Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong không gian 12

CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán 
	· Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.
	· Lưu ý:
	+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: 
	+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: 
	+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢, ta có: 
	+ Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. 
	Ta có:	;	
	+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. 
	Ta có:	
	+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. 
	Ta có:	
	+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: 
	+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý. 
	Ta có:	
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ
	· Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.
	· Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , trong đó không cùng phương. Khi đó: đồng phẳng Û $! m, n Ỵ R: 
	· Cho ba vectơ không đồng phẳng, tuỳ ý. 
	Khi đó: 	$! m, n, p Ỵ R: 
3. Tích vô hướng của hai vectơ
	· Góc giữa hai vectơ trong không gian: 
	· Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: 
	+ Cho . Khi đó: 	
	+ Với . Qui ước: 	
	+ 
	+ 	
II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1.	Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:
	Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. 
	Chú ý: 	 và .
2.	Tọa độ của vectơ:
	a) Định nghĩa:	
	b) Tính chất: Cho 
	· 
	· 
	· 
	· 
	· cùng phương 	Û 
	· 	· 
	· 	· 
	· (với )
3.	Tọa độ của điểm:
	a) Định nghĩa:	(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
	Chú ý:	· M Ỵ (Oxy) Û z = 0; M Ỵ (Oyz) Û x = 0; M Ỵ (Oxz) Û y = 0
	· M Ỵ Ox Û y = z = 0; M Ỵ Oy Û x = z = 0; M Ỵ Oz Û x = y = 0
	b) Tính chất: Cho 
	· 	· 
	· Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): 
	· Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: 
 · Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 
	· Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:
4.	Tích có hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao)
	a) Định nghĩa: Cho , .
	Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
	b) Tính chất: 
	· 	· 
	· 	· cùng phương 
	c) Ứng dụng của tích có hướng:
	· Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: và đồng phẳng Û 
	· Diện tích hình bình hành ABCD:	
	· Diện tích tam giác ABC:	
	· Thể tích khối hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢:	
	· Thể tích tứ diện ABCD:	
	Chú ý:	 
	– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.
	– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.
 5.	Phương trình mặt cầu:
	· Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
	· Phương trình x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 – D > 0 là phương trình mặt cầu tâm I(–A; –B; –C) và bán kính R = .
VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm
 – Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
	– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học.
Diện tích – Thể tích.
 – Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian.
	– Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.
	– Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt. 
	– Tính chất hình học của các điểm đặc biệt:
	· A, B, C thẳng hàng Û cùng phương Û Û 
	· ABCD là hình bình hành Û 
	· Cho DABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của DABC trên BC. Ta có:	,	
	· A, B, C, D không đồng phẳng Û không đồng phẳng Û 
VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu
 Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:
	(S): 
Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A:
	Khi đó bán kính R = IA.
Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính:
	– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: .
	– Bán kính R = IA = .
Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):
	– Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: (*).
	– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình.
	– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d Þ Phương trình mặt cầu (S).
Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước:
	Giải tương tự như dạng 4.
Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước:
	– Xác định tâm J và bán kính R¢ của mặt cầu (T).
	– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S).
	(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)
III. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.	Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng 
	· Vectơ là VTPT của (a) nếu giá của vuông góc với (a).
	· Hai vectơ không cùng phương là cặp VTCP của (a) nếu các giá của chúng song song hoặc nằm trên (a).
	Chú ý:	· Nếu là một VTPT của (a) thì (k ≠ 0) cũng là VTPT của (a).
	· Nếu là một cặp VTCP của (a) thì là một VTPT của (a).
2.	Phương trình tổng quát của mặt phẳng
	· Nếu (a) có phương trình thì là một VTPT của (a).
	· Phương trình mặt phẳng đi qua và có một VTPT là:
3.	Các trường hợp riêng
Các hệ số
Phương trình mặt phẳng (a)
Tính chất mặt phẳng (a)
D = 0
(a) đi qua gốc toạ độ O
A = 0
(a) // Ox hoặc (a) É Ox
B = 0	
(a) // Oy hoặc (a) É Oy
C = 0
(a) // Oz hoặc (a) É Oz
A = B = 0
(a) // (Oxy) hoặc (a) º (Oxy)
A = C = 0
(a) // (Oxz) hoặc (a) º (Oxz)
B = C = 0
(a) // (Oyz) hoặc (a) º (Oyz)
	Chú ý:	· Nếu trong phương trình của (a) không chứa ẩn nào thì (a) song song hoặc chứa 	trục tương ứng.
	· Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:	
	(a) cắt các trục toạ độ tại các điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c)
4.	Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 
	Cho hai mặt phẳng (a), (b) có phương trình:	(a): 
	(b): 
	· (a), (b) cắt nhau Û 
	· (a) // (b) Û 	· (a) º (b) Û 
	· (a) ^ (b) Û 
5.	Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0
VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng 
	Để lập phương trình mặt phẳng (a) ta cần xác định một điểm thuộc (a) và một VTPT của nó.
Dạng 1: (a) đi qua điểm có VTPT :
	(a): 
Dạng 2: (a) đi qua điểm có cặp VTCP :
	Khi đó một VTPT của (a) là .
Dạng 3: (a) đi qua điểm và song song với mặt phẳng (b): Ax + By + Cz + D = 0:
	(a): 
Dạng 4: (a) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C: 
	Khi đó ta có thể xác định một VTPT của (a) là: 
Dạng 5: (a) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d) không chứa M:
	– Trên (d) lấy điểm A và VTCP .
	– Một VTPT của (a) là: 
Dạng 6: (a) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng (d):
	VTCP của đường thẳng (d) là một VTPT của (a).
Dạng 7: (a) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:
	– Xác định các VTCP của các đường thẳng d1, d2.
	– Một VTPT của (a) là: .
	– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 Þ M Ỵ (a).
Dạng 8: (a) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):
	– Xác định các VTCP của các đường thẳng d1, d2.
	– Một VTPT của (a) là: .
	– Lấy một điểm M thuộc d1 Þ M Ỵ (a).
Dạng 9: (a) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2:
	– Xác định các VTCP của các đường thẳng d1, d2.
	– Một VTPT của (a) là: .
Dạng 10: (a) đi qua một đường thẳng (d) và vuông góc với một mặt phẳng (b):
	– Xác định VTCP của (d) và VTPT của (b).
	– Một VTPT của (a) là: .
	– Lấy một điểm M thuộc d Þ M Ỵ (a).
Dạng 11: (a) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (b), (g):
	– Xác định các VTPT của (b) và (g).
	– Một VTPT của (a) là: .
Dạng 12: (a) đi qua đường thẳng (d) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k cho trước:
	– Giả sử (a) có phương trình: .
	– Lấy 2 điểm A, B Ỵ (d) Þ A, B Ỵ (a) (ta được hai phương trình (1), (2)).
	– Từ điều kiện khoảng cách , ta được phương trình (3).
	– Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại).
Dạng 13: (a) là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H:
	– Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I và bán kính R.
	– Một VTPT của (a) là: 
	Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững các cách xác định mặt phẳng đã học ở 	lớp 11.
 VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 
VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. 
Hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng . Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng.
 · Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = 0
	· Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
	Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song thì khoảng cách giữa chúng bằng 0.
	· Điểm H là hình chiếu của điểm M trên (P) Û 
	· Điểm M¢ đối xứng với điểm M qua (P) Û 
VẤN ĐỀ 4: Góc giữa hai mặt phẳng 
 Cho hai mặt phẳng (a), (b) có phương trình:	(a): 
	(b): 
	Góc giữa (a), (b) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT .
	Chú ý:	· .	· 
VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
 Cho mặt phẳng (a): và mặt cầu (S): 
	· (a) và (S) không có điểm chung 	Û 
	· (a) tiếp xúc với (S)	Û 	(a) là tiếp diện
	Để tìm toạ độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
	– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với (a).
	– Tìm toạ độ giao điểm H của d và (a). 
	H là tiếp điểm của (S) với (a).
	· (a) cắt (S) theo một đường tròn 	Û 
	Để xác định tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
	– Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với (a).
	– Tìm toạ độ giao điểm H của d và (a). 
	H là tâm của đường tròn giao tuyến của (S) với (a).
	Bán kính r của đường tròn giao tuyến: 
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1.	Phương tr ... à qua giao tuyến của hai mặt phẳng : 
	(P): x + y + z – 4 =0, (Q):3x – y + z – 1 = 0.
	12) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng :.
	13) Tìøm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d: và tính khoảng cách từ A đến đường thẳng d:
	14) Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng (P): x + 3y + 2 = 0.
	15) Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với mặt phẳng (P): x – y – z – 4 = 0 và vuông góc với đường thẳng D:.
	16) Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc và cắt đường thẳng: .
	17) Tìm điểm P thuộc mặt phẳng (P): 2x – 3y – z +2 = 0 sao cho PA+PB nhỏ nhất.
	18) Chứng minh rằng đường thẳng AB và đường thẳng d : cùng thuộc một mặt phẳng. Tìm điểm N thuộc d sao cho NA + NB nhỏ nhất.
	19) Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc với đường thẳng: và cắt đường thẳng: .
	20) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P): x + 3y – z = 0.
	21) Tính góc tạo bỡi đường thẳng AB với mặt phẳng (BCD).
	22) G là trọng tâm DABC, G’ là một điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P): 2x – 3y + z +3 = 0. Chứng minh rằng: nhỏ nhất khi và chỉ khi G' là hình chiếu của G lên (P). Tìm toạ độ điểm G’.
	23) Lập phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm thuộc mp(Oxy)
	24) Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): tại B.
	25) Lập phương trình mặt phẳng qua A và tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình: 
	.
	26) Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐH QUA CÁC NĂM
(Khối D_2011)
Chuẩn 
Trong kgian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d : .Viết pt đường thẳng đi qua A, vuơng gĩc với đường thẳng d và cắt trục Ox.
Nâng cao
(Khối D_2010)
Chuẩn 
Trong kgian Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0 và (Q) : x – y + z – 1 = 0. Viết pt mặt phẳng (R) vuơng gĩc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ 0 đến ( R) bằng 2.
Nâng cao
Trong kgian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng : và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z = 0. Viết pt mặt cầu cĩ tâm thuộc đường thẳng , bán kính bằng 1 và tiếp xúc với mp (P)
Trong khơng gian Oxyz, cho 2 đường thẳng : và : . Xác định tọa độ điểm M thuộc sao cho khoảng cách từ M đến bằng 1
(Khối D_2009)
Chuẩn
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mặt phẳng (P):x+y+z-20=0. Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).
Nâng cao
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng vặt phẳng (P):x+2y-3z+4=0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuơng gĩc với đường thẳng D.
(Khối D_2008)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3).
Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
(Khối D_2007)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng .
Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuơng gĩc với mặt phẳng (OAB).
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất.
(Khối D_2006)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng
, .
Tìm tọa độ điểm A’ đối xưmgs với điểm A qua đường thẳng d1.
Viết phương trình đường thẳng D đi qua A, vuơng gĩc với d1 và cắt d2.
(Khối D_2005)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng và .
Chứng minh d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d1 và d2.
Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ).
(Khối D_2004)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P):x+y+z-2=0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và cĩ tâm thuộc mặt phẳng (P).
(Khối D_2003)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho đường thẳng dk là giao tuyến của hai mặt phẳng (a): x+3ky-z+2=0, (b): kx-y+z+1=0. Tìm k để đường thẳng dk Vuơng gĩc với mặt phẳng (P):x-y-2z+5=0.
(Khối D_2002)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz gian cho mặt phẳng (P): 2x-y+2=0 và đường thẳng dm là giao tuyến của hai mặt phẳng (a): (2m+1)x+(1-m)y+m-1=0, (b): mx+(2m+1)z+4m+2=0. Tìm m để đường thẳng dm song song với mặt phẳng (P).
(Khối B_2011)
Chuẩn 
Trong kg Oxyz, cho đường thẳng : và mặt phẳng (P) : x + y + z – 3 = 0. gọi I là giao điểm của và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuơng gĩc với và MI = 
Nâng cao
Trong kg Oxyz, cho đường thẳng : và hai điểm A(-2; 1; 1), B(-3; -1; 2).Tìm tọa độ điểm M thuộc sao cho tam giác MAB cĩ diện tích bằng 
(Khối B_2010)
Chuẩn 
Trong kg Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c),trong đĩ b,c dương và mp(P) : y – z + 1 = 0. Xác định b, c biết mp(ABC) vuơng gĩc với mp(P) và khoảng cách từ O đến mp(ABC) bằng 
Nâng cao 
Trong kg Oxyz, cho đường thẳng : . Xác định tọa độ điểm M trên trục hồnh sao cho khoảng cách từ M đến bằng OM.
(Khối B_2009)
Chuẩn
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diệm ABCD cĩ các đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
Nâng cao
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-5=0 và hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đĩ là nhỏ nhất.
(Khối B_2008)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1).
Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.
Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng 2x+2y+z-3=0 sao cho MA=MB=MC.
(Khối B_2007)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x+4y+2z-3=0 và mặt phẳng (P): 2x-y+2z-14=0.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường trịn cĩ bán kính bằng 3.
Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M dến mặt phẳng (P) lớn nhất.
(Khối B_2006)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và hai đường thẳng
, .
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1, d2.
Tìm tọa độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho A, M, N thẳng hàng.
Khối B_2005)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B(4;0;4).
Tìm tọa độ các đỉnh A1, C1. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCB1C1).
Gọi M là trung điểm của A1B1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC1. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN.
(Khối B_2004)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng D đi qua điểm A, cắt và vuơng gĩc với đường thẳng d.
(Khối B_2003)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2;0;0), B(0;0;8) và điểm C sao cho . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.
(Khối A_2011)
 Chuẩn 
Trong khơng gian Oxyz cho 2 điểm A(2; 0; 1), B(0; - 2; 3) và mặt phẳng (P) : 2x – y – z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3
Nâng cao
Trong kgian Oxyz , cho mặt cấu (S) ; x2 + y2 + z2 – 4x – 4y – 4z = 0 và điểm A(4; 4; 0). Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biêt điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều 
(khối A_2010)
Chuẩn 
Trong kgian Oxyz, cho đường thẳng : và mp(P): x – 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của và (P), M thuộc . Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 
Nâng cao 
Trong kgian Oxyz, cho điểm A(0; 0; -2) và đường thẳng : . Tính khoảng cách từ A đến . Viết pt mặt cầu tâm A, cắt tại hai điểm B và C sao cho BC = 8
 (Khối A_2009)
Chuẩn
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x-4y-6z-11=0. Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường trịn. Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường trịn đĩ.
Nâng cao
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-2y+2z-1=0 và hai đường thẳng , . Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng D1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng D2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.
(Khối A_2008)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng .
Tìm tọa độ hình chiếu vuơng gĩc của điểm A lên đường thẳng d.
Viết phương trình mặt phẳng (a) chứa d sao cho khoảng cáh từ A đến (a) lớn nhất.
(Khối A_2007)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng và .
Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.
Viết phương trình đường thẳng d vuơng gĩc với mặt phẳng (P): 7x+y-4z=0 và cắt cả hai đường thẳng d1, d2.
(Khối A_2006)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;01). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Tính khoảng cách giữa đường thẳng A’C và MN.
Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một gĩc a biết 
(Khối A_2005)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x+y-2z+9=0.
Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (P), biết D đi qua A và vuơng gĩc với d.
(Khối A_2004) 
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2;0;0), B(0;1;0), . Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
Tính gĩc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM.
Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chĩp S.ABMN.
(Khối A_2002)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
 và 
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng D1 và song song với đường thẳng D2.
Cho điểm M(2;1;4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng D2 sao cho đoạn thẳng MH cĩ độ dài nhỏ nhất.
(CĐ_Khối A_2009)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho các mặt phẳng (P1): x+2y+3z+4=0 và (P2): 3x+2y-z+1-0. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;1;1), vuơng gĩc với hai mặt phẳng (P1) và (P2).
(CĐ_Khối A_2008)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d cĩ phương trình .
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuơng gĩc với đường thẳng d.
Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân tại đỉnh O.
(ĐH – A,A1 2012) 
Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng d : và điểm I( 0; 0; 3). Viết phương trình mặt cầu S cĩ tâm I và cắt d tai hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuơng tại I.
32. (ĐH – B 2012) 
Trong kgian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : và hai điểm A( 2; 1; 0) , B ( -2; 3; 2) . Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và cĩ tâm thuộc đường thẳng d.
( ĐH – D 2012): Cơ bản
 trong kgian Oxyz cho mp (P) : 2x + y – 2z + 10 = 0 và điểm I ( 2; 1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt mp (P) theo một đường trịn cĩ bán kính bằng 4. 
( ĐH – D 2012): Nâng cao
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và hai điểm A( 1; -1; 2), B( 2; -1; 0). Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuơng tại M.