Chuyên đề Phương pháp toạ độ trong không gian

Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
Trang 1 
 TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến 
Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng 
(P): x y z–3 2 –5 0+ = . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông 
góc với mặt phẳng (P). 
 · (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT Pn n AB, (0; 8; 12) 0é ù= = - - ¹ë û
uuur rr r 
 Þ Q y z( ) : 2 3 11 0+ - = . 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), 2 3 3 0P x y z( ) : + + + = . ĐS: Q x y z( ) : 2 2 0- + - = 
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm 
A B(2;1;3), (1; 2;1)- và song song với đường thẳng 
x t
d y t
z t
1
: 2
3 2
ì = - +ï
=í
ï = - -î
. 
 · Ta có BA (1;3;2)=
uur
, d có VTCP u (1;2; 2)= -r . 
 Gọi nr là VTPT của (P) Þ n BA
n u
ì ^í ^î
uurr
r r Þ chọn n BA u, ( 10;4; 1)é ù= = - -ë û
uurr r 
 Þ Phương trình của (P): x y z10 4 19 0- + - = . 
Câu 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng d1( ) và d2( ) có phương trình: 
x y zd1
1 1 2( );
2 3 1
- + -
= = , x y zd 2
4 1 3( ) :
6 9 3
- - -
= = . Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa 
(d1 ) và d2( ) . 
 · Chứng tỏ (d1) // (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0 
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: 
x y z x y z2 2 2 2 6 4 2 0+ + - + - - = . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của 
véc tơ v (1;6;2)=r , vuông góc với mặt phẳng x y z( ) : 4 11 0a + + - = và tiếp xúc với (S). 
 · (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ( )a là n (1;4;1)=r . 
 Þ VTPT của (P) là: [ ]Pn n v, (2; 1;2)= = -
r r r Þ PT của (P) có dạng: x y z m2 2 0- + + = . 
 Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d I P( ,( )) 4= m
m
21
3
é = -Û ê =ë
. 
 Vậy: (P): x y z2 2 3 0- + + = hoặc (P): x y z2 2 21 0- + - = . 
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng 
x y zd1
1( ) :
1 2 3
+
= =
- -
 và x y zd2
1 4( ) :
1 2 5
- -
= = . Chứng minh rằng điểm M d d1 2, , cùng 
nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó. 
 · d1 qua M1(0; 1;0)- và có u1 (1; 2; 3)= - -
r , d2 qua M2(0;1;4) và có u2 (1;2;5)=
r . 
 u u1 2; ( 4; 8;4) 0é ù = - - ¹ë û
rr r , M M1 2 (0;2;4)=
uuuuuur
Þ u u M M1 2 1 2; . 0é ù =ë û
uuuuuurr r Þ d d1 2, đồng phẳng. 
 Gọi (P) là mặt phẳng chứa d d1 2, Þ (P) có VTPT n (1;2; 1)= -
r và đi qua M1 nên có 
phương trình x y z2 2 0+ - + = . Kiểm tra thấy điểm M P(1;–1;1) ( )Î . 
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Trang 2 
 Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu 
Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x y z3 3
2 2 1
- -
= = và mặt cầu 
(S): x y z x y z2 2 2 2 2 4 2 0+ + - - - + = . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và 
trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). 
 · (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u (2;2;1)=r . 
 (P) // d, Ox Þ (P) có VTPT [ ]n u i, (0;1; 2)= = -rr r Þ PT của (P) có dạng: y z D2 0- + = . 
 (P) tiếp xúc với (S) Û d I P R( ,( )) = Û D
2 2
1 4 2
1 2
- +
=
+
 Û D 3 2 5- = Û D
D
3 2 5
3 2 5
é = +
ê
= -ë
 Þ (P): y z2 3 2 5 0- + + = hoặc (P): y z2 3 2 5 0- + - = . 
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y2 2 2 2 4 4 0+ + + - - = và 
mặt phẳng (P): x z 3 0+ - = . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; 1)- 
vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). 
 · (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT Pn (1;0;1)=
r . 
 PT (Q) đi qua M có dạng: A x B y C z A B C2 2 2( 3) ( 1) ( 1) 0, 0- + - + + = + + ¹ 
 (Q) tiếp xúc với (S) Û d I Q R A B C A B C2 2 2( ,( )) 4 3= Û - + + = + + (*) 
 Q PQ P n n A C C A( ) ( ) . 0 0^ Û = Û + = Û = -
r r (**) 
 Từ (*), (**) Þ B A A B B A AB2 2 2 25 3 2 8 7 10 0- = + Û - + = Û A B A B2 7 4= Ú = - 
 · Với A B2= . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): x y z2 2 9 0+ - - = 
 · Với A B7 4= - . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): x y z4 7 4 9 0- - - = 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) Với S x y z x y z2 2 2( ) : 2 4 4 5 0+ + - + - + = , P x y z M( ) : 2 6 5 0, (1;1;2)+ - + = . 
 ĐS: Q x y z( ) : 2 2 6 0+ + - = hoặc Q x y z( ) :11 10 2 5 0- + - = . 
Câu 8. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y z2 2 2 –2 4 2 –3 0+ + + + = . 
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có 
bán kính r 3= . 
 · (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = 0. 
 Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I. 
 Suy ra: –2a – b = 0 Û b = –2a (a ¹ 0) Þ (P): y – 2z = 0. 
Câu 9. Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y z2 2 2 2 2 2 –1 0+ + + - + = 
và đường thẳng x yd
x z
2 0:
2 6 0
ì - - =
í - - =î
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu 
(S) theo một đường tròn có bán kính r 1= . 
 · (S) có tâm I( 1;1; 1)- - , bán kính R = 2. 
 PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c2 2 20 ( 0)+ + + = + + ¹ . 
 Chọn M N d(2;0; 2), (3;1;0)- Î . 
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
Trang 3 
 Ta có: 
M P
N P
d I P R r2 2
( )
( )
( ,( ))
ì Î
ï Îí
ï = -î
 Û a b c a b d a b
a b c a b d a b
,2 ( ), 3 (1)
17 7 ,2 ( ), 3 (2)
é = = - + = - -
ê = - = - + = - -ë
 + Với (1) Þ (P): x y z 4 0+ - - = + Với (2) Þ (P): x y z7 17 5 4 0- + - = 
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y z1
1:
2 1 1
D -= =
-
, 
x y z
2
1:
1 1 1
D - = =
- -
 và mặt cầu (S): x y z x y z2 2 2 –2 2 4 –3 0+ + + + = . Viết phương trình 
tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D1 và D1. 
 · (P): y z 3 3 2 0+ + + = hoặc (P): y z 3 3 2 0+ + - = 
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình 
x y z x y z2 2 2 2 4 6 11 0+ + - + - - = và mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. 
Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn 
có chu vi bằng p 6p= . 
 · Do (b) // (a) nên (b) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ¹ 17) 
 (S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6p nên có bán kính r = 3. 
 Khoảng cách từ I tới (b) là h = R r2 2 2 25 3 4- = - = 
 Do đó 
D DD
D (loaïi)2 2 2
2.1 2( 2) 3 74 5 12
172 2 ( 1)
+ - - + é = -= Û - + = Û ê =ë+ + -
 Vậy (b) có phương trình x y z2 2 – – 7 0+ = . 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) y z x y zS x 2 2 2 4 6 11 02( ) : + + + + - - = , x y z( ) : 2 2 19 0+ - + =a , p 8p= . 
 ĐS: x y z( ) : 2 2 1 0+ - + =b 
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Trang 4 
 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách 
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông 
góc với mặt phẳng (Q): x y z 0+ + = và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2 . 
 · PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax By Cz 0+ + = (với A B C2 2 2 0+ + ¹ ). 
 · Vì (P) ^ (Q) nên: A B C1. 1. 1. 0+ + = Û C A B= - - (1) 
 · d M P( ,( )) 2= Û A B C
A B C2 2 2
2 2+ - =
+ +
 Û A B C A B C2 2 2 2( 2 ) 2( )+ - = + + (2) 
 Từ (1) và (2) ta được: AB B28 5 0+ = Û B
A B
0 (3)
8 5 0 (4)
é =
ê + =ë
 · Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x z 0- = 
 · Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): x y z5 8 3 0- + = . 
Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : x y z1 3
1 1 4
- -
= = và 
điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường 
thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4. 
 · Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ax by cz b2 0+ + + = ( a b c2 2 2 0+ + ¹ ) 
 D đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u (1;1;4)=r 
 Ta có: 
a b c
P a b
d A P d
a b c2 2 2
4 0
( ) 5 4( ;( ))
ì + + =
ïìD +Ûí í ==î ï + +î
P Û a c
a c
4
2
ì =
í = -î
. 
 · Với a c4= . Chọn a c b4, 1 8= = Þ = - Þ Phương trình (P): x y z4 8 16 0- + - = . 
 · Với a c2= - . Chọn a c b2, 1 2= = - Þ = Þ Phương trình (P): x y z2 2 4 0+ - + = . 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) Với x y z M d1: ; (0;3; 2), 3
1 1 4
D -= = - = . 
 ĐS: P x y z( ) : 2 2 8 0+ - - = hoặc P x y z( ) : 4 8 26 0- + + = . 
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 
x t
d y t
z
( ) : 1 2
1
ì =
ï = - +í
ï =î
 và điểm 
A( 1;2;3)- . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ 
điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3. 
 · (d) đi qua điểm M(0; 1;1)- và có VTCT u (1;2;0)=r . Gọi n a b c( ; ; )=r với a b c2 2 2 0+ + ¹ 
là VTPT của (P) . 
 PT mặt phẳng (P): a x b y c z ax by cz b c( 0) ( 1) ( 1) 0 0- + + + - = Û + + + - = (1). 
 Do (P) chứa (d) nên: u n a b a b. 0 2 0 2= Û + = Û = -r r (2) 
 ( ) a b c b cd A P b c b c
a b c b c
2 2
2 2 2 2 2
3 2 5 2
,( ) 3 3 3 5 2 3 5
5
- + + +
= Û = Û = Û + = +
+ + +
 ( )b bc c b c c b22 24 4 0 2 0 2Û - + = Û - = Û = (3) 
 Từ (2) và (3), chọn b 1= - Þ a c2, 2= = - Þ PT mặt phẳng (P): x y z2 2 1 0- - + = . 
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
Trang 5 
 Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M N I( 1;1;0), (0;0; 2), (1;1;1)- - . Viết 
phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3 . 
 · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c2 2 20 ( 0)+ + + = + + ¹ . 
 Ta có: 
M P
N P
d I P
( )
( )
( ,( )) 3
ì Î
ï Îí
ï =î
 Û a b c a b d a b
a b c a b d a b
,2 , (1)
5 7 ,2 , (2)
é = - = - = -
ê = = - = -ë
. 
 + Với (1) Þ PT mặt phẳng (P): x y z 2 0- + + = 
 + Với (2) Þ PT mặt phẳng (P): x y z7 5 2 0+ + + = . 
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1;2)- , B(1;3;0) , 
C( 3;4;1)- , D(1;2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C 
đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). 
 · PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d a b c2 2 20 ( 0)+ + + = + + ¹ . 
 Ta có: 
A P
B P
d C P d D P
( )
( )
( ,( )) ( ,( ))
ì Îï
Îí
ï =î
 Û 
a b c d
a b d
b c d a b c d
a b c a b c2 2 2 2 2 2
2 0
3 0
3a 4 2
ì - + + =
ï + + =ï
í - + + + + + +
=ï
ï + + + +î
 Û b a c a d a
c a b a d a
2 , 4 , 7
2 , , 4
é = = = -
ê = = = -ë
 + Với b a c a d a2 , 4 , 7= = = - Þ (P): x y z2 4 7 0+ + - = . 
 + Với c a b a d a2 , , 4= = = - Þ (P): x y z2 4 0+ + - = . 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) Với A B C D(1;2;1), ( 2;1;3), (2; 1;1), (0;3;1)- - . 
 ĐS: P x y z( ) : 4 2 7 15 0+ + - = hoặc P x z( ) : 2 3 5 0+ - = . 
Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1;2;3) , B(0; 1;2)- , 
C(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng P( ) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách 
từ B đến P( ) bằng khoảng cách từ C đến P( ) . 
 · Vì O Î (P) nên P ax by cz( ) : 0+ + = , với a b c2 2 2 0+ + ¹ . 
 Do A Î (P) Þ a b c2 3 0+ + = (1) và d B P d C P b c a b c( ,( )) ( ,( )) 2= Û - + = + + (2) 
 Từ (1) và (2) Þ b 0= hoặc c 0= . 
 · Với b 0= thì a c3= - Þ P x z( ) : 3 0- = · Với c 0= thì a b2= - Þ P x y( ) : 2 0- = 
 Câu hỏi tương tự: 
 a) Với A B C(1;2;0), (0;4;0), (0;0;3) ... C(1;0;0), (0;1;0), (0;3;2) và 
mặt phẳng x y( ) : 2 2 0.a + + = Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm 
A B C, , và mặt phẳng ( ).a 
 · Giả sử M x y z0 0 0( ; ; ) . 
 Ta có: 
MA MB
MB MC
MA d M( ,( ))
ì =ï
=í
ï =î a
x y z x y z
x y z x y z
x y
x y z
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
2 2 2 0 0
0 0 0
( 1) ( 1) (1)
( 1) ( 3) ( 2) (2)
( 2 2)
( 1) (3)
5
ì - + + = + - +
ï
ïÛ + - + = + - + -
í
+ +ï
- + + =ïî
 Û 
x y z
x y z
0 0 0
0 0
1, 1, 2
23 23 14, ,
3 3 3
é = = =
ê
ê = = = -
ë
 Þ M(1; 1; 2) hoặc M 23 23 14; ;
3 3 3
æ ö
-ç ÷
è ø
. 
Câu 53. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC, biết 
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
Trang 63 
 A B C(3;0;0), (0;3;0), (0;0;3) . Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 36. 
 · Phương trình ABC x y z( ) : 3 0+ + - = . 
 DABC có trọng tâm G(1;1;1) và AB= BC= CA= 3 2 Þ ABCS
9 3
2
= . 
 Do hình chóp S.ABC đều nên đường thẳng SG qua G và vuông góc với (ABC) 
 Phương trình 
x t
SG y t
z t
1
: 1
1
ì = +
ï = +í
ï = +î
. Giả sử S t t t(1 ;1 ;1 )+ + + 
 Ta có : VS.ABC=36= SG
1 .
3
 SABC t t8, 8Û = = - . Vậy: S(9;9;9) hoặc S( 7; 7; 7)- - - . 
Dạng 5: Xác định điểm trong đa giác 
Câu 54. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). 
Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC. 
 · Lập phương trình mp(ABC); (P) qua A và (P) ^ BC; (Q) qua B và (Q) ^ AC 
 Giải hệ gồm ba phương trình ba mặt phẳng trên ta được trực tâm H 36 18 12; ;
49 49 49
æ ö
ç ÷
è ø
 Câu hỏi tương tự: 
 a) Với A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2). ĐS: 
Câu 55. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A( 1;3;5)- , B( 4;3;2)- , C(0;2;1) . 
Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
 · Ta có: AB BC CA 3 2= = = Þ ABCD đều. Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp 
ABCD cũng là trọng tâm của nó. Kết luận: I 5 8 8; ;
3 3 3
æ ö
-ç ÷
è ø
. 
Câu 56. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3). 
Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
 · Ta có: AB AC(2; 2; 2), (0; 2;2).= - =
uuur uuur
 Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB, 
AC là: x y z y z1 0, 3 0.+ - - = + - = 
 VTPT của mp(ABC) là n AB AC, (8; 4;4).é ù= = -ë û
uuur uuurr Suy ra (ABC): x y z2 1 0- + + = . 
 Giải hệ: 
x y z x
y z y
x y z z
1 0 0
3 0 2
2 1 0 1
ì ì+ - - = =
ï ï+ - = Þ =í í
ï ï- + + = =î î
. Suy ra tâm đường tròn là I(0; 2;1). 
 Bán kính là R IA 2 2 2( 1 0) (0 2) (1 1) 5.= = - - + - + - = 
Câu 57. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1) , B( 1;2;0)- ,C(1;1; 2)- . 
Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
 · H x y z( ; ; ) là trực tâm của DABC Û BH AC CH AB H ABC, , ( )^ ^ Î 
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Trang 64 
BH AC
CH AB x y z
AB AC AH
. 0
2 29 1. 0 ; ;
15 15 3
, . 0
ì =
ï ì
Û = Û = = = -í í
îïé ù =ë ûî
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur Þ H
2 29 1; ;
15 15 3
æ ö
-ç ÷
è ø
 I x y z( ; ; ) là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC Û AI BI CI I ABC, ( )= = Î 
AI BI
CI BI
AB AC AI
2 2
2 2
, 0
ì =
ï
Û =í
ïé ù =ë ûî
uuur uuur uur x y z I
14 61 1 14 61 1; ; ; ;
15 30 3 15 30 3
ì æ ö
Û = = = - Þ -í ç ÷
î è ø
Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A B C( 1;0;1), (1;2; 1), ( 1;2;3)- - - và 
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp 
xúc với mặt phẳng (Oxz). 
 · Phương trình ABC x y z( ) : 2 1 0- + + = . Gọi I x y z( ; ; ) . 
 IA IB IC= = x y z y z1 0, 3 0 (1)Þ + - - = + - = ; I ABC x y z( ) 2 1 0 (2)Î Þ - + + = 
 Từ (1) (2) I(0; 2;1)Þ . Bán kính mặt cầu là R d I Oxz( ,( )) 2= = 
 Þ (S): x y z2 2 2( 2) ( 1) 4+ - + - = 
Câu 59. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt 
phẳng (Oxy) và C nằm trên trục Oz. Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho điểm H(2;1;1) là trực 
tâm của tam giác ABC. 
 · Giả sử B x y Oxy C z Oz( ; ;0) ( ), (0;0; )Î Î . 
 H là trực tâm của DABC Û 
AH BC
CH AB
AB AC AH ñoàng phaúng, ,
ì ^
ï
í ^
ï
î
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur Û 
AH BC
CH AB
AB AH AC
. 0
. 0
, . 0
ì =
ï
=í
ïé ù =ë ûî
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur 
 Û 
x z
x y
x y yz z
0
2 7 0
3 3 0
ì + =ï
+ - =í
ï - + - =î
 Û 
x y z
x y z
3 177 17 177 3 177; ;
4 2 4
3 177 17 177 3 177; ;
4 2 4
é - - + +
= = =ê
ê
- + - -ê = = =êë
 Þ B C3 177 17 177 3 177; ;0 , 0;0;
4 2 4
æ ö æ ö- - + +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
 hoặc B C3 177 17 177 3 177; ;0 , 0;0;
4 2 4
æ ö æ ö- + - -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Câu 60. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) và hai đường thẳng có phương trình 
x y zd1
2 3 3:
1 1 2
- - -
= =
-
 và x y zd2
1 4 3:
1 2 1
- - -
= =
-
. Chứng minh đường thẳng d1, d2 và 
điểm A cùng nằm trong một mặt phẳng. Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC 
biết d1 chứa đường cao BH và d2 chứa đường trung tuyến CM của tam giác ABC. 
 · d1 qua M1(2; 3; 3), có VTCP a (1;1; 2)= -
r ; d2 qua M2(1; 4; 3) có VTCP b (1; 2;1)= -
r
 Ta có a b a b M M1 2, 0 , , . 0é ù é ù¹ =ë û ë û
urr r r r uuuuuur
 Þ d d1 2, cắt nhau. 
 Phương trình mặt phẳng chứa d d1 2, : x y z –8 0+ + = A mp d d1 2( , )Î . 
 Giả sử B t t t d1(2 ;3 ;3 2 ) + + - Î Þ trung điểm của AB là 
t tM t5 5; ;3
2 2
æ ö+ +
-ç ÷
è ø
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
Trang 65 
 M d2Î Þ t M1 (2;2;4)= - Þ Þ B(1;2;5) . 
 Giả sử C t t t d2(1 ;4 2 ;3 )+ - + Î . AC a^
uuur r
 Þ t = 0 Þ C(1;4;2) 
Câu 61. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho tam giác ABC có A(3;2;3), đường cao 
CH, đường phân giác trong BM của góc B lần lượt có phương trình là 
x y zd1
2 3 3:
1 1 2
- - -
= =
-
, x y zd2
1 4 3:
1 2 1
- - -
= =
-
. Tính độ dài các cạnh của tam giác của 
tam giác ABC. 
 · Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d1 Þ (P): x y z– 2 1 0+ + = . B là giao 
điểm của d2 với (P) Þ B(1;4;3) . 
 Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d2 Þ (Q): x y z2 2 0- + - = . Gọi K là 
giao điểm của d2 với (Q) Þ K (2;2;4) . Gọi E là điểm đối xứng của A qua K Þ E(1;2;5) . 
 Phương trình đường thẳng BE là 
x
y t
z t
1
4
3
ì =ï
= -í
ï = +î
. C là giao điểm của BE và CH Þ C(1;2;5) . 
 Ta có AB = AC = BC = 2 2 Þ Tam giác ABC đều. 
Câu 62. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với ( )A 3; 1; 2- - , 
( )B 1;5;1 , ( )C 2;3;3 , trong đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ. Tìm toạ độ điểm D. 
 · Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 3. 
 Gọi D là đường thẳng qua C và song song với AB, (S) là mặt cầu tâm A bán kính R = 3. 
Điểm D cần tìm là giao điểm của D và (S). 
 Đường thẳng D có vectơ chỉ phương ( )AB 2;6;3= -
uuur
 nên có phương trình: 
x t
y t
z t
2 2
3 6
3 3
ì = -
ï = +í
ï = +î
 Phương trình mặt cầu S x y z2 2 2( ) : ( 3) ( 1) ( 2) 9- + + + + = 
 Toạ độ điểm D thoả Hệ PT: 
( ) ( ) ( )
x t
ty t
t tz t t
x y z
2
2 2 2
2 2
13 6
49 82 33 0 333 3
493 1 2 9
ì = -
éï = -= +ï êÞ + + = Ûí = + = -êï ë- + + + + =ïî
 · Với t = – 1, thì D(4; – 3; 0) : không thoả vì AB = CD = 7 
 · Với t D33 164 51 48; ;
49 49 49 49
æ ö
= - Þ -ç ÷
è ø
 (nhận) 
Câu 63. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thoi ABCD với A( 1;2;1)- , B(2;3;2) . 
Tìm tọa độ các đỉnh C, D và viết phương trình mặt phẳng chứa hình thoi đó biết rằng tâm I 
của hình thoi thuộc đường thẳng x y zd 1 2:
1 1 1
+ -
= =
- -
 và điểm D có hoành độ âm. 
 · Gọi I t t t d( 1 ; ;2 )- - - + Î . Ta có IA t t t IB t t t( ;2 ; 1 ), (3 ;3 ; )= + - - = + + -
uur uur
. 
 Do ABCD là hình thoi nên IA IB t t t t2. 0 3 9 6 0 1, 2= Û + + = Û = - = -
uur uur
. 
 Vì C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên: 
www.VNMATH.com
PP toạ độ trong không gian Trần Sĩ Tùng 
Trang 66 
 + Với t I C D1 (0;1;1) (1;0;1), ( 2; 1;0)= - Þ Þ - - . 
 + Với t I C D2 (1;2;0) (3;2; 1), (0;1; 2)= - Þ Þ - - 
 Do D có hoành độ âm nên ta chọn được nghiệm C D(1;0;1), ( 2; 1;0)- - 
 + Gọi (P) là mặt phẳng chứa hình thoi ABCD, giả sử (P) có VTPT nr 
 Ta có n IA
n IB
( 1;1;0)
(2;2;1)
ìï ^ = -
í
^ =ïî
uurr
uurr Þ có thể chọn n IA IB, (1;1; 4)é ù= = -ë û
uur uurr 
 Suy ra phương trình mặt phẳng P x y z( ) : – 4 3 0+ + = .. 
Câu 64. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình 
vuông, A(1;0;0) , C( 1;2;0)- , D( 1;0;0)- , S(0;0; 3) . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 
đoạn SB và CD. Chứng minh rằng hai đường thẳng AM và BN vuông góc với nhau và xác 
định tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB. 
 · AB DC=
uuur uuur
Þ B(1; 2; 0). M là trung điểm SB, N là trung điểm CD 
 Þ M 1 3;1;
2 2
æ ö
ç ÷ç ÷
è ø
, N(–1; 1; 0) Þ AM ^ BN. Vì DONB nằm trong mp(Oxy) nên tâm I của 
đường tròn ngoại tiếp DONB thuộc mp(Oxy). 
 Gọi I x y( ; ;0) . Ta có: IO IN
IO IB
ì =
í =î
 Þ I 1 7; ;0
6 6
æ ö
ç ÷
è ø
. 
Câu 65. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M(5;3; 1)- , 
P(2;3; 4)- . Tìm toạ độ đỉnh Q biết rằng đỉnh N nằm trong mặt phẳng 
R x y z( ) : 6 0.+ - - = 
 · Gọi I là tâm hình vuông Þ I 7 5;3;
2 2
æ ö
-ç ÷
è ø
. Gọi N a b c R( ; ; ) ( )Î . MP ( 3;0; 3)= - -
uuur
. 
 IN a b c7 5; 3;
2 2
æ ö
= - - +ç ÷
è ø
uur
; MP 3 2= Þ IN 3 2
2
= . 
 Ta có: 
N R
IN MP
IN
( )
3 2
2
ì Î
ïï ^
í
ï =ïî
uur uuur
 Û 
a b c
a c
a b c
2 2
2
6 0
7 53 3 0
2 2
7 5 9( 3)
2 2 2
ì + - - =
ï æ ö æ ö
ï- - - + =ç ÷ ç ÷
è ø è øí
ïæ ö æ öï - + - + + =ç ÷ ç ÷
è ø è øî
 Û a b c
a b c
2, 3, 1
3, 1, 2
é = = = -
ê = = = -ë
 · Nếu N(2;3 1)- thì Q(5;3; 4).- · Nếu N(3;1; 2)- thì Q(4;5; 3).- 
Câu 66. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết B(3;0;8) , 
D( 5; 4;0)- - và đỉnh A thuộc mặt phẳng (Oxy). Tìm tọa độ điểm C. 
 · Ta có trung điểm BD là I(–1;–2; 4), BD = 12 và điểm A thuộc mp(Oxy) nên A(a; b; 0). 
 ABCD là hình vuông Þ 
AB AD
AI BD
2 2
2
2 1
2
ì =
ï
í æ ö
=ï ç ÷
è øî
a b a b
a b
2 2 2 2 2
2 2 2
( 3) 8 ( 5) ( 4)
( 1) ( 2) 4 36
ìï - + + = + + +Û í
+ + + + =ïî
 b a
a a2 2
4 2
( 1) (6 2 ) 20
ì = -
Û í + + - =î
a
b
1
2
ì =Û í =î
 hoặc 
a
b
17
5
14
5
ì
=ï
í -ï =
î
 Þ A(1; 2; 0) hoặc A 17 14; ;0
5 5
æ ö-
ç ÷
è ø
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng PP toạ độ trong không gian 
Trang 67 
 · Với A(1; 2; 0) Þ C(–3;–6; 8) · Với A 17 14; ;0
5 5
æ ö-
ç ÷
è ø
 Þ C 27 6; ;8
5 5
æ ö- -
ç ÷
è ø
. 
Câu 67. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết A C(1;2;0), (2;3; 4)- . 
và đỉnh B nằm trên mặt phẳng (Q): x y z2 3 0+ + - = . Tìm toạ độ của đỉnh D, biết toạ độ của 
B là những số nguyên. 
 · AC 3 2= Þ AB 3= . Gọi B x y z( ; ; ) . 
 Ta có: 
B Q
AB CB
AB
( )
3
ì Îï
=í
ï =î
 Û 
x y z
x y z x y x
x y z
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 3 (1)
( 1) ( 2) ( 2) ( 3) ( 4) (2)
( 1) ( 2) 9 (3)
ì + + =
ï - + - + = - + - + +í
ï - + - + =î
 Û x y z1; 1; 2= - = = Þ B( 1;1;2)- . Vậy D(4;4; 6)- . 
Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này. 
transitung_tv@yahoo.com 
www.VNMATH.com