Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Chuyờn đề: Phương phỏp tọa độ trong mặt phẳng
Chủ đề 1. Tọa độ điểm, phép tính véc tơ
I. Tóm tắt lí thuyết
Ngoài các kiến thức quen thuộc, cần chú ý các hệ quả sau:
1. M là trung điểm của AB, thì:
2. G là trọng tâm , thì:
3. Cho 	
	* cùng phương () Û tồn tại 
 	 hoặc cùng phương Û 
* cùng phương thì A, B, C thẳng hàng
* 
* , ()
II. Các ví dụ dụ tiêu biểu
Vídụ1: Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho hình thoi ABCD có và giao của hai đường chéo thuộc Ox. Tìm toạ độ C, D?
Hướng dẫn:
Gọi I là tâm hình thoi. Giả sử 
Ta có: nên Û có nghiệm và .
* Với hay . Do C, D đối xứng với A và B qua I suy ra
 .
* Với hay 
Vậy có 2 kết quả của C, D.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng cho hệ Oxy vuông góc có . Tìm sao cho ABDC là hình thang có đáy AB?
Hướng dẫn:
Ta có ;	, giả sử suy ra 
Tứ giác ABCD là hình thang có đáy AB và CD nên cùng phương
Do đó: . Vậy 
Ví dụ 3: a) Cho . Tìm sao cho vuông tại M.
b) có . Tìm toạ độ chân các đường phân giác trong, ngoài của góc A.
c) có và đỉnh C thuộc Oy, trọng tâm G thuộc Ox. Tìm C và G?
Hướng dẫn:
a) , giả sử ;
 vuông tại M Û .Vậy có 2 điểm M là
Chú ý: Có thể dùng Pitago trong tam giác vuông.
b) I - chân phân giác trong
Ta có . Theo tính chất ta có hay .
Do I là phân giác trong nên 
Chứng minh tương tự suy ra chân phân giác ngoài là .
c) Gọi . Theo công thức tính toạ độ trọng tâm	 suy ra: 
	Vậy 
Ví dụ 4: Cho 4 điểm A(-1;3) B(0;4) C(3;5) D(8;0). CMR: ABCD là tứ giác nội tiếp.
Hướng dẫn: 
Ta có: ,	
. Vậy ABCD là tứ giác nội tiếp.
Cách khác: I(x;y) cách đều A, B, C, D
Ta có: IA = IB = IC = ID, tìm được 
Vậy I(3;0) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD.
III. Bài tập luyện tập
1) (ĐH, CĐ khối D - 2004). Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho có A(-1;0) B(4;0) C(0;m) . Tìm toạ độ trọng tâm G theo m. Tìm m để vuông tại G.
	 Đáp số: 
2) Cho A(-3;2) B(4;3). Tìm C thuộc Ox sao cho vuông tại C.
3) Trong mặt phẳng hệ Oxy vuông góc cho A(-2;1) B(1;1) C(0;1).Tìm M để cùng cân tại M.
4) Cho A(6;6) 
	a) Tìm sao cho nhận I là trọng tâm
	b) Tính 
5) (ĐH, CĐ khối B - 2003). Trong mặt phẳng hệ Oxy vuông góc cho tam giác ABC có AB = AC, góc A = 900. M(1;-1) là trung điểm BC và là trọng tâm . Tìm A, B, C?
	 Đáp số: A(0;2) B(4;0) C(-2;-2) (B, C có thể đổi cho nhau)
6) Trên hệ Đề các Oxy cho A(3;1). Tìm B, C sao cho OABC là hình vuông và B nằm trong góc phần tư thứ nhất?
7) (ĐH,CĐ khối A - 2004): Trong mặt phẳng với hệ Oxy vuông góc cho A(0;2) . Tìm toạ độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp OAB?
	 Đáp số: Tâm ; Trực tâm 
8) Cho A(2;5) B(1;1) C(3;3). Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành?
9) có: A(0;6) B(-2;0) C(2;0). Gọi G là trọng tâm , với M là trung điểm AB.
a) Tìm G
b) Tìm toạ độ tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
c) CMR: 
	 Đáp số: a) b) 
10) Tam giác ABC có A(2;5) B(4;-3) C(-1;6)
a) Tìm I sao cho 
b) Tìm D sao cho 
c) CMR: A, I, D thẳng hàng?
d) Gọi E - trung điểm AB, N là điểm sao cho 
 Tìm k để AD, EN, BC đồng quy.
e) Tìm quỹ tích M sao cho 
 Đáp số: a) I(8;-8) b) D(14;-21)	 d) 	
	 e) Quỹ tích M là đường tròn tâm I(8;-8) bán kính 
11) với A(1;0) B(0;3) C(-3;-5). Tìm quỹ tích M trong các trường hợp sau:
	a) 
	b)
	 Đáp số: a) Quỹ tích M là đường tròn tâm 
	 b) Quỹ tích M là đường tròn tâm J(8;13) và 
12) Tam giác ABC vuông tại A với B(-3;0) C(7;0) và bán kính đường tròn nội tiếp . Tìm tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết 
	 Đáp số: , 
Chủ đề 2: Phương trỡnh đường thẳng
I-Lý Thuyểt
A-Phương trỡnh đường thẳng 
1.Nếu đường thẳng (d) biết Phương trỡnh tổng quỏt của (d) là : 
2. Nếu đường thẳng (d) biết Phương trỡnh tham số của (d) là : 
3.Nếu đường thẳng (d) cú phương trỡnh tổng quỏt: ax+by+c=0 thỡ (d) cú một vtpt là và mọi nghiệm của phương trỡnh là tọa độ của điểm thuộc (d).
4.Nếu (d) cú phương trỡnh tham số thỡ (d) cú một vtcp và ứng với mỗi giỏ trị của t cho ta tọa độ một điểm thuộc (d).
5.Nếu là một vtcp (hoặc vtpt)của đường thẳng (d) thỡ là một vtpt (hoặc vtcp)của đường thẳng (d).
6.Cho đường thẳng (d): ax+by+c=0
 - Nếu (d1)//(d) thỡ phương trỡnh (d1)cú dạng :ax+by+m=0
 - Nếu (d2)(d) thỡ phương trỡnh (d2)cú dạng :-bx+ay+n=0
7.Phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(a;0) và B(0;b) cú dạng
8.Phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(xA;yA);B(xB;yB) cú dạng:
Nếu =0 thỡ (d) cú phương trỡnh : =0
Nếu =0 thỡ (d) cú phương trỡnh :=0
9.Nếu đường thẳng (d)cú phương trỡnh tham số với thỡ ta cú phương trỡnh chớnh tắc của (d) là :
B-Vị trớ tương đối của hai đường thẳng :
 Cho (d1):
 (d2): 
Để xột vị trớ tương đối giữa hai đường thẳng (d1) và (d2) ta lập hệ 
Hệ (I) vụ nghiệm (d1)// (d2)
Hệ (I) cú nghiệm duy nhất (x0;y0) (d1)cắt (d2) tại điểm M(x0;y0)
Hệ (I) vụ số nghiệm (d1) trựng (d2)
C-Gúc giữa hai đường thẳng :
 Gúc giữa hai đường thẳng luụn bằng hoặc kề bự với gúc giữa hai vtpt (hoặc gúc giữa hai vtcp).
 Suy ra:
 Nếu (d1):
 (d2): thỡ ( là gúc giữa hai đường thẳng (d1) và (d2))
D-Khoảng cỏch từ một điểm tới một đường thẳng 
Cho (d): và điểm .Khi đú khoảng cỏch từ điểm M tới đường thẳng (d):
Lưu ý:
Cho (d): và hai điểm ,.Đặt t = 
Nếu t < 0 thỡ M,N nằm về hai phớa của (d).
Nếu t>0 thỡ M,N nằm cựng một phớa với (d).
II- Bài tập:
Dạng 1:viết phương trỡnh của đường thẳng 
Bài 1:Viết phương trỡnh tổng quỏt,phương trỡnh tham số ,phương trỡnh chớnh tắc (nếu cú) của đường thẳng (d) trong cỏc trường hợp sau:
(d) cú vtpt =(2;-3) và đi qua điểm M(1;2).
(d) đi qua điểm A(3;2) và vuụng gúc với (d1):2x-y-1=0
(d) đi qua hai điểm A(1;2) và B(3;4).
 Giải :
Ta cú :
(d):phương trỡnh tổng quỏt của (d): 2(x-1)-3(y-2)=0
 ↔ (d): 2x-3y+4=0
+) (d) cú vtpt suy ra (d) cú vtcp là phương trỡnh tham số của (d) là: 
+) phương trỡnh chớnh tắc của (d) là: 
Do (d)(d1):2x-y-1=0 nờn (d) cú dạng : x+2y+m=0
Vỡ A(3;2)(d) nờn ta cú :3+2.2+m=0↔m=-7
Vậy phương trỡnh tổng quỏt của (d) là :x+2y-7=0
+) Phương trỡnh tham số của (d): Đặt y=t suy ra x=7-2t
Vậy phương trỡnh tham số của (d):
+)Phương trỡnh chớnh tắc của (d): 
Cỏch 1:Do (d) đi qua A và B nờn (d): phương trỡnh tham số của (d) là 
 +) Phương trỡnh tổng quỏt của (d):Khử tham số t ở p tham số ta được: x-y+1=0
Cỏch 2: Phương trỡnh tổng quỏt của (d):
Từ đú suy ra phương trỡnh tham số của (d): 
Bài 2:Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC biết trung điểm cỏc cạnh là M(2;1),N(5;3),P(3;-4).
Giải:
Giả sử M,N,P theo thứ tự lần lượt là trung điểm cỏc cạnh BC,AC,AB.
Ta cú:
+) phương trỡnh BC được xỏc định bởi 
+) phương trỡnh AC được xỏc định bởi 
+) phương trỡnh AB được xỏc định bởi 
Kết luận: Võỵ phương trỡnh ba cạnh tam giỏc là: (AB):2x-3y-18=0
 (BC):7x-2y-12=0
 (AC):5x+y-28=0
Bài 3:lập phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC nếu biết B(-4;-5) và phương trỡnh hai đường cao của tam giỏc là (d1):5x+3y-4=0 và (d2): 3x+8y+13=0
Giải:
Nhận xột:B(-4;-5) khụng thuộc vào cỏc đường cao.giả sử cỏc đường cú phương trỡnh :5x+3y-4 =0 là đường cao xuất phỏt từ A.
+) phương trỡnh cạnh AB:
Vỡ (AB)(d2):3x+8y+13=0 phương trỡnh (AB) cú dạng:8x-3y+c=0
Mặt khỏc: Do B(-4;-5) thuộc (AB) nờn :8(-4)-3(-5)+c=0↔c=17
Vậy phương trỡnh (AB): 8x-3y+17=0
+) phương trỡnh cạnh BC:
Vỡ (BC)(d1):5x+3y-4=0 phương trỡnh (BC) cú dạng:3x-5y+m=0
Mặt khỏc: Do B(-4;-5) thuộc (BC) nờn :3(-4)-5(-5)+m=0↔m=-13
Vậy phương trỡnh (BC): 3x-5y-13=0
+) phương trỡnh cạnh AC:
Điểm nờn tọa độ A (-1;3)
Điểm nờn tọa độ C (1;-2)
Suy ra :phương trỡnh cạnh AC là 
Kết luận : phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC:
(AB):8x-3y+17=0 (BC):3x-5y-13=0 (AC):5x+2y-1=0
Dạng 2:xột tương giao của hai đường thẳng 
Bài 1:xột vị trớ tương đối của cỏc cặp đường thẳng sau:
 a) (d1): x+2y+1=0 và (d2): x+4y+3=0 
b) (d1):x+y+1=0 và (d2): 
c) (d1): và (d2): 
Giải:
xột hệ .Vậy (d1)cắt (d2) tại điểm A(1;-1)
phương trỡnh tổng quỏt của (d2)là :x+y=0
 Xột hệ :.Hệ vụ ngiệm .Suy ra (d1)//(d2).
phương trỡnh tổng quỏt của(d1):x-2y+4=0
 (d2):x-y=0
Xột hệ .Vậy (d1)cắt (d2) tại điểm A(4;4)
Bài 2: a) Biện luận theo m vị trớ tương đối của (d1):mx+y+2=0 và (d2):x+my+m+1=0
Cho hai đường thẳng (d1): và (d2):
Tỡm điều kiện của m,n,p,q để (d1)và(d2):
 +) cắt nhau
 +) song song
 +) trựng nhau
+) Vuụng gúc với nhau
Giải
xột hệ (I).Ta cú 
TH1:Nếu .Hệ phương trỡnh (I)cú nghiệm duy nhất nờn (d1) cắt (d2) tại A(-m-1;)
TH2:Nếu D=0↔
 Với m=1 ta cú Dx=Dy=0↔ hệ cú vụ số nghiệm↔(d1)trựng(d2)
Với m=-1 ta cú Dx=2↔hệ vụ nghiệm↔(d1)//(d2).
b)xột hệ phương trỡnh 
Ta cú : 
(d1) cắt (d2)
(d1)//(d2) 
(d1) trựng (d2) 
Ta cú (d1)cú vtcp và (d2)cú vtcp là .
Khi đú 
Dạng 3:Một số bài toỏn về gúc và khoảng cỏch
Bài1:Tớnh gúc giữa hai đường thẳng (d1) và (d2) trong cỏc trường hợp sau
x+2y+1=0 và x+4y+3=0
 và x+2y+7=0
 và 
Giải :
Ta cú: (d1) cú vtpt và (d2) cú vtcp là .Khi đú:gọi là gúc giữa hai đường thẳng thỡ ta cú:
Ta cú: (d1) cú vtpt và (d2) cú vtpt là .Khi đú:gọi là gúc giữa hai đường thẳng thỡ ta cú:
Ta cú: (d1) cú vtcp và (d2) cú vtpt là .Khi đú:gọi là gúc giữa hai đường thẳng thỡ ta cú:
Bài 2:Viết phương trỡnh đường thẳng (d) trong cỏc trường hớp sau
(d) đi qua M(1;1) và tạo một gúc 300 với đường thẳng (d1):x-2y+8=0
(d) đi qua M(1;1) và tạo một gúc 450 với đường thẳng (d2):
Giải:
Gọi là vtcp của (d1) và là vtcp của (d).
Theo giả thiết:gúc giữa (d) và (d1) là 300 nờn ta cú 
Giải phương trỡnh trờn bằng cỏch đặt a=kb ta được 
Với đường thẳng (d) cú vtcp cú tọa độ (kb;b) chọn (k;1).Khi đú:
 (d):
Tương tự với 
Gọi là vtcp của (d1) và là vtcp của (d).
Theo giả thiết:gúc giữa (d) và (d1) là 450 nờn ta cú 
Với a=0 đường thẳng (d) cú vtcp cú tọa độ (0;b) chọn (0;1).Khi đú:
 (d):
Tương tự với b=0
Bài 3:Tớnh khoảng cỏch từ M tới đường thẳng (d) biết 
M(1;1) và đường thẳng (d):x-y-2=0
M(2;1) và đường thẳng (d):
Giải:
Ta cú
ta cú:phương trỡnh tổng quỏt của (d):x-2y+8=0
Bài 4:Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1).Lập phương trỡnh đường thẳng qua P sao cho khoảng cỏch từ Q tới đường thẳng đú bằng 3.
Giải:
Gọi (d):ax+by +c=0 là đường thẳng thỏa món đề bài .
Điểm P(2;5) thuộc (d) nờn ta cú:2a+5b+c=0
Khoảng cỏch từ Q(5;1) tới (d) bằng 3 nờn :
Từ đú ta cú hệ vậy ta được hai đường thẳng x-2=0 và 7x+24y-134=0
Bài 5: Cho P(3;0) và hai đường thẳng (d1):2x-y-2=0 và (d2):x+y+3=0.Gọi (d) là đường thẳng qua P cắt (d1)và (d2) lần lượt tại A và B sao cho PA=PB.Viết phương trỡnh của (d)
Giải
Giả sử A(xA;yA) và B(xB;yB).Khi đú ta cú :A thuộc (d1) nờn 2xA-yA-2=0
 B thuộc (d2) nờn xB+yB+3=0
PA=PB 
Từ cỏc phương trỡnh ta được 
Vậy phương trỡnh đường thẳng (d):
Bài 6:Cho tam giỏc ABC với A(7/4;3),B(1;2),C(-4;3).Viết phương trỡnh đường phõn giỏc trong của gúc A.
Giải:
Đường thẳng AB và AC cú phương trỡnh là lượt là:
 4x-3y+2=0 và y-3=0
Cỏc đường phõn giỏc trong và ngoài của gúc A là:
 4x+2y-13=0 và 4x-8y+17=0
Do hai điểm B,C nằm cựng phớa với đường phõn giỏc ngoài và nằm khỏc phớa với đường phõn giỏc trong của gúc A nờn ta chỉ cần xột vị trớ của B,C với một trong hai đường,chẳng hạn :4x+2y-13=0.Thay tọa độ B,C vào ta được: 4+8-13=-1<0 và -16+6-13=-23<0 suy ra B,C cựng phớa với đường thẳng :4x+2y-13=0
Vậy đường phõn giỏc trong của gúc A là :4x-8y+17=0
Bài 7:Cho hai đường thẳng :
 (d1):x+2y-3=0
 (d2):3x-y+2=0
Viết phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua P(3;1) và cắt d1;d2  ... ao giữa đường tròn và đường tròn để giải toán
Ví dụ 3: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất: 
Hướng dẫn:
Hệ Û 
Rõ ràng (1) và (2) là phương trình đường tròn lần lượt có tâm và 
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 2 đường tròn tiếp xúc trong hoặc ngoài
 hoặc suy ra 
B. Bài tập luyện tập
1) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: 	Đáp số: 
2) Cho hệ 
	Tìm m để hệ nghiệm đúng với .	Đáp số: 
3) Tìm a để hệ có 2 nghiệm phân biệt: 	Đáp số: 
4) Tìm m để hệ có nghiệm: 	Đáp số: 
5) Tìm m để hệ có nghiệm: 	Đáp số: 
6) Giải và biện luận: 
7) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất: 
	 Hướng dẫn: Đặt đưa về hệ: 
8) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất: 
 Đáp số: 
9) Tìm b sao cho với mỗi giá trị bất kì của a, hệ có 2 nghiệm phân biệt: 
 Hướng dẫn: (2) luôn đi qua M(-b;0). Hệ có 2 nghiệm phân biệt khi 
 ((1) có tâm I và bán kính R)
10) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất: 
 Hướng dẫn: Hệ có nghiệm duy nhất khi 2 đường tròn 
 tiếp xúc ngoài nhau. Kết quả: 
11) Tìm m để hệ có đúng 2 nghiệm: 	Đáp số: m = 0
Chủ đề 5: ba đường Cônic
A. Đường elip
1. Tóm tắt lí thuyết
* Định nghĩa: 
* Phương trình chính tắc (E): với 
 Trục lớn: độ dài 2a, trục bé độ dài 2b
 Tiêu điểm: 
 Tâm sai: 
 Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở: 
 Bán kính qua tiêu của điểm :
 Đường chuẩn 
* Phương trình dạng tham số của (E): với 
2. Các dạng toán tiêu biểu
Loại 1: Phương trình elip, các yếu tố liên quan của elip
Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của elip biết:
a) Trục lớn có độ dài 8, trục nhỏ có độ dài 6
b) Độ dài trục lớn là 26, tâm sai 
c) Đi qua 
Hướng dẫn:
Giả sử phương trình chính tắc elip là: 
a) Ta có a = 4, b = 3. Phương trình là 
b) Ta có 	Phương trình elip: 
c) Ta có 	Phương trình elip là: 
Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc elip trong các trường hợp sau:
a) Khoảng cách 2 đường chuẩn 6, và elip đi qua 
b) , ở đây elip qua 
Hướng dẫn:
Giả sử phương trình chính tắc elip là: 
a) Khoảng cách 2 đường chuẩn là 6 hay ta có: 
 (E) qua ta có: => 2 elip: và 
b) 
Loại 2: Các bài toán liên quan tính chất elip
Ví dụ 3: (Đề thi tốt nghiệp THPT - 2004)
Cho phương trình (E): có 2 tiêu điểm . A, B là 2 điểm thuộc (E) sao 
 cho . Tính 
Ví dụ 4: (ĐH, CĐ khối D - 2005)
Cho (E): và . Tìm toạ độ A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng qua Ox và là tam giác đều.
Hướng dẫn:
Giả sử và giả sử 
Khi đó . Rõ ràng cân tại C nên đều khi và chỉ khi 
 suy ra: 
Mặt khác do nên .
Từ đó suy ra: . 	Vậy 
Ví dụ 5: Cho 2 elip (E1): 
Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của 2 elip trên.
Hướng dẫn: 
Giao điểm của 2 elip có toạ độ thoả mãn 
Giải hệ tìm được . Vậy là phương trình cần tìm
Ví dụ 6. Cho phương trình (E): và cắt (E) tại B, C. Tìm sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất?
Hướng dẫn:
Gọi toạ độ A theo tham số là với 
Diện tích tam giác ABC lớn nhất Û lớn nhất
 Max
3. Bài tập luyện tập
Bài 1: Cho . Viết phương trình chính tắc của elip qua A, B
Bài 2: Cho (E) đi qua và tâm sai 
a) Lập phương trình chính tắc (E)
b) Tìm sao cho 
	 Đáp số: 	a) 
	 b) 
Bài 3: (ĐH, CĐ khối A - 2008)
	Lập phương trình chính tắc (E) biết rằng (E) có tâm sai là và hình chữ nhật cơ sở 
 có chu vi bằng 20?
	 Đáp số: 
Bài 4: Trên mặt phẳng Oxy cho 2 điểm di động với . Xét quỹ tích M thoả mãn: .
	 Đáp số: Quỹ tích M là 
Bài 5: Lập phương trình chính tắc (E) có độ dài trục lớn bằng và 2 đỉnh trên trục nhỏ cùng với 2 tiêu điểm của (E) cùng nằm trên một đường tròn?
	 Đáp số: 
Bài 6: Tìm tâm sai của (E) trong các trường hợp sau:
a) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc vuông?
b) Khoảng cách giữa 2 đỉnh trên 2 trục bằng 2 lần tiêu cự?
	 Đáp số: a) 
Bài 7: (CĐ Tài chính kế toán - 2006)
Trong Oxy vuông góc cho (E): và các tiêu điểm F1, F2 (F1 có hoành độ âm). Tìm sao cho 
	 Đáp số: hoặc 
Bài 8: Cho (E): và 
a) CMR: (d) cắt (E) tại A, B trong đó . Tìm độ dài AB
b) Tìm sao cho tam giác ABC cân tại A
	 Đáp số: a) A(5;0) 
	 b) 
Bài 9: Phương trình chính tắc (E) đi qua A(0;3) và có 2 tiêu điểm F1(-4;0) . Tìm sao cho MF2 = 2MF1.
	 Đáp số: Có 2 điểm 
Bài 10: (E) có phương trình: và M(1;1)
	Viết phương trình (d) qua M và cắt (E) tại A, B phân biệt sao cho M là trung điểm của AB?
	 Đáp số: (d)	
Bài 11: Cho (E): và C(2;0)
	Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng nhau qua Ox và tam giác CAB vuông?
Bài 12: Cho (E): 	
	CMR: Khi M chạy trên (E) thì tâm đường tròn nội tiếp chạy trên một elip.
	 Đáp số: Tâm thuộc 
Bài 13: Trong mặt phẳng cho 2 đường tròn và. Tìm Ot chuyển động quanh O cắt và tương tứng tại P và Q. Đường (d) qua P song song Oy cắt đường thẳng (d') qua Q song song Ox tại M. CMR: M nằm trên (E). Viết phương trình (E)?
	 Đáp số: 
B. Đường Hypebol
1. Lý thuyết cơ bản
* Định nghĩa: 
* Phương trình chính tắc (E): với 
 Trục thực: độ dài 2a, trục ảo độ dài 2b
 Tiêu điểm 
 Tâm sai 
 Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở: 
 Phương trình hai đường tiệm cận ;
 Đường chuẩn 
 Bán kính qua tiêu của điểm :
2. Các dạng toán tiêu biểu
Loại 1: Phương trình (H), các yếu tố liên quan
Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc (H) thoả mãn một trong các trường hợp sau:
a) Có độ dài tiêu cự là 10, một đường tiệm cận có phương trình 3x - 4y = 0
b) Đi qua và 
Hướng dẫn:
a) Ta có: 	Từ đó: 
b) Tam giác F1MF2 vuông tại M nên suy ra
 . 
 Từ định nghĩa: => 
Loại 2: Các bài toán liên quan tính chất (H)
Ví dụ 2: Cho (H): . CMR: Tích các khoảng cách từ một điểm tuỳ ý trên (H) đến hai đường tiệm cận là một số không đổi.
Hướng dẫn:
(H) có a = 4, b = 3 => Hai đường tiệm cận 
Giả sử , ta có:
Khoảng cách d1, d2 từ M đến hai tiệm cận là:
Vì thế 
Ví dụ 3: (H) có phương trình: và (d): 2x - y + m = 0
a) CMR: (H) và (d) luôn cắt nhau tại A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của (H) với mọi
 m (và giải sử xA < xB)
b) Tìm m sao cho BF2 = 2AF1
Hướng dẫn:
a) Hoành độ của A, B là nghiệm phương trình: 
Rõ ràng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt do 
2 nhánh của (H) được xác định trên và 
Ta có:
suy ra: => đpcm.
b) BF2 = 2AF1 Û 
hay (chú ý xB > 1, xA < -1)
Mà xA, xB là nghiệm của (1) nên 
vậy 	thay vào (2) tìm được 
Ví dụ 3: Cho (H) 	M(x0;y0) thuộc nhánh phải của (H) không trùng với đỉnh. Đường thẳng qua M song song với Oy cắt Ox tại P và cắt một đường tiệm cận tại Q. Gọi E, E' là giao điểm của đường tròn tâm O bán kính a với đường tiệm cận đó.
 CMR: QE = MF2 ,	QE' = MF1
Hướng dẫn:
Đặt . Ta thấy đường chéo hình chữ nhật cơ sở là 2c
; OP = x0 => 
QE = OQ - OE = 
Theo công thức bán kính qua tiêu (khi x0 > a): 
Từ (1) và (2) suy ra: QE = MF2
Chứng minh tương tự suy ra: QE' = MF1
3. Bài tập luyện tập
Bài 1: Lập phương trình chính tắc của (H) trong các trường hợp sau:
a) Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở là y = ±1 và 2x ± 1 = 0
b) Một đỉnh là (-3;0), phương trình đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở là 
c) Một tiêu điểm là (-10;0), phương trình tiệm cận là 4x ± 3y = 0
d) Qua và hai tiệm cận vuông góc nhau
e) Trục ảo có độ dài 6, khoảng cách 2 đường chuẩn là 
Bài 2: Cho (H): . Tìm điểm thuộc (H) sao cho
a) Nhìn 2 tiêu điểm dưới góc 900
b) Nhìn 2 tiêu điểm dưới góc 600
c) Có toạ độ nguyên
Bài 3: Cho (H): . Viết phương trình elip có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và đi qua 4 đỉnh hình chữ nhật cơ sở của (H).
	 Đáp số: 
Bài 4: (H): và M(2;1). Viết phương trình (d) qua M và cắt (H) tại A, B sao cho M là trung điểm AB.
	 Đáp số: 3x - y - 5 = 0 
Bài 5: (H): 
a) Tính diện tích hình chữ nhật cơ sở của (H)
b) Xét . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M, N. Tìm giao điểm P, Q của (d) với hai tiệm cận.
c) CMR: PQ và MN có cùng trung điểm
	 Đáp số:	a) S = 192
	 b) 
	 c) Cùng trung điểm 
Bài 5: (H): . Gọi (d) là đường thẳng qua O có hệ số góc k, còn d' qua O và vuông góc với d.
a) Tìm k để d', d cùng cắt (H)
b) Tính diện tích tứ giác có 4 đỉnh là 4 giao điểm của d và d' với (H). Tìm k sao cho diện tích nhỏ nhất.
	 Đáp số: a) 
	 b) (Vận dụng CôSi)
	 khi k = ± 1
Bài 6: Cho (E) và (H) . Lập phương trình đường tròn qua các giao điểm của (E) và (H)
	 Đáp số: 
Bài 7: F1(-1;0), F2(1;0) 
Điểm M không nằm trên Ox sao cho .
CMR: M thuộc một (H). Viết phương trình (H) đó.
	 Đáp số: 
Bài 8: Trên mặt phẳng vuông góc Oxy cho A(-2;0) B(2;0) và (d): 
a) Tìm tập hợp những điểm P sao cho với K là hình chiếu vuông góc của P lên (d).
b) Tìm tập hợp M sao cho các đường thẳng AM, BM có tích các hệ số góc bằng 4.
	 Đáp số: a) b) và bỏ 2 đỉnh
C. Parabol
1. Lý thuyết cơ bản
* Định nghĩa: 
* Phương trình chính tắc (P): 
 Đỉnh O(0;0); Tham số tiêu là p
 Tiêu điểm . Đường chuẩn: 
 Bán kính qua tiêu của M: 
2. Các dạng toán tiêu biểu
Ví dụ 1: (Đề thi tốt nghiệp THPT 2005)
Cho (P): 
a) Tìm F và viết phương trình đường chuẩn của (P)?
b) (d) qua F và cắt (P) tại A, B phân biệt có hoành độ tương ứng x1, x2.
 CMR: 
Hướng dẫn:
a) 2p = 8 Û p =4, F(2;0), đường chuẩn x = -2
b) áp dụng công thức bán kính qua tiêu: 
Ta có 
Ví dụ 2: (ĐH, CĐ khối D - 2008)
Trên Oxy cho (P): và A(1;4). Hai điểm B, C phân biệt (khác A) di động 
trên (P) sao cho góc BAC = 900. CMR: BC luôn qua một điểm cố định.
Hướng dẫn:
 trong đó và b, c ạ 4
 nên Û 272 + 4(b + c) + bc = 0 	(1)
Phương trình (BC): 
Từ (1) và (2) suy ra (BC) qua điểm cố định I(17;- 4)
Ví dụ 3: Cho (P): . Xét đường thẳng (d) luôn qua F và cắt (P) tại M, N phân biệt. CMR: Tích các khoảng cách từ M, N tới Ox không đổi.
Hướng dẫn:
p = 8, F(4;0)
Xét 2 trường hợp:
a) (d) qua F và song song với Oy, (d): x = 4
	Lúc đó M(4;8) N(4;- 8) => d(M;Ox).d(N;Ox) = 64
b) (d) có dạng: y = k(x - 4) với k ạ 0
Toạ độ M, N là nghiệm 
=> 
Theo Viet: 
Rõ ràng => đpcm.
Ví dụ 4: Cho (P): và A(0;- 4)	B(- 6;4)
Tìm sao cho tam giác ABC có diện tích bé nhất
Hướng dẫn:
. Với H là hình chiếu của C lên AB
 nên
Do AB không đổi vậy bé nhất khi CH nhỏ nhất => MinS khi
 . Vậy .
3. Bài tập luyện tập
Bài 1: Lập phương trình chính tắc của (P) biết 
a) (P) nhận là đường chuẩn
b) Một dây cung của (P) vuông góc Ox có độ dài 8 và khoảng cách từ đỉnh O của (P) đến dây cung là 1.
Bài 2: Dùng định nghĩa (P) để lập phương trình của (P) có tiêu điểm F(2;1) và đường chuẩn .
	 Đáp số: 
Bài 3: (P): và A(0;- 4)	B(- 6;4)
	Tìm sao cho tam giác ABC vuông tại A?
	 Đáp số: 
Bài 4: Cho (P): y2 = x và I(0;2). Tìm M, N thuộc (P) sao cho 
	 Đáp số: Có 2 cặp M1(4;-2) N1(1;1)
	 M2(36;6) N2(9;3)
Bài 5: Giả sử có 2 Parabol và cắt nhau tại A, B, C, D phân biệt. CMR: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.
Bài 6: Cho (P): y2 = 2x và (d): 2my - 2x + 1 = 0
a) CMR: , (d) luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại A, B phân biệt.
b) Tìm quỹ tích trung điểm I của AB khi m thay đổi
	 Đáp số: b) Qũy tích I là 
Bài 7: Cho (P): y2 = 4x. Lập phương trình các cạnh của tam giác có 3 đỉnh thuộc (P), biết một đỉnh trùng với đỉnh của (P) và trực tâm tam giác trùng với tiêu điểm của (P).
	 Đáp số: và 
Bài 8: Cho y2 = x và A(1;- 1) B(9;3) thuộc (P). Gọi M thuộc cung AB. Xác định vị trí M trên cung AB sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
	 Đáp số: khi M(1;1)
Bài 9: A, B thuộc (P): y2 = 2px (p > 0) sao cho tổng khoảng cách từ A và B tới đường chuẩn của (P) bằng AB. Chứng minh rằng đường AB luôn qua tiêu điểm của (P).