç = Þí
ï
î
 Ib
a
Q
P
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 3 
ĐL2: Nếu một đường 
thẳng nằm một trong hai 
mặt phẳng song song thì 
song song với mặt phẳng 
kia. 
(P) / /(Q)
a / /(Q)
a (P)
ì
Þí
Ìî
a
Q
P
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng 
(P) và (Q) song song thì 
mọi mặt phẳng (R) đã 
cắt (P) thì phải cắt (Q) và 
các giao tuyến của chúng 
song song. 
(P) / /(Q)
(R) (P) a a / /b
(R) (Q) b
ì
ï Ç = Þí
ï Ç =î
b
a
R
Q
P
B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC 
§1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG 
I.Định nghĩa: 
Một đường thẳng được 
gọi là vuông góc với một 
mặt phẳng nếu nó vuông 
góc với mọi đường thẳng 
nằm trên mặt phẳng đó. 
a mp(P) a c, c (P)^ Û ^ " Ì 
 P
c
a
II. Các định lý: 
ĐL1: Nếu đường thẳng d 
vuông góc với hai đường 
thẳng cắt nhau a và b 
cùng nằm trong mp(P) thì 
đường thẳng d vuông góc 
với mp(P). 
d a ,d b
a ,b mp(P) d mp(P)
a,b caét nhau
ì ^ ^
ï Ì Þ ^í
ï
î
d
a
b
P
ĐL2: (Ba đường vuông 
góc) Cho đường thẳng a 
không vuông góc với 
mp(P) và đường thẳng b 
nằm trong (P). Khi đó, 
điều kiện cần và đủ để b 
vuông góc với a là b 
vuông góc với hình chiếu 
a’ của a trên (P). 
a mp(P),b mp(P)
b a b a'
^ Ì
^ Û ^
a'
a
b
P
§2.HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC 
I.Định nghĩa: 
Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. 
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 4 
II. Các định lý: 
ĐL1:Nếu một mặt 
phẳng chứa một đường 
thẳng vuông góc với một 
mặt phẳng khác thì hai 
mặt phẳng đó vuông góc 
với nhau. 
a mp(P)
mp(Q) mp(P)
a mp(Q)
ì ^
Þ ^í
Ìî
Q
P
a
ĐL2:Nếu hai mặt phẳng 
(P) và (Q) vuông góc 
với nhau thì bất cứ 
đường thẳng a nào nằm 
trong (P), vuông góc với 
giao tuyến của (P) và 
(Q) đều vuông góc với 
mặt phẳng (Q). 
(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)
a (P),a d
ì ^
ï Ç = Þ ^í
ï Ì ^î
d Q
P
a
ĐL3: Nếu hai mặt 
phẳng (P) và (Q) vuông 
góc với nhau và A là 
một điểm trong (P) thì 
đường thẳng a đi qua 
điểm A và vuông góc 
với (Q) sẽ nằm trong (P) 
(P) (Q)
A (P)
a (P)
A a
a (Q)
ì ^
ï Îï Þ Ìí
Îï
ï ^î
A
Q
P
a
ĐL4: Nếu hai mặt 
phẳng cắt nhau và cùng 
vuông góc với mặt 
phẳng thứ ba thì giao 
tuyến của chúng vuông 
góc với mặt phẳng thứ 
ba. 
(P) (Q) a
(P) (R) a (R)
(Q) (R)
ì Ç =
ï ^ Þ ^í
ï ^î
a
R
QP
§3.KHOẢNG CÁCH 
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường 
thẳng , đến 1 mặt phẳng: 
 Khoảng cách từ điểm M đến đường 
thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là 
khoảng cách giữa hai điểm M và H, 
trong đó H là hình chiếu của điểm M 
trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) 
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH 
a
H
O
H
O
P
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 5 
2. Khoảng cách giữa đường thẳng và 
mặt phẳng song song: 
Khoảng cách giữa đường thẳng a và 
mp(P) song song với a là khoảng cách 
từ một điểm nào đó của a đến mp(P). 
d(a;(P)) = OH 
a
H
O
P
3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng 
song song: 
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên 
mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 
d((P);(Q)) = OH 
H
O
Q
P
4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng 
chéo nhau: 
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai 
đường thẳng đó. 
d(a;b) = AB B
A
b
a
§4.GÓC 
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b 
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ 
cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng 
phương với a và b. 
b'
b
a'a
2. Góc giữa đường thẳng a không 
vuông góc với mặt phẳng (P) 
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó 
trên mp(P). 
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt 
phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường 
thẳng a và mp(P) là 900. 
P
a'
a
3. Góc giữa hai mặt phẳng 
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt 
vuông góc với hai mặt phẳng đó. 
 Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm 
trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với 
giao tuyến tại 1 điểm 
ba
QP
P Q
a b
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 6 
B
h
a
b
c
a
a
a
B
h
4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện 
tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là 
diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên 
mp(P’) thì 
S' Scos= j 
trong đó j là góc giữa hai mặt phẳng 
(P),(P’). 
j
C
B
A
S
ÔN TẬP 3 KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện: 
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: 
 V= B.h 
với B : d ie än t íc h ñ a ùy
h : c h ie àu c a o
ì
í
î
a) Thể tích khối hộp chữ nhật: 
 V = a.b.c 
với a,b,c là ba kích thước 
b) Thể tích khối lập phương: 
 V = a3 
với a là độ dài cạnh 
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP: 
 V=
1
3
Bh 
với 
B : dieän tích ñaùy
h : chieàu cao
ì
í
î
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN: 
Cho khối tứ diện SABC và A’, 
B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt 
thuộc SA, SB, SC ta có: 
SABC
SA ' B ' C '
V SA SB SC
V SA ' SB ' SC '
= 
C'
B'
A'
C
B
A
S
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 7 
4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT: 
 ( )hV B B' BB'3= + + 
với 
B, B' : dieän tích hai ñaùy
h : chieàu cao
ì
í
î
BA
C
A' B'
C'
Chú ý: 
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 , 
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 , 
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d = 2 2 2a b c+ + , 
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = 3
2
a
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng 
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy). 
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. 
II/ Bài tập: 
Nội dung chính 
LOẠI 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ 
1) Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy 
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông 
cân tại A có cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ. 
 a 2 
Lời giải: 
 Ta có 
 ABCV vuông cân tại A nên AB = AC = a 
ABC A'B'C' là lăng trụ đứng AA' ABÞ ^ 
2 2 2 2AA'B AA' A'B AB 8aÞ = - =V 
AA' 2a 2Þ = 
Vậy V = B.h = SABC .AA' = 3a 2 
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và 
đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này. 
? 
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 8 
A'
D
B'
C'
A'
C
D'
C'
B'B
D'
A
5a4a
D' C'
B'
A'
D C
BA
Lời giải: 
 ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên 
 BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 BD 3aÞ = 
 ABCD là hình vuông 3aAB
2
Þ = 
Suy ra B = SABCD = 
29a
4
 Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 
 Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh 
 a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. 
A' C'
B'
A
B
C
I
Lời giải: 
 Gọi I là trung điểm BC .Ta có 
VABC đều nên 
AB 3
3 &
2
AI 2 AI BC
A'I BC(dl3 )
== ^
Þ ^ ^
A'BC
A'BC
2S1S BC.A'I A 'I 4
2 BC
= Þ = = 
AA' (ABC) AA' AI^ Þ ^ . 
2 2A 'AI AA' A'I AI 2Þ = - =V 
 Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3 
 Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc 
 tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật 
 không có nắp. Tính thể tích cái hộp này. 
D'
A'
C'
B'
D
A
C
B
Giải 
 Theo đề bài, ta có 
AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm 
nên ABCD là hình vuông có 
AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm 
 và chiều cao hộp h = 12 cm 
 Vậy thể tích hộp là 
V = SABCD.h = 4800cm
3 
 Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 9 
60
D' C'
B'
A'
D C
BA
 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. 
 Tính thể tích hình hộp . 
 Lời giải: 
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a 
và SABCD = 2SABD = 
2a 3
2
Theo đề bài BD' = AC = a 32 a 3
2
= 
2 2DD'B DD' BD' BD a 2Þ = - =V 
 Vậy V = SABCD.DD' = 
3a 6
2
 Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của 
lăng trụ bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. 
 ĐS: 
3a 3V
4
= ; S = 3a2 
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết 
rằng BD' a 6= . Tính thể tích của lăng trụ. 
 Đs: V = 2a3 
Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm 
và 8cm biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng 
diện tích các mặt của lăng trụ. 
 Đs: V = 240cm3 và S = 248cm2 
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm 
;30cm và biết tổng diện tích các mặt bên là 480 cm2 . Tính thể tích lăng trụ . 
 Đs: V = 1080 cm3 
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông 
cân tại A ,biết rằng chiều cao lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 
5a . Tính thể tích lăng trụ. 
 Đs: V = 24a3 
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tấ ... c ABC, mặt phẳng (a ) qua AG và song song 
 với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN 
G
M
N
I
C
B
A
S
Lời giải: 
a)Ta có: .
1
.
3S ABC ABC
V S SA= và SA a= 
 + â ó : 2ABC c n c AC a AB aD = Þ = 
21
2ABC
S aÞ = Vậy: 
3
21 1. .
3 2 6SABC
a
V a a= = 
b) Gọi I là trung điểm BC. 
 G là trọng tâm,ta có : 2
3
SG
SI
= 
 a // BC Þ MN// BC 
2
3
SM SN SG
SB SC SI
Þ = = = 
4
.
9
SAMN
SABC
V SM SN
V SB SC
Þ = = 
 Vậy: 
34 2
9 27SAMN SABC
a
V V= = 
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB a= . Trên đường thẳng qua C 
và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD a= . Mặt phẳng qua 
C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. 
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. 
b) Chứng minh ( )CE ABD^ 
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF. 
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 27 
? 
a
a
F
E
B
A
C
D
Lời giải: 
a)Tính ABCDV : 
3
ABCD ABC
1 aV S .CD
3 6
= = 
b)Tacó: 
,AB AC AB CD^ ^ ( )AB ACDÞ ^ AB ECÞ ^ 
 Ta có: DB EC^ ( )EC ABDÞ ^ 
c) Tính EFDCV :Ta có: . (*)
DCEF
DABC
V DE DF
V DA DB
= 
 Mà 2.DE DA DC= , chia cho 2DA 
2 2
2 2
1
2 2
DE DC a
DA DA a
Þ = = = 
 Tương tự: 
2 2
2 2 2
1
3
DF DC a
DB DB DC CB
= = =
+
 Từ(*) 1
6
DCEF
DABC
V
V
Þ = .Vậy
31
6 36DCEF ABCD
a
V V= = 
Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng )(a qua A, B và 
trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia 
bởi mặt phẳng đó. 
N
S
O
M
B
D
C
A
Lời giải: 
 Kẻ MN // CD (N )SDÎ thì hình thang ABMN 
là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng 
(ABM). 
 + SABCDSADBSANB
SADB
SAND VVV
SD
SN
V
V
4
1
2
1
2
1
==Þ== 
SABCDSBCDSBMN
SBCD
SBMN VVV
SD
SN
SC
SM
V
V
8
1
4
1
4
1
2
1
.
2
1
. ==Þ===
 Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = SABCDV8
3 . 
Suy ra VABMN.ABCD = SABCDV8
5 
 Do đó : 
5
3
.
=
ABCDABMN
SABMN
V
V 
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên 
tạo với đáy góc 60o . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song 
song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. 
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 28 
I
O
A
B C
D
S
E
F
M
a) Hảy xác định mp(AEMF) 
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF 
Lời giải: 
a) Gọi I SO AM= Ç . Ta có (AEMF) //BD 
ÞEF // BD 
b) . D D
1
.
3S ABC ABC
V S SO= với 2DABCS a= 
 + SOAV có : 6. tan 60
2
a
SO AO o= = 
 Vậy : 
3
. D
6
6S ABC
a
V = 
c) Phân chia chóp tứ giác ta có 
. EMFS AV = VSAMF + VSAME =2VSAMF 
 .S ABCDV = 2VSACD = 2 VSABC 
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD 
 Ta có : 
1
2
SM
SC
Þ = 
 SACD có trọng tâm I, EF // BD nên: 
2
3
SI SF
SO SD
Þ = =
D
1
.
3
SAMF
SAC
V SM SF
V SC SD
Þ = = 
3
D D
1 1 6
3 6 36SAMF SAC SAC
a
V V VÞ = = = 
3 3
. EMF
6 6
2
36 18S A
a a
VÞ = = 
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông 
góc đáy, 2SA a= . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt 
phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. 
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 
b) Chứng minh ( ' ')SC AB D^ 
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ 
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 29 
A
S
I
O
D
B
C
C'
D'
B'
Lời giải: 
a) Ta có: 
3
.
1 2
.
3 3S ABCD ABCD
a
V S SA= = 
b) Ta có ( ) 'BC SAB BC AB^ Þ ^ 
 & 'SB AB^ Suy ra: ' ( )AB SBC^ 
 nên AB'^SC .Tương tự AD'^SC. 
 Vậy SC ^ (AB'D') 
c) Tính . ' ' 'S AB C DV 
+Tính . ' 'S AB CV : Ta có: 
' ' ' '. (*)SAB C
SABC
V SB SC
V SB SC
= 
 SACD vuông cân nên 
' 1
2
SC
SC
= 
Ta có: 
2 2 2
2 2 2 2
' 2 2 2
3 3
SB SA a a
SB SB SA AB a
= = = =
+
 Từ ' '
1
(*)
3
SAB C
SABC
V
V
Þ = 
3 3
' '
1 2 2
.
3 3 9SAB C
a a
VÞ = = 
+ 
3
. ' ' ' . ' '
2 2
2
9S AB C D S AB C
a
V V= = 
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính 
tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD. Đs: 1k
4
= 
Bài 2: Cho tứ diên ABCD có thể tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lần lượt lấy các điểm 
B',C',D' sao cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính tể tích tứ diện 
AB'C'D'. Đs: V = 2 m3 
Bài 3: Cho tứ diên đều ABCD có cạnh a. Lấy các điểm B';C' trên AB và AC sao 
cho a 2aAB ;AC'
2 3
= = . Tính thể tích tứ diên AB'C'D . Đs: 
3a 2V
36
= 
Bài 4: Cho tứ diênABCD có thể tích 12 m3 .Gọi M,P là trung điểm của AB và CD 
và lấy N trên AD sao cho DA = 3NA. Tính thể tích tứ diên BMNP. Đs: V = 1 m3 
Bài 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 ,đường cao SA 
= a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình 
chóp SAHK. Đs: 
3a 3V 40= 
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 27m3 .Lấy A'trên SA sao cho 
SA = 3SA'. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy hình chóp cắt SB,SC,SD lần 
lượt tại B',C',D' .Tính thể tích hình chóp SA'B'C'D'. Đs: V = 1 m3 
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 30 
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có thể tích bằng 9m3, ABCD là hình bình hành , 
lấy M trên SA sao cho 2SA = 3SM. Mặt phẳng (MBC) cắt SD tại N.Tính thể tích 
khối đa diên ABCDMN . Đs: V = 4m3 
Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi 
N là trung điểm SC. Mặt phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt 
SB,SDF tại M và P. Tính thể tích khối chóp SAMNP. Đs: 
2a hV
9
= 
Bài 9 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung điểm 
của SC.Mặt phẳng qua AI và song song với BD chia hình chóp thành 2 phần.Tính 
tỉ số thể tích 2 phần này. Đs: 1k
2
= 
Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA 
sao cho SM x
SA
= Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể 
tích bằng nhau. Đs: 5 1x
2
-= 
5) Dạng 5 : Ôn tập khối chóp và lăng trụ 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông 
 góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60o và M là trung điểm của SB. 
 1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 
 2) Tính thể tích của khối chóp MBCD. 
. 
2a
o60
H
D
C
BA
S
Lời giải: 
a)Ta có 
1
.
3 ABCD
V S SA= 
 + 2 2(2 ) 4ABCDS a a= = 
 + ó : tan 2 6SAC c SA AC C aD = = 
3
21 8 64 .2 6
3 3
a
V a aÞ = = 
b) Kẻ / / ( )MH SA MH DBCÞ ^ 
 Ta có: 
1
2
MH SA= , 
1
2BCD ABCD
S S= 
3
D
1 2 6
4 3MBC
a
V VÞ = = 
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt 
 bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp. 
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 31 
60
A C
B
H
S
FE
J
Lời giải: 
Hạ SH )(ABC^ , kẽ HE^AB, HF^BC, HJ^AC 
 suy ra SE^AB, SF^BC, SJ^AC . Ta có 
¼ ¼ ¼ OSEH SFH SJH 60= = = Þ
SJHSFHSAH D=D=D nên HE =HF = HJ = r 
( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp ABCD ) 
 Ta có SABC = ))()(( cpbpapp --- 
với p = acba 9
2
=
++
Nên SABC = 
22.3.4.9 a 
 Mặt khác SABC = p.r 3
62 a
p
S
r ==Þ 
 Tam giác vuông SHE: 
 SH = r.tan 600 = a
a
223.
3
62
= 
 Vậy VSABC = 32 3822.663
1
aaa = . 
 Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có 3AB a= , AD = a, 
 AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD. 
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ 
b) Tính thể tích khối OBB’C’. 
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. 
M
O
D'
C'
B'A'
D
C
BA
Lời giải: 
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V. 
 Ta có : . D.AA'V AB A= 2 33. 3a a a= = 
 2 2ó : 2ABD c DB AB AD aD = + = 
 * Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao 
giống khối hộp nên: 
3
' ' ' '
1 3
3 3OA B C D
a
V VÞ = = 
b) M là trung điểm BC ( ' ')OM BBCÞ ^ 
2 3
' ' ' '
1 1 3 3
. . .
3 3 2 2 12OBB C BB C
a a a
V S OMÞ = = = 
c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ 
diện OBB’C’. Ta có : ' '
'
3
' OBB C
OBB
V
C H
S
= 
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 32 
 2 2ó : 2ABD c DB AB AD aD = + = 
2
'
1
2OBB
S aÞ = ' 2a 3C HÞ = 
 Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. 
 Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’. 
a
D'
C'
B'A'
D C
BA
Lời giải: 
Hình lập phương được chia thành: khối 
ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, 
D’ACD, AB’A’D’. 
 +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, 
AB’A’D’ có diện tích đáy và chiều cao 
bằng nhau nên có cùng thể tích. 
 Khối CB’D’C’ có 2 31
1 1 1
. .
3 2 6
V a a a= = 
+Khối lập phương có thể tích: 32V a= 
 Þ 
3 3 3
' '
1 1
4.
6 3ACB D
V a a a= - = 
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a. 
a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC. 
b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối 
CA’B’FE. 
J
I F
E
C'
B'A'
C
BA
Lời giải: 
a) Khối A’B’ BC:Gọi I là trung điểm AB, 
' ' ' '
1
.
3A B BC A B B
V S CI=
2 31 3 3
.
3 2 2 12
a a a
= = 
b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ 
và CFA’B’. 
+Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao 
A’A nên ' EF EF
1
. '
3A C C
V S A A= 
2
EF
1 3
4 16C ABC
a
S S= =
3
' EF
3
48A C
a
VÞ = 
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 33 
+Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối 
A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ 
nên ' ' F FB'
1
. '
3A B C C
V S A J= 
2
FB' '
1
2 4C CBB
a
S S= = 
2 3
' ' F
1 3 3
3 4 2 24A B C
a a a
VÞ = = 
+ Vậy : 
3
A'B'FE
3
16C
a
V = 
Bài tập tương tự: 
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có ABC vuông. AB = AC = a; AA1 = a 2 . 
M là trung điểm AA1. Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Đs:V = 12
23a
Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông tại B, SA^ (ABC). ¼ACB = 60o, 
BC = a, SA = a 3 ,M là trung điểm SB.Tính thể tích MABC . Đs: VMABC = 341 a 
Bài 3: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ¼ACB = 90o. 
∆SAC và ∆SBD là các tam giác đều có cạnh bằng 3 . Tính thể tích khối chóp 
SABCD. Đ s: VSABCD = 64 
Bài 4: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trường hợp sau: 
a) Cạnh đáy bằng 1, góc ABC = 60o . Đs: V = 2
12
b) AB = 1, SA = 2 . Đs: V = 11
12
Bài 5. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên = 2a, ∆ABC vuông tại A, 
AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC. 
 Tính VA’ABC theo a? Đs: V = 
3a
2
Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = 3 và 
góc giữa 2 đường chéo bằng 60o, các cạnh bên nghiêng đều với đáy 1 góc 45o. 
 Tính VSABCD . Đs: 3V
3
= 
Bài 7: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60o, BSC = 90o, 
 CSA = 120o.Chứng minh rằng ∆ABC vuông .Tính VSABC . Đs: a 2V
12
= 
Thể tích khối đa diện – www.mathvn.com 
 34 
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a 
,SB= 3a và mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là 
trung điểm của các cạnh AB.BC.Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN 
 Đs: 
3
.
3
3S BMDN
a
v = 
Bài 9: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên đều 
bằng a. M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CC’, C’A’. Tính tỉ số thể tích hai 
phần lăng trụ do (MNE) tạo ra. Đs: k = 1 
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,mặt bên SAD là tam 
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy .Gọi M,N lần lượt là trung 
điểm của các cạnh SB,BC,CD.Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích 
của khối tứ diện CMNP. 
 Đs : 
3
.
3
96M CNP
a
v =